九年级上册数学《二次函数》单元检测题(附答案)

人教版数学九年级上学期
《二次函数》单元测试
[考试时间：90分钟分数：100分]
一．选择题（每题3分,共30分）
1．抛物线y＝（x+1）2+（m2+1）（m为常数）的顶点在（）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．关于二次函数y＝2（x﹣2）2+5,下列说法错误的是（）
A ．图象与y轴的交点坐标为（0,13）
B ．图象的对称轴在y轴的右侧
C ．当x＞0时,y的值随x值的增大而增大
D ．当x＝2时,函数有最小值为5
3．将抛物线y＝2（x﹣3）2+2向左平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到抛物线的解析式是（）
A ．y＝2（x﹣6）2
B ．y＝2（x﹣6）2+4
C ．y＝2x2
D ．y＝2x2+4
4．设函数y＝A （x﹣h）2+k（A ,h,k是实数,A ≠0）,当x＝1时,y＝1；当x＝8时,y＝8,（）
A ．若h＝4,则A ＜0
B ．若h＝5,则A ＞0
C ．若h＝6,则A ＜0
D ．若h＝7,则A ＞0
5．已知抛物线y＝A x2+B x+C （A ＜0）经过点（﹣1,0）,且满足4A +2B +C ＞0,有下列结论：①A +B ＞0；②﹣A +B +C ＞0；③B 2﹣2A C ＞5A 2．其中,正确结论的个数是（）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6．二次函数y＝A x2+B x+C ,自变量x与函数y的对应值如表：
x﹣3 ﹣2 ﹣1
y﹣2 ﹣2 0
下面四个说法正确的有（）
①抛物线的开口向上②当x＞﹣3时,y随x的增大而增大
③二次函数的最小值是﹣2 ④﹣4是方程A x2+B x+C ＝0的一个根．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7．小明以二次函数y＝2x2﹣4x+8的图象为灵感为“2017北京•房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子,如图为杯子的设计稿,若A B ＝4,D E＝3,则杯子的高C E为（）
A ．14
B ．11
C ．6
D ．3
8．二次函数y＝x2﹣2x﹣2与x轴的交点个数是（）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
9．在同一平面直角坐标系中,函数y＝A x2+B x（A ≠0）与y＝B x+A （B ≠0）的图象可能是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．对于二次函数y＝A x2﹣（2A ﹣1）x+A ﹣1（A ≠0）,有下列结论：①其图象与x轴一定相交；②若A ＜0,函数在x＞1时,y随x的增大而减小；③无论A 取何值,抛物线的顶点始终在同一条直线上；④无论A 取何值,函数图象都经过同一个点．其中所有正确的结论是（）
A ．①②③
B ．①③④
C ．①②④
D ．①②③④
二．填空题（每题4分,共20分）
11．抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数）与x轴交点的个数是．
12．抛物线y＝x2+B x+C 经过点A （0,3）,B （2,3）,抛物线所对应的函数表达式为．13．已知非负实数x,y,z满足x+y+z＝1,则t＝2xy+yz+2zx的最大值为．
14．如图是二次函数y＝A x2+B x+C （A ≠0）的图象的一部分,对称轴为直线x＝,抛物线与x轴的交点分别为A 、B ,则A 、B 两点间的距离是．
15．如图,抛物线y＝﹣（x+1）（x﹣9）与坐标轴交于A 、B 、C 三点,D 为顶点,连结A
C ,B C ．点P是该抛物线在第一象限内上的一点．过点P作y轴的平行线交B C 于点
E,连结A P交B C 于点F,则的最大值为．
三．解答题（每题10分,共50分）
16．如图,抛物线y＝A x2+B x+3与x轴交于A （﹣3,0）,B （1,0）两点,与y轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的动点,且满足S
△PA O ＝2S
△PC O
,求出P点的坐标；
（3）连接B C ,点E是x轴一动点,点F是抛物线上一动点,若以B 、C 、E、F为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出点F的坐标．
17．某农场拟用总长为60m的建筑材料建三间矩形牛饲养室,饲养室的一面靠现有墙（墙长为40m）,其中间用建筑材料做的墙隔开（如图）．设三间饲养室平行于墙的一边合计用
建筑材料xm,总占地面积为ym2．
（1）求y关于x的函数解析式和自变量的取值范围；
（2）当x为何值时,三间饲养室占地总面积最大？最大面积为多少？
18．如图①,已知抛物线y＝﹣x2+B x+C 与x轴交于点A 、B （3,0）,与y轴交于点C （0,3）,直线l经过B 、C 两点．抛物线的顶点为D ．
（1）求抛物线和直线l的解析式；
（2）判断△B C D 的形状并说明理由．
（3）如图②,若点E是线段B C 上方的抛物线上的一个动点,过E点作EF⊥x轴于点F,EF 交线段B C 于点G,当△EC G是直角三角形时,求点E的坐标．
19．春节前夕,万果园超市从厂家购进某种礼盒,已知该礼盒每个成本价为32元．经市场调查发现,该礼盒每天的销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系．当该款礼盒每个售价为50元时,每天可卖出200个；当该款礼盒每个售价为60元时,每天可卖出100个．
（1）求y与x之间的函数解析式（不要求写出x的取值范围）；
（2）若该超市想达到每天不低于240个的销售量,则该礼盒每个售价定为多少元时,每天的销售利润最大,最大利润是多少元？
20．如图,抛物线y＝﹣x2+B x+C 与x轴交于点A ,B ,与y轴交于点C ,其中点B 的坐标为（3,0）,点C 的坐标为（0,3）,直线l经过B ,C 两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点C 作C D ∥x轴交抛物线于点D ,过线段C D 上方的抛物线上一动点E作EF ⊥C D 交线段B C 于点F,求四边形EC FD 的面积的最大值及此时点E的坐标；
（3）点P是在直线l上方的抛物线上一动点,点M是坐标平面内一动点,是否存在动点P,M,使得以C ,B ,P,M为顶点的四边形是矩形？若存在,请直线写出点P的横坐标；若不存在,请说明理由．
答案与解析
一．选择题
1． B ．2． C ．3． C ．4． C ．5． D ．6． B ．7． B ．8． C ．9． C ．10． B ．二．填空
11． 2．
12． y＝x2﹣2x+3．
13．．
14． 3．
15．．
三．解答题
16．解：（1）∵抛物线y＝A x2+B x+3与x轴交于A （﹣3,0）,B （1,0）两点, ∴
解得：,
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与y轴交于点C ,
∴点C （0,3）
∴OA ＝OC ＝3,
设点P（x,﹣x2﹣2x+3）
∵S
△PA O ＝2S
△PC O
,
∴×3×|﹣x2﹣2x+3|＝2××3×|x|,
∴x＝±或x＝﹣2±,
∴点P（,﹣2）或（﹣,2）或（﹣2+,﹣4+2）或（﹣2﹣,﹣4﹣2）；（3）若B C 为边,且四边形B C FE是平行四边形,
∴C F∥B E,
∴点F与点C 纵坐标相等,
∴3＝﹣x2﹣2x+3,
∴x
1＝﹣2,x
2
＝0,
∴点F（﹣2,3）
若B C 为边,且四边形B C EF是平行四边形,
∴B E与C F互相平分,
∵B E中点纵坐标为0,且点C 纵坐标为3,
∴点F的纵坐标为﹣3,
∴﹣3＝﹣x2﹣2x+3
∴x＝﹣1±,
∴点F（﹣1+,﹣3）或（﹣1﹣,﹣3）；
若B C 为对角线,则四边形B EC F是平行四边形,
∴B C 与EF互相平分,
∵B C 中点纵坐标为,且点E的纵坐标为0,
∴点F的纵坐标为3,
∴点F（﹣2,3）,
综上所述,点F坐标（﹣2,3）或（﹣1+,﹣3）或（﹣1﹣,﹣3）．
17．解：（1）根据题意得,y＝x•（60﹣x）＝﹣x2+15x,
自变量的取值范围为：0＜x≤40；
（2）∵y＝﹣x2+15x＝﹣（x﹣30）2+225,
∴当x＝30时,三间饲养室占地总面积最大,最大为225（m2）．
18．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+B x+C 与x轴交于点A 、B （3,0）,与y轴交于点C （0,3）, ∴y＝﹣x2+B x+3,
将点B （3,0）代入y＝﹣x2+B x+3,
得0＝﹣9+3B +3,
∴B ＝2,
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
∵直线l经过B （3,0）,C （0,3）,
∴可设直线l的解析式为y＝kx+3,
将点B （3,0）代入,
得0＝3k+3,
∴k＝﹣1,
∴直线l的解析式为y＝﹣x+3；
（2）△B C D 是直角三角形,理由如下：
如图1,过点D 作D H ⊥y 轴于点H ,
∵y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4,
∴顶点D （1,4）,
∵C （0,3）,B （3,0）,
∴HD ＝HC ＝1,OC ＝OB ＝3,
∴△D HC 和△OC B 是等腰直角三角形,
∴∠HC D ＝∠OC B ＝45°,
∴∠D C B ＝180°﹣∠HC D ﹣∠OC B ＝90°,
∴△B C D 是直角三角形；
（3）∵EF ⊥x 轴,∠OB C ＝45°,
∴∠FGB ＝90°﹣∠OB C ＝45°,
∴∠EGC ＝45°,
∴若△EC G 是直角三角形,只可能存在∠C EG ＝90°或∠EC G ＝90°,
①如图2﹣1,当∠C EG ＝90°时,
∵EF ⊥x 轴,
∴EF ∥y 轴,
∴∠EC O ＝∠C OF ＝∠C EF ＝90°,
∴四边形OFEC 为矩形,
∴y E ＝y C ＝3,
在y ＝﹣x 2+2x +3中,当y ＝3时,x 1＝0,x 2＝2,
∴E （2,3）；
②如图2﹣2,当∠EC G ＝90°时,
由（2）知,∠D C B ＝90°,
∴此时点E 与点D 重合,
∵D （1,4）,
∴E （1,4）,
综上所述,当△EC G 是直角三角形时,点E 的坐标为（2,3）或（1,4）．
19．解：（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx+B ,
由题意得,,
解得：,
∴y与x之间的函数解析式为y＝﹣10x+700；
（2）设每天的销售利润为W元,
由如图得,W＝（x﹣32）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1020x﹣22400＝﹣10（x﹣51）2+3610, ∵﹣10x+700≥240,
解得：x ≤46,
∴32＜x ≤46,
∵A ＝﹣10＜0,
∴当x ＜51时,W 随x 的增大而增大,
∴当x ＝46时,W 有最大值,最大利润是﹣10×（46﹣51）2+3610＝3360,
答：该礼盒每个售价定为46元时,每天的销售利润最大,最大利润是3360元．
20．解：（1）将点B （3,0）,点C （0,3）代入y ＝﹣x 2+B x +C 中, 则有
, ∴, ∴y ＝﹣x 2+2x +3；
（2）∵y ＝﹣x 2+2x +3,
∴对称轴为x ＝1,
∵C D ∥x 轴,
∴D （2,3）,
∴C D ＝2,
∵点B （3,0）,点C （0,3）,
∴B C 的直线解析式为y ＝﹣x +3,
设E （m ,﹣m 2+2m +3）,
∵EF ⊥C D 交线段B C 于点F ,
∴F （m ,﹣m +3）,
∴S 四边形EC FD ＝S △C D E +S △C D F ＝×2×（﹣m 2+2m ）+×2×m ＝﹣m 2+3m , 当m ＝时,四边形EC FD 的面积最大,最大值为；
此时E （,）；
（3）设P （n ,﹣n 2+2n +3）,
①当C P ⊥PB 时,设B C 的中点为J （,）,
则有PJ ＝ B C ＝,
∴（n ﹣）2+（﹣n 2+2n +3﹣）2＝（）2,
解得整理得到n（n﹣3）（n2﹣n﹣1）＝0, ∴n＝0或3或,
∵P在第一象限,
∴P点横坐标为；
②当C P⊥C B 时,P（1,4）．
∴P点横坐标为1；
综上所述：P点横坐标为或1．。