数学建模-投篮最佳角度问题

所以tan θ是v2的严格单调减函数.由于
v2 g(H0 h0 (H0 h0 )2 S 2 ) vm2 (S) ，所以
max v2
tan( )

1 gS
vm2 (S)

H0 Sh0ຫໍສະໝຸດ (H0 S
h0
)2

1

tan 0
(S
).
解题过程
第五步：由此可得
0 (S )
回到运动方程（1）即
y x tan g 2v2 cos2
x2 ,设它过点
(S, H 0 h0 ), S [S0 R, S0 R] ，代入（1）并整理得
g (1 tan2 ) S tan (H0 h0 ) .
2v2
S2
解题过程
这是关于tan θ的一元二次方程，为使问题的 讨论有结果，取其一个较小的根
解题过程
故投射角应控制在以下范围:


arc
H tan[
0
h0

( H0 h0 )2 1]
及
S0 R
S0 R
arctan[ H0 h0 ( H0 h0 )2 1].
S0 R
S0 R
它与 H 0 , h0 , S0 的具体数值有关.
解题过程
第六步： 现设 S0 6m, R 0.2m, H0 3.05m, h0 2.9m
解题过程
又因为
d tan
dv 2

v4 2v2 (H0 h0 )g g 2S 2 v2 (H0 h0 )g gS v4 2v2 (H0 h0 )g g 2S 2

g2S 2 (H0 h0 )2 g 2
0,
gS(v4 2v2 (H0 h0 )g g2S 2 )
求最佳投射角度的问题可转化为求一个角度使 由弧OP1,OP2及直线P1P2所围图形面积 A( ) 为最大.
解题过程
第二步：
由动力学知以初速为v（方向与x轴成θ角）投
射物的运动轨迹方程为，
x v cos t,


y

v
sin


t

1 2
gt
2
.
消去t后得直角坐标下的表示式
y

x tan
解题方法
先通过几何图形及抛射体运动轨迹方程将 问题转化为求某一阴影部分面积关于角度的最 大值，又由于问题范围的限制再通过对初速度 的讨论并利用函数的单调性、极值知识求得该 问题的解.
解题过程
第一步： 建立坐标系，并设
P1P2为篮圈横截面，篮圈 高为H0，半径为R，投篮 出手点到篮圈中心水平距 离为S0，投篮出手高度为 h0,如图所示.
投篮最佳角度问题
篮球运动员在中距离投篮时投篮角度应在什么 范围内才使投射命中率最高（理想状态下）.再对 具体的一组数据进行结果分析.理想状态是指忽略 空气阻力、忽略投篮时他人的干扰、投篮的运动曲 线与篮圈中心在同一平面内等.
应用背景
体育
相关知识点
知识点一：定积分的几何应用 知识点二：函数的单调性 知识点三：函数的极值
由动力学知以初速为v方向与x轴成角投射物的运动轨迹方程为cosxvt???????????消去t后得直角坐标下的表示式21sin2yvtgt?222?tan2cosgyxxv???1设op1弧的方程为222?1tan2cosgyxxv???解题过程即满足初速v1为且与x轴成角又由于弧op1过点001hrsp??0h代入后得00022?210tan?

arctan[ H0 S
h0

( H0 h0 )2 1], S
可见θ0(S)是的单调减函数，所以
0 (S)

arc
H tan[
0
S0
h0 R

( H0 h0 )2 1] 及
S0 R
0 (S )

arctan[
H0 S0

h0 R

( H0 h0 )2 1]. S0 R
故得弧OP1方程为
y

x
tan

tan
(S0 R) (H0 (S0 R)2

h0
)
x2.
同理可得弧OP2方程为
y x tan tan (S0 R) (H0 h0 ) x2.
(S0 R)2
解题过程
第三步：
求面积 A( )
A( )
S0 R[x
2v2
g
cos2
x2.
（1）
设OP1弧的方程为
y

x tan
2v12
g
cos2
x2.
解题过程
即满足初速v1为且与x轴成θ角，又由于弧 OP1过点 P1(S0 R, H 0 h0 ) ，代入后得
g
2v12 cos2

tan (S0 R) (H0
(S0 R)2
h0 ) .
tan 1 (v2
gs
v4 2v2 (H0 h0 )g g 2S 2 ),
其中v2应满足 v4 2v2 (H0 h0 )g g 2S 2 0.
解得 v2 g(H0 h0 (H0 h0 )2 S 2 )
或 v2 g(H0 h0 (H0 h0 )2 S 2 ) （舍）.
0
tan

tan(
)(S0 (S0
R) (H0 R)2

h0 )x2 ]dx

S0 R[x
0
tan

tan(
)(S0 (S0
R) (H0 R)2

h0
)x2 ]dx

(H0

h0
)2R

2 3
S0R
tan(
)

4 3
R(H0

h0
).
解题过程
第四步：
从A(θ)的表达式可知，当tan θ越大（ θ <90o），则 A(θ)越大.而实际上， tan θ只可能在某一范围内变化，故 应求出tan θ的变化范围，从第二步的分析中得知, tan θ与 初速v有关，故设法通过它们的关系求出的tan θ变化范围.
代入第五步讨论所得投射角范围进行计算，得 计算结果为 45.69 45.74
此时应以约45o角投射命中率最高.