【师说】高考数学(理)二轮专题复习练习：高考小题标准练(20)(含答案解析)

高考小题标准练(二十)

小题强化练，练就速度和技能，掌握高考得分点！ 姓名：________ 班级：________ 一、选择题(本大题共10小题，每小5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．在△ABC 中，D 为BC 的中点，若∠BAC ＝π

3，AB →·AC →＝1，则|AD →

|的最小值是( )

A.32

B.12

C.32

D.62

解析：因为∠BAC ＝π3，AB →·AC →

＝1，所以|AB →

|·|AC →

|＝2，又AD →

＝12(AB →

＋AC →

)，所以|AD →

|2

＝14(AB →＋AC →)2＝14(|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →)≥14(2|AB →|·|AC →|＋2)＝32

，当且仅当|AB →|＝|AC →

|时取等号，所以|AD →

|的最小值是

6

2

. 答案：D

2．如图，A ，B 分别为椭圆x 2

a 2＋y

2

b

2＝1(a >b >0)的右顶点和上顶点，过原点O 作直线CD

交线段AB 于点M (异于点A ，B )，交椭圆于点C ，D ，若BM →

＝MA →

，直线OM 的方程是y ＝3

2

x ，则椭圆的离心率为( )

A.13

B.12

C.14

D.15

解析：根据题意可知，A (a,0)，B (0，b )，由于BM →

＝MA →

，所以M 是线段AB 的中点，所以M ⎝⎛⎭⎫a 2，b 2，由于点M 在直线OM 上，所以b 2＝32×a 2，所以b ＝3

2a ，从而c ＝a 2－b 2＝a 2－34a 2＝a 2，所以e ＝c a ＝12.

答案：B

3．已知(1＋x )(x －

a x

)5的展开式中含x 3

2的项的系数为30，则a ＝( )

A ．2或－32

B ．－2或3

2

C ．2或32

D ．－2或－3

2

解析：(1＋x )⎝

⎛⎭⎫x －

a x 5＝⎝⎛⎭⎫x －a x 5＋x ⎝⎛⎭⎫x －a x 5，而⎝

⎛⎭⎫x －a

x 5的展开式中，通项T r ＋1

＝C r 5(－1)r a r x 52－r ，由52－r ＝32得r ＝1，由52－r ＝12

得r ＝2，所以－5a ＋10a 2

＝30，解得a ＝2或－32

.

答案：A

4．已知正三角形ABC 的边长为23，将它沿BC 边上的高AD 翻折，使二面角B －AD －C 的大小为π

3

，则四面体ABCD 的外接球的表面积为( )

A ．8π

B ．9π

C ．11π

D ．13π

解析：根据题意可知四面体ABCD 中，BD ＝DC ，且BD ⊥AD ，DC ⊥DA ，则∠BDC 为二面角B －AD －C 的平面角，故∠BDC ＝π

3，则△BCD 是正三角形，故该四面体的外接球就

是它扩展为三棱柱的外接球，其中三棱柱的底面为边长为3的正三角形，高为3，且三棱柱的底面中心连线的中点为球心，中点到顶点的距离就是外接球的半径，设球心为O ，外接球的半径为r ，则球心到底面的距离为32，底面的中心到底面三角形的顶点的距离为23×3

2×3＝

1，∴r ＝

⎝⎛⎭⎫322＋1＝132

，故四面体ABCD 的外接球的表面积为4πr 2＝13π.

答案：D

5．已知集合A ＝{1,2，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m ＝( ) A ．0或 2 B ．0或2 C ．1或 2 D ．1或2

解析：将m ＝0代入集合A ，B ，满足题意，所以排除C ，D ，将m ＝2代入集合A ，B ，也满足题意，故选B.

答案：B

6．已知i 是虚数单位，若复数a ＋i

2－i 为负实数，则实数a ＝( )

A ．－2

B ．2

C ．－12 D.1

2

解析：由复数的除法运算法则可得，a ＋i

2－i

＝

a ＋

＋

5

＝2a －15＋a ＋25i ，∴a ＋25

＝

0，即a ＝－2，此时a ＋i

2－i

＝－1为负实数，满足要求．

答案：A

7．已知数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

a n n 是等差数列，且a 3＝2，a 9＝12，则a 15＝( )

A ．10

B ．30

C ．40

D ．20

解析：由于数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫a n n 是等差数列，故2×a 99＝a 33＋a 1515，即a 1515＝2×129－2

3＝2，故a 15＝30.

答案：B

8．设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧

2x －2y ≥－2

1

2x ＋y ≥1

6x ＋3y －21≤0，若z ＝a 2x ＋y (a >0)的最大值为5，则a ＝( )

A ．1或

62 B ．1 C ．4或6

2

D ．2 解析：先将不等式组化简得⎩⎪⎨⎪

⎧

x －y ＋1≥0x ＋2y －2≥0.

2x ＋y －7≤0

作出可行域如图中阴影部分所示，∵z ＝a 2x

＋y ，∴y ＝－a 2x ＋z ，z 的最大值即直线y ＝－a 2x ＋z 在y 轴上的截距的最大值，显然当直线

y ＝－a 2

x ＋z 过点A 或点B 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝02x ＋y －7＝0解得A (2,3)，由⎩

⎪⎨

⎪⎧

2x ＋y －7＝0

x ＋2y －2＝0解得B (4，－1)，由2a 2＋3＝5，可得a ＝±1，∵a >0，∴a ＝1，由4a 2－1＝5，可得a ＝±6

2，

∵a >0，∴a ＝

6

2

.代入验证可知只有a ＝

1符合题意，故选B.

答案：B

9．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为(

)

A ．55

B ．－55

C ．－66

D ．66

解析：由题意知，当n ＝10时跳出循环，则S ＝(－1)1×12＋(－1)2×22＋(－1)3×32＋…＋