复合材料力学2-5章

第二章单向层合板的正轴刚度
本章的一些讲法与讲义次序不同，请同学们注意，另外一些在材料力已阐明的概念，如应力、应变等在这里不再强调，希望大家能自学与复习。

§2—1 正交各向异性材料的特点
●各向同性材料
●各向异性材料
我们这里所指的各向异性材料的特点仅仅是指在不同方向上材料的力学性质不同（机械性能）。

●正交各向异性材料
正交各向异性材料是一种特殊的各向异性材料。

其特点为: 这类材料有三个互相垂直的弹性对称面（与弹性对称面对称的点性质相同），在平行方向上的弹性质(力学特性)均相同。

如多层单向板，当不考虑纤维与基体性质的不均匀性，粘结层又很薄可以忽略，即把它写作“连续匀质”材料看，则三个弹性对称面
分别为：与单层平行的面及与它垂直的纵向、横向的两个切面。

板上任何两点，在平行方向上的力学性质是一样的。

把这三个弹性平面相交的三个轴称为弹性主轴，也称为正轴。

下图是一种典型的正交个向异性材料，当厚度很小时可处理为正交个向异性板。

用宏观力学处理连续纤维增强复合材料层压板结构时，总是把单向层板作为基本单元来分析层合板。

层合板的组成
增强纤维排列方向一致所粘合的薄层称单向(单层)板（层），有时把很多单层粘合在一起，各层的纤维排列方向均一致，也称单向板。

正轴的弹性常数
正交各向异性弹性体，1、2、3轴为它的弹性主轴，则沿这三个轴共有9各独立弹性常数。

1E 、2E 、3E ——杨氏模量； 12G 、13G 、23G ——剪切模量； 21v 、31v 、32v ——泊松系数。

21v 表示在1方向拉伸时在2方向产生的收缩效应系数；
同样，12v 表示在2方向拉伸时在1方产生的收缩效应系数。

1221v v ≠ 这点与各向同性材料不同。

并有关系式
212
121E v E v = 313131E v E v = 3
23232E v E v = ∴ 12
v
、13v 、23v 是不独立的系数。

顺便指出，有的文献定义12v 为1方向拉伸时在2方向的收缩系数。

对正交个向异性薄板，在力学分析中可作为平面应力问题处理，此时不考虑板厚方向的弹性效应。

如果设3方向为板厚方向，则上述弹性常数13G 、23G 、31v 、32v 在方程（εσ-关系）中不出现，因此，对这类问题独立的弹性常数只有4个：1E 、2E 、21v 、12G 及关系式：
2
12121E v E v = 对单向单层板，纤维方向与垂直纤维方向为弹性主轴，分别称为
纵轴（L ）和横轴（T ），这时正轴弹性常数也可表示为：
L E 、T E 、LT G 、TL v 及
T
LT
L
TL
E v E v =
§2—2 单层板面内弹性常数的确定
● 方法：有两种方法来确定单层板的四个正（主）轴弹性常数。

1、用细观力学中的计算公式； 2、由单向板试验确定；
从宏观力学研究的角度，都采用第二种方法来确定。

● 正轴拉（压）试验： 1. 纵向单轴试验：
1P ——载荷值； A ——板横截面面积。

L ——P 方向上的测量标距； L ∆——在P 作用下L 段的变形量；
l ——垂直P 方向上的测量标距，l ∆——在P 作用下横向变形量。

A P 11=σ L L ∆=1ε l
l ∆=2ε 则 111εσ=
E ， 1
221εε
-=v 说明：
A. 由拉伸或压缩载荷可得到t E 1和c E 1值，对碳/环氧材料，
t E 1和c E 1差别不大，有时不加区别；21v 基本相等，在应用中不必考虑其不同；
B. 通过试验还可以得到：
tu 1σ——拉伸强度； cu 1σ——压缩强度；
tu 1ε——拉伸极限应变； cu 1ε——压缩极限应变。

这些数据是强度计算、结构设计的主要参数。

C. 由于单层板太薄，难于进行试验，常把若干单层粘合成单向多 层板（如16层）进行试验，测出的数据作为单层板的数据。

2. 横向单轴试验
F P 22=
σ L L ∆=2ε l
l ∆=1ε 222εσ=
E 2
112εε-=v 同样可得到：tu 2σ、cu 2σ、tu 2ε、cu 2ε值。

3. 面内剪切试验
注意剪应力方向必须与面内主轴1或2一致。

测出板的剪应变12γ及剪应力12τ。

则 12
12
12γτ=
G 应力与应变的正负号规定 1. 应力：拉为正，压为负。

剪应力: 截面外法线与坐标轴正向一致时，剪应力方向与另一坐标轴方向一致时剪应力为正，反之为负。

两条同时满足或同时都不满足为正，一个满足另一个不满足为负。

或着说两个坐标轴正方向的夹角（直角）变小为正，变大为负。

上图所示的各应力均为正值。

2、应变：应力的正负号与应变的正负号是一致的，这样保证了计算中弹性常数为正值（泊松比除外）——符合常规物理意义。

● 应变——位移关系
应变——位移关系式只表示“几何关系”，所以，对各向异性材料表达式或各向同性材料，在小变形假设条件下略去二次以上的项，只保留线性项，有： z
u
x ∂∂=
ε y v y ∂∂=
ε x
v y u xy ∂∂+∂∂=
γ U ——z 方向位移，v ——y 方向位移 过程不再详述，见弹性力学。

§2—3 正轴应力——应变关系
● 正轴拉伸和偏轴拉伸
单向板条在单轴拉伸时，若载荷方向与其中一个弹性主轴一致，称为正轴拉伸，不一致时为偏轴拉伸。

正轴压缩、面内剪切也一样。

可推广到正交个向异性薄板。

● 正轴拉伸时的应力——应变关系
在线弹性和小变形假设条件下，正轴无拉（压）与剪切耦合，则不同载荷作用下应力（应变）可迭加，这样：
1σ 1ε、2ε
2σ 1ε、2ε 12τ 12γ
1、 当1σ单独作用时： 11
)1(1
E σε
=
在2方向应变为： 11
21)1(1
21)1(2
σε
ε
E v v -=-=
012=γ
2、当2σ单独作用时： 22)
2(2
E σε=
22
12
)
2(212)2(1σεεE v v -
=-= 012=γ
3、当只有剪应力作用时：LT G 1212
τγ=
01
=ε 02=ε
那么，当各个应力分量同时作用时，由迭加原理得：
⎪⎪⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎨
⎧=
-=+=-=+=1212121
12122)
2(2)1(2222
1211)
2(1)1(11
G E v E E v E τγσσεεεσσεεε
如果令 1111E S =
2
221E S = 21661G S =
2
12
12E S ν-
= 1
21
21E S ν-
= 2112S S =
)6,2,1,(=j i S ij ——柔量分量，应变——应力关系写成矩阵形式：
⎪⎭
⎪⎬
⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧12216622211211
12210
000τσσγεεS S S S S （2-15） 同样，也可以把应力用某些系数乘以应变来表示，即把S 矩阵求逆，这时应变前的系数称为模量分量，用 ij Q 表示)6,2,1,(=j i 即：
⎪⎭
⎪⎬
⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧1221662221121112210
000γεετσσQ Q Q Q Q （2-19） 所以，[ij Q ] 与 [ij S ] 矩阵互为逆阵。

通过对 [ij S ] 矩阵求逆得：
⎪⎭
⎪⎬⎫
======21
122
21211
12121266222111Q Q E mv Q E v Q G Q mE Q mE Q 式中 1
21
12)1(--=v v m ， ij Q = ji Q 即正轴柔量矩阵和正轴模量矩阵都是对称阵。

式（2-15）、（2-19）表示了单向板的正轴应力——应变关系，是以后要常用的。

两种特殊的单向层板 1、正方对称铺层的单向板
以纤维布为增强材料，经、纬线在径向和纬向都相同的经纬交织布铺设的单向层合板。

[见书P9图1-1（b ）]
这时: 21E E = 于是 2211S S =， 2211Q Q = （2-30） 材料的弹性常数又减少了一个，只有三个。

2、准各向同性的单向板
如三股纱彼此相隔060编织的纤维布+树脂做成的单层板（严格讲，它不能说是单向板）。

这种板除了满足(2-30)式关系外，还有：
⎪⎩
⎪
⎨⎧+=-=-=)1(2/)
(22/)(121166121166v E G S S S Q Q Q （2-31）
其中12G G =， 2112v v v ==弹性常数又减少一个，只有两个独立的。

例题（P23）：（要注意单位一致性） A 、根据基常数1E 、2E 、21v 、21G 计算ij S ； B 、根据应力i σ和ij S 计算i ε； C 、做应变图。

⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=+=12661222212122
121111τ
γσσεσσεS S S S S
a P ——2/m N a MP ——a P 610=26/10m N =2/mm N a GP ——a P 910
习题p26 2、4
§2-4 工程弹性常数的限制条件
一、 各向同性材料
泊松比范围为 2
1
0<
<μ 二、 正交各向异性材料
以1σ为例，当材料承受单向拉应力1σ时，应变能密度为：
2111112
1
21σσεS W ==
0>W ∴011>S ，同得: 0,6622>S S 另外： 2111112
1
21εσεQ W ==
得：0,,662211>Q Q Q
由：111mE Q = 得: 0)1(1221>-v v 代入
2
12
121E v E v = 得：
12212
E E v < 或 212
21E E v <
利用上述正交各向异性材料工程常数的限制条件，校核实验数据，证明它们在数学弹性模型范围内是否在物理上相容，否则可怀疑模型、实验数据。

第三章 应力转换和应变转换
一般情况下，作用于单层板的应力并不与纤维平行或垂直，单层板变形后的线应变也不沿纤维方向，必须进行应力和应变的转换。

应力转换按力的平衡关系进行，应变转换按几何关系进行。

对于复合材料，这种转换用的很多，也显得非常重要，大家要好好掌握这方面的知识和结论。

§3-1 转换的术语
两坐标夹角正负的规定
坐标系x 1oy 1逆时针转向坐标系x 2oy 2 时，转换角θ为正，反之为负。

单向复合材料
实际应用中多数都是从偏轴向正轴转换，因此，规定从偏轴到正轴反时针转向的角为正。

当θ为负值时，只要把—θ代入表达式运算即可。

§3-2 应力转换
当单向板受偏轴拉伸时，主轴方向的应力可以由单元体斜截面的平衡条件导出。

（a ）
（b ）
为了推导简单起见，取单位厚度，即1=h
则∑=0X 01sin 1cos 11121=⋅+⋅⋅-⋅⋅+⋅⋅θτθστσs s s y xy x x d d d d 把θcos ds dx =，θsin ds dy =代入得
0sin cos sin cos 121=⋅+-⋅⋅+⋅θτθσθτθσds ds ds ds xy x
消去ds 得： 0sin cos sin cos 121=⋅+-⋅+⋅θτθσθτθσxy x
同理∑=0y 得：0cos sin cos sin 121=+-+θτθσθτθσxy y 如果我们令： θcos =m
θsin =n
则有： ⎩⎨⎧+=++=-xy y xy
x m n m n n m n m τστστστσ121
121
解出1σ、12τ：
⎪⎩⎪⎨⎧-++-=++=xy y x xy y x
n m mn mn mn n m τσσττσσσ)(22212
2
21
由图（c ）得：
（c ）
xy y x mn m n τσσσ2222-+=
xy x
y n m mn τσστ)()(2212-+-= 写成矩阵形式
⎪⎭⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡---=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧xy y x n m mn
mn mn
m n mn
n m τσστσσ222222122122 （3-15） 说明：式（3-15）表示了从偏轴应力转到主轴应力的表达式。

但是，
这一关系式是普遍适用的，等式左端是新轴应力，右端是旧轴应力，从旧轴到新轴时，θ角反时针旋转代入正值，顺时针旋转代入负值。

为什么要进行应力转换，因为，强度准则是用主轴应力表示的，在偏轴情况下，不同方向有不同的强度值。

⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡---=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧122122222222τσστσσn m mn
mn mn
m n mn n m xy y x
§3-3 应变转换
应变量和位移量一样，是一个几何量，两个不同的坐标系之间的应变转换是一种几何关系转换，与材料的力学性质无关。

由讲义中图（3-3）的几何投影关系不难求出。

所以，我们只给出结果
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡---=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧xy y x n m mn
mn mn m n mn n m γεεγεε222222
122122 (3-28) 在（3-15）和（3-28）式中，转换系数矩阵元素都是m 、n 的幂函数，所以称为幂函数形式的转换公式。

若已知正轴应变，需要求解偏轴应变，公式为
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡---=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧1221222222
22γεεγεεn m mn
mn mn m n mn n m xy y x
第四章单向层合板的偏轴刚度
通常单层板或由单层板组成的层合板的普遍受载情况是外载荷与主轴方向不一致，即所谓的偏轴受载情况。

于是就有所谓的偏轴应力、偏轴应变。

本章目的是要推出偏轴应力与偏轴应变之间的关系，实际上就是其系数矩阵——即偏轴刚度（模量）和偏轴柔度（柔量）的转换。

§4-1 偏轴模量
偏轴用力——应变关系
推导步骤如图所示
偏轴应变正轴应力偏轴应力
1、 由1εε→x ，应变正转换：
xy y x mn n m γεεε++=221
xy y x mn m n γεεε-+=2
2
2
xy x
y n m mn γεεγ)(2)(2
212-+-= 2、由正轴εσ-关系式（2-19）得;
⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=+=12661222212122121111γ
τεεσεεσQ Q Q Q Q 3、用应力负转换（即把θ代入3-15式）得：
1222122τσσσmn n m x -+=
1222122τσσσmn m n y =+= ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡---2222
22
22n m mn
mn mn m n mn n m 122221)()(τσστn m mn xy -+-=
把前两组式子代入第三组，以x σ为例：
1266222121221211122)()(γεεεεσmnQ Q Q n Q Q m x -+++=
))((22122112xy y x mn n m Q n Q m γεε+++= ))((22222122xy y x mn m n Q n Q m γεε-+++ ()[]
xy x y n m mn mnQ γεε)(222266-+⋅--
()[]
x Q n m Q n Q n m Q m ε6622224122211442+++=
[]
y Q n m Q n m Q n m Q n m ε66222222124411224)(-++++
[]
xy Q n m mn Q mn nQ m Q mn nQ m γ6622223123123113)(2----++
如果把上式中x ε、y ε和xy γ的系数分别令为11Q 、12Q 及 16Q ，则上
式变成：
xy y x x Q Q Q γεεσ161211++=
同理可得：xy y x y Q Q Q γεεσ262221++= （4-9）
xy y x xy Q Q Q γεετ666261++=
⎪⎭
⎪⎬
⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧xy y x xy y x Q Q Q
Q Q Q Q Q Q γεετσσ6662
61262221161211 这就是偏轴的应力—应变关系式，式中ij Q （)6,2,1=⋅j i 称为偏轴模量或偏轴刚度。

模量转换式
由上面x σ的具体表达式可以得知：
662212222241141142Q n m Q n m Q n Q m Q +++= 66221224221122124)()(Q n m Q n m Q Q n m Q -+++= 6633123322311316)(2)(Q n m mn Q n m mn Q mn nQ m Q -+-++=
同样，由y σ的具体表达式可得出：
1221Q Q =
662212222241142242Q n m Q n m Q m Q n Q +++=
6633123322311326)()(Q mn n m Q mn n m nQ m Q mn Q -+-+-=
由xy τ的具体表达式可得：1661Q Q = 2662Q Q = 662212222222112266)(2Q n m Q n m Q n m Q n m Q -+--= 可按P36页（4-10）式写成矩阵形式
[]
()[][]
14461
6,⨯⨯⨯=ij
ij Q n m Q
（4-10）
上式中 θcos =m ， θsin =n θ仍为x 轴与1轴间的夹角，反
时针为正。

倍角函数形式的模量转换
根据三角函数理论有（θ44cos =m 可化成倍角函数表示的形式），即
[]θθθ4cos 2cos 438
1
cos 44++=
=m （4-11） 同理，n m 3、3mn 、22n m 、4n 均可化为θ2cos 、θ4cos 、θ2sin 、θ4sin 表示的形式见书（4-11）式，将这些倍角函数代入（4-10）式化简可把ij Q 用倍角三角函数来表示，其矩阵形式为：
⎪⎪⎪
⎪⎭⎪⎪⎪
⎪
⎬
⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡325411
26166612221114sin 2sin 21
4sin 2sin 21
4cos 4cos 4cos 2cos 4cos 2cos U U O
O O U O U U U Q Q Q Q Q Q ϑϑϑϑθθθθθθ （4-13）
其中 )4233(81661222111Q Q Q Q U +++=
)(21
22112Q Q U -=
)42(81
661222113Q Q Q Q U --+= （4-14）
)46(81
661222114Q Q Q Q U -++=
)42(8
1
661222115Q Q Q Q U +-+=
1U 到5U 也是表示材料刚度特性的常量，不过是一种综合常数。

因为，只有4个独立常数11Q 、22Q 、12Q 和66Q 。

所以1U 与5U 之间必然存在一个关系式，即1U 到4U 是独立的，5U 不独立。

有4152U U U -=（这种表达式对微积分很方便，比幂函数表达式好）
利用倍角函数转换式，要先算出51~U U ，再计算ij Q 不用（4-10）式中算4
m 。

关于模量分量的分析 1、模量分量的组成：
例：θθ4cos 2cos 32111U U U Q ++= 111122Q Q Q ≤≤即有一个常量和两个θ角倍频、四倍频余弦变量组成。

2、一阶不变量：
引入i U （5,2,1 =i ），即把（4-14）式中所有ij Q 均代以ij Q （偏轴模量）如：)4233(8
1661222111Q Q Q Q U +++= 同样有：52~U U
把ij Q 与ij Q 的关系式（4-15）代入，如：
[)4cos 2cos (3)4cos 2cos (38
1
3213211θθθθU U U U U U U +-+++=
])4cos (4)4cos (23534θθU U U U -+-+
[]54142681
U U U ++=
[])42(4)46(2)4233(6641
661222116612221166122211Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q +-++-++++++=)32162424(64166122211Q Q Q Q +++= 166122211)4233(8
1
U Q Q Q Q =+++= 即11U U =不随Q 而改变
同样得：θ2cos 22U U = θ4cos 33U U = 44U U = 55U U =
称1U 、4U 、5U 为一阶不变量，由于U 是ij Q 的函数，ij Q 只有四个独立量，故它们之间也不互相独立，有关系：4152U U U -=。

3、准各向同性材料的条件：
对准各向同性材料，各方向的刚度数值应一样，即模量分量（11Q ）不随角度的变化而变化。

如： θθ4cos 2cos 32111U U U Q ++= 要不随Q 变，只有032==U U 。

由2U 、3U 表达式得： 2211Q Q = 1211662Q Q Q -=
016=Q 026=Q
4、偏轴模量之间的关系：
正交各向异性板有四个独立的模量，即正轴时的11Q 、22Q 、12Q 和
66Q 。

现在对偏轴情况有六个模量11Q 、22Q 、12Q 、66Q 、16Q 和26Q 所以
它们之间必然存在两个关系式，是： 122211*********)(22Q Q Q U U Q Q Q ++=+=++
1266451266Q Q U U Q Q -=-=-
5、偏轴模量分量变化曲线之间的关系：
)()90(22011θθQ Q =+ )()90(26016θθQ Q =+
16422Q Q u -=θ 2622
422Q Q -=θ
（4-20)~（4~23）
§4-2 偏轴柔量
前面求偏轴模量是由偏轴应变导出了偏轴应力—应变的表达
式：{
}[]
{}x ij x Q εσ=。

要求偏轴柔量则是用偏轴应力导出偏应变——应力表达式。

即：{
}{}{}{}x x εεσσ→→→11 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡---=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧xy y x n m mn
mn mn
m n mn
n m τσστσσ22222
122122 ⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧221662221121112210
000τσσγεεS S S S S
⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡---=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧1221222
22222γεεγεεn m mn mn mn m n
mn n m xy y x
()[]⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪
⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧xy y x n m τσσγεε,1221 其推导过程与模量推导完全一样，也有幂函数关系式（4-25）和倍角函数关系(4-26),只是柔量的51~U U 与41~S S 的关系式中某些系数与模量相对应的式子不同，同学们要注意。

同样有关系式：)(2415U U U -=
11U U = 44U U = 55U U =
§4-3 偏轴工程弹性常数
偏轴工程弹性常数
1、定义：材料在偏轴向单轴受力时（拉、压或剪）的刚度特性。

2、特点：A 、是偏轴角θ的函数 B 、与偏轴柔量有直接关系 如果把 0≠x σ、0==xy y τσ代入
⎪⎭
⎪⎬
⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧xy y x xy y x S S S S S S S S S τσσγεε6662
61
262221161211
得 x x S σε11= 由于 εσE =
即有： 111S E x =
221
S E y = 1121S S V yz = 22
12S S V yz =
661
S G xy =
在x σ作用下，不但产生x ε、y ε，还会产生和xy γ，称为耦合。

C 、存在拉剪(剪拉)耦合系数——这是各向异性材料所特有的，也是正交各向异性薄板（单向单层板）偏轴拉（压、剪）时特有的。

定义：拉剪耦合系数：1161)()(,S S x x x xy x
xy ==εγη
22
62
)()
(,S S x y
x xy y xy =
=
εγη 22
16.S S y XY =η
剪拉耦合系数： 66
16
)()()
(,S S xy xy
xy x xy x =
=
γ
εη
66
26
,S S xy y =η
在η下标中，后面表示受载方向（面），前面的表示变形方向（变形面），如x XY .η表示在x 方向受单向载荷时，xy 面上的剪切变形系数。

同样有剪——拉、拉——剪耦合系数满足：
xy
xy
x x
x
xy G E ,,ηη=
xy
xy
y y
y
xy G E ,,ηη=
（4-54）
● 偏轴工程弹性常数之间的某些关系:
如果令：
11
22S S
a E E V V Y x xy
yx ===
11
66,,S S
b G E xy x xy x x xy ===ηη
22
66,,S S
c G E xy y xy y y xy ===ηη 例：已知x 方向模量与剪切模量的比值即刚度比，可求解耦合系数的比值，进而确定θ。

系数a 、b 、c 反映了在一定的偏轴角θ时的刚度比，都是偏轴角θ的函数，我们可以通过选取不同的θ角以获得不同的刚度比。

所以，以后研究不仅要单独研究x E 或y E ，还要研究它们的比值，就可知总体受力与变形情况。

● 偏轴工程弹性常数与正轴工程弹性常数的关系 1、演算过程
2、转换公式
θ
θ
θ
θ4
2
2
2
1
21
12
4
1
sin
1
cos
sin
)
2
1
(
cos
1
1
E
E
V
G
E
E
x
+
-
+
=
P47~48 （4-55）式耦合系数η对θ
sin是奇函数关系，θ角正负号影响其值的正负。

要注意。

3、弹性常数极值的求法：
因为偏轴工程常数是θ的函数，在某一确定角θ时取极值，按条件有：0
=
θd
dE
x，解θ，这对优化设计是有用的。

注意：单向层合板的材料性能极值并不一定发生在材料主轴方向
上，对具体情况作具体分析。

有时
x
E均大于L E、T E，有时x E均小于L E、T
E。

例1求图示碳/环氧单向复合材料板在
a
x
MP
40
=
σ作用下的应变值、波松系数yx
ν及耦合系数
x
xy,
η。

材料基本常数见P25页表2-2。

解; 0
30
-
=
θ
由表4-2及式（4-26）得：
132111)(69.472
1
81.72155.5156.694cos 2cos -=⋅+⨯-=++=a TP U U U S θθ 1341221)(88.142
1
81.797.104cos --=⋅
-=-==a TP U U S S θ 13216)(17.582
381.722355.514sin 22sin -=⋅⨯+⨯
=+=a TP U U S θθ μεσε190710190710401069.47661211=⨯=⨯⨯⨯==--x x S
μεσε5951059510401088.14661221-=⨯-=⨯⨯⨯-==--x y S
μεσγ232710232710401017.58661216=⨯-=⨯⨯⨯-==--x xy S
312.011
21
=-
=S S V yx 231.111
61
.==S S x XY η
变形示意图见上。

从这一例题可知，我们要善于利用讲义中所给的各种公式和已知数据，尽量简化计算过程，不必重复书中的推导过程。

例2 P53页
4、偏轴柔量与偏轴模量之间的演算; 我们知道： [][]1
-=ij ij S Q
它们之间的演算就是矩阵的求递运算，为了使大家计算方便，对这样的33⨯阶对称矩阵，我们给出了其递阵元素的求解公式，以后使用时可直接代公式，见书中P53页（4-63）式。

已知ij Q 求ij S 注意ij Q 表示是[]ij Q 的行列式，不是绝对值。

同样，当已知ij S 求ij Q 时，只要把等式左边换成ij Q ，右边换为ij S 即可。

第五章 单向层板的强度
§5-1 单向层合板的基本强度
复合材料单向层板的强度与金属材料不同，主要是复合材料的强度也是各向异性的，因此，必须用多强度指标和失效判据来估算板的强度，比金属材料复杂的多。

● 金属材料的强度指标
只有一个：s σ（或2.0σ）——塑性材料
s s στ)6.0~5.0(=，不是独立的强度指标
b σ——脆性材料
金属材料必须使用主应力，复合材料主应力概念不再适用，必须使用正轴应力或主轴应力。

● 复合材料的强度指标
复合材料的强度问题主要涉及： 强度指标 失效判据 基本强度指标共五个，分别为：
t X ——纵拉伸强度 c X ——纵压缩强度 t Y ——横拉伸强度 c Y ——横压缩强度
S ——面内剪切强度
拉压相同时为三个。

这些参数一般由典型的正轴单轴加载试验所确定。

例如：通过单向层合板纵向拉伸试验得到破坏时的u P ，
则; A P X u u t ==σ 偏轴剪应力方向
偏轴剪应力方向的正负对单层板的强度有很大影响：
§5-2 失效判据
对于各向同性材料，材料力学用“强度理论”来描述破坏条件， 例如最大拉应力理论认为：当结构在复杂应力状态时的最大拉应力达到了同样材料在单向拉伸时的极限应力，就认为结构破坏。

在各向异性材料中，用失效判据来代替强度理论，它与强度理论一样是一种假设。

失效判据
1. 最大应力失效判据
定义：不论什么应力状态，只要单向层合板正轴方向的任何一个应力分量达到极限应力时，材料就失效。

失效表达式
⎪⎩
⎪
⎨⎧
=====s
Y Y X
X c
t
c t 122211|| || τσσσσ或或 （5-1）
只要单层板内任一个正轴应力（主向应力）满足上述等式（或左端项大于右端项）就认为材料失效。

说明：A. 失效判据习惯上不写“≥”，但应注意“>”肯定是失效； B. 式（5-1）中表示了五个公式，是互相独立，求解时先把偏轴应力转换成正轴（主向）应力，再代入判据。

2. 最大应变失效判据
定义：不论什么应力状态，当单向层合板正轴向的任何一个应变分量达到极限应变时，材料就失效。

表达式为： xt εε=1 （或xc εε=1） yt εε=2 （或yt εε=2 (5-2)
s γγ=12
根据线弹性假设：⎪⎩⎪
⎨⎧=====122211S E Y E Y E X E X s
c yc t yt c xc t xt γεεεε （5-3） 利用正轴应力—应变式：
21
21
112121111
σσσσεE V E S S -=+= 于是（5-2）式可写成：21
21
1111σσεεE V E E X t xt -=== 则应变失效判据可写成用应力和基本强度表达的形式，所以有：
⎪⎩
⎪
⎨⎧==-=-S Y V X V t t
1211222211τσσσσ 或 ⎩⎨⎧=-=-c c Y V X V 11222211σσσσ
3．蔡—希尔（Tsai-Hill ）失效判据
由各向同性材料的形状改变必能理论推广而来。

表达式： 12
122
212
22
1=⎪⎭
⎫
⎝⎛+-⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫
⎝⎛S X Y X τσσσσ （5-10）
定义：当单向层合板的面内正轴应力（主向应力）满足上述判据式时，层板就失效。

说明：
A 、是从各向同性材料中的“形状改变必能”强度理论引申得来，本身无明确的物理意义。

B 、当01>σ，X 为t X ；01<σ，X 为c X ；同样当02>σ，Y 为t Y ；02<σ，Y 为c Y 。

用一个式子不能计算拉、压不同的材料，显然，当拉、压相同时可以。

C 、考虑了各应力（各单轴强度）之间的相互影响，对前一个判据有所改进。

D 、某些方面考虑不够(如何更全面考虑“耦合”效应，如何用一个表达式来描述拉、压)
§5-3 蔡-胡（Tsac-Wu ）失效判据
● 判据式
()1=+=i i j i ij i F F f σσσσ （6,2,1,=j i ） （5-11）
这是用指标表示法的简洁形式，把它展开后即为：
1
222662211622661162
666222221122111=++++++++σσσσσσσσσσσσF F F F F F F F F （5-12）
其中：6116F F = 6226F F =
式中126τσ=，)(i ij F F 是系数，由单轴试验或简单的双轴试验确定。

● 系数ij F 、i F 的确定
1. 正轴剪切应力6σ的正负对板强度无影响
即当6σ为负时，（5-12）式为：
1222662211622661162666222221122111=++--+++σσσσσσσσσσσσF F F F F F F F F
（5-13）
两式相减得： 02446662266116=++σσσσσF F F 由于1σ、2σ、6σ有任意多种组合，要满足上式，只有：
062616===F F F
于是（5-12）式变为：
1222112
666222221122111=+++++σσσσσσσF F F F F F （5-14）
2. 纵向拉伸和压缩试验：
由于（5-14）式适合任何应力状态，故也适应单向应力状态，在拉伸载荷下，t X =1σ， 062==σσ则（5-14）式变成：
112
11=+t t X F X F
在压缩载荷下，01<=c X σ。

则： 112
11=-c c X F X F
联立求解上二式得： c
t X X F 111= c t X X F 1
11-= 3. 横向拉伸和压缩试验。

分别取t Y =2σ和c Y =2σ 062==σσ 则得： c t Y Y F 122= c
t Y Y F 112-= 4. 面内剪切试验。

由于材料主向的剪切强度与剪应力正负号无关，因此，在上面已得出了6σ的奇函数项系数为0，在（5-14）中只有一项，把S =6σ代入得：
2661
S
F = 5. 12F 的确定：
在（5-14）式中共有六个基本强度系数，五个可由基本强度破坏试验确定，交叉项系数12F 与两个应力1σ、2σ有关，不能由材料的任
何单向实验来确定，必须采用双轴向加载试验，可取021σσσ==，
06=σ
而0σ是21σσ=，06=σ条件下达到破坏时的极限应力。

代入（5-14）
式，并考虑到以求得的系数得：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=2002012111111121σσσc t c t c t c t
Y Y X X Y Y X X F （5-15） 显然，这个理论包含了所有的强度指标，可以说这一理论更具有普遍性。

强度参数12F 的讨论;
1. 试验测定12F 的困难性：双轴试验较复杂，0σ值不易精确测定，现在还缺少标准试验方法来确定。

2. 12F 的取值范围：
考虑特殊情况：取06=σ。

c t X X =，c t Y Y = 则 0111=-=
c t X X F 01
12=-=c
t Y Y F 则（5-14）式可变成：12222221122111=++σσσσF F F （5-16） 从数学角度上分析式（5-16），这是一条平面上的二次曲线。

判
别式为： 2
122211F F F -
引入正则化强度参数化简方程：*
12F ，*i σ （2,1=i ）并令
2211*
121222111212F F F F F F F F =→=*
11
111111
F F *
*=→=σσσσ 22
2
22222
F F **
=
→=σσσσ
代入（5-16）式则可化为：
1222
2
1121
2=++*****σ
σσσ
F （5-17）
曲线判别式为：2121*-F
可能表示三种曲线之一，即：
由*
12F 的取值所决定。

从强度角度来说，这个曲线方程只能表示椭圆，也就是说，我们
要把*12F 的取值限制在椭圆情况内，如图所示。

于是只有012
12>-*
F ，即： 11112
<-<-*F
3. *
12F 近似值;
上面给出了取值范围，实际取多大值有待进一步研究。

在缺少可靠的双轴向试验数据时，Tsai 建议取：
2
112
-=*F
∴ 22
111212F F F F *
= 这是与各向同性材料中来赛斯（Mises ）判据对照得来的。

当0=xy τ时，Mises 准则可化为：
1212
2221=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s
s s σσσσσσσ 对各向同性材料，s
F σ1
11=
代入上式并注意到
s F σσσσ11111=
=* s
F σσσσ22222
==*
则有： 1212
22
1=-+*
***σσσσ （5-18） 与式(5-17)比较得：1212-=*F 即2
1
12-=*
F 。

应变空间中的失效判据
在平面应力空间中失效判据（5-11）中的应力，可以通过应力-应变关系，用应变来代替，则用指标表示时为： k ik i Q εσ=
)6,2,1,(=k i
6162121111εεεσQ Q Q ++=
代入（5-11）式得:
1=+i ij i f k if ik ij Q F Q Q F εεε )6,2,1,,,(=f k j i （5-19）
设： ⎭⎬⎫
==ij
i j if ik ij kf Q F G Q Q F G
于是有：
1=+j j f k kf G G εεε (5-20)
在单向板正轴向上，如同应力空间式子一样有： 062616===G G G 故（5-19）展开为：
1222112
666222221122111=+++++εεεεεεεG G G G G G （5-21）
式中; 21212211212121111211111111Q Q F Q Q F Q Q F Q Q F G +++=
21222121112211112Q F Q Q F Q F ++= 2
121112221222222222Q F Q Q F Q F G ++=
2212222
1222111212111112)(Q Q F Q Q Q F Q Q F G +++=
2
666666Q F G =
1221111Q F Q F G +=
2221212Q F Q F G += (5-22) 这样使用单向板的主向应变来判断是否失效。

偏轴下的失效判据
在一般情况下，需将偏轴应力转换成正轴应力，再代入相应的失效判据进行强度校核，但对于Tsai-Wu 判据，因为强度参数具有张量属性，使在偏轴时和正轴时判别式的数学形式一样。

这就可直接从偏轴应力来进行强度估算。

注意：这只是对Tsai-Wu 判据才有此属性，张量具有不变性。

由于在正轴时有两种表达形式：应力空间，应变空间。

1. 偏轴应力空间表达式
为了区别主轴应力和偏轴应力，设所有偏轴应力带上标“—”，如
1σσ=x 2σσ=y 6στ=xy
则主向应力为：
6221222122σσστσσσmn n m mn n m xy y x ++=++=
6221222σσσσmn m n -+=
262222112)(σσσστn m mn n mn y -+++-= 代入Tsai-Wu 应力式（5-14），展开归并得： 216622122224114)2(σF n m nF m F n F m +++
216622124422221122))((2σσF n m F n m F n m F n m -++++
2266221222224114)2(σF n m F n m F m F n ++++
266622122222221122))(844(σF n m F n m F n m F n m -+-++
6166331233223113))()(222(2σσF n m mn F n m mn F mn nF m -+-+-+
6266331233223113))()(222(2σσF mn n m F mn n m nF m F mn -+-+-+
1)(2)()(62122221212212=-+++++σσσF F mn F m F n F n F m
令各系数为：11F 、12F 、22F 、66F 、16F 、26F 、1F 、2F 、6F 。

则上式可写成：
622661162
666222221122111222σσσσσσσσσF F F F F F =++++
1662211=+++σσσF F F 那么这些系数可写成矩阵形式：
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥
⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------+=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡661222113
33333333333222222222224422222
22244222244261666122211)(222)(222)(84422F F F F mn n m mn n m n m mn n m mn n m mn mn n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m m n n m n m n m F F F F F F
（5-48）
⎪⎭
⎪
⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡212222
62122F F mn mn m n n m F F F （5-49）
说明：a. 形式与正轴情况一样，只是016≠F 、026≠F 、06≠F 。

b. ij ij F F ~之间的系数矩阵同柔量转换矩阵（4-25）完全一样所以这一转换相当于柔量转换。

c. 增加了矩阵形式（5-49） 倍角函数转换：
在柔量转换中有两种形式，除幂函数形式外，还有倍角函数形式，那么（5-48）式也同样可用倍角函数来表示。

⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎥
⎦⎤
⎢
⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-'
--=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡)(3)
(2)
(5)(4
)(1
)
(12616661222114sin 22sin 04sin 22sin 04cos 404cos 04cos 2cos 4cos 2cos F F F F F F U U I U U U U F F F F F F θθ
θθθθθθθθ
（5-50）
⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨
⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)(12)
(12
6212sin 202cos 212cos 1F F q P F F F θθθ （5-51） 说明：式（5-50）中的)(F i U (5,4,3,2,1=i )表达式与柔量转换时用的i U 相同，只是要求把P （4-27）中的ij S 换成ij F 。

2. 应变空间表达式
同样，可使用偏轴应变代入应变空间失效判据，这时ij ij G G ~的转换同模量ij ij Q Q ~转换。

⎥⎥⎥
⎥⎥⎥
⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------+=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡661222113
33333333333222222222224422222
2224422224
4
261666122211)(2)(2)(244242G G G G mn n m mn n m n m mn n m mn n m mn mn n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m m n n m n m n m G G G G G G （5-52）
⎪⎭
⎪
⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎣
⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2122
22621G G mn mn m n n m G G G （5-53）
同样，也有倍角转换形式：
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥
⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡-'
---=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡)(3)(2)
(5)(4
)(1)
(12616661222114sin 2sin 2
1
04sin 2sin 21
04cos 404cos 04cos 2cos 4cos 2cos G G G G G G U U I U U U U G G G G G G θθθθθθθθθθ （5-54）
当然，)(G i U 与模量式转换中的i U 表达式相同，只是把ij Q 换成ij G 即可。

例题1： 试用Tsai-Wu 判据求解碳/环氧单层板材料在045=θ偏轴下
的拉、压强度。

解; 01≠σ , 062==σσ→1111=+x x F F σσ 2245cos 0=
=m 2
245sin 0==n 66221222224114112F n m F n m F n F m F +++=
2)(97.217)5.50023.1027.370129.1(4
1
-=+⨯-+=
a GP 122121)(89.12)17.26387.0(2
1
-=+-=+=a GP F n F m F
代入判据式：0189.1297.212121=-+σσ 代入1σ解得：
a a a MP GP GP 2.10565.44105.004465.0)(97.212297
.212489.1289.1221-=⎩
⎨⎧-=⨯⨯+±-=σ
即材料在045=θ偏轴下受载时：
拉伸强度为a MP 65.44，压缩强度为a MP 2.105
例题2 试求由Tsai-Wu 判据求出碳/环氧材料在045=θ偏轴下的剪切
强度。

解： 021==σσ 06≠σ
∴ 判据为： 12662666=+σσF F
由表5-3得：2112266)(3.3924-=+=a GP F n m F 16)(56.26--=a GP F
∴0156.263.392626=--σσ
解得：a a Gp Gp ⎩⎨⎧=⎩⎨
⎧-=93
.2664
.9402693.009464.06σ
即正剪切时强度为a MP 64.94，负剪切时强度为a MP 93.26-
注：如何依据纤维方向，画受力后单层板的变形图？
§5-4 强度比
失效判据能方便地进行强度核算，代入即可，但在确定单向板的极限应力时就存在一定的困难，这是因为在一般情况下，单向板上有三个应力（),,1221τσσ同时作用，要通过一个判据来解出这三个应力极限值不可能（Tsai-Hill,Tsai-Wu ）
为解决这个问题，引入“强度比”概念，在一定假设条件下，利用这一参数就可解决极限应力问题。

强度比 1. 强度比定义：
在所作用的应力下，极限应力的某一分量与其对应的作用应力分 量的比值。

用R 表示，则有;
i
a i R σσ)
(=
（i=1、2、6） (5-56)
式中：i σ——作用的应力分量， )(a i σ——对应于i σ的极限应力分量。

2. 假设条件：
对于任一个作用的应力状态，各应力分量以确定的比例逐步增 加，直至失效。

于是(5-56)式可进一步写成;
6
62211)
()()(σσσσσσa a a R ===
(5-58) 各应力分量与载荷的关系
3. R 的特点
A 、1>R 时，表示失效，它的具体数值是板的安全余度的一种度量，例如:2=R ,表示该板还有一倍的强度余量，还可再加一倍的应力，板便失效。

B 、R 不能小于1.
各种失效判据的强度比方程; 1. Tsai-Wu 判据
由强度比方程可得： i i R a σσ=)( )6,2,1(=i
那么把强度值)(a i σ代入判据等式右边应该等于1，即应该满足失效判据，所以有:
1)()()(=+a F a a F i i j i ij σσσ
代入)(a i σ有： 01)(2
=-+R F R F i i j
i ij σσσ 上式中：ij F ，i F 是与材料有关的强度参数，是已知的。

i σ （6,2,1=i ）是我们计算时的外力作用时的应力值，也已知。

于是解出R 值两个根。

一个对应于给定的应力分量。

另一个对应于给定的应力大小相同方向相反的应力分量。

求出R 后可代入i
i a R σσ)
(=
式求出极限应力)(a i σ。

由于应力与应变的线性关系，所以还有：
i
a i i a i R εεσσ)()(=
=
说明：A 、对Tsai-Wu 判据可代i i R a σσ=)( （偏轴应力）
B 、对于其它判据也可写出强度比方程带入，写成用强度比表示的判据式，但必须都是正轴应力。

2. 最大应力判据
01=-X R σ 02=-Y R σ 012=-S R τ 01>σ时用t X ，01<σ时用c X 。

2σ同。

3. 最大应力判据
021=--X R V TL σσ 01>ε用t X ，01<ε用c X 。

012=--Y R V TL σσ 02>ε用t Y ，02<ε用c Y 。

4. Tsai-Hill 判据;
0122
1222
12221=-⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛R s x y x τσσσσ 注意： 01>σ用t X ，01<σ用c X 。

2σ同。

例题：单层板T300/648受力如图所示，求解在给定载荷下的强度比和恰好发生破坏时的载荷值（即Px 、Py 和Ps 的组合值）。

已知： MPa p x x 100-==σ MPa p y y 50-==σ
MPa p xy s 10-==τ 60=ϕ MPa X t 1120= MPa X c 785=
MPa Y t 5.27= MPa Y c 1.98= MPa S 7.44=
解： 60=ϕ 30-=θ θcos =m θsin =n
正轴应力：
⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧---=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡---=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧65.2616.7184.7822222222
1221xy y x n m mn
mn mn
m n mn
n m τσστσσ 设破坏应力为：
1)(1σσR a = 2)(2σσR a = 12)(6τσR a = 选Tsai-Hill 失效判据：。