2025年高考数学一轮复习-8.6双曲线【课件】
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点，则｜ PF 1｜min＝ a ＋ c ，｜ PF 2｜min＝ c － a ；
（3）同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于实轴的
22
弦），其长为
，异支的弦中最短的为实轴，其长为2 a ；
（4）若 P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点， F 1 ， F 2
分别为双曲线的左、右焦点，则 △ 1 2 ＝
2
a ，则有 c － a ＝3 a ，即 c ＝4 a ，则双曲线 C 的离心率 e ＝ ＝
2.故选A.
高中总复习·数学（提升版）
3. 经过点 A （3，－1），且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为
（
）
2
A.
4
−
2
＝1
4
2
B.
4
−
2
＝1
8
2
D.
8
2
C.
8
−
2
＝1
4
−
2
＝1
8
解析： 设双曲线方程为 x 2－ y 2＝λ（λ≠0），把点 A （3，－1）
2
×（－ ）＝－ 2 ＝－1， a 2＝ b 2， a ＝ b ，由于 a 2＋ b 2＝ c 2，所以
5Fra Baidu bibliotek2
2
2 a ＝25， a ＝
.
2
高中总复习·数学（提升版）
1. 双曲线方程的常见设法
2
（1）与双曲线 2
2
2
−
−
2
＝1（ a ＞0， b ＞0）共渐近线的方程可设为
2
2
高中总复习·数学（提升版）
1.
2
设 P 是双曲线
16
−
2
＝1上一点， F 1， F 2分别是双曲线的左、右焦
20
点，若｜ PF 1｜＝9，则｜ PF 2｜＝（
A. 1
B. 17
C. 1或17
D. 以上均不对
）
解析： 根据双曲线的定义得｜｜ PF 1｜－｜ PF 2｜｜＝8⇒｜ PF
2｜＝1或17.又｜ PF 2｜≥ c － a ＝2，故｜ PF 2｜＝17.
2
代入，得9－1＝λ，λ＝8，故所求双曲线方程为
8
−
2
＝1.
8
高中总复习·数学（提升版）
4.
2
若双曲线 2
−
2
＝1（ a ＞0， b ＞0）的一个焦点为 F （5，0），两
2
条渐近线互相垂直，则 a ＝（
A.
2
2
C. 2
5 2
B.
2
D. 5 2
）
高中总复习·数学（提升版）
解析：
依题意 c ＝5，由于双曲线两条渐近线互相垂直，所以
2
2
＝2，所以所求双曲线方程为
2
−
2
＝1.
4
高中总复习·数学（提升版）
2.
2
已知双曲线
3
−
2
＝1（ b ＞0），其焦点到渐近线的距离为1，则
2
该双曲线的离心率为（
2 3
A.
3
C. 2 3
）
B. 3
D.
3
3
解析： 由结论2可知： b ＝1，又 a ＝ 3 ，所以 c ＝ 3 + 1 ＝2，
第八章
第六节
解析几何
双曲线
PART
1
知识 体系构建
课前自修
目录
高中总复习·数学（提升版）
1. 了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问
题中的作用.
2. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质.
3. 通过双曲线的学习，进一步体会数形结合的思想.
高中总复习·数学（提升版）
2
2 3
所以该双曲线的离心率 e ＝ ＝ ＝
.故选A.
3
3
高中总复习·数学（提升版）
3.
2
过双曲线 2
−
2
＝1（ a ＞0， b ＞0）的右焦点 F 作垂直于 x 轴的直
2
线，交双曲线于 A ， B 两点， O 为坐标原点，若△ OAB 为等腰直角
三角形，则双曲线的离心率 e ＝
1+ 5
高中总复习·数学（提升版）
2. 已知双曲线 C 的顶点为 A 1， A 2，虚轴的一个端点为 B ，且△ BA 1 A 2
是一个等边三角形，则双曲线 C 的离心率为（
A. 2
B. 2
C. 3
D. 3
）
解析： 由△ BA 1 A 2是一个等边三角形，可得 b ＝ 3 a ，即 b 2＝3
2
2
2
2
2
2
.
2
解析：若△ OAB 为等腰直角三角形，由结论2可得 c ＝ ，即 ac ＝ c
2－ a 2，可得 e 2－ e －1＝0， e ＞1，解得 e ＝ 1+ 5 .
2
感 谢 观 看!
＝λ（λ≠0）；
2
（2）若渐近线的方程为 y ＝± x ，（ a ＞0， b ＞0）则可设双曲线
2
方程为 2
−
2
＝λ（λ≠0）.
2
高中总复习·数学（提升版）
2. 双曲线中的常用结论
（1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b ；
（2）若 P 是双曲线右支上一点， F 1， F 2分别为双曲线的左、右焦
∠ F 1 PF 2 .
2
tan
2
，其中θ为
高中总复习·数学（提升版）
1.
2
与双曲线 － y 2＝1有相同渐近线，
2
点的双曲线方程是（
2
A.
2
2
C.
4
）
−
2
＝1
4
2
B.
2
−
2
＝1
2
2
D.
4
解析：
2
2
且与椭圆 ＋ ＝1有共同焦
8
2
−
2
＝1
4
−
2
＝1
2
2
由结论1，可设双曲线方程为 y 2－ ＝λ，故2λ＋λ＝6，λ
（3）同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于实轴的
22
弦），其长为
，异支的弦中最短的为实轴，其长为2 a ；
（4）若 P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点， F 1 ， F 2
分别为双曲线的左、右焦点，则 △ 1 2 ＝
2
a ，则有 c － a ＝3 a ，即 c ＝4 a ，则双曲线 C 的离心率 e ＝ ＝
2.故选A.
高中总复习·数学（提升版）
3. 经过点 A （3，－1），且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为
（
）
2
A.
4
−
2
＝1
4
2
B.
4
−
2
＝1
8
2
D.
8
2
C.
8
−
2
＝1
4
−
2
＝1
8
解析： 设双曲线方程为 x 2－ y 2＝λ（λ≠0），把点 A （3，－1）
2
×（－ ）＝－ 2 ＝－1， a 2＝ b 2， a ＝ b ，由于 a 2＋ b 2＝ c 2，所以
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2
2 a ＝25， a ＝
.
2
高中总复习·数学（提升版）
1. 双曲线方程的常见设法
2
（1）与双曲线 2
2
2
−
−
2
＝1（ a ＞0， b ＞0）共渐近线的方程可设为
2
2
高中总复习·数学（提升版）
1.
2
设 P 是双曲线
16
−
2
＝1上一点， F 1， F 2分别是双曲线的左、右焦
20
点，若｜ PF 1｜＝9，则｜ PF 2｜＝（
A. 1
B. 17
C. 1或17
D. 以上均不对
）
解析： 根据双曲线的定义得｜｜ PF 1｜－｜ PF 2｜｜＝8⇒｜ PF
2｜＝1或17.又｜ PF 2｜≥ c － a ＝2，故｜ PF 2｜＝17.
2
代入，得9－1＝λ，λ＝8，故所求双曲线方程为
8
−
2
＝1.
8
高中总复习·数学（提升版）
4.
2
若双曲线 2
−
2
＝1（ a ＞0， b ＞0）的一个焦点为 F （5，0），两
2
条渐近线互相垂直，则 a ＝（
A.
2
2
C. 2
5 2
B.
2
D. 5 2
）
高中总复习·数学（提升版）
解析：
依题意 c ＝5，由于双曲线两条渐近线互相垂直，所以
2
2
＝2，所以所求双曲线方程为
2
−
2
＝1.
4
高中总复习·数学（提升版）
2.
2
已知双曲线
3
−
2
＝1（ b ＞0），其焦点到渐近线的距离为1，则
2
该双曲线的离心率为（
2 3
A.
3
C. 2 3
）
B. 3
D.
3
3
解析： 由结论2可知： b ＝1，又 a ＝ 3 ，所以 c ＝ 3 + 1 ＝2，
第八章
第六节
解析几何
双曲线
PART
1
知识 体系构建
课前自修
目录
高中总复习·数学（提升版）
1. 了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问
题中的作用.
2. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质.
3. 通过双曲线的学习，进一步体会数形结合的思想.
高中总复习·数学（提升版）
2
2 3
所以该双曲线的离心率 e ＝ ＝ ＝
.故选A.
3
3
高中总复习·数学（提升版）
3.
2
过双曲线 2
−
2
＝1（ a ＞0， b ＞0）的右焦点 F 作垂直于 x 轴的直
2
线，交双曲线于 A ， B 两点， O 为坐标原点，若△ OAB 为等腰直角
三角形，则双曲线的离心率 e ＝
1+ 5
高中总复习·数学（提升版）
2. 已知双曲线 C 的顶点为 A 1， A 2，虚轴的一个端点为 B ，且△ BA 1 A 2
是一个等边三角形，则双曲线 C 的离心率为（
A. 2
B. 2
C. 3
D. 3
）
解析： 由△ BA 1 A 2是一个等边三角形，可得 b ＝ 3 a ，即 b 2＝3
2
2
2
2
2
2
.
2
解析：若△ OAB 为等腰直角三角形，由结论2可得 c ＝ ，即 ac ＝ c
2－ a 2，可得 e 2－ e －1＝0， e ＞1，解得 e ＝ 1+ 5 .
2
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＝λ（λ≠0）；
2
（2）若渐近线的方程为 y ＝± x ，（ a ＞0， b ＞0）则可设双曲线
2
方程为 2
−
2
＝λ（λ≠0）.
2
高中总复习·数学（提升版）
2. 双曲线中的常用结论
（1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b ；
（2）若 P 是双曲线右支上一点， F 1， F 2分别为双曲线的左、右焦
∠ F 1 PF 2 .
2
tan
2
，其中θ为
高中总复习·数学（提升版）
1.
2
与双曲线 － y 2＝1有相同渐近线，
2
点的双曲线方程是（
2
A.
2
2
C.
4
）
−
2
＝1
4
2
B.
2
−
2
＝1
2
2
D.
4
解析：
2
2
且与椭圆 ＋ ＝1有共同焦
8
2
−
2
＝1
4
−
2
＝1
2
2
由结论1，可设双曲线方程为 y 2－ ＝λ，故2λ＋λ＝6，λ