【拿高分,选好题第二波】(新课程)高中数学二轮复习 精选第一部分 25个必考问题 专项突破《必考问题

必考问题10 基本不等式及其应用

【真题体验】

1．(2011·某某，8)在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝

2

x

的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．

解析 设过坐标原点的一条直线方程为y ＝kx ，因为与函数f (x )＝2

x

的图象交于P ，Q

两点，所以k ＞0，且联立解得P ⎝

⎛⎭⎪⎫

2

k

，2k ，Q ⎝

⎛⎭

⎪⎫－

2

k

，－2k ，所以|PQ |＝

⎝

⎛⎭

⎪⎫2 2k 2

＋22k 2

＝

8⎝ ⎛⎭

⎪⎫1k

＋k ≥4. 答案 4

2．(2011·某某文，16)若实数x ，y 满足x 2

＋y 2

＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值为________． 解析 由x 2

＋y 2

＋xy ＝1，得(x ＋y )2

－xy ＝1，即xy ＝(x ＋y )2

－1≤x ＋y

2

4

，所以3

4

(x

＋y )2

≤1，故－233≤x ＋y ≤233

，

当x ＝y ＝33时“＝”成立，所以x ＋y 的最大值为233

. 答案

23

3

3．(2011·某某模拟)若不等式4x 2

＋9x 2

≥2k

xy 对一切正数x ，y 恒成立，则整数k 的最大值为________．

解析 由4x 2＋9x 2≥2k xy (x ＞0，y ＞0)，得2k

≤4x y ＋9y x .因为4x y ＋9y x

≥2

4x y ·9y

x

＝12，

所以2k

≤12，又k ∈Z ，所以k ≤3，即k max ＝3.

答案 3

4．(2012·某某中学调研)已知A ，B ，C 是平面上任意三点，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，则

y ＝c a ＋b ＋b c

的最小值是________． 解析 y 要最小，则a 要最大，而a 的最大值是b ＋c ，所以y ＝c

a ＋

b ＋b

c ≥

c 2b ＋c ＋b

c

＝

1

2⎝ ⎛⎭⎪⎫b c ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c ＋12－1

2

≥2－12，即最小值是2－12.

答案

2－12

5．(2012·某某中学检测)已知x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝1，x 2

＋y 2

＋z 2

＝3，则xyz 的最大值是________．

解析 由题意可得x ＋y ＝1－z ，x 2

＋y 2

＝3－z 2

≥0⇒－3≤z ≤3，所以2xy ＝(1－z )

2

－(3－z 2)＝2z 2－2z －2，由基本不等式可得2xy ≤x 2＋y 2，即2z 2－2z －2≤3－z 2

⇒－1≤z ≤53，

故xyz ＝(z 2

－z －1)z ＝z 3

－z 2

－z ，(z 3

－z 2

－z )′＝3z 2

－2z －1＝(3z ＋1)(z －1)，所以z ∈

⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13，导数大于等于0，原函数递增；z ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－13，1，导数小于等于0，原函数递减；z ∈⎣

⎢⎡⎦

⎥⎤

1，53

，导数大于等于0，原函数递增，且z ＝－13时，xyz 的值是527，z ＝53

时，xyz 的值

是527，故最大值是527

. 答案

5

27

【高考定位】

高考对本内容的考查主要有：基本不等式是C 级要求，理解基本不等式在不等式证明、函数最值的求解方面的重要应用．试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与函数、实际应用题综合考查，构成中高档题．

【应对策略】

掌握高考对基本不等式的考查的常见题型，主要从三个方面考查：一是利用基本不等式求两个正数的和的最小值，或积的最大值，或者将一个式子转化为可以利用基本不等式求最值的问题；二是利用基本不等式比较两个实数(或代数式)的大小或证明不等式(放缩法)等；三是将一个实际问题构造成函数模型，利用基本不等式解决．掌握利用基本不等式求最值时，要满足三个条件：“一正”、“二定”、“三相等”，而且求解时要逐一检验.

必备知识

1．基本不等式

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 即若a ，b ＞0，则

a ＋b

2

≥ab (当且仅当a ＝b 时取等号)

基本变形：(1)a ＋b ≥2ab ；⎝

⎛⎭

⎪⎫a ＋b 22≥ab ；

(2)若a ，b ∈R ，则a 2

＋b 2

≥2ab ，

a 2＋

b 22

≥⎝ ⎛⎭

⎪⎫a ＋b 22

.

2．基本应用

(1)已知a ＞0，b ＞0，则当ab ＝p (常数)，则a ＋b ≥2p ，当且仅当a ＝b ＝p 时，a ＋

b 取得最小值2p ；

(2)当a ＋b ＝S (常数)，则ab ≤S 24，当且仅当a ＝b ＝S 2时，ab 取得最大值S 2

4

；

必备方法

1．利用基本不等式

x ＋y

2

≥xy 时，要注意“正、定、等”三要素，“正”，即x ，y 都

是正数；“定”，即不等式另一边为定值；“等”，即当且仅当x ＝y 时取等号．

2．利用基本不等式

x ＋y

2

≥xy 时，要注意“积定和最大，和定积最小”这一口诀，并

且适当运用拆、拼、凑等技巧，但应该注意，一般不要出现两次不等号，若出现，则要看两次等号成立的条件是否同时成立．

命题角度一 利用基本不等式求最值

[命题要点] ①应用基本不等式求和的最小值或积的最大值；②构造基本不等式满足的条件求最值．

【例1】► (2012·某某中学检测)已知：x ＞y ＞0，且xy ＝1，若x 2

＋y 2

≥a (x －y )恒成立，则实数a 的取值X 围是________．

[审题视点]

[听课记录]

[审题视点] 此题为不等式恒成立问题，先根据分离参数法转化为函数的最值问题，再利用基本不等式求最值．

解析 因为x ＞y ＞0，所以x 2

＋y 2

≥a (x －y )恒成立即为a ≤⎝ ⎛⎭

⎪⎫x 2＋y 2

x －y min

，而xy ＝1，所以

x 2＋y 2

x －y ＝x －y 2＋2x －y ＝(x －y )＋2

x －y

≥2

2，当且仅当⎩⎨

⎧

x －y ＝2，

xy ＝1

⇒

⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝6＋2

2，y ＝

6－22

时，⎝ ⎛⎭

⎪⎫x 2＋y 2

x －y min

＝22，故a ≤2 2.