空间几何体的外接球、内切球问题 课件-2023届高三数学一轮复习
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棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为
3π
A.
B．24π
2
[答案] C
C. 6π
D．6π
(
)
五、直棱柱（圆柱）的外接球模型
h 2
R r ( )
外接球半径
2 （ r 底面外接圆半径， h 为侧棱长（高））
2
a
2r=
sin A
练习
1.在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，若 AB BC , AB 6, BC 8, AA1 6 ，则该直三棱柱
2023年高考第一轮复习
空间几何体的外接球、内切球
问题
一、球体的表面积与体积公式
4 3
体积 =
3
表面积 = 42
用一个平面去截一个球，截面是圆面。球的截面
有如下性质：1. 球心和截面圆心的连线垂直于
截面.2. 球心到截面的距离d与球的半径R及截
面的半径r有下面的关系：
PS：球心在外心的正上方，球心在弦的中垂面上.
r内切球
6
a
12
R外接球
6
a
4
轴截面法
P
P
h-r
r
D
h-r
O
r
B
H
B
A
r
D
2R
O
r
R
O
2R
R
O
A
B
H
A
D
C
例 已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线
：
和底面都相切，则球的表面积与圆锥的表面积的比值为
( B )
2
A．
3
4B．9源自2 6C．98
D．
27
八、一般几何体的外接球
R
外接球的表面积为（ ）
A． 72π B． 114 C． 136 D． 144
[答案]
C
2.已知圆柱的两个底面的圆周在体积为
32π
的球 O 的球面上，则该圆柱的侧面
3
积的最大值为
A．4π
(
B．8π
[答案]
B
C．12π
D．16π
)
六、直棱锥与正棱锥（侧棱相等）的外接球
、直棱锥
OO1
、正棱锥（侧棱相等）
三棱锥外接球表面积为（
）
A． 10
B． 12
[答案] B
C． 14
D． 16
四、长方体的外接球模型
若长方体的长宽高分别为a，b，c，则
长方体的外接球直径＝ 2 + 2 + 2
D
C
A
B
R
A1
B
D
O
O
C1
D1
B1
D1
B1
可补充成长方体的几类模型：
、墙角模型
D
D
C
A
B1
A1
D
C
A
B
O
A
①选定底面 ABC ，定 ABC 外接圆圆心 O1
H
O1
B
②选定面 PAB ，定 PAB 外接圆圆心 O2
C
③分别过 O1 做面 ABC 的垂线，和 O2 做面 PAB 的垂线，两垂线交点即为外接球球
心O .
例：三棱锥 P ABC 中，平面 PAB 平面 ABC ，PAB 和 ABC 均为边长为 2 的正三
内切球：
若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个
球的外切多面体， 这个球是这个多面体的内切球。
若一个旋转体的各面（包括曲面）都与一个球的球面相切，则称这
个旋转体是这个球的外切旋转体， 这个球是这个旋转体的内切球。
内切球球心到各面的距离相等(r)
三、正方体的内切球、棱切球与外接球模型
二、外接球与内切球
外接球：
若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的
内接多面体，这个球是这个多面体的外接球 。
若一个旋转体的底面圆周和顶点（如果有）都在一个球的球面上，则称这个
旋转体是这个球的内接旋转体，这个球是这个旋转体的外接球。
外接球的球心到各顶点的距离相等(R)
二、外接球与内切球
R
h--R
r
2
2
= (ℎ − ) +
2
顶点的射影在底面外接
圆圆心的棱锥的外接球可
转换为圆锥的外接球问题
例：已知圆锥 SO 的母线长为 2 6 ，侧面展开图的圆心角为
积 为（
A．12 2
2 3
，则该圆锥外接球的表面
3
C）
B．24
C． 36
D． 48
八、一般几何体的外接球
P
O2
如图：在三棱锥 P ABC 中：
1
PA
2
R r OO
2
r h
R
2h
2
2
1
2
练习
1.正三棱锥 P－ABC 底面边长为 2，M 为 AB 的中点，且 PM⊥PC，则三棱锥 P－
ABC 外接球的体积为（
）
32
A．
3
B． 6
[答案]
C
8 2
C． 6 D．
3
七、一般几何体内切球
等体积法
3V体积
R
S表面积
特殊：棱长为 a 的正四面体
D1
C1
、鳖臑与阳马模型
C
A
B
D1
A1
、对棱相等模型
D1
C1
B1
B
A1
C1
B1
练习
1.已知三棱锥 P-ABC 中，PB⊥平面 ABC，∠ABC＝90°，PA＝ 5，AB＝BC
＝1，则三棱锥 P-ABC 的外接球的表面积为
A．12π
[答案]
B．6π
C．24π
(
)
4 6π
D.
3
B
2.已知三棱锥 A-BCD 中，AB＝CD＝ 5，AC＝BD＝2，AD＝BC＝ 3，若该三
A1
D
C
A
B
B
D1
D1
D1
、特殊的鳖臑模型
、墙角模型
C1
B1
A1
C1
B1
1．已知正方体的所有顶点在一个球面上．若这个球的表面积为 12π，则这个
正方体的体积为________．
答案：8
2.据《九章算术》记载，
“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥．如图
所示，现有一个“鳖臑”
， PA 底面 ABC ， AB BC ，且 PA AB BC 2 ，
若正方体的棱长为a，则
A
⑴正方体的内切球直径＝ a
⑵正方体的外接球直径＝ 3 a
A
R
A1
B
D
B
A
C1
D1
B1
D1
A1
C1
G
H
F
G
B1
C
D1
B1
E
A
C
A1
C1
B
O
O
D1
A1
D
C
C
F
B
H
3a
⑶与正方体所有棱相切的球直径＝ 2a
D
E
D
C1
B1
可补充成正方体的几类模型：
、正四面体
D
C
A
B
A1
D
C
A
C1
B1
角形，则三棱锥 P ABC 外接球的半径为
.
15
R
3
感谢观看
3π
A.
B．24π
2
[答案] C
C. 6π
D．6π
(
)
五、直棱柱（圆柱）的外接球模型
h 2
R r ( )
外接球半径
2 （ r 底面外接圆半径， h 为侧棱长（高））
2
a
2r=
sin A
练习
1.在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，若 AB BC , AB 6, BC 8, AA1 6 ，则该直三棱柱
2023年高考第一轮复习
空间几何体的外接球、内切球
问题
一、球体的表面积与体积公式
4 3
体积 =
3
表面积 = 42
用一个平面去截一个球，截面是圆面。球的截面
有如下性质：1. 球心和截面圆心的连线垂直于
截面.2. 球心到截面的距离d与球的半径R及截
面的半径r有下面的关系：
PS：球心在外心的正上方，球心在弦的中垂面上.
r内切球
6
a
12
R外接球
6
a
4
轴截面法
P
P
h-r
r
D
h-r
O
r
B
H
B
A
r
D
2R
O
r
R
O
2R
R
O
A
B
H
A
D
C
例 已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线
：
和底面都相切，则球的表面积与圆锥的表面积的比值为
( B )
2
A．
3
4B．9源自2 6C．98
D．
27
八、一般几何体的外接球
R
外接球的表面积为（ ）
A． 72π B． 114 C． 136 D． 144
[答案]
C
2.已知圆柱的两个底面的圆周在体积为
32π
的球 O 的球面上，则该圆柱的侧面
3
积的最大值为
A．4π
(
B．8π
[答案]
B
C．12π
D．16π
)
六、直棱锥与正棱锥（侧棱相等）的外接球
、直棱锥
OO1
、正棱锥（侧棱相等）
三棱锥外接球表面积为（
）
A． 10
B． 12
[答案] B
C． 14
D． 16
四、长方体的外接球模型
若长方体的长宽高分别为a，b，c，则
长方体的外接球直径＝ 2 + 2 + 2
D
C
A
B
R
A1
B
D
O
O
C1
D1
B1
D1
B1
可补充成长方体的几类模型：
、墙角模型
D
D
C
A
B1
A1
D
C
A
B
O
A
①选定底面 ABC ，定 ABC 外接圆圆心 O1
H
O1
B
②选定面 PAB ，定 PAB 外接圆圆心 O2
C
③分别过 O1 做面 ABC 的垂线，和 O2 做面 PAB 的垂线，两垂线交点即为外接球球
心O .
例：三棱锥 P ABC 中，平面 PAB 平面 ABC ，PAB 和 ABC 均为边长为 2 的正三
内切球：
若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个
球的外切多面体， 这个球是这个多面体的内切球。
若一个旋转体的各面（包括曲面）都与一个球的球面相切，则称这
个旋转体是这个球的外切旋转体， 这个球是这个旋转体的内切球。
内切球球心到各面的距离相等(r)
三、正方体的内切球、棱切球与外接球模型
二、外接球与内切球
外接球：
若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的
内接多面体，这个球是这个多面体的外接球 。
若一个旋转体的底面圆周和顶点（如果有）都在一个球的球面上，则称这个
旋转体是这个球的内接旋转体，这个球是这个旋转体的外接球。
外接球的球心到各顶点的距离相等(R)
二、外接球与内切球
R
h--R
r
2
2
= (ℎ − ) +
2
顶点的射影在底面外接
圆圆心的棱锥的外接球可
转换为圆锥的外接球问题
例：已知圆锥 SO 的母线长为 2 6 ，侧面展开图的圆心角为
积 为（
A．12 2
2 3
，则该圆锥外接球的表面
3
C）
B．24
C． 36
D． 48
八、一般几何体的外接球
P
O2
如图：在三棱锥 P ABC 中：
1
PA
2
R r OO
2
r h
R
2h
2
2
1
2
练习
1.正三棱锥 P－ABC 底面边长为 2，M 为 AB 的中点，且 PM⊥PC，则三棱锥 P－
ABC 外接球的体积为（
）
32
A．
3
B． 6
[答案]
C
8 2
C． 6 D．
3
七、一般几何体内切球
等体积法
3V体积
R
S表面积
特殊：棱长为 a 的正四面体
D1
C1
、鳖臑与阳马模型
C
A
B
D1
A1
、对棱相等模型
D1
C1
B1
B
A1
C1
B1
练习
1.已知三棱锥 P-ABC 中，PB⊥平面 ABC，∠ABC＝90°，PA＝ 5，AB＝BC
＝1，则三棱锥 P-ABC 的外接球的表面积为
A．12π
[答案]
B．6π
C．24π
(
)
4 6π
D.
3
B
2.已知三棱锥 A-BCD 中，AB＝CD＝ 5，AC＝BD＝2，AD＝BC＝ 3，若该三
A1
D
C
A
B
B
D1
D1
D1
、特殊的鳖臑模型
、墙角模型
C1
B1
A1
C1
B1
1．已知正方体的所有顶点在一个球面上．若这个球的表面积为 12π，则这个
正方体的体积为________．
答案：8
2.据《九章算术》记载，
“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥．如图
所示，现有一个“鳖臑”
， PA 底面 ABC ， AB BC ，且 PA AB BC 2 ，
若正方体的棱长为a，则
A
⑴正方体的内切球直径＝ a
⑵正方体的外接球直径＝ 3 a
A
R
A1
B
D
B
A
C1
D1
B1
D1
A1
C1
G
H
F
G
B1
C
D1
B1
E
A
C
A1
C1
B
O
O
D1
A1
D
C
C
F
B
H
3a
⑶与正方体所有棱相切的球直径＝ 2a
D
E
D
C1
B1
可补充成正方体的几类模型：
、正四面体
D
C
A
B
A1
D
C
A
C1
B1
角形，则三棱锥 P ABC 外接球的半径为
.
15
R
3
感谢观看