2021年中考数学专题复习：轴对称与中心对称(含答案)

2020-2021中考专题复习：轴对称与中心对称
一、选择题
1. 如图，在△ABC中，∠ACB为钝角.用直尺和圆规在边AB上确定一点D.使∠ADC=2∠B，则符合要求的作图痕迹是()
2. 如图，线段AB与A'B'(AB=A'B')不关于直线l成轴对称的是()
3. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝22.5°，AB边的垂直平分线交BC于点D，则下列结论中错误的是()
A．∠ADC＝45°B．∠DAC＝45°
C．BD＝AD D．BD＝DC
4. 在汉字“生活中的日常用品”中，是轴对称图形的有()
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
5. 如图，已知钝角三角形ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.
步骤1:以点C为圆心，CA长为半径画弧①;
步骤2:以点B为圆心，BA长为半径画弧②，交弧①于点D;
步骤3:连接AD，交BC的延长线于点H.
则下列叙述正确的是()
A.BH垂直平分线段AD
B.AC平分∠BAD
C.S△ABC=BC·AH
D.AB=AD
6. 如图，已知菱形ABCD与菱形EFGH关于直线BD上的某个点中心对称，则点B的对称点是()
A．点E B．点F
C．点G D．点H
7. 把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换.结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形(如图0)的对应点所具有的性质是()
A.对应点所连线段与对称轴垂直
B.对应点所连线段被对称轴平分
C.对应点所连线段都相等
D.对应点所连线段互相平行
8. 把一张长方形纸片按图2①②所示的方式从右向左连续对折两次后得到图③，再在图③中挖去一个如图所示的三角形小孔，则重新展开后得到的图形是图3
中的()
二、填空题
9. 若点A(x＋3，2y＋1)与点A′(y－5，1)关于原点对称，则点A的坐标是________．
10. 如图，在△ABC中，已知AC=3，BC=4，点D为边AB的中点，连接CD，过点A作AE⊥CD于点E，将△ACE沿直线AC翻折到△ACE'的位置.若CE'∥AB，则CE'=.
11. 如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，E为BC上一点，把△CDE沿DE 折叠，使点C落在AB边上的F处，则CE的长为.
12. 如图，直线a，b垂直相交于点O，曲线C是以点O为对称中心的中心对称图形，点A的对称点是点A′，AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D.若OB＝3，OD＝2，则阴影部分的面积为________．
13. 在平面直角坐标系中，点P(4，2)关于直线x＝1的对称点的坐标是________．
14. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分∠BAC.若DE＝1，则BC的长是________．
15. 数学活动课上，两名同学围绕作图问题:“如图①，已知直线l和直线l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥直线l于点Q.”分别作出了如图②③所示的两个图形，其中作法正确的为图(填“②”或“③”).
16. 现要在三角地带ABC内(如图)建一座中心医院，使医院到A，B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请你确定这座中心医院的位置.
三、解答题
17. 已知:如图，AB=AC，DB=DC，点E在直线AD上.求证:EB=EC.
18. 如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A，B，C的坐标分别为(－2，4)，(－2，0)，(－4，1)，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
(1)画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
(2)平移△ABC，使点A移动到点A2(0，2)的位置，画出平移后的△A2B2C2，并写出点B2，C2的坐标；
(3)在△ABC，△A1B1C1中，△A2B2C2与________成中心对称，其对称中心的坐标为________.
19. 如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E.
(1)若∠BAC=50°，求∠EDA的度数;
(2)求证:直线AD是线段CE的垂直平分线.
20. 如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE分别与AB边和AC边交于点D 和点E，BC边的垂直平分线FG分别与BC边和AC边交于点F和点G，若△BEG 的周长为16，GE=3，求AC的长.
21. 如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
E、F分别是AC、AB边上的点，连接EF.
(1)如图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D
处，且使S
四边形ECBF ＝3S
△EDF
，求AE的长；
(2)如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M 处，且使MF∥CA.
①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；
②求EF的长．
22. 如图，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线
段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线
1
2
y x b
=-+交折线OAB
于点E．
（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；
（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．
2020-2021中考专题复习：轴对称与中心对称-
答案
一、选择题
1. 【答案】B[解析]∵∠ADC=2∠B，且∠ADC=∠B+∠BCD，∴∠B=∠BCD，∴点D在线段BC的垂直平分线上，故选B.
2. 【答案】A[解析] 选项A中，A'B'是由线段AB平移得到的，所以线段AB与A'B'不关于直线l成轴对称.
3. 【答案】D[解析] ∵AB的垂直平分线交BC于点D，∴AD＝BD，故C正确；∵AD＝BD，∴∠B＝∠BAD＝22.5°.∴∠ADC＝45°，故A正确；∠DAC＝90°－∠ADC＝90°－45°＝45°，故B正确．故选D.
4. 【答案】B[解析] 根据轴对称图形的定义，在汉字“生活中的日常用品”中，是轴对称图形的有“中”“日”“品”3个.故选B.
5. 【答案】A[解析] 如图，连接CD，BD.
∵CA=CD，BA=BD，
∴点C，B都在线段AD的垂直平分线上.
∴BH垂直平分线段AD.
故选A.
6. 【答案】D[解析] 由于点B，D，F，H在同一条直线上，根据中心对称的定义可知，只能是点B和点H是对称点，点F和点D是对称点．故选D.
7. 【答案】B[解析] 连接BB'交对称轴于点O，过点B作BM⊥对
称轴，垂足为M，过点B'作B'N⊥对称轴，垂足为N，由轴对称的
性质及平移的性质可得BM=B'N.又因为∠BOM=∠B'ON，∠
BMO=
∠B'NO=90°，所以△BOM≌△B'ON.所以OB=OB'.同理其他对应点也有这样的结论.
8. 【答案】C
二、填空题
9. 【答案】(6，－1) [解析] 依题意，得⎩⎨⎧x ＋3＝－（y －5），2y ＋1＝－1，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－1.∴点A 的坐标为(6，－1)．
10. 【答案】
[解析]如图，
作CH ⊥AB 于H.
由翻折可知:∠AE'C=∠AEC=90°，∠ACE=∠ACE'， ∵CE'∥AB ，∴∠ACE'=∠CAD ，∴∠ACD=∠CAD ，∴DC=DA.
∵AD=DB ，∴DC=DA=DB ，∴∠ACB=90°，∴AB==5，
∵·AB ·CH=AC ·BC ，∴CH=， ∴AH=
=，
∵CE'∥AB ，∴∠E'CH +∠AHC=180°， ∵∠AHC=90°，∴∠E'CH=90°， ∴四边形AHCE'是矩形， ∴CE'=AH=，故答案为.
11. 【答案】
[解析]设CE=x ，则BE=6-x.由折叠的性质可知，EF=CE=x ，
DF=CD=AB=10，
在Rt △DAF 中，AD=6，DF=10，∴AF=8， ∴BF=AB -AF=10-8=2，
在Rt △BEF 中，BE 2+BF 2=EF 2，即(6-x )2+22=x 2，解得x=，故答案为.
12. 【答案】6
[解析] 如图，过点A ′作A ′B ′⊥a ，垂足为B ′，由题意可知，①
与②关于点O 中心对称，所以阴影部分的面积可以看作四边形A ′B ′OD 的面积．又
A′D⊥b于点D，直线a，b互相垂直，可得四边形A′B′OD是矩形，所以其面积为3×2＝6.
13. 【答案】(－2，2)[解析] ∵点P(4，2)，∴点P到直线x＝1的距离为4－1＝3.∴点P关于直线x＝1的对称点P′到直线x＝1的距离为3.∴点P′的横坐标为1－3＝－2.
∴对称点P′的坐标为(－2，2)．
14. 【答案】3[解析] ∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE ＝1.
∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD.
∴∠B＝∠DAB.
∵∠DAB＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠DAB＝∠B.
∵∠C＝90°，∴∠CAD＋∠DAB＋∠B＝90°.
∴∠B＝30°.∴BD＝2DE＝2.
∴BC＝BD＋CD＝2＋1＝3.
15. 【答案】③
16. 【答案】解:作线段AB的垂直平分线EF，作∠BAC的平分线AM，EF与AM 相交于点P，则点P处即为这座中心医院的位置.
三、解答题
17. 【答案】
证明:连接BC.
∵AB=AC，DB=DC，
∴直线AD是线段BC的垂直平分线.
又∵点E在直线AD上，
∴EB=EC.
18. 【答案】
解：(1)△ABC关于原点O对称的△A1B1C1如图所示．
(2)平移后的△A2B2C2如图所示，其中点B2的坐标为(0，－2)，点C2的坐标为(－2，－1)．
(3)△A1B1C1(1，－1)
19. 【答案】
解:(1)∵∠BAC=50°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠BAC=25°.
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°.
∴∠EDA=90°-25°=65°.
(2)证明:∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°=∠ACB.
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE=∠DAC.
又∵AD=AD ，
∴△AED ≌△ACD.
∴AE=AC ，DE=DC.
∴点A ，D 都在线段CE 的垂直平分线上.
∴直线AD 是线段CE 的垂直平分线.
20. 【答案】
解:∵DE 垂直平分线段AB ，GF 垂直平分线段BC ，
∴EB=EA ，GB=GC.
∵△BEG 的周长为16，
∴EB+GB+GE=16.
∴EA+GC+GE=16.
∴GA+GE+GE+GE+EC=16.
∴AC+2GE=16.
∵GE=3，
∴AC=10.
21. 【答案】
(1)如解图①，
∵折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，
解图①
∴EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF ，
∴S △AEF ＝S △DEF ，
∵S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，
∴S 四边形ECBF ＝3S △AEF ，
∵S △ACB ＝S △AEF ＋S 四边形ECBF ，
∴S △ACB ＝S △AEF ＋3S △AEF ＝4S △AEF ， ∴14
△△AEF ACB S S ，
∵∠EAF ＝∠BAC ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°，
∴△AEF ∽△ABC ， ∴2△△（）AEF ACB S AE AB
S =， ∴214（
）=，AE AB 在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，
∴AB 2＝AC 2＋BC 2，
即AB ＝42＋32＝5，
∴(AE 5)2＝14，
∴AE ＝52；
(2)①四边形AEMF 是菱形．
证明：如解图②，
∵折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，
∴∠CAB ＝∠EMF ，AE ＝ME ，
又∵MF ∥CA ，
∴∠CEM ＝∠EMF ，
∴∠CAB ＝∠CEM ，
∴EM ∥AF ，
∴四边形AEMF 是平行四边形，而AE ＝ME ，
∴四边形AEMF 是菱形，
解图②
②如解图②，连接AM ，与EF 交于点O ，设AE ＝x ，则AE ＝ME ＝x ，EC ＝4－x ， ∵∠CEM ＝∠CAB ，∠ECM ＝∠ACB ＝90°，
∴Rt △ECM ∽Rt △ACB ，
∴EC AC ＝EM AB ，
∵AB ＝5，
∴445
-，x x =解得x ＝209， ∴AE ＝ME ＝209，EC ＝169，
在Rt △ECM 中，∵∠ECM ＝90°，
∴CM 2＝EM 2－EC 2，即CM 22EM EC -＝（209）2－（169）2＝43，
∵四边形AEMF 是菱形，
∴OE ＝OF ，OA ＝OM ，AM ⊥EF ，
∴S AEMF 菱形＝4S △AOE ＝2OE ·AO ，
在Rt △AOE 和Rt △ACM 中，
∵tan ∠EAO ＝tan ∠CAM ，
∴OE AO ＝CM AC ，
∵CM ＝43，AC ＝4，
∴AO ＝3OE ，
∴S AEMF 菱形＝6OE 2，
又∵S AEMF 菱形＝AE ·CM ，
∴6OE 2
＝209×43，解得OE ＝2109，
∴EF ＝2OE ＝4109.
22. 【答案】
(1)①如图2，当E 在OA 上时，由12
y x b =-+可知，点E 的坐标为(2b ,0)，OE ＝2b ．此时S ＝S △ODE ＝112122
OE OC b b ⋅=⨯⨯=． ②如图3，当E 在AB 上时，把y ＝1代入12
y x b =-+可知，点D 的坐标为(2b －2,1)，CD ＝2b －2，BD ＝5－2b ．把x ＝3代入12
y x b =-+可知，点E 的坐标为3(3,)2b -，AE ＝32b -，BE ＝52
b -．此时 S ＝S 矩形OABC －S △OAE － S △BDE －S △OCD
＝1315133()()(52)1(22)22222
b b b b -⨯-----⨯⨯- 252
b b =-+． (2)如图4，因为四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 关于直线DE 对称，因此DM ＝DN ，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN 是菱形． 作DH ⊥OA ，垂足为H ．由于CD ＝2b －2，OE ＝2b ，所以EH ＝2．
设菱形DMEN 的边长为m ．在Rt △DEH 中，DH ＝1，NH ＝2－m ，DN ＝m ，所
以12＋(2－m )2＝m 2．解得54
m =．所以重叠部分菱形DMEN 的面积为54．
图2 图3 图4
考点伸展
把本题中的矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如
图5），那么这个菱形的最小面积为1，如图6所示；最大面积为5
3
，如图7所示．
图5 图6 图7。