高中数学新人教A版选修4-4 柱坐标系与球坐标系简介

四柱坐标系与球坐标系简介
1．柱坐标系
(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P 的位置可用有序数组(ρ，θ，z )(z ∈R)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z )之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ，θ，z )，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z ∈R.
(2)空间任意一点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z
.
2．球坐标系
(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，连接OP ，记|OP |＝r ，OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.这样点P 的位置就可以用有序数组(r ，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组(r ，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r ，φ，θ)叫做点P 的球坐标，记作P (r ，φ，θ)，其中r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π.
(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换关系为⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，
z ＝r cos φ.
[例1] (1)设点A 的直角坐标为(1，3，5)，求它的柱坐标． (2)已知点P 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫4，π
3，8，求它的直角坐标． [思路点拨] 直接利用变换公式求解．
[解] (1)由变换公式⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρ2＝x 2＋y 2
，
z ＝z ，
即ρ2＝12＋(3)2＝4，∴ρ＝2. tan θ＝y
x ＝3，又x ＞0，y ＞0.
∴θ＝π
3，∴点A 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，5. (2)由变换公式⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，
z ＝z
得x ＝4cos π3＝2，y ＝4sin π
3＝23，z ＝8.
∴点P 的直角坐标为(2,23，8)．
由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可设点的柱坐标为(ρ，θ，z )，代入变换公式⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z
求ρ，也可利用ρ2＝x 2＋y 2，求ρ.
利用tan θ＝y
x 求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的值；同理，可由柱坐标转化为直角坐标.
1．已知点M 的直角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标． 解：ρ＝
x 2＋y 2＝
02＋12＝1.
∵x ＝0，y ＞0，∴θ＝π
2，
∴点M 的柱坐标为⎝⎛⎭
⎫1，π
2，2. 2．将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标． (1)⎝⎛⎭⎫2，π6，1；(2)⎝⎛⎭⎫6，5π
3，－2；(3)()1，π，0. 解：设点的直角坐标为(x ，y ，z )． (1)∵(ρ，θ，z )＝⎝⎛⎭
⎫2，π
6，1，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝ρcos θ＝2cos π
6
＝3，
y ＝ρsin θ＝2sin π6
＝1，z ＝1，
∴(3，1,1)为所求．
(2)∵(ρ，θ，z )＝⎝⎛⎭⎫6，5π
3，－2， ∴⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝ρcos θ＝6cos 5π
3
＝3，y ＝ρsin θ＝6sin 5π3
＝－33，z ＝－2，
∴(3，－33，－2)为所求．
(3)∵(ρ，θ，z )＝(1，π，0)，∴⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝ρcos θ＝cos π＝－1，y ＝ρsin θ＝sin π＝0，
z ＝0，
∴(－1,0,0)为所求.
[例2] (1)已知点P 的球坐标为⎝⎛⎭⎫4，3π4， π
4，求它的直角坐标； (2)已知点M 的直角坐标为(－2，－2，－22)，求它的球坐标． [思路点拨] 直接套用坐标变换公式求解． [解] (1)由坐标变换公式得， x ＝r sin φcos θ＝4sin
3π4cos π
4
＝2， y ＝r sin φsin θ＝4sin 3π4sin π
4＝2，
z ＝r cos φ＝4cos 3π
4＝－22，
故其直角坐标为(2,2，－22)． (2)由坐标变换公式得，
r ＝x 2＋y 2＋z 2＝(－2)2＋(－2)2＋(－22)2＝4. 由r cos φ＝z ＝－22，得cos φ＝
－22r ＝－22，φ＝3π
4
. 又tan θ＝y x ＝1，则θ＝5π
4(M 在第三象限)
，
从而知M 点的球坐标为⎝
⎛⎭⎫4，3π4，5π4.
由直角坐标化为球坐标时，可设点的球坐标为(r ，φ，θ)，利用变换公式⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ
求出r ，φ，θ即可；也可以利用r 2＝x 2＋y 2＋z 2，tan θ＝y x ，cos φ＝z
r
来
求．要特别注意由直角坐标求球坐标时，要先弄清楚φ和θ所在的位置．
3．将下列各点的球坐标分别化为直角坐标． (1)⎝⎛⎭⎫2，π6，π3；(2)⎝⎛⎭⎫6，π3，2π
3. 解：设点的直角坐标为(x ，y ，z )． (1)∵(r ，φ，θ)＝⎝⎛⎭
⎫2，π6，π
3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝r sin φcos θ＝2sin π6cos π3＝1
2
，
y ＝r sin φsin θ＝2sin π6sin π3＝3
2，
z ＝r cos φ＝2cos π6
＝3，
∴⎝⎛⎭⎫12，32，3为所求．
(2)∵(r ，φ，θ)＝⎝⎛⎭
⎫6，π3，2π
3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝r sin φcos θ＝6sin π3cos 2π3＝－332
，
y ＝r sin φsin θ＝6sin π3sin 2π3＝9
2
，
z ＝r cos φ＝6cos π3
＝3，
∴⎝⎛⎭
⎫－
332，92，3为所求．
4．求下列各点的球坐标．
(1)M (1，3，2)；(2)N (－1,1，－2)． 解：(1)由变换公式得，
r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋(3)2＋22＝2 2. 由z ＝r cos φ，得cos φ＝z r ＝222＝22
，∴φ＝π
4，
又tan θ＝y x ＝31＝3，x ＞0，y ＞0，∴θ＝π
3，
∴它的球坐标为⎝⎛⎭⎫22，π4，π3. (2)由变换公式得，
r ＝x 2＋y 2＋z 2＝(－1)2＋12＋(－2)2＝2. 由z ＝r cos φ，得cos φ＝z r ＝－22，∴φ＝3π
4.
又tan θ＝y x ＝1－1＝－1，x ＜0，y ＞0，∴θ＝3π
4，
∴它的球坐标为⎝
⎛⎭⎫2，3π4，3π
4.
一、选择题
1．在球坐标系中，方程r ＝2表示空间的( ) A ．球 B ．球面 C ．圆
D ．直线
解析：选B r ＝2，表示空间的点到原点的距离为2，即表示球心在原点，半径为2的球面．
2．设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫2，π3，3 B.⎝⎛⎭⎫2，2π
3，3 C.⎝⎛⎭
⎫2，4π
3，3 D.⎝⎛⎭
⎫2，5π
3，3 解析：选C ρ＝(－1)2＋(－3)2＝2，∵tan θ＝y x ＝3，x <0，y <0，∴θ＝4π
3，又z
＝3，∴点M 的柱坐标为⎝⎛⎭
⎫2，4π
3，3. 3．若点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎫8，π3，5π
6，则它的直角坐标为( ) A ．(－6,23，4) B ．(6,23，4) C ．(－6，－23，4)
D ．(－6,23，－4)
解析：选A 由x ＝8sin π3cos 5π6＝－6，y ＝8sin π3sin 5π6＝23，z ＝8cos π
3＝4，得点
M 的直角坐标为(－6,23，4)．
4．若点M 的直角坐标为(3，1，－2)，则它的球坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫22，3π4，π6 B.⎝
⎛⎭⎫22，π4，π
6
C.⎝⎛⎭⎫22，π4，π3
D.⎝
⎛⎭⎫22，3π4，π
3 解析：选A 设M 的球坐标为(r ，φ，θ)，r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π，则r ＝(3)2＋12＋(－2)2＝22， 由22cos φ＝－2得φ＝3π
4
， 又tan θ＝
13＝33
，x >0，y ＞0，得θ＝π6，
∴点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎫22，3π4，π
6.故选A. 二、填空题
5．点P 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫4，π
6，3，则点P 到原点的距离为________． 解析：x ＝ρcos θ＝4cos π
6＝23，
y ＝ρsin θ＝4sin π
6
＝2.
即点P 的直角坐标为(23，2,3)，其到原点的距离为(23－0)2＋(2－0)2＋(3－0)2＝25＝5.
答案：5
6．点M (－3，－3,3)的柱坐标为________． 解析：ρ＝x 2＋y 2＝(－3)2＋(－3)2＝32，
∵tan θ＝－3－3＝1，x <0，y <0，∴θ＝5π
4，∴点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫32，5π4，3. 答案：⎝⎛⎭
⎫32，5π
4，3 7．已知点M 的直角坐标为(1,2,3)，球坐标为(r ，φ，θ)，则tan φ＝________，tan θ＝________.
解析：如图所示，tan φ＝x 2＋y 2z ＝5
3，tan θ＝y x ＝2.
答案：
53
2 三、解答题
8．设点M 的直角坐标为(1,1，2)，求点M 的柱坐标与球坐标． 解：由坐标变换公式，可得ρ＝x 2＋y 2＝2， ∵tan θ＝y x ＝1，x >0，y >0，∴θ＝π
4.
r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋(2)2＝2. 由r cos φ＝z ＝2(0≤φ≤π)，得cos φ＝
2r ＝22，φ＝π4
. 所以点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，2，球坐标为⎝⎛⎭
⎫2，π4，π
4. 9．已知点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，3，点N 的球坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，π2，求线段MN 的长度． 解：设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，由变换公式得，
x ＝ρcos θ＝2cos π4＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π
4＝1，z ＝3，∴点M 的直角坐标为(1,1,3)，
设点N 的直角坐标为(a ，b ，c )， 则a ＝ρsin φ·cos θ＝2×22×0＝0，b ＝ρsin φ·sin θ＝2×22×1＝2，c ＝ρcos φ＝2×2
2
＝2，
∴点N 的直角坐标为(0，2，2)．
∴|MN |＝12＋(1－2)2＋(3－2)2＝15－8 2.
10.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，如图所示建立空间直角坐标系A -xyz ，以Ax 为极轴．求点C 1的直角坐标，柱坐标以及球坐标．
解：点C 1的直角坐标为(1,1,1)，设点C 1的柱坐标为(ρ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，其中ρ≥0，r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π，
由坐标变换公式⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，
z ＝z ，
且⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，
得⎩⎪⎨⎪⎧ ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0)，且⎩⎪⎨⎪⎧
r ＝x 2＋y 2＋z 2
，cos φ＝z r ，
得⎩⎨⎧
ρ＝2，tan θ＝1，且⎩
⎪⎨⎪⎧
r ＝3，cos φ＝33.
结合图形，得θ＝π4，由cos φ＝3
3
得tan φ＝ 2.
所以点C 1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，1，球坐标为⎝⎛⎭⎫3，φ，π4，其中tan φ＝2，0≤φ≤π.。