高考数学专题03数列求和问题（第二篇）（解析版）

⾼考数学专题03数列求和问题（第⼆篇）（解析版）
备战2020年⾼考数学⼤题精做之解答题题型全覆盖⾼端精品第⼆篇
数列与不等式【解析版】
专题03 数列求和问题
【典例1】【福建省福州市2019-2020学年⾼三上学期期末质量检测】
等差数列{}n a 的公差为2, 248,,a a a 分别等于等⽐数列{}n b 的第2项，第3项，第4项. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满⾜12
112n n n
c c c b a a a ++++=L ,求数列{}n c 的前2020项的和．【思路引导】
(1)根据题意同时利⽤等差、等⽐数列的通项公式即可求得数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)求出数列{}n c 的通项公式，再利⽤错位相减法即可求得数列{}n c 的前2020项的和.
解：(1)依题意得: 2324b b b =，所以2
111(6)(2)(14)a a a +=++ ，
所以22111112361628,a a a a ++=++解得1 2.a = 2.n a n ∴= 设等⽐数列{}n b 的公⽐为q ，所以34228
2,4
b a q b a ==== ⼜2224,422.n n n b a b -==∴=?= (2)由（1）知，2,2.n n n a n b ==因为1112
1212n n n n n
c c c c a a a a +--++++= ①当2n ≥时,
112
1212n n n c c c a a a --+++= ②由①-②得，2n n n
c a =，即12n n c n +=?，
⼜当1n =时，31122c a b ==不满⾜上式，1
8,1
2,2
n n n c n n +=?∴=?
≥ .
数列{}n c 的前2020项的和34202120208223220202S =+?+?++?
2342021412223220202=+?+?+?++?
设2342020202120201222322019220202T =?+?+?++?+? ③，则34520212022202021222322019220202T =?+?+?
++?+? ④，由③-④得：234202120222020222220202T -=++++-?
2202020222(12)2020212
-=-?-2022420192=--? ，
所以20222020201924T =?+，所以2020S =202220204201928T +=?+.
【典例2】【河南省三门峡市2019-2020学年⾼三上学期期末】
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满⾜221n S n n =-+，数列{}n b 中，2
+，对任意正整数2n ≥，113n
n n b b -??
+=
.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）是否存在实数µ，使得数列{}
3n
n b µ+是等⽐数列？若存在，请求出实数µ及公⽐q 的值，若不存在，请说明理由；
（3）求数列{}n b 前n 项和n T . 【思路引导】
（1）根据n S 与n a 的关系1112n n
n S n a S S n -=?=?-≥?即可求出；
（2）假设存在实数µ，利⽤等⽐数列的定义列式，与题⽬条件1331n n n n b b -?+?=，⽐较对应项系数即可
求出µ，即说明存在这样的实数；
（3）由（2）可以求出1111
(1)4312
n
n n b -??=?+?- ，所以根据分组求和法和分类讨论法即可求出．解：（1）因为2
21n S n n =-+，当1n =时，110a S ==；
当2n ≥时，22121(1)2(1)123n n n a S S n n n n n -=-=-+-----=-．故*0,1 23,2,n n a n n n N =?=?-∈?…
；
（2）假设存在实数µ，使得数列{}
3x
n b µ?+是等⽐数列，数列{}n b 中，2
13
3a b a =
+，对任意正整数2n (113)
n n b b -??+=
.可得116b =，且1331n n
n n b b -?+?=，由假设可得(
n n n b b µµ--?+=-?+，即1334n n n n b b µ-?+?=-，
则41µ-=，可得14µ=-
，可得存在实数14
µ=-，使得数列{}3n
n b µ?+是公⽐3q =-的等⽐数列；（3）由（2）可得11111133(3)(3)444n
n n n b b ---=-?-=?- ，则1111(1)4312n
n n b -??=?+?- ，则前n 项和11111111(1)1236431212
12n
n n T -
=+
+?+?+-+?+?-?? ? ????????? 当n 为偶数时，111111*********n n n T ??- =+=- ???- 当n 为奇数
时，11111115112311128312248313n n n n
T ??- =+=-+=- ????- 则51,21248311,2883
n
n n n k T n k ?-=-=??-=（*k N ∈）．
【典例3】【福建省南平市2019-2020学年⾼三上学期第⼀次综合质量检查】已知等⽐数列{}n a 的前n 项和为n S ，且( )*
21,n
n S a a n =?-∈∈R N
．
（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1
1
n n n n a b S S ++=
，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
【思路引导】
（1）利⽤临差法得到1
2n n a a -=?，再根据11a S =求得1a =，从⽽求得数列通项公式；
（2）由题意得1
11
2121
n n n b +=
---，再利⽤裂项相消法求和. 解：（1）当1n =时，1121a S a ==-.
当2n ≥时，1
12n n n n a S S a --=-=?()*,
因为{}n a 是等⽐数列，所以121a a =-满⾜()*式，所以21a a -=，即1a =，因此等⽐数列{}n a 的⾸项为1,公⽐为2,
所以等⽐数列{}n a 的通项公式1
2n n a -=.
（2）由（1）知21n
n S =-，
则1
1n n n n a b S S ++=,即()()
1
12112121
2121n n n n n n b ++==-----，所以121111111
113377152121n n n n T b b b +?
=++???+=-+-+-+???+- ? ? ? ?--?
,
所以11121
n n T +=-
-.
【典例4】【⼭东省⽇照市2019-2020学年上学期期末】
已知数列{}n a 的⾸项为2，n S 为其前n 项和，且()120,*n n S qS q n +=+>∈N （1）若4a ，5a ，45a a +成等差数列，求数列{}n a 的通项公式；
（2）设双曲线22
21n
y x a -=的离⼼率为n e ，且23e =，求2222
12323n e e e ne ++++L .
【思路引导】
（1）先由递推式()120,*n n S qS q n +=+>∈N 求得数列{}n a 是⾸项为2，公⽐为q 的等⽐数列，然后结合已知条件求数列通项即可；
（2）由双曲线的离⼼率为求出公⽐q ，再结合分组求和及错位相减法求和即可得解. 解：
解：（1）由已知，12n n S qS +=+，则212n n S qS ++=+，
两式相减得到21n n a qa ++=，1n ≥.⼜由212S qS =+得到21a qa =，
故1n n a qa +=对所有1n ≥都成⽴.
所以，数列{}n a 是⾸项为2，公⽐为q 的等⽐数列. 由4a ，5a ，45+a a 成等差数列，可得54452=a a a a ++，
所以54=2,a a 故=2q .所以*
2()n n a n N =∈.
（2）由（1）可知，1
2n n a q
-=，所以双曲线2
的离⼼率
n e ==
由23e =
=，得q =.
所以()(
)()()21
2
2
2
2
2
123231421414n n e e e n e q n q -++++?=++++++ ()
()()
21214122
n n n q nq -+=
++++，记()21
2123n n T q q nq -=++++①()()
2122221n n n q T q q n q
nq -=+++-+②
①-②得
()()
2212
2
222
1111n n n
nq q ---=++++-=-- 所以()
()()
()22222
2222211122121(1)111n
n n n n n n n q nq q nq T n n q q q q --=
-=-=-+?=-+----. 所以()()
222212121242
n n n n e e n e n +++++?=-+
+. 【典例5】已知数列{}n a 的各项均为正数，对任意*n ∈N ，它的前n 项和n S 满⾜()()1
126
n n n S a a =++，并且2a ，4a ，9a 成等⽐数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()1
11n n n n b a a ++=-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T .
【思路引导】
（1）根据n a 与n S 的关系，利⽤临差法得到13n n a a --=，知公差为3；再由1n =代⼊递推关系求1a ；
（2）观察数列{}n b 的通项公式，相邻两项的和有规律，故采⽤并项求和法，求其前2n 项和. 解：（1）Q 对任意*n ∈N ，有() ()1
126
n n n S a a =
++，①∴当1a =时，有()()11111
126
S a a a ==
++，解得11a =或2. 当2n ≥时，有()()1111
126
n n n S a a ---=
++.②①-②并整理得()()1130n n n n a a a a --+--=. ⽽数列{}n a 的各项均为正数，13n n a a -∴-=.
当11a =时，()13132n a n n =+-=-，此时2
429a a a =成⽴；
当12a =时，()23131n a n n =+-=-，此时2
429a a a =，不成⽴，舍去.
32n a n ∴=-，*n ∈N .
（2）2122n n T b b b =+++=L 12233445221n n a a a a a a a a a a +-+-+-L
()()()21343522121n n n a a a a a a a a a -+=-+-++-L
242666n a a a =----L ()2426n a a a =-+++L
246261862
n n n n +-=-?
=--.
【典例6】【2020届湖南省益阳市⾼三上学期期末】已知数列{}n a 的前n 项和为112
a =
，()1
122n n n S a ++=-. （1）求2a 及数列{}n a 的通项公式；
（2）若()1122
log n n b a a a =L ，11
n n n
c a b =
+，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【思路引导】
（1）利⽤临差法将递推关系转化成
2112
n n a a ++=，同时验证211
2a a =，从⽽证明数列{}n a 为等⽐数列，再利⽤通项公式求得n a ；
（2）利⽤对数运算法则得1
1221n
n c n n ??=+- ?+??
，再⽤等⽐数列求和及裂项相消法求和，可求得n T 。

解：（1）因为122S a =，所以214 a =，因为()1
122n n n S a ++=-，所以(
)2
122
2n n n S a +++=-，所以()()211212222n n n n n a a a +++++=---，
整理得
2112n n a a ++=，⼜因为112a =，211
2
a a =，所以数列{}n a 是⾸项为
12，公⽐为1
2
的等⽐数列，所以1
111222
n n n a -??
（2）()112121
2211
11(1)log log 22222n n n n n n b a a a -+==????? ????=L L ， 111
1221n n n n c a b n n ??=
+=+- ?+??
， 211111
112222122334
1n n T n n ??=++++-+-+-+?+- ?+??L
()1
2121221212
11n n n n +-??=
+-=- ?
-++??
. 【典例7】【湖南省五市⼗校2019-2020学年上学期期中】
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且220n n S a -+=，函数()f x 对任意的x ∈R 都有()()11f x f x +-=，数列{}n b 满⾜()120n b f f f n n =+++
…()11n f f n -
+
.
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）若数列{}n c 满⾜n n n c a b =?，n T 是数列{}n c 的前n 项和，求n T . 【思路引导】
由n S 求n a ，根据220n n S a -+=得22n n S a =-，再有1122n n n n S S a a ---=-得12n n a a -=即可求出n a 的通项公式；由() ()11f x f x +-=，根据倒序相加法可求n b .
解：（1）Q 220n n S a -+=即22n n S a =- 当1n =时，1122S a =-，∴12a =
当2n ≥时，1122n n S a --=-，∴1122n n n n S S a a ---=-，即12n n a a -=
∴{}n a 是等⽐数列，⾸项为12a =，公⽐为2，∴2n n a =.
Q ()()11f x f x +-=，∴111n f f n n -+= ? ?.
Q ()120n b f f f n n
=+++ ? ?????…()11n f f n -??++ ???.
∴()121n n n b f f f n n --
=+++ ? ?????…()01f n f ??
++
. ∴①+②，得21n b n =+，∴1
n n b +=
（2）Q n n n c a b =?，∴()1
12n n c n -=+?
∴012223242n T =?+?+?+…()112n n -++?. ①
1232223242n T =?+?+?+…()1212n n n n -+?++? ②
①－②得12
222n T -=+++…()1
212n n n -+-+?
即2n
n T n =?.
1. 【⼭东省聊城市2019-2020学年上学期期末】
已知等差数列{}n a ，14a =，前n 项和为n S ，各项为正数的等⽐数列{}n b 满⾜：11
2
b =
，5342b b b =-，949S b =.
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）在空间直⾓坐标系中，O 为坐标原点，存在⼀系列的点()
2,,1n
n n n P a c +-，(),1
,1n n Q b -，若n n OP OQ ⊥u u u r u u u u r
，求数列{}n c 的前n 项和n T .
【思路引导】
(1)由5342b b b =-列出⽅程求出q ，即可求得{}n b 的通项公式，由949S b =，利⽤等差数列的性质可求出
516a =，从⽽求得d ，最后得到等差数列{}n a 的通项公式；(2)由n n
OP OQ ⊥u u u r u u u u r 可得210n
n n n n a b b c +--=，将{}n a 和{}n b 的通项公式代⼊上式求出{}n c 的通项公式，⽤错位相减法即可求出n T . 解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，{}n b 的公⽐为q ，
∵5342b b b =-，∴2
21q q =-，得1
2
q =
，1q =-（舍），因为112b =，所以 1
112n n n b b q -==.∵949S b =，∴541992
a ?=，解得516a =，
⼜14a =，∴5
112
3514
a a d -===-，∴()41331n a n n =+-?=+. （2）由（1）得31n a n =+，1
2
n n b =.
∵n n
OP OQ ⊥u u u r u u u u r ，∴210n
n n n n a b b c +--=，∴312n n
n c +=. 23471031
2222
n n n T +=++++L ，①
①式等号两边同乘以12，得2341471031
22222
n n T n ++=++++，②
①-②得
231433*********n n n T n ++=++++-2311111
131
3222222
n
n n ++??=+++++- 111113122312212
n n n +??- ?+??=+?--1
73722n n ++=-.∴3772n n n T +=-.
2. 【2020届⼭东省潍坊市⾼三上学期期末考试数学试题】
已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为10，且124,,a a a 是等⽐数列{}n b 的前3项. (1)求,n n a b ; (2)设()
1
1n n n n c b a a =++，求{}n c 的前n 项和n S .
【思路引导】
（1）⾸先设等差数列的⾸项1a ，公差为d ，根据条件建⽴关于1,a d 的⽅程组，再求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）由（1）可知()1
121n n c n n -=+
+，数列{}
1
2n -是等⽐数列，按等⽐数列求和，数列()11n n +????
按照
裂项相消法求和.
解:(1)设数列{}n a 的公差为d ，由题意知: ()
1234114414+
46102
a a a a a d a d ?-+++==+= ①⼜因为124,,a a a 成等⽐数列，所以2
214a a a =?，()()2
1113a d a a d +=?+，
21d a d =，⼜因为0d ≠，所以1a d =. ②由①②得11,1a d ==，
所以n a n =，111b a ==，222b a == ，2
1
2b q b =
=，12n n b -∴= . (2)因为()1
111
12211n n n c n n n n --??=+
=+- ?++??
，
所以01
1
111
1122 (2)
1223
1n n S n n -??=++++-+-++- ?+??
121
1121
n n -=+-
-+121n n =-+ 所以数列{}n c 的前n 项和1
21
n
n S n =-
+. 3. 【2020届⼭东省济宁市⾼三上学期期末数学试题】已知等差数列{}n a 满⾜246a a +=,前7项和728S =. (1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)设()()
122121
n n n
n a a b +=++,求数列{}n b 的前n 项和n T .
【思路引导】
（1）利⽤等差数列公式计算得到答案.
（2）裂项得到()()
11
211
2121
2121n n n n n n a a b ++==-++++，代⼊数据计算得到答案. 解：
(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,由246a a +=可知33a =,前7项和728S =.
44a ∴=,解得11,1a d ==.()111n a n n ∴=+-=.
(2)()()
()()11
12211
2121
21212121n n n n n n n n n a a b +++===-++++++ {}n b ∴前n 项和12n n T b b b =+++ (12231)
11111
1212121212121n n +=-+-+???+- ? ? ?++++++
111321
n +=
-+. 4. 【2020届湖北省黄冈市⾼三上学期期末】
已知数列{}n a 满⾜11a =，141n n a a n ++=-，1n =，2，3?.
()1求数列{}n a 的通项；
()2设12233445212221n n n n n S a a a a a a a a a a a a -+=-+-+?+-，求n S ．
【思路引导】
()1利⽤数列的递推关系式推出114n n a a +--=，通过当n 为奇数，当n 为偶数，241222n n a n ?? =+-=-
，
分别求解通项公式；
()2化简()()()21343522121n n n n S a a a a a a a a a -+=-+-+?+-，然后求解数列的和即可．
解：()1141n n a a n ++=-Q ，1n =，2，3?①，
()1411n n a a n -∴+=--，2n =，3，4?②
-①②得114n n a a +--=，2n =，3?
当n 为奇数，1141212n n a n +??=+-=-
，当n 为偶数，241222n n a n ??
=+-=-
所以21,22,n n n a n n -?=?
-?
为奇数
为偶数；
()122334452122212n n n n n S a a a a a a a a a a a a -+=-+-+?+-，()()()21343522121n n n n S a a a a a a a a a -+=-+-+?+-。