2019年春八年级数学下册第一部分新课内容第十八章平行四边形第26课时正方形(2)—判定(课时导学案

∴△AEF≌△BED（AAS）.
∴AF=BD.
∵AF∥BD，
∴四边形ADBF是平行四边形.
（2）当D为边BC的中点，且BC=2AC时，求证：四边形ACDF为 正方形． （2）∵CD=DB，AE=BE， ∴DE∥AC.∴∠FDB=∠C=90°.
∵AF∥BC，
∴∠AFD=∠FDB=90°.∴∠C=∠CDF=∠AFD=90°. ∴四边形ACDF是矩形. ∵BC=2AC，CD=BD，∴CA=CD. ∴矩形ACDF是正方形．
（2）若∠A=45°，求证：四边形DEBF是正方形． （2）∵∠ADB=90°，∠A=45°， ∴∠A=∠ABD=45°. ∴AD=BD. ∵E为AB的中点， ∴DE⊥AB，即∠DEB=90°.
∵四边形DEBF是菱形，
∴四边形DEBF是正方形.
9. 如图18-26-9，在△ABC中，∠C=90°，D为边BC上一点，E 为边AB的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连接 BF．（1）求证：四边形ADBF是平行四边形； 证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE=∠BDE. 在△AEF与△BED中，
∴∠B=∠D=∠C=90°.
∵△AEF是等边三角形， ∴AE=AF，∠AEF=∠AFE=60°. ∵∠CEF=45°，∴∠CFE=∠CEF=45°. ∴∠AFD=∠AEB=180°-45°-60°=75°.
∴△AEB≌△AFD（AAS）.∴AB=AD.
∴矩形ABCD是正方形．
7. 如图18-26-7，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分 ∠DCB，BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形BECF是正方形． 证明：∵BF∥CE，CF∥BE，
C．对角线互相垂直平分的菱形
D．对角线互相垂直平分且相等的四边形
知识点2：证明正方形 【例2】如图18-26-2，在△ABC中，∠ACB=90°，CD平分 ∠ACB，DE⊥BC,DF⊥AC，E，F是垂足，那么四边形CEDF是正 方形吗？说出理由． 解：四边形CEDF是正方形，理由如下. ∵∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC， ∴DE=DF，∠ECF= ∠CED=∠CFD=90°. ∴四边形CEDF是正方形．
第一部分
新课内容
第十八章 平行四边形
第26课时 正方形（2）——判定
核心知识
正方形的判定方法：①有一个角是直角的菱形是正方形； ②有一组邻边相等的矩形是正方形．
Байду номын сангаас型例题
知识点1：正方形的判定
【例1】 满足下列条件的四边形是正方形的是
A．对角线互相垂直平分的平行四边形
（
D
）
B．对角线互相平分且相等的矩形
（2）当∠A＝90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形,证 明你的结论． （2）解：四边形AFDE是正方形.证明如下： ∵∠A=90°，DE⊥AC,DF⊥AB, ∴四边形AFDE是矩形. 又∵Rt△BDF≌Rt△CDE, ∴DF=DE.∴矩形AFDE是正方形.
巩固训练
第1 关 4. 下列说法正确的是 A．有一个角是直角的四边形是正方形 B．有一组邻边相等的四边形是正方形 C．有一组邻边相等的矩形是正方形 D．四条边都相等的四边形是正方形 （ C ）
C．∠ABC=90°
D．OD=AC
2.如图18-26-3，在矩形ABCD中，∠BAF的平分线交BC于点E， ∠ABC的平分线交AD于点F．求证：四边形ABEF是正方形． 证明：∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=∠ABC=90°. 又∵AE平分∠BAD,BF平分∠ABC, ∴∠BAE=∠ABF=45°.∴∠AEB=∠AFB=45°.
∴AB∥CD，AB=CD．∴∠COE=∠BAE=90°．
∴ ACED是菱形．∵AB=AE，AB=CD，
∴AE=CD．∴菱形ACED是正方形．
变式训练
1. 如图18-26-1，在菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点O，添
加下列一个条件，能使菱形ABCD成为正方形的是 （
A．BD=AB
C
）
B．AC=AD
5. 下列说法正确的是 A．邻边相等的平行四边形是矩形 B．一组邻边相等的矩形是正方形 C．一组邻边互相垂直的四边形是菱形
（
B ）
D．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形
第2 关 6. 如图18-26-6，等边三角形AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边 BC，CD上，且∠CEF=45°．求证：矩形ABCD是正方形． 证明：∵四边形ABCD是矩形，
知识点3：正方形判定的综合运用 【例3】已知：如图18-26-4 ABCD中，O是CD的中点，连
接AO并延长，交BC的延长线于点E． （1）求证：△AOD≌△EOC； （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC．∴∠D=∠OCE，∠DAO=∠E． ∵O是CD的中点，∴OC=OD. 在△AOD和△EOC中， ∴△AOD≌△EOC（AAS）.
内部文件，请勿外传
在△ABE和△BAF中,
∴△ABE≌△BAF（AAS）.∴BE=AF,AE=BF. 又∵AF∥BE,∴四边形ABEF是矩形. 又∵∠BAE=∠AEB=45°,∴AB=BE. ∴矩形ABEF是正方形.
3．如图18-26-5，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC， DF⊥AB，垂足分别是点E,F，且BF＝CE． （1）求证：△ABC是等腰三角形； （1）证明： ∵BD=CD，BF=CE， ∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL）. ∴∠B=∠C． ∴△ABC是等腰三角形．
（2）连接AC和DE，当∠B=∠AEB=______°时，四边形 ACED是 45 正方形？请说明理由． （2）解:理由：∵△AOD≌△EOC，∴OA=OE．又 ∵OC=OD，∴四边形ACED是平行四边形． ∵∠B=∠AEB=45°，∴AB=AE，∠BAE=90°． ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形BECF是平行四边形.
又∵在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，
∴∠EBC=∠ECB=45°.
∴∠BEC=90°，BE=CE. ∴ BECF是正方形．
拓展提升
8. 如图18-26-8 ABCD中，∠ADB=90°，点E为AB边的中
点，点F为CD边的中点． （1）求证：四边形DEBF是菱形； 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，DC=AB. ∵点E为AB边的中点，点F为CD边的中点， ∴DF∥BE，DF=BE. ∴四边形DEBF是平行四边形. ∵∠ADB=90°，点E为AB边的中点， ∴DE=BE.∴ DEBF是菱形.