全等三角形创新题举例
全等三角形经典例题(含答案)
全等三角形证明题精选一．解答题（共30小题）1．四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若AC与BD相交于点O，求证：AO=CO．2．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D．（1）求证：AC∥DE；（2）若BF=13，EC=5，求BC的长．3．如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE．求证：BE=CD．4．如图，点O是线段AB和线段CD的中点．（1）求证：△AOD≌△BOC；（2）求证：AD∥BC．5．如图：点C是AE的中点，∠A=∠ECD，AB=CD，求证：∠B=∠D．6．如图，已知△ABC和△DAE，D是AC上一点，AD=AB，DE∥AB，DE=AC．求证：AE=BC．7．如图，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，EF=BF．求证：AF=DF．8．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：AB∥DE．9．如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB求证：AE=CE．10．如图，点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，求证：DE=CF．11．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD．求证：AE=FB．12．已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．（1）求证：BD=CE；（2）求证：∠M=∠N．13．如图，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE=CD．求证：AB=AC．14．如图，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB=CE，AC=CD．求证：∠B=∠E．15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．（1）求证：AB=AC；（2）若AD=2，∠DAC=30°，求AC的长．16．如图，Rt△ABC≌Rt△DBF，∠ACB=∠DFB=90°，∠D=28°，求∠GBF的度数．17．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：△ABC≌△BAD．18．已知：如图，点B、F、C、E在一条直线上，BF=CE，AC=DF，且AC∥DF．求证：△ABC≌△DEF．19．已知：点A、C、B、D在同一条直线，∠M=∠N，AM=CN．请你添加一个条件，使△ABM≌△CDN，并给出证明．（1）你添加的条件是：；（2）证明：．20．如图，AB=AC，AD=AE．求证：∠B=∠C．21．如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．求证：BE=CF．22．一个平分角的仪器如图所示，其中AB=AD，BC=DC．求证：∠BAC=∠DAC．23．在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形（其中点B、F、C、E在同一直线上），并写出四个条件：①AB=DE，②BF=EC，③∠B=∠E，④∠1=∠2．请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明．题设：；结论：．（均填写序号）证明：24．如图，在△ABC和△DEF中，AB=DE，BE=CF，∠B=∠1．求证：AC=DF．（要求：写出证明过程中的重要依据）25．如图，已知AB=DC，AC=DB．求证：∠1=∠2．26．如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，BE与CD相交于O点．现有四个条件：①AB=AC；②OB=OC；③∠ABE=∠ACD；④BE=CD．（1）请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正确的命题：命题的条件是和，命题的结论是和（均填序号）；（2）证明你写出的命题．27．如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=DC，请问图中有哪几对全等三角形并任选其中一对给予证明．28．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，点E是BC边上的中点．求证：AE=DE．29．如图，给出下列论断：①DE=CE，②∠1=∠2，③∠3=∠4．请你将其中的两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明．30．已知：如图，∠ACB=90°，AC=BC，CD是经过点C的一条直线，过点A、B分别作AE⊥CD、BF⊥CD，垂足为E、F，求证：CE=BF．全等三角形证明题精选参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2016•连云港）四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若AC与BD相交于点O，求证：AO=CO．【分析】（1）根据已知条件得到BF=DE，由垂直的定义得到∠AED=∠CFB=90°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）如图，连接AC交BD于O，根据全等三角形的性质得到∠ADE=∠CBF，由平行线的判定得到AD∥BC，根据平行四边形的性质即可得到结论．【解答】证明：（1）∵BE=DF，∴BE﹣EF=DF﹣EF，即BF=DE，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED=∠CFB=90°，在Rt△ADE与Rt△CBF中，，∴Rt△ADE≌Rt△CBF；（2）如图，连接AC交BD于O，∵Rt△ADE≌Rt△CBF，∴∠ADE=∠CBF，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．2．（2016•曲靖）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D．（1）求证：AC∥DE；（2）若BF=13，EC=5，求BC的长．【分析】（1）首先证明△ABC≌△DFE可得∠ACE=∠DEF，进而可得AC∥DE；（2）根据△ABC≌△DFE可得BC=EF，利用等式的性质可得EB=CF，再由BF=13，EC=5进而可得EB的长，然后可得答案．【解答】（1）证明：在△ABC和△DFE中，∴△ABC≌△DFE（SAS），∴∠ACE=∠DEF，∴AC∥DE；（2）解：∵△ABC≌△DFE，∴BC=EF，∴CB﹣EC=EF﹣EC，∴EB=CF，∵BF=13，EC=5，∴EB==4，∴CB=4+5=9．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．3．（2016•孝感）如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE．求证：BE=CD．【分析】要证明BE=CD，只要证明AB=AC即可，由条件可以求得△AEC和△ADB全等，从而可以证得结论．【解答】证明；∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，∴∠ADB=∠AEC=90°，在△ADB和△AEC中，∴△ADB≌△AEC（ASA）∴AB=AC，又∵AD=AE，∴BE=CD．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．4．（2016•湘西州）如图，点O是线段AB和线段CD的中点．（1）求证：△AOD≌△BOC；（2）求证：AD∥BC．【分析】（1）由点O是线段AB和线段CD的中点可得出AO=BO，CO=DO，结合对顶角相等，即可利用全等三角形的判定定理（SAS）证出△AOD≌△BOC；（2）结合全等三角形的性质可得出∠A=∠B，依据“内错角相等，两直线平行”即可证出结论．【解答】证明：（1）∵点O是线段AB和线段CD的中点，∴AO=BO，CO=DO．在△AOD和△BOC中，有，∴△AOD≌△BOC（SAS）．（2）∵△AOD≌△BOC，∴∠A=∠B，∴AD∥BC．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定定理，解题的关键是：（1）利用SAS证出△AOD≌△BOC；（2）找出∠A=∠B．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的判定定理证出两三角形全等，结合全等三角形的性质找出相等的角，再依据平行线的判定定理证出两直线平行即可．5．（2016•云南）如图：点C是AE的中点，∠A=∠ECD，AB=CD，求证：∠B=∠D．【分析】根据全等三角形的判定方法SAS，即可证明△ABC≌△CDE，根据全等三角形的性质：得出结论．【解答】证明：∵点C是AE的中点，∴AC=CE，在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE，∴∠B=∠D．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定方法：SSS，SAS，ASA，AAS，直角三角形还有HL．6．（2016•宁德）如图，已知△ABC和△DAE，D是AC上一点，AD=AB，DE∥AB，DE=AC．求证：AE=BC．【分析】根据平行线的性质找出∠ADE=∠BAC，借助全等三角形的判定定理ASA证出△ADE≌△BAC，由此即可得出AE=BC．【解答】证明：∵DE∥AB，∴∠ADE=∠BAC．在△ADE和△BAC中，，∴△ADE≌△BAC（ASA），∴AE=BC．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．7．（2016•十堰）如图，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，EF=BF．求证：AF=DF．【分析】欲证明AF=DF只要证明△ABF≌△DEF即可解决问题．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠B=∠FED，在△ABF和△DEF中，，∴△ABF≌△DEF，∴AF=DF．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判断和性质，熟练掌握平行线的性质，属于基础题，中考常考题型．8．（2016•武汉）如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：AB∥DE．【分析】证明它们所在的三角形全等即可．根据等式的性质可得BC=EF．运用SSS证明△ABC与△DEF全等．【解答】证明：∵BE=CF，∴BC=EF，在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠ABC=∠DEF，∴AB∥DE．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定．全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等．9．（2016•昆明）如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB求证：AE=CE．【分析】根据平行线的性质得出∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，再根据全等三角形的判定定理AAS得出△ADE≌△CFE，即可得出答案．【解答】证明：∵FC∥AB，∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AE=CE．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理SSS、SAS、ASA、AAS、HL是解题的关键．10．（2016•衡阳）如图，点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，求证：DE=CF．【分析】求出AD=BC，根据ASA推出△AED≌△BFC，根据全等三角形的性质得出即可．【解答】证明：∵AC=BD，∴AC+CD=BD+CD，∴AD=BC，在△AED和△BFC中，，∴△AED≌△BFC（ASA），∴DE=CF．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，能求出△AED≌△BFC是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等．11．（2016•重庆）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD．求证：AE=FB．【分析】根据CE∥DF，可得∠ACE=∠D，再利用SAS证明△ACE≌△FDB，得出对应边相等即可．【解答】证明：∵CE∥DF，∴∠ACE=∠D，在△ACE和△FDB中，，∴△ACE≌△FDB（SAS），∴AE=FB．【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质；熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．12．（2016•南充）已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．（1）求证：BD=CE；（2）求证：∠M=∠N．【分析】（1）由SAS证明△ABD≌△ACE，得出对应边相等即可（2）证出∠BAN=∠CAM，由全等三角形的性质得出∠B=∠C，由AAS证明△ACM≌△ABN，得出对应角相等即可．【解答】（1）证明：在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE；（2）证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE，即∠BAN=∠CAM，由（1）得：△ABD≌△ACE，∴∠B=∠C，在△ACM和△ABN中，，∴△ACM≌△ABN（ASA），∴∠M=∠N．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．13．（2016•恩施州）如图，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE=CD．求证：AB=AC．【分析】通过全等三角形（Rt△CBE≌Rt△BCD）的对应角相等得到∠ECB=∠DBC，则AB=AC．【解答】证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠CEB=∠BDC=90°．∵在Rt△CBE与Rt△BCD中，，∴Rt△CBE≌Rt△BCD（HL），∴∠ECB=∠DBC，∴AB=AC．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．14．（2016•重庆）如图，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB=CE，AC=CD．求证：∠B=∠E．【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ECD，再利用“边角边”证明△ABC和△CED全等，然后根据全等三角形对应角相等证明即可．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ECD，在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED（SAS），∴∠B=∠E．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并找出两边的夹角是解题的关键．15．（2016•湖北襄阳）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．（1）求证：AB=AC；（2）若AD=2，∠DAC=30°，求AC的长．【分析】（1）先证明△DEB≌△DFC得∠B=∠C由此即可证明．（2）先证明AD⊥BC，再在RT△ADC中，利用30°角性质设CD=a，AC=2a，根据勾股定理列出方程即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，在RT△DEB和RT△DFC中，，∴△DEB≌△DFC，∴∠B=∠C，∴AB=AC．（2）∵AB=AC，BD=DC，∴AD⊥BC，在RT△ADC中，∵∠ADC=90°，AD=2，∠DAC=30°，∴AC=2CD，设CD=a，则AC=2a，∵AC2=AD2+CD2，∴4a2=a2+（2）2，∵a＞0，∴a=2，∴AC=2a=4．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形30°性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，记住直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，属于中考常考题型．16．（2016•吉安校级一模）如图，Rt△ABC≌Rt△DBF，∠ACB=∠DFB=90°，∠D=28°，求∠GBF的度数．【分析】根据全等三角形的性质得到CD=AF，证明∴△DGC≌△AGF，根据全等三角形的性质和角平分线的判定得到∠CBG=∠FBG，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵Rt△ABC≌Rt△DBF，∠ACB=∠DFB=90°，∴BC=BF，BD=BA，∴CD=AF，在△DGC和△AGF中，，∴△DGC≌△AGF，∴GC=GF，又∠ACB=∠DFB=90°，∴∠CBG=∠FBG，∴∠GBF=（90°﹣28°）÷2=31°．【点评】本题考查的是全等三角形的性质角平分线的判定，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．17．（2016•武汉校级四模）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：△ABC≌△BAD．【分析】由垂直的定义可得到∠C=∠D，结合条件和公共边，可证得结论．【解答】证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C=∠D=90，在Rt△ACB和Rt△BDA中，，∴△ACB≌△BDA（HL）．【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．18．（2016•济宁二模）已知：如图，点B、F、C、E在一条直线上，BF=CE，AC=DF，且AC∥DF．求证：△ABC≌△DEF．【分析】求出BC=FE，∠ACB=∠DFE，根据SAS推出全等即可．【解答】证明：∵BF=CE，∴BF+FC=CE+FC，∴BC=FE，∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．19．（2016•诏安县校级模拟）已知：点A、C、B、D在同一条直线，∠M=∠N，AM=CN．请你添加一个条件，使△ABM≌△CDN，并给出证明．（1）你添加的条件是：∠MAB=∠NCD；（2）证明：在△ABM和△CDN中∵∠M=∠N，AM=CM，∠MAB=∠NCD∴△ABM≌△CDN（ASA）．．【分析】判定两个三角形全等的一般方法有：ASA、SSS、SAS、AAS、HL，所以可添加条件为∠MAB=∠NCD，或BM=DN或∠ABM=∠CDN．【解答】解：（1）你添加的条件是：①∠MAB=∠NCD；（2）证明：在△ABM和△CDN中∵∠M=∠N，AM=CM，∠MAB=∠NCD∴△ABM≌△CDN（ASA），故答案为：∠MAB=∠NCD；在△ABM和△CDN中∵∠M=∠N，AM=CM，∠MAB=∠NCD∴△ABM≌△CDN（ASA）．【点评】本题考查三角形全等的性质和判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：ASA、SSS、SAS、AAS、HL（在直角三角形中）．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．20．（2016•屏东县校级模拟）如图，AB=AC，AD=AE．求证：∠B=∠C．【分析】要证∠B=∠C，可利用判定两个三角形全等的方法“两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等”证△ABE≌△ACD，然后由全等三角形对应边相等得出．【解答】证明：在△ABE与△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠B=∠C．【点评】本题主要考查了两个三角形全等的其中一种判定方法，即“边角边”判定方法．观察出公共角∠A是解决本题的关键．21．（2016•沛县校级一模）如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．求证：BE=CF．【分析】易证△BED≌△CFD，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题．【解答】解：∵BE⊥AE，CF⊥AE，∴∠BED=∠CFD=90°，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS），∴BE=CF．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中找出全等三角形并证明是解题的关键．22．（2016•福州）一个平分角的仪器如图所示，其中AB=AD，BC=DC．求证：∠BAC=∠DAC．【分析】在△ABC和△ADC中，由三组对边分别相等可通过全等三角形的判定定理（SSS）证得△ABC≌△ADC，再由全等三角形的性质即可得出结论．【解答】证明：在△ABC和△ADC中，有，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC．【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，解题的关键是证出△ABC≌△ADC．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的判定定理证出两三角形全等是关键．23．（2012•漳州）在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形（其中点B、F、C、E 在同一直线上），并写出四个条件：①AB=DE，②BF=EC，③∠B=∠E，④∠1=∠2．请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明．题设：可以为①②③；结论：④．（均填写序号）证明：【分析】此题可以分成三种情况：情况一：题设：①②③；结论：④，可以利用SAS定理证明△ABC≌△DEF；情况二：题设：①③④；结论：②，可以利用AAS证明△ABC ≌△DEF；情况三：题设：②③④；结论：①，可以利用ASA证明△ABC≌△DEF，再根据全等三角形的性质可推出结论．【解答】情况一：题设：①②③；结论：④．证明：∵BF=EC，∴BF+CF=EC+CF，即BC=EF．在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠1=∠2；情况二：题设：①③④；结论：②．证明：在△ABC和△DEF中，∵，∴△ABC≌△DEF（AAS），∴BC=EF，∴BC﹣FC=EF﹣FC，即BF=EC；情况三：题设：②③④；结论：①．证明：∵BF=EC，∴BF+CF=EC+CF，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AB=DE．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，此题为开放性题目，需要同学们有较强的综合能力，熟练应用全等三角形的全等判定才能正确解答．24．（2009•大连）如图，在△ABC和△DEF中，AB=DE，BE=CF，∠B=∠1．求证：AC=DF．（要求：写出证明过程中的重要依据）【分析】因为BE=CF，利用等量加等量和相等，可证出BC=EF，再证明△ABC≌△DEF，从而得出AC=DF．【解答】证明：∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC（等量加等量和相等）．即BC=EF．在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠1，BC=EF，∴△ABC≌△DEF（SAS）．∴AC=DF（全等三角形对应边相等）．【点评】解决本题要熟练运用三角形的判定和性质．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．25．（2006•平凉）如图，已知AB=DC，AC=DB．求证：∠1=∠2．【分析】探究思路：因为△ABO与△DCO有一对对顶角，要证∠1=∠2，只要证明∠A=∠D，把问题转化为证明△ABC≌△DCB，再围绕全等找条件．【解答】证明：在△ABC和△DCB中∵，∴△ABC≌△DCB．∴∠A=∠D．又∵∠AOB=∠DOC，∴∠1=∠2．【点评】本题是全等三角形的判定，性质的综合运用，可以由探究题目的结论出发，找全等三角形，再寻找判定全等的条件．26．（2006•佛山）如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，BE与CD相交于O点．现有四个条件：①AB=AC；②OB=OC；③∠ABE=∠ACD；④BE=CD．（1）请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正确的命题：命题的条件是①和③，命题的结论是②和④（均填序号）；（2）证明你写出的命题．【分析】本题实际是考查全等三角形的判定，根据条件可看出主要是围绕三角形ABE和ACD 全等来求解的．已经有了一个公共角∠A，只要再知道一组对应角和一组对应边相等即可得出三角形全等的结论．可根据这个思路来进行选择和证明．【解答】解：（1）命题的条件是①和③，命题的结论是②和④．（2）已知：D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且AB=AC，∠ABE=∠ACD．求证：OB=OC，BE=CD．证明如下：∵AB=AC，∠ABE=∠ACD，∠BAC=∠CAB，∴△ABE≌△ACD．∴BE=CD．又∠BCD=∠ACB﹣∠ACD=∠ABC﹣∠ABE=∠CBE，∴△BOC是等腰三角形．∴OB=OC．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，要注意的是AAA和SSA是不能判定三角形全等的．27．（2005•安徽）如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=DC，请问图中有哪几对全等三角形并任选其中一对给予证明．【分析】本题是开放题，应先确定选择哪对三角形，再对应三角形全等条件求解．做题时从已知结合全等的判定方法开始思考，做到由易到难，不重不漏．【解答】解：此图中有三对全等三角形．分别是：△ABF≌△DEC、△ABC≌△DEF、△BCF≌△EFC．证明：∵AB∥DE，∴∠A=∠D．又∵AB=DE、AF=DC，∴△ABF≌△DEC．【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．28．（2004•昆明）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，点E是BC边上的中点．求证：AE=DE．【分析】利用已知条件易证△AEB≌△DEC，从而得出AE=DE．【解答】证明：∵AD∥BC，∠B=∠C，∴梯形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC，在△AEB与△DEC中，，∴△AEB≌△DEC（SAS），∴AE=DE．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．29．（2004•淮安）如图，给出下列论断：①DE=CE，②∠1=∠2，③∠3=∠4．请你将其中的两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明．【分析】可以有三个真命题：（1）②③⇒①，可由ASA证得△ADE≌△BCE，所以DE=EC；（2）①③⇒②，可由SAS证得△ADE≌△BCE，所以∠1=∠2；（3）①②⇒⑧，可由ASA证得△ADE≌△BCE，所以AE=BF，∠3=∠4．【解答】解：②③⇒①证明如下：∵∠3=∠4，∴EA=EB．在△ADE和△BCE中，∴△ADE≌△BCE．∴DE=EC．①③⇒②证明如下：∵∠3=∠4，∴EA=EB，在△ADE和△BCE中，，∴△ADE≌△BCE，∴∠1=∠2．①②⇒⑧证明如下：在△ADE和△BCE中，∴△ADE≌△BCE．∴AE=BE，∠3=∠4．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；题目是一道开放型的问题，选择有多种，可以采用多次尝试法，证明时要选择较为简单的进行证明．30．（2011•通州区一模）已知：如图，∠ACB=90°，AC=BC，CD是经过点C的一条直线，过点A、B分别作AE⊥CD、BF⊥CD，垂足为E、F，求证：CE=BF．【分析】根据AE⊥CD，BF⊥CD，求证∠BCF+∠B=90°，可得∠ACF=∠B，再利用（AAS）求证△BCF≌△CAE即可．【解答】证明：∵AE⊥CD，BF⊥CD∴∠AEC=∠BFC=90°∴∠BCF+∠B=90°∵∠ACB=90°，∴∠BCF+∠ACF=90°∴∠ACF=∠B在△BCF和△CAE中∴△BCF≌△CAE（AAS）∴CE=BF．【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质这一知识点，解答此题的关键是利用（AAS）求证△BCF≌△CAE，要求学生应熟练掌握．。
全等三角形经典题型50题带答案
全等三角形证明经典50题（含答案）1.已知：AB二4, AC=2, D是BC中点，AD是整数，求AD延长AD到E,使DE=AD,则三角形ADC全等于三角形EBD即BE=ΛC=2 在三角形ABE 中，AB-BE<ΛE<ΛB+BE即rl0-2<2ΛD<10+2 4<AD<6又AD是整数，则AD二52.已知：D 是AB 中点，ZACB二90°,求证：CD = -AB从D做辅助线3.已知：BC二DE, ZB=ZE, ZC=ZD, F 是CD 中点，求证：Z1=Z2证明：连接BF 和EF。
因为BC=ED,CF=DF, ZBCF=ZEDFO 所以三角形BCF全等于三角形EDF（边角边）。
所以BF=EF, ZCBF=ZDEFo连接BE。
在三角形BEF 中,BF=EF0所以ZEBF=ZBEFO 又因为ZABC二ZAED。
所以ZABE=ZAEBO 所以AB=AE o 在三角形ABF 和三角形AEF 中,ΛB-AE,BF=EF, ZABF=ZΛBE÷ZEBF=ZΛEB÷ZBEF=ZAEF o所以三角形ABF和三角形AEF全等。
所以ZBΛF= ZEΛF （ZI=Z2）o4.已知：Z1=Z2, CD二DE, EF//AB,求证：EF二AC 证明：过E点，作EG//AC,交AD延长线于G则ZDEG=ZDCA, ZDGE=Z2 又VCD-DEΛZ1ΛDC^ ZJGDE( AAS )ΛEG=ACVEF∕∕ΛBΛ ZDFE=Zr? Z1=Z2.∖ ZDFE=ZDGEΛEF=E G ∙∙∙ EF=AC5.已知：AD 平分ZBΛC, AC=AB÷BD,求证：ZB=2ZC证明：在AC 上截取AE 二AB,连接EDVAD 平分ZBΛC Λ ZEΛD-ZBAD 又TAE 二AB,AD=AD Λ ZlAED^ ZIABD ( SΛS ) ?. ZAED=ZB ,DE=DBVΛC=ΛB+BDΛC=AE÷CEΛCE=DEΛ ZC=ZEDCV ZΛED=ZC÷ZEDC=2ZCΛ ZB二2ZC6.已知：AC平分ZBAD, CE丄AB,ZB+ZD=180o,求证:AE=AD+BE证明：在AE上取F,使EF=EB, 连接CF因为CE丄AB所以ZCEB= ZCEF=90°因为EB=EF, CE=CE, 所以∕∖CEB9ZkCEF 所以ZB = ZCFE 因为ZB+ ZD = 180° , ZCFE + ZCFA = 180°所以ZD = ZCFA因为AC平分ZBAD所以ZDΛC=ZFΛC又因为AC=AC所以∆ΛDC^∆ΛFC (SAS) 所以AD=AF 所以AE=AF+FE=AD+BE12.如图，四边形ABCD中，AB〃DC, BE. CE分别平分ZΛBC. ZBCD,且点E在AD上。
全等三角形经典例题(含答案)
新思路全等三角形的经典例题 判定方法条件 注意 ⑴边边边公理（SSS ）三边对应相等 三边对应相等 ⑵边角边公理(SAS)两边和它们的夹角对应相等 （“两边夹一角”） 必须是两边夹一角，不能是两边对一角 ⑶角边角公理(ASA)两角和它们的夹边对应相等 （“两角夹一边”） 不能理解为两角及任意一边⑷角角边公理(AAS) 两角和其中一角的对边对应相等例1：已知：如图，过∆ABC 的顶点A ，作AF ⊥AB 且AF=AB ，作AH ⊥AC ，使AH=AC ，连结BH 、CF ，且BH 与CF 交于D 点。
求证：（1）BH=CF （2）BH ⊥CF分析：从图中可观察分析，若证BH=CF ，显然，若能证出∆ABH ≌∆AFC ，问题就能解决。
从已知看，已经知道AF=AB ，AC=AH 。
这两个三角形已经具备两条边对应相等了。
还要证明第三条边相等，显然不可能用“边边边”公理了。
只能寻求两对应边的夹角了。
从已知看，∠BAF 和∠HAC 都是直角。
而图中的∠BAC 显然是公共角，根据等式性质，问题可以顺利解决。
证明：（1）∵AF ⊥AB ，AH ⊥AC∴∠BAF=∠HAC=90︒∴∠BAF +∠BAC=∠HAC +∠BAC∴即∠F AC=∠BAH在∆ABH 和∆AFC 中()()()AB AF BAH FAC AH AC =∠=∠=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪已知已证已知 ∴∆ABH ≌∆AFC （边角边）∴BH=FC （全等三角形对应边相等）（2）设AC 与BH 交于点P在∆APH 中∵∠HAP=90︒∴∠2+∠3=90︒（直角三角形中两个锐角互余）∵∠1=∠2（全等三角形对应角相等）∠3=∠4∴∠1+∠4=∠2+∠3=90︒在∆PDC 中∵∠1+∠4=90︒∴∠HDC=90︒ ∴BH ⊥CF例2：已知，如上图：BD 、CE 是∆ABC 的高，分别在高上取点P 与Q ，使BP=AC ，CQ=AB 。
求证：AQ=AP 分析：从要证的结论AQ=AP ，只有在∆ABP 和∆QCA 中找对应原素，不难发现，已经有BP=AC 、CQ=AB ，也就是这两个三角形中已经有两条对应边相等。
全等三角形的识别综合应用创新训练题
全等三角形的识别综合应用创新训练题Corporation standardization office #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8全等三角形的识别(B 卷)(综合应用创新训练题)一、学科内综合题:(每题5分,共20分)1.如图所示,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿直线AD 折叠,使它落在叙边AB 上,且与AE 重合,求CD 的长.E DCBA2.如图所示,已知D 是等腰△ABC 底边BC 上的一点,它到两腰AB 、AC 的距离分别为DE 、DF,CM ⊥AB,垂足为M,请你探索一下线段DE 、DF 、CM 三者之间的数量关系, 并给予证明.E CBAMF3.如图所示,△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,AE 是BC 边上的中线,过C 作CF ⊥AE, 垂足为F,过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D. 求证:(1)AE=CD;(2)若AC=12cm,求BD 的长.EDCBAF4.如图所示,在Rt △ABC 中,∠B=90°,∠A 的平分线交BC 于点D,E 为AB 上的一点, DE=DC,以D 为圆心,DB 的长为行径作⊙D.求证:(1)AC 为⊙D 的切线;(2)AB+EB=AC.ED CBA二、学科间综合题:(7分)5.如图所示,已知在斜面AC上有一重物G重10N,用力F去拉到A, 机械效率为80%,BD垂直平分AC,CD=2cm,求力F的大小(精确到三、实践应用题:(每小题5分,共25分)6.如图所示,某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块,现要到玻璃店去配一块大小,形状完全相同的玻璃,那么他可以带哪块去3217.如图所示,牧童在A处放牛,其家在B处,A、B到河岸的距离分别为AC= 400 米,BD=300米,CD的距离为800米.牧童从A处放牛牵到河边饮水后再回家,试问在何处饮水,所走的路程最短最短路程是多少(精确到1米)DCB8.如图所示,有两个长度相同的滑梯(即BC=EF),左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度为DF 相等,求∠ABC+∠DFE 的度数.E DCBAF9.如图所示,要测量河两岸相对的两点A 、B 的距离,可以在AB 的垂线BF 上取两点C 、D,使CD=BC 再定出BF 的垂线DE,使A 、C 、E 在同一条直线上,这时测得的DE 的长就是AB 的长,写出已知和求证,并且进行证明.10.工人师傅常用角尺平分一个任意角,做法如下:如图所示,∠AOB 是一个任意角,在边OA 、OB 上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M 、N 重合. 过角尺顶点P 的射线OP 便是∠AOB 的平分线,根据做法,结合图形写出已知、求证、证明.B ANMPO四、创新题:(15分)(一)教材中的变型题(5分)11.教材P91页习题第6题为:如图所示,AD 是∠BAC 的角平分线,DE ⊥AB,DF ⊥AC,你能找出图中的全等三角形吗如果再加上AB=AC 呢E CBA MF(1)一变:AD 是∠BAC 的角平分线,DE ⊥AB,DF ⊥AC,AB=AC,连接EF 交AD 于M,你能找出图中的全等三角形吗(2)二变:在变形(1)的基础上,当∠BAC=90°时,你能找出图中的全等三角形吗(二)多解题(5分)12.已知在四边形ABCD 中,AB ∥CD,AB=CD,求证:四边形ABCD 是平行四边形.(三)多变题(5分)13.如图所示,已知点C 为线段AB 上一点,△ACM 、△BCN 是等边三角形.(1)求证:AN=BM;EDCBANM O(2)若把原题中“△ACM 和△BCN 是两个等边三角形”换成两个正方形(如图所示),AN 与BM 的关系如何请说明理由.ECBAN M F五、中考题:(14、15、16、18、20、22每题3分,17、19、21题每题5分,共33分)14.(2003,北京海淀区)如图1所示,点D 在AB 上,点E 在AC 上,CD 与BE 相交于点O, 且AD=AE,AB=AC,若∠B=20°,则∠C=________.(1)EDCBAO(2)E DCBAOF (3)EDCBAH15.(2003,天津)如图2所示,O 为ABCD 对角线AC 、BD 的交点,EF 经过点O, 且与边AD 、BC 分别交于点E 、F,若BF=DE,则图中的全等三角形最多有( ) 对 对 对 对16.(2003,黑龙江)如图3所示,△ABC 中,AD ⊥BC,CE ⊥AB,垂足分别为D 、E,AD 、 CE 交于点H,请你添加一个适当的条件________,使△AEH ≌△CEB.17.(2003,哈尔滨)如图所示,已知点A 、E 、F 、C 在同一条直线上,AD ∥BC,AD= CB,AE=CF,求证:BE=DF.EDCBAF18.(2003,济南)如图4所示,△ABC 中,已知AB=AC,要使AD=AE, 需要添加的一个条件是____________.(4)DBA19.(2003,青岛)如图所示,在矩形ABCD 中,F 是BC 边上一点,AF 的延长线交DC 的延长线于G,DE ⊥AG 于E,且DE=DC.根据上述条件,请在图中找出一对全等三角形,并证明你的结论.GEDC BAF20.(2003,呼和浩特)如图5所示,在△ABC 与△DEF 中,如果AB=DE,BC=EF,只要再找出∠________=∠________或_________=_________,就可证明这两个三角形全等.(5)DC B AF21.(2003,福州)如图所示,已知点A 、B 、C 、D 在同一条直线上,AB=CD,∠D= ∠ECA,EC=FD,求证:AE=BF.EC B A F22.(2003,长沙)如图所示,若AC 、BD 、EF 两两互相平分于点O, 请写出图中的一对全等三角形(只需写一对即可)_________.(6)ED CBAOFＢ卷答案 一、1.解:∵△ADE 是由△ADC 折叠而得到的,∴△ADE ≌△ADC, ∴∠DEA=∠DCA=90°,DE=DC,AE=AC, 设CD=xcm,则DE=x,DB=BC-CD=8-x,∵AC=6,BC=8, ∴10==, ∴BE=AB-AE=AB-AC=10-6=4(cm),在Rt △DBE 中,由勾股定理得BD 2=BE 2+DE 2, ∴(8-x)2=42+x 2,解得x=3(cm),即CD=3cm. =DE+DF,证明:作DN ⊥MC,垂足为N,∵CM ⊥AB,DE ⊥AB,∴四边形EDNM 是矩形,∴DE=MN, ∵BA ⊥MC,DN ⊥MC,∴DN ∥BA,∴∠NDC=∠ABC, ∵AB= AC, ∴∠ABC=∠ACB,∴∠NDC=∠FCD, ∵DN ⊥MC,DF ⊥AC,∴∠DNC=∠CFD=90°.在△DNC 和△CFD 中,∠DNC=∠CFD,∠NDC=∠FCD,CD=DC, ∴△DNC ≌△CFD,∴CN=DF, ∵CM=MN+NC, ∴CM=DE+DF.3.证明:(1)∵∠ACB=90°,∴∠1+∠3=90°, ∵CF ⊥AE,∴∠2+∠3=90°,∴∠1=∠2,∵BD ⊥BC,∴∠DBC=90°,∠DBC=∠ECA=90°, 在△ACE 和△CBD 中,∠1=∠2,AC=CB,∴∠ECA=∠DBC,∴△ACE ≌△CBD,∴AE=CD. (2)∵△CAE ≌△BCD,∴CE=BD,∵CE=12BC,BC=AC,∴BD=12AC,∵AC=12,∴BD=6(cm)4.证明:(1)作DF ⊥AC,垂足为F,则∠DFA=90°, ∵∠B=90°, ∴∠B=∠DFA=90°.在△ABD 和△AFD 中,∠1=∠2,∠B=∠DFA,AD=AD,∴△ABD ≌△AFD, ∴DB=DF, 又∵DF ⊥AC,∴AC 为⊙D 的切线. (2)∵∠B=∠DFC=90°,∴在Rt △BED 和Rt △FCD 中,DE=DC,DB=DF, ∴Rt △BED ≌Rt △FCD,∴BE=FC, ∵△ABD ≌△AFD,∴AB=AF, ∵AC=AF+FC,∴AC=AB+BE. 二、5.解:∵在△ABC 中,BD 垂直平分AC,∴AD=DC,又∵在△ADB 和△CDB 中,AD= CD,∠ADB=∠CDB,BD=BD, ∴△ADB ≌△CDB,∴BA=BC.∵CD=2cm,∴AD=2cm,∵∠DBC=45°,∴∠C=45°,∴BD=2cm,在Rt △BCD 中,有BD 2+DC 2=BC 2,∴==∴AB=∵GhFsη=,∴1080%,8.8()4F N F ⨯=∴≈⨯ 三、6.带③去.解:③中已知两角及其夹边作三角形是成立的,即已知:∠A 、∠B 及AB,求作的△ABC 是惟一的,因此,应带③去.7.解:作A 点关于直线CD 的对称点A ′,连结A ′B,交CD 于P, 则P 点为饮水处,线段AP+PB 即为最短路程, 理由:在△PAC 和△PA ′C 中,CA=CA ′,∠ACP=∠A ′CP,PC=PC, ∴△PAC ≌PA ′C,∴AP=A ′P,AC=A ′C, ∵∠A ′CP=∠BDP=90°,∠A ′PC= ∠BPD,∴△A ′PC ∽△BPD,∴'PC ACPD BD=, ∵CD=PC+PD=800(米),A ′C=AC=400,BD=300,∴400800300PC PC =-, ∴PC ≈457(米),∴PD=CD-PC=800-457=343(米).在Rt △APC 中607=≈ ( 米),在Rt △BDP 中455.6=≈, ∴PA+PB=607+≈1063(米).8.解:∵AC ⊥AB,ED ⊥DF,∴∠CAB=∠FDE=90°. 在Rt △ABC 和Rt △DEF 中,BC=EF,AC=DF, ∴Rt △ABC ≌Rt △DEF,∴∠BCA=∠EFD,∵AC ⊥AB,∴∠ABC+ ∠BCA=90°,∴∠ABC+∠DFE=90°.9.已知:AB⊥BF,ED⊥BF,垂足分别为B,D,AE交BF于C,BC=DC.求证:DE=AB.证明:∵AB⊥BF,ED⊥BF,∴∠ABC=∠EDC=90°.又∵∠BCA=∠DCE,BC=DE,∴△BCA≌△DCE,∴AB=DE.10.已知:OM=ON,PM=PN.求证:OP平分∠AOB.证明:在△OPM和△OPN中,OM=ON,PM=PN,OP=OP,∴△OPM≌△OPN,∴∠POM=∠PON,故OP平分∠AOB.四、(一)11.解:原题答案:△AED≌△AFD;△AED≌△AFD,△BED ≌△CFD,△ABD≌△ACD.(1)答案:△ABD≌ACD,△ADE≌△ADF,△BDE≌△CDF,△AEM≌△AFM,△DEM ≌△DFM.(2)答案:△ABD≌△ACD,△ADE≌△ADF≌△BDE≌△CDF,△AEM≌△AFM ≌△DEM≌DFM.(二)12.证法一:连结AC,由AB∥CD,有∠BAC=∠DCA,又AB=CD,AC= CA得△ABC≌△CDA,∴BC=DA,∴四边形ABCD是平行四边形.证法二:由法一知△ABC≌CDA,∴∠ACB=∠CAD,∴BC∥AD,∴四边形ABCD是平行四边形.证法三:由法一知△ABC≌△CDA,∴∠B=∠D.又∵∠BAC=∠DCA,∠BCA=∠DAC,∴∠BAC+∠DAC=∠DCA+∠BCA,即∠BAD= ∠BCD,∴四边形ABCD是平行四边形.证法四:连结AC、BD,相交于点O,∵AB∥CD,∴∠BAC=∠DCA,∴∠ABO=∠CDO,又∵AB=CD,∴△ABO≌△CDO,∴AO=CO,BO=DO,∴四边形ABCD是平行四边形.证法五:分别由A、D作BC的垂线,E、F为垂足,∵AB∥CD,∴∠ABE= ∠DCF,又∵AB=CD,∴Rt△ABE≌Rt△DCF,∴AE=DF,∴四边形AEFD为矩形,∴AD=EF= EF+BE-CF=BC,即AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形.(三)13.(1)证明:∵△ACM、△BCN是等边三角形,∴∠1=∠2=60°,BC=CN,AC=CM,∴∠1+∠3=∠2+∠3,即∠ACN=∠BCM,在△ACN和△MCB中,AC=MC, ∠ACN=∠MCB,CN=CB,∴△ACN≌△MCB,∴AN=MB.(2)AN=BM.理由如下,∵四边形ACMF、BCNE为正方形,∴AC=MC,CN= CB,∠2=∠1.在△ACN和△MCB中,AC=MC,∠2=∠1,CN=CB,∴△ACN≌△MCB,∴AN=BM.五、° =CB(只要符合要求即求)17.证明:如答图所示,∵AD∥BC,∴∠A=∠C,∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,∴AF=CE.在△ADF和△CBE中, AD=CB,∠A=∠C,AF=CE,∴△ADF≌△CBE,∴DF=BE.=CE.(只要能满足△ABD与△ACE全等的条件即可).19.△ABF≌△DEA.证明:∵矩形ABCD,∴AB=CD,∴∠B=90°,AD∥BC,∴∠AFB=∠DAE,又∵DE=CD,∴AB=DE,∵DE⊥AF,∴∠DAE=90°,∴∠B=∠DEA.在△AFB和△DAE中,∠AFB= ∠DAE,∠B=∠DEA,AB=DE, ∴△AFB≌△DAE.20.∠B=∠DEF或AC=DF21.证明:∵AB=CD,∴AB+BC=CD+BC,∴AC=BD.在△EAC和△FBD中,AC=BD,∠ECA= ∠D,EC=FD,∴△EAC≌△FBD,∴AE=BF.22.△DOF≌△BOE.。
全等三角形创新题赏1
全等三角形创新题赏析《二》一、拼图证明型例1一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下右图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上。
（1）求证AB⊥ED；（2）若PB=BC。
请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明。
分析：（1）在已知条件的背景下，显然有△ABC≌△DEF，故∠A=∠D；又∠ANP=∠DNC，因而不难得∠APN=∠DCN=90°，即AB⊥ED。
（2）由AB⊥ED可得∠BPD=∠EFD=90°，又PB=BC及∠PBD=∠CBA根据ASA有△PBD≌△CBA，在此基础上，就不难得到△PNA≌△CND、△PEM≌△FMB。
点评：本题将几何证明融入到剪纸活动中，让学生在剪、拼等操作中去发现几何结论，较好地体现了新课程下“做数学”的理念。
（2）题结论开放，而且结论丰富，学生可以从不同的角度去进行探索，在参与图形的变化过程及探究活动中创造性地激活了思维，令人回味。
二、阅读归纳型例2我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等。
那么在什么情况下，它们会全等？（1）阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等。
对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：已知：△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB=A1B1，BC=B1C1，∠C=∠C1。
求证：△ABC≌△A1B1C1。
（请你将下列证明过程补充完整）证明：分别过点B，B1作BD⊥CA于D，B1D1⊥C1A1于D1，则∠BDC=∠B1D1C1=90°∵BC=B1C1，∠C=∠C1，∴△BCD≌△B1C1D1∴BD=B1D1.（2）归纳与叙述：由（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论。
分析：（1）由条件AB=A1B1，∠ADB=∠A1D1B1=90°易得△ADB≌△A1D1B1，因此∠A=∠A1，又由∠C=∠C1，BC=B1C1从而得到△ABC≌△A1B1C1。
全等三角形经典题型50题(含答案)
全等三角形证明经典50题（含答案）1. 已知：AB=4,AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD延长AD 到E,使DE=AD ，则三角形ADC 全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE 〈AB+BE 即：10—2〈2AD 〈10+2 4〈AD 〈6 又AD 是整数，则AD=52. 已知:D 是AB 中点，∠ACB=90°,求证:12CD AB3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF 。
因为 BC=ED ，CF=DF,∠BCF=∠EDF 。
所以 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。
所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF 。
连接BE.在三角形BEF 中，BF=EF.所以 ∠EBF=∠BEF 。
又因为 ∠ABC=∠AED 。
所以 ∠ABE=∠AEB.所以 AB=AE 。
在三角形ABF 和三角形AEF 中，AB=AE,BF=EF ，∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF 。
所以 三角形ABF 和三角形AEF 全等。
所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2）。
ADBC4. 已知:∠1=∠2，CD=DE,EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点,作EG//AC,交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE(AAS ）∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD,求证：∠B=2∠C证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BDAC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠ED C ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证:AE=AD+BE证明： 在AE 上取F,使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ， 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°,∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝∠FAC 又因为AC ＝AC 所以△ADC ≌△AFC(SAS) 所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE12. 如图,四边形ABCD 中，AB ∥DC,BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。
人教版-数学-八年级上册-连线中考全等三角形创新题型
初中-数学-打印版连线中考全等三角形创新题型在新课程理念的催生下，近年中考在题型设计上不断推陈出新。
为能更好地与中考接轨，本文就与中考全等三角形问题中有关的创新题展示如下，以期抛砖引玉。
一、条件探索题例1．如图1，AB 、CD 相交于点O ，AB=CD ，试添加一个条件使得△AOD≌△COB，你添加的条件是 （只需写一个）.解析：由对顶角相等，得∠AOD=∠COB，若加条件AO=CO ，则由AB=CD ，可得AB －AO= CD －CO ，即BO=DO ．由“SAS”得△AOD≌△COB．同理，也可以加条件BO=DO ．如果连接DB ，那么可加条件AD=CB ，先说明△ADB≌△CBD，得∠A=∠C ,再得出△AOD≌△COB．所以应填AO=CO ，或BO=DO ，或AD=CB 等．评注：解答条件开放型试题，需要执果索因，逆向推理，逐步探求结论成立的条件．解决这类题时，要注意挖掘图形中的隐含条件，如对顶角、公共角、公共边等．这类题的答案往往不唯一，只要合理即可．二、结论探索题例2．如图2，在Rt ABC △与Rt ABD △中，90ABC BAD ∠=∠=， AD BC AC BD =，，相交于点G ，过点A 作AE DB ∥交CB 的延长线于点E ，过点B 作BF CA ∥交DA 的延长线于点F AE BF ，，相交于点H ．图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对说明全等的理由（不添加任何辅助线）．解析：由题意可得，ABE △和ABF △都是直角三角形，它们与Rt ABC △和Rt ABD △互相都是全等三角形，下面说明ABC △≌BAD △．因为AD BC =（已知），90ABC BAD ∠=∠=（已知），BA AB =（公共边）， 所以ABC △≌BAD △（SAS ）．评注：解答结论开放型试题的关键是执因索果，但在解题思路和推导深入度不同的情况下，所得答案往往不同，即答案具有不确定性．三、综合探索题Ｄ ＧＣ ＢＨＦ Ａ图2 D B CA O 图1 图3初中-数学-打印版 例3．如图3，AC 交BD 于点O ，请你从下面三项中选出两个作为条件，另一个为结论，写出一句正确的话，并说明正确的理由．①OA=OC，②OB=OD，③AB∥DC．解析：由题意得，给出的三项中，任意选两项作为条件，另一项作为结论写出的句子都是正确的．如“AC 交BD 于点O ，若①OA=OC，②OB=OD，则③AB∥DC．”这是正确的．又如“AC 交BD 于点O ，若①OA=OC，③AB∥DC，则②OB=OD．”这也是正确的，理由如下．因为AB∥DC（已知），所以∠A=∠C（两直线平行，内错角相等）．又OA=OC （已知），∠AOB=∠COD（对顶角相等），所以△AOB≌△COD（ASA ）．所以OB=OD （全等三角形的对应边相等）．评注：条件和结论都开放的综合开放型试题，解题的方法是要充分利用所学的数学知识，通过观察、分析、综合、判断、推理等活动来探索、完善并进行证明．四、条件组合题例4．如图4，在△ABC 和△DEF 中，D 、E 、C 、F 在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选3个作为题设，余下的1个作为结论，写一个真命题，并加以证明．①AB＝DE ，②AC＝DF ，③∠ABC＝∠DEF，④BE＝CF ．已知：求证：证明： 分析：根据三角形全等的条件和三角形全等的特征，本题有以下两种组合方式：组合一：条件：①②④，组合二：条件：①③④，结论：②，特别要注意若以①②③或②③④为条件组合，此时属于SSA 的对应关系，则不能证明△ABC≌△DEF，也得不到相关结论．评注：这种题型是近几年来的中考题的新亮点，它通过“一题多变”与“一题多解”来考察学生的发散思维能力．五、猜想验证题例5．如图5，已知ABC ∆为等边三角形，D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，且DEF ∆也是等边三角形． （1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段， FED CBA图5 F E DC B A 图4初中-数学-打印版 并证明你的猜想是正确的；（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程．分析：（1）猜想：AF=BD=CE ，AE=BF=CD ．由已知条件，只要证明：△AFE≌△BDF≌△CED 即可．（2）这些线段可以看成是经过平移、旋转而得到的，如AE 与BF 绕着A 点顺时针旋转600，再沿着AB 方向平移使A 点至F 即可得BF ，其余类同．评注：本题是一道具有挑战性的探索、猜想、验证、证明的试题，它与几何中图形的全等、图形的变换融合在一起，只要同学们认真观察、认真判断，问题就不难得到解决．六、拼图证明题例6．一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下右图形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上．（1）求证AB⊥ED；（2）若PB=BC ，请找出图中与此条件有关的一对．．全等三角形，并给予证明．分析：（1）由已知的剪、拼图过程（将长方形沿对角线剪开），显然有△ABC≌△DEF，故∠A=∠D；又∠ANP=∠DNC，因而不难得到∠APN=∠DCN=900，即AB⊥ED．（2）若在增加PB=BC 这个条件，再认真观察图形，就不难得到△PNA≌△CND、△PEM≌△FMB．评注：本题的意图是让同学们在剪、拼图形的背景下，积极参与图形的变化过程，并在图形的变化过程中来探究图形之间的关系，用来考察学生的创新精神与能力．七、应用型例7．如图7，将两根钢条'AA 、'BB 的中点O 连在一起，使'AA 、'BB 可以绕着点0图6初中-数学-打印版 自由转动，就做成了一个测量工件，则''A B 的长等于内槽宽AB ，那么判定△AOB △''A OB 的理由是（ ）A. 边角边B.角边角C.边边边D.角角边评注：新的数学课程标准加强了数学知识的实践与综合应用，从各地的中考应用题可以看出，它已不再局限于传统而古老的列方程（组）解应用题这类题目，而是呈现了建模方式多元化的新特点，几何应用题就是其中之一。
(最新最全)全等三角形练习题综合创新题
全等三角形创新题赏析随着课程改革的不断深入，一大批格调清新、设计独特的开放型、探究型、操作型等创新题纷纷在各地中考试卷上闪亮登场。
近年来，有关全等三角形的创新题更令人耳目一新、目不暇接；试题以它的新颖性、思辨性摒弃模式、推陈出新，创造性地描绘了一个绚丽多姿的图形世界。
现就近年中考试题归类分析，希望对大家有所帮助和启发。
一、条件开放型例1如图，△ABC与△ABD中，AD与BC相交于O点，∠1=∠2，请你添加一个条件（不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母），使AC=BD，并给出证明。
你添加的条件是：__________。
证明：分析：此题答案不唯一，若按照以下方式之一来添加条件：①BC=AD，②∠C=∠D，③∠CAD=∠DBC，④∠CAB=∠DBA，都可得△CAB≌△DBA，从而有AC=BD。
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，要由已知条件结合图形通过逆向思维找出合适的条件，有一定的开放性和思考性。
二、结论开放型例2如图，已知AB=AD，BC=CD，AC、BD相交于E。
由这些条件可以得到若干结论，请你写出其中三个正确的结论。
（不要添加字母和辅助线，不要求证明）结论1：结论2：结论3：分析：由已知条件不难得到△ABC≌△ADC、△ABE≌△ADE、△BEC≌△DEC，同时有∠DAE=∠BAE、∠DCA=∠BCA、∠ADC=∠ABC，AC平分∠DAB与∠DCB且垂直平分DB 等。
以上是解决本题的关键所在，也都可以作为最后结论。
点评：本题是源于课本而高于课本的一道基本题，可解题思路具有多项发散性，体现了新课程下对双基的考查毫不动摇，且更具有灵活性。
三、综合开放型例3如图，点E在AB上，AC=AD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明。
所添条件____________。
你得到的一对全等三角形是△________≌△________。
证明：分析：在已知条件中已有一组边相等，另外图形中还有一组公共边。
全等三角形经典题型50题(含答案)
全等三角形证实经典50题（含答案） 1. 已知：AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD延伸AD 到E,使DE=AD,则三角形ADC 全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6又AD 是整数,则AD=52. 已知：D 是AB 中点,∠ACB=90°,求证：12CD AB3. 已知：BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F 是CD 中点,求证：∠1=∠2证实：衔接BF 和EF. 因为AD BCBC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF. 所以 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边). 所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF. 衔接BE. 在三角形BEF 中,BF=EF. 所以 ∠EBF=∠BEF. 又因为 ∠ABC=∠AED. 所以 ∠ABE=∠AEB. 所以 AB=AE. 在三角形ABF 和三角形AEF 中, AB=AE,BF=E F, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF. 所以 三角形ABF 和三角形AEF 全等. 所以∠BAF=∠EAF (∠1=∠2).4. 已知：∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证：EF=AC 证实： 过E 点,作EG//AC,交AD 延伸线于G则∠DEG=∠DCA,∠DGE=∠2 又∵CD=DE ∴⊿ADC≌⊿GDE （AAS ） ∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1 ∵∠1=∠2 ∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC5. 已知：AD 等分∠BAC,AC=AB+BD,求证：∠B=2∠C证实： 在AC 上截取AE=AB,衔接ED ∵AD 等分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB,AD=AD ∴⊿AED≌⊿ABD （SAS ） ∴∠AED=∠B,DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C6. 已知：AC 等分∠BAD,CE ⊥AB,∠B+∠D=180°,求证：AE=AD+BE 证实： 在AE 上取F,使EF ＝EB,衔接CF 因为CE⊥AB 所以CD B AB AC DF 2 1 E∠CEB＝∠CEF＝90° 因为EB ＝EF,CE ＝CE, 所以△CEB≌△CEF 所以∠B＝∠CFE 因为∠B＋∠D＝180°,∠CFE＋∠CFA＝180° 所以∠D＝∠CFA 因为AC 等分∠BAD 所以∠DAC＝∠FAC 又因为AC ＝AC 所以△ADC≌△AFC（SAS ） 所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE12. 如图,四边形ABCD 中,AB ∥DC,BE.CE 分离等分∠ABC.∠BCD,且点E 在AD 上.求证：BC=AB+DC.证实:在BC 上截取BF=BA,衔接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A; AB 平行于CD,则:∠A+∠D=180°; 又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D; 又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD. 所以,BC=BF+FC=AB+CD.13.已知：AB//ED,∠EAB=∠BDE,AF=CD,EF=BC,求证：∠F=∠C D CB A FEAB//ED,AE//BD 推出AE=BD,又有AF=CD,EF=BC所以三角形AEF 全等于三角形DCB,所以:∠C=∠F14. 已知：AB=CD,∠A=∠D,求证：∠B=∠C证实：设线段AB,CD 地点的直线交于E,（当AD<BC 时,E 点是射线BA,CD 的交点,当AD>BC时,E 点是射线AB,DC 的交点）.则： △AED 是等腰三角形. 所以：AE=DE 而AB=CD 所以：BE=CE (等量加等量,或等量减等量） 所以：△BEC 是等腰三角形 所以：角B=角C.15. P 是∠BAC 等分线AD 上一点,AC>AB,求证：PC-PB<AC-AB作B 关于AD 的对称点B‘,因为AD 是角BAC 的等分线,B'在线段AC 上（在AC 中央,因为AB 较短） 因为PC<PB’+B‘C,PC -PB’<B‘C,而B'C=AC-AB'=AC-AB,所以PC-PB<AC-AB16. 已知∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE ⊥AE,求证：AC-AB=2BE∠BAC=180-（∠ABC+∠C=180-4∠C∠1=∠BAC/2=90-2∠C∠ABE=90-∠1=2∠C延伸BE 交AC 于F A BC D PD A C B因为,∠1 =∠2,BE⊥AE所以,△ABF 是等腰三角形 AB=AF,BF=2BE ∠FBC=∠ABC -∠ABE=3∠C -2∠C=∠C BF=C F AC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE17. 已知,E 是AB 中点,AF=BD,BD=5,AC=7,求DC 作AG∥BD 交DE 延伸线于G AGE 全等BDE AG=BD=5 AGF∽CDFAF=AG=5所以DC=CF=218．（5分）如图,在△ABC 中,BD =DC ,∠1=∠2,求证：AD ⊥BC ．延伸AD 至H 交BC 于H; BD=DC;所以: ∠DBC=∠角DCB; ∠1=∠2;∠DBC+∠1=∠角DCB+∠2; ∠ABC=∠ACB;所以: AB=AC;三角形ABD 全等于三角形ACD;∠BAD=∠CAD; AD 是等腰三角形的顶角等分线 所以: AD 垂直BC19．（5分）如图,OM 等分∠POQ ,MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ,A .B 为垂足,AB 交OM 于点N ．求证：∠OAB =∠OBA因为AOM 与MOB 都为直角三角形.共用OM,且∠MOA=∠MOB F A EDCB所以MA=MB 所以∠MAB=∠MBA因为∠OAM=∠OBM=90度所以∠OAB=90-∠MAB ∠OBA=90-∠MBA 所以∠OAB=∠OBA20．（5分）如图,已知AD ∥BC ,∠PAB 的等分线与∠CBA 的等分线订交于E ,CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．证实： 做BE 的延伸线,与AP 订交于F 点, ∵PA//BC ∴∠PAB+∠CBA=180°,又∵,AE,BE 均为∠PAB 和∠CBA 的角等分线∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°,EAB 为直角三角形 在三角形ABF 中,AE⊥BF,且AE 为∠FAB 的角等分线∴三角形FAB 为等腰三角形,AB=AF,BE=EF 在三角形DEF 与三角形BEC 中, ∠EBC=∠DFE,且BE=EF,∠DEF=∠CEB, ∴三角形DEF 与三角形BEC 为全等三角形,∴DF=BC ∴AB=A F=AD+DF=AD+BC21．（6分）如图,△ABC 中,AD 是∠CAB 的等分线,且AB =AC +CD ,求证：∠C =2∠B证实：在AB 上找点E,使AE=AC∵AE=AC,∠EAD=∠CAD,AD=AD∴△ADE≌△ADC.DE=CD,∠AED=∠C∵AB=AC+CD,∴DE=CD=AB -AC=AB-AE=BE∠B=∠EDB ∠C=∠B+∠EDB=2∠B22．（6分）如图①,E .F 分离为线段AC 上的两个动点,且DE ⊥AC 于E,BF ⊥AC 于F ,若AB =CD ,AF =CE ,BD 交AC 于点M ．PED C BA D C BA（1）求证：MB =MD ,ME =MF（2）当E .F 两点移动到如图②的地位时,其余前提不变,上述结论可否成立？若成立请赐与证实;若不成立请解释来由．剖析：经由过程证实两个直角三角形全等,即Rt△DEC≌Rt△BFA 以及垂线的性质得出四边形BEDF 是平行四边形．再依据平行四边形的性质得出结论．解答：解：（1）衔接BE,DF ． ∵DE⊥AC 于E,BF⊥AC 于F,, ∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF, 在Rt△DEC 和Rt△BFA 中, ∵AF=CE,AB=CD, ∴Rt△DEC≌Rt△BFA, ∴DE=BF ． ∴四边形BEDF 是平行四边形． ∴MB=MD,ME=MF;（2）衔接BE,DF ． ∵DE⊥AC 于E,BF⊥AC 于F,, ∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF, 在Rt△DEC 和Rt△BFA 中, ∵AF=CE,AB=CD, ∴Rt△DEC≌Rt△BFA, ∴DE=BF ． ∴四边形BEDF 是平行四边形． ∴MB=MD,ME=MF．23．（7分）已知：如图,DC ∥AB ,且DC =AE ,E 为AB 的中点,（1）求证：△AED ≌△EBC ．（2）不雅看图前,在不添帮助线的情形下,除△EBC 外,请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出成果,不请求证实）：(1)DC∥AE,且DC=AE,所以四边形AECD 是平行四边形.于是知AD=EC,且∠EAD=∠BEC.由AE=BE,所以△AED≌△EBC.O ED C B A（2）△AEC.△ACD.△ECD 都面积相等.24．（7分）如图,△ABC 中,∠BAC =90度,AB =AC ,BD 是∠ABC 的等分线,BD 的延伸线垂直于过C 点的直线于E ,直线CE 交BA 的延伸线于F ．求证：BD =2CE ． 证实：延伸BA.CE,两线订交于点 F ∵BE⊥CE ∴∠BEF=∠BEC=90° 在△BEF 和△BEC 中∠FBE=∠CBE, BE=BE, ∠BEF=∠BEC∴△BEF≌△BEC(ASA) ∴EF=EC ∴CF=2CE∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90° 又∵∠ADB=∠CDE ∴∠ABD=∠ACF 在△ABD 和△ACF 中 ∠ABD=∠ACF, AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90° ∴△ABD≌△ACF(ASA) ∴BD=CF ∴BD=2CE25.（10分）如图：DF=CE,AD=BC,∠D=∠C.求证：△AED ≌△BFC.26.（10分）如图：AE.BC 交于点M,F 点在AM 上,BE ∥CF,BE=CF.求证：AM 是△ABC 的中线.证实： ∵BE‖CF∴∠E=∠CFM,∠EBM=∠FCM ∵BE=CF∴△BEM≌△CFM∴BM=CM ∴AM 是△ABC 的中线.27.（10分）如图：在△ABC 中,BA=BC,D 是AC 的中点.求证：BD ⊥AC.FED C B AM F E CBA三角形ABD 和三角形BCD 的三条边都相等,它们全等,所以角ADB和角CDB 相等,它们的和是180度,所以都是90度,BD 垂直AC28.（10分）AB=AC,DB=DC,F 是AD 的延伸线上的一点.求证：BF=CF证实：在△ABD 与△ACD 中AB=AC BD=DCAD=AD∴△ABD≌△ACD ∴∠ADB=∠ADC∴∠BDF=∠FDC 在△BDF 与△FDC 中 BD=DC ∠BDF=∠FDC DF=DF∴△FBD≌△FCD ∴BF=FC29.（12分）如图：AB=CD,AE=DF,CE=FB.求证：AF=DE.因为AB=DC AE=DF, CE=FBCE+EF=EF+FB 所以三角形ABE=三角形CDF因为 角DCB=角ABF AB=DC BF=CE 三角形ABF=三角形CDE 所以AF=DE 30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD ,如图所示,个中AB ∥CD ,在AB ,CD ,BC 三段路旁各有一只小石凳E ,F ,M ,且BE ＝CF ,M 在BC 的中点,试解释三只石凳E ,F ,M 正好在一条直线上.证： ∵AB 平行CD （已知） ∴∠B=∠C（两直线平行,内错角相等） ∵M 在BC 的中点（已知） ∴EM=FM（中点界说） 在△BME DCB A FD CB A F E DC BA和△CMF 中 BE=CF （已知） ∠B=∠C （已证） EM=FM （已证） ∴△BME 全等与△CMF（SAS ） ∴∠EMB=∠FMC（全等三角形的对应角相等）∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°（等式的性质） ∴E,M,F 在统一向线上31．已知：点A.F.E.C 在统一条直线上, AF ＝CE,BE∥DF,BE＝DF ．求证：△ABE≌△CDF．证实： ∵AF=CE ∴AF+EF=CE+EF ∴AE=CF∵BE//DF ∴∠BEA=∠DFC 又∵BE=DF∴⊿ABE≌⊿CDF（SAS ）32.已知：如图所示,AB ＝AD,BC ＝DC,E.F 分离是DC.BC 的中点,求证： AE ＝AF.贯穿连接BD,得到等腰三角形ABD 和等腰三角形BDC,由等腰△两底角相等得：角ABC=角ADC 在联合已知前提证得：△ADE ≌△ABF得AE=AF 33．如图,在四边形ABCD 中,E 是AC 上的一点,∠1=∠2,∠3=∠4,求证: ∠5=∠6．因为角1=角2∠3=∠4所以角ADC=角ABC. 又因为AC 是公共边,所以AAS==>三角形ADC 全等于三角形ABC. 所以BC 等于DC,角3等于角4,EC=EC 三角形DEC 全等 DA F E 654321E D CB A于三角形BEC 所以∠5=∠634．已知AB ∥DE ,BC ∥EF ,D ,C 在AF 上,且AD ＝CF ,求证：△ABC ≌△DEF ．因为D,C 在AF 上且AD=CF 所以AC=DF 又因为AB 平行DE,BC 平行EF 所以角A+角EDF,角BCA=角F （两直线平行,内错角相等） 然后SSA （角角边）三角形全等35．已知：如图,AB =AC ,BD AC ,CE AB ,垂足分离为D .E ,BD .CE 订交于点F ,求证：BE =CD ．证实：因为 AB=AC, 所以∠EBC=∠DCB 因为 BD⊥AC,CE⊥AB 所以 ∠BEC=∠CDB BC=CB (公共边) 则有 三角形EBC 全等于三角形DCB 所以 BE ＝CD36、如图,在△ABC 中,AD 为∠BAC 的等分线,DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F .求证：DE =DF ．AAS 证△ＡＤＥ≌△ADF37.已知：如图, AC ⊥BC 于C , DE ⊥AC 于E , AD ⊥AB 于A , BC =AE ．若AB =5 ,求AD 的长？ 角C=角E=90度 角B=角EAD=90度-角BACBC=AE A C B DE F A EDC FD C B A E△ABC ≌△DAEAD=AB=538．如图：AB=AC,ME ⊥AB,MF ⊥AC,垂足分离为E.F,ME=MF.求证：MB=MC证实∵AB=AC∴△ABC 是等腰三角形 ∴∠B=∠C又∵ME=MF,△BEM 和△CEM 是直角三角形∴△BEM 全等于△CEM ∴MB=MC39.如图,给出五个等量关系：①AD BC =②AC BD =③CE DE =④D C ∠=∠⑤DAB CBA ∠=∠．请你以个中两个为前提,另三个中的一个为结论,推出一个准确的结论（只需写出一种情形）,并加以证实．已知：求证：证实：已知1,2 求证4 因为AD=BC AC=BD,在四边形ADBC 中,连AB 所以△ADB 全等于△BCA 所以角D=角C以4,5为前提,1为结论. 即：在四边形ABCD 中,∠D=∠C,∠A=∠B,求证：AD=BC 因为 ∠A+∠B+∠C+∠D=360∠D=∠C,∠A=∠B, 所以 2(∠A+∠D)=360°, ∠A+∠D=180°, 所以 AB//DC40．在△ABC 中,︒=∠90ACB ,BC AC =,直线MN 经由点C ,且C A B CＤ ＥMN AD ⊥于D ,MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 扭转到图1的地位时,求证： ①ADC ∆≌CEB ∆;②BE AD DE +=;(2)当直线MN 绕点C 扭转到图2的地位时,（1）中的结论还成立吗？若成立,请给出证实;若不成立,解释来由.（1）证实：∵∠ACB=90°, ∴∠ACD+∠BCE=90°, 而AD⊥MN 于D,BE⊥MN 于E, ∴∠ADC=∠CEB=90°,∠BCE+∠CBE=90°, ∴∠ACD=∠CBE． 在Rt△ADC 和Rt△CEB中,{∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBE AC=CB, ∴Rt△ADC≌Rt△CEB （AAS ）, ∴AD=CE,DC=BE, ∴DE=DC+CE=BE+AD;（2）不成立,证实：在△ADC 和△CEB中,{∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBE AC=CB, ∴△ADC≌△CEB （AAS ）, ∴AD=CE,DC=BE, ∴DE=CE -CD=AD-BE;41．如图所示,已知AE ⊥AB,AF ⊥AC,AE=AB,AF=AC.求证：（1）EC=BF;（2）EC ⊥BF（1）证实;因为AE 垂直AB 所以角EAB=角EAC+角CAB=90度 因为AF 垂直AC 所以角CAF=角CAB+角BAF=90度 所以角EAC=角BAF 因为AE=AB AF=AC 所以三角形EAC和三角形FAB 全等 所以EC=BF 角ECA=角F（2）(2)延伸FB 与EC 的延伸线交于点G 因为角ECA=角F(已证） 所以角G=角CAF 因为角CAF=90度 所以EC 垂直BF42．如图：BE ⊥AC,CF ⊥AB,BM=AC,CN=AB.求证：（1）AM=AN;A E B M C F（2）AM ⊥AN.证实： （1） ∵BE⊥AC,CF⊥AB ∴∠ABM+∠BAC=90°,∠ACN+∠BAC=90° ∴∠ABM=∠ACN ∵BM=AC,CN=AB ∴△ABM≌△NAC ∴AM=AN（2） ∵△ABM≌△NAC ∴∠BAM=∠N ∵∠N+∠BAN=90° ∴∠BAM+∠BAN=90° 即∠MAN=90° ∴AM⊥AN43．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC ∥EF 衔接BF.CE,证实△ABF 全等于△DEC（SAS ）,然后经由过程四边形BCEF 对边相等的证得平行四边形BCEF从而求得BC 平行于EF44．如图,已知AC ∥BD,EA.EB 分离等分∠CAB 和∠DBA,CD 过点E,则AB 与AC+BD 相等吗？请解释来由在AB 上取点N ,使得AN=AC∠CAE=∠EAN ,AE 为公共边,所以三角形CAE 全等三角形EAN所以∠ANE=∠ACE 又AC 平行BD所以∠ACE+∠BDE=180 而∠ANE+∠ENB=180所以∠ENB=∠BDE ∠NBE=∠EBN BE 为公共边,所以三角形EBN 全等三角形EBD F C AM N E1234所以BD=BN 所以AB=AN+BN=AC+BD45.（10分） 如图,已知: AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE ．求证:BE ∥CF ．证实： ∵AD 是中线 ∴BD=CD∵DF=DE,∠BDE=∠CDF ∴△BDE≌△CDF∴∠BED=∠CFD ∴BE‖CF46.(10分)已知：如图,AB ＝CD ,DE ⊥AC ,BF⊥AC ,E ,F 是垂足,DE BF ．求证：AB CD ∥．证实：∵DE⊥AC,BF⊥AC,∴∠DEC=∠AFB=90°, 在Rt△DEC 和Rt△BFA 中,DE=BF,AB=CD, ∴Rt△DEC≌Rt△BFA, ∴∠C=∠A, ∴AB∥CD．47.(10分)如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,求证：AB=CD【待定】48.(10分)如图,已知AC ⊥AB,DB ⊥AB,AC ＝BE,AE ＝BD,试猜测线段CE 与DE 的大小与地位关系,并证实你的结论.结论：CE>DE.当∠AEB 越小,则DE 越小. 证实： 过D 作AE 平行线与AC 交于F,衔接FB 由已知前提知AFDE 为平行四边形,ABEC 为矩形 ,且△DFB 为等腰三角形. RT△BAE 中,∠AEB 为锐角,即∠AEB<90° AC E DB A D EC B F∵DF//AE ∴∠FDB=∠AEB<90° △DFB 中∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/2>45° RT△AFB 中,∠FBA=90°-∠DBF <45° ∠AFB=90°-∠FBA>45° ∴AB>AF ∵AB=CE AF=DE ∴CE>DE49.(10分)如图,已知AB ＝DC,AC ＝DB,BE ＝CE,求证：AE ＝DE. 先证实△ABC ≌△BDC 的出角ABC=角DCB 在证实△ABE ≌△DCE得出AE=DE 50．如图9所示,△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB ＝90°,AD 是BC 边上的中线,过C 作AD 的垂线,交AB 于点E,交AD 于点F,求证：∠ADC ＝∠BDE ．证实：作CG 等分∠ACB 交AD 于G∵∠ACB=90° ∴∠ACG= ∠DCG=45°∵∠ACB=90° AC=BC ∴∠B=∠BAC=45° ∴∠B=∠DCG=∠ACG ∵CF⊥AD ∴∠ACF+∠DCF=90° ∵∠ACF+∠CAF=90°∴∠CAF=∠DCF ∵ AC=CB ∠ACG=∠B ∴△ACG≌△CBE ∴CG=BE ∵∠DCG=∠B CD=BD ∴△CDG ≌△BDE ∴∠ADC=∠BDE AB EC DA B C D E F 图9。
中考数学复习：专题4-10 全等三角形创新题
专题10 全等三角形创新题【专题综述】随着课程改革的不断深入，一大批格调清新、设计独特的开放型、探究型、操作型等创新题纷纷在各地中考试卷上闪亮登场。
近年来，有关全等三角形的创新题更令人耳目一新、目不暇接；试题以它的新颖性、思辨性摒弃模式、推陈出新，创造性地描绘了一个绚丽多姿的图形世界。
【方法解读】一、实际应用型例1 如图1，一块三角形模具的阴影部分已破损．只要从残留的模具片中度量出哪些边、角，就可以不带'''？请简要说明理残留的模具片到店铺加工一块与原来的模具ABC的形状和大小完全相同的模具A B C由．【举一反三】如图所示，太阳光线AC与A′C′是平行的，AB表示一棵塔松，A′B′表示一棵小杨树，同一时刻两棵树的影长相等，已知塔松高6米，则小杨树高______.【来源】北师大版七年级数学下册第四章三角形单元检验题二、操作探索型例2 复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图2，已知在△ABC中，AB=AC，P是△ABC 内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连接BQ、CP，则BQ=CP．”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图2的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP之后，将点P移到三角形ABC之外，原题中的条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图3给出证明．【举一反三】在△ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC=90°时，那么∠DCE= 度；（2）设∠BAC= α，∠DCE= β．①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；α与β之②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，并直接．．写出此时间的数量关系（不需证明）．【来源】北京市第四十四中学2017—2018学年度上期期中测试八年级数学试题三、开放探究型例3 如图4，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BE=CF．（1）图中有几对全等的三角形？请一一列出；A. ②③B. ①②C. ①③D. ①②③【来源】浙江杭州余杭区2016-2017学年八年级上学期期末数学试题4.已知：∠MON=α，点P是∠MON角平分线上一点，点A在射线OM上，作∠APB=180°-α，交直线ON 于点B，PC⊥ON于C.（1）如图1，若∠MON=90°时，求证：PA=PB；（2）如图2，若∠MON=60°时，写出线段OB，OA及BC之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，若∠MON=60°时，点B在射线ON的反向延长线上时，（2）中结论还成立吗？若不成立，直接写出线段OB，OA及BC之间的数量关系（不需要证明）.【来源】北京师大附中2017-2018学年上学期初中八年级期末考试数学试卷5.在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图一，若△ABC是等边三角形，且AB=AC=2,点D在线段BC上，①求证：∠BCE+∠BAC=180°；②当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长．（2）若∠BAC 60°，当点D在射线．．上移动，则∠BCE和∠BAC 之间有怎样的数量关系？并说明理．．BC由.【来源】浙江省吴兴区2017-2018学年八年级上学期期终模拟数学试题6.如图，点B、D、E、C在一条直线上，△ABD≌△ACE，AB和AC，AD和AE是对应边，除△ABD≌△ACE外，图中还有其他全等三角形吗？若有，请写出来，并证明你的结论。
全等三角形八大模型归纳例题
全等三角形八大模型归纳例题全等三角形是初中数学中非常重要的一个概念，掌握全等三角形的判定方法和相关定理，是学好初中数学的关键之一。
而在全等三角形的判定中，八大模型是非常常用的，下面我们就来归纳一些全等三角形的例题。
1.已知D为AB的中点，E为BC的中点，F为AC的中点，证明三角形DEF与三角形ABC全等。
解：因为D为AB的中点，所以AD=BD；同理，AE=EC，BF=FC。
又因为F为AC的中点，所以AF=FC；同理，BE=EC。
因此，AD=BD，AE=EC，BF=FC，AF=FC，BE=EC。
根据SSS全等定理，三角形DEF与三角形ABC全等。
2.已知AD=BC，AB=DC，∠A=∠D，证明三角形ABD与三角形CBD 全等。
解：因为∠A=∠D，∠B=∠C，而且AB=DC，所以三角形ABD与三角形CBD是AAS全等的。
因此，AB=BC，AD=CD，∠BAD=∠BCD，三角形ABD与三角形CBD全等。
3.已知AB=AC，BD为中线，证明三角形ABD与三角形ABC全等。
解：因为BD为AC的中线，所以BD=DC。
又因为AB=AC，所以∠B=∠C。
因此，三角形ABD与三角形ABC是SAS全等的。
因此，∠BAD=∠BAC，三角形ABD与三角形ABC全等。
4.已知∠A=∠B，AC=BD，证明三角形ABC与三角形ABD全等。
解：因为∠A=∠B，所以三角形ABC与三角形ABD是AAS全等的。
因此，AB=AD，AC=BD，∠BAC=∠BAD，三角形ABC与三角形ABD全等。
5.已知∠A=∠D，∠B=∠C，AB=CD，证明三角形ABD与三角形CBD 全等。
解：因为∠A=∠D，∠B=∠C，而且AB=CD，所以三角形ABD与三角形CBD是AAS全等的。
因此，AB=BC，AD=CD，∠BAD=∠BCD，三角形ABD与三角形CBD全等。
6.已知AB=BC，∠ABC=60°，D为AB的中点，E为AC的中点，证明三角形ADE与三角形BDC全等。
全等三角形在实际生活中的应用
全等三角形在实际生活中的应用三角形全等在解决实际问题中有广泛的应用，如测量无法直接测量的距离时，可根据三角形全等进行转化.有许多图形分割问题，也蕴含着全等思想.一、测量中的全等三角形例1．图1为人民公园中的荷花池,现要测量此荷花池两旁A 、B 两棵树间的距离(我们不能直接量得).请你根据所学知识,以卷尺和测角仪为测量工具设计一种测量方案.要求:(1)画出你设计的测量平面图；(2)简述测量方法，并写出测量的数据(长度用,,,c b a …表示；角度用,,,γβα…表示)；(3)根据你测量的数据,计算A 、B 两棵树间的距离.分析：此题的测量方法很多，这里用全等知识来解决，方案如图2，步骤为：（1）在地上找可以直接到达的一点O ，（2）在OA 的延长线上取一点C ，使OC=OA ；在BO 的延长线上取一点D ，使OD=OB ；（3）测得DC=a ，则AB=a ． 点评：本题是一道全开放式的设计方案题，它的解题策略非常多，可以利用三角函数、三角形中位线定理、全等三角形、三角形相似等许多知识，本题来源于课本、来源于生活，可以激发学生“学有用的数学”，更激发学生的学习热情和创新热情以及求知欲望．例2．如图3所示，在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为用炮火实施定点轰炸，需要测量我军阵地与敌军碉堡隔的距离，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来一个办法，他面向碉堡方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐，正好落在碉堡的底部，然后转过一个角度，身体保持刚才的姿势，使视线落在我军一岸的某一点上，接着他用步测法测出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡之间的距 B A C D O 图2 Ａ • • • Ｂ图1 图3离。
你能解释其中的道理吗？解：这个战士实际上是运用了三角形全等的知识 . 要说明其中的道理，首先要根据实际情景建立数学模型，将情景中示意图抽象为几何图形。
如图4所示，我军阵地与敌军碉堡之间的距离无法测量，即AC不可测量，但线段FD 的长度可以测得，又战士与地面是垂直的，也就是∠BAC ＝∠EFD ＝900，另外战士的身高与姿态是不变的，所以BC ＝EF ，∠ABC ＝∠FED . 依据“SAS”可知△ABC ≌△DEF ，所以AC ＝FD . 所以只要测得FD的距离，就可得到AC 的距离 .二、修路中的全等三角形例3．如图5，有一块不规则土地ABCD ，分别被甲、乙二人承包，一条公路GEFH 穿过这块土地，EF 左边是甲，右边是乙，AB ∥CD.为方便通行，决定将这条公路尽量修直，但要求甲、乙二人的土地面积不变.请你设计一种方案，解决这个问题，并说明方案正确的理由.分析：将公路修直并不困难，关键是要保持甲、乙二人的土地面积不变.这里，我们应注意充分利用AB ∥CD 这一条件来构造全等三角形.解：取EF 的中点O ，连接GO 并延长交FH 于点M ，GM 就是修直后的公路.理由是：设GM 分别交AB 、CD 于点P 、Q ，由AB ∥CD ，可得∠PEO ＝∠QFO ，又因为EO ＝FO ，∠EOP ＝∠FOQ ，故△EOP ≌△FOQ ，所以这个方案能保持甲、乙二人的土地面积不变.三、其他问题中的全等三角形例4．如图6，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，请你设计一个最省事的配玻璃方案，并说明理由.解：最省事的配玻璃方案是带着碎玻璃块③去玻璃店.理由是：玻璃块③含有一条完整的边BC 和夹BC 的两个图 5图4图6完整的角，根据ASA，只需将∠B和∠C的不完整的边延长相交即可，得到的三角形与原三角形全等.例5．如图7，点C是路段AB的中点，两人从C同时出发以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，DA⊥AB，EB⊥AB，D，E与路段AB的距离相等吗？为什么？分析：因为两人是从点C同时出发，且同时到达D，E两点，所以CD=CE.要说明DA与EB是否相等，则只需说明△ADC和△BEC是否全等.解：D，E与路段AB的距离相等.理由：因为点C是AB的中点，所以CA=CB，又CD=CE，DA⊥AB，EB⊥AB，所以Rt△ADC≌Rt△BEC（Hl）.所以DA=EB.即D，E与路段AB的距离相等.例6．如图8是用两根拉线固定电线杆的示意图，其中，两根拉线的长AB=AC，BD和DC的长相等吗？为什么？分析：因为电线杆和地面垂直，它和两根拉线分别构成两个直角三角形，所以通过全等三角形的知识解决.解:BD和DC相等.因为AD⊥BC,所以∠ADB=∠ADC=90°,又AB=AC,AD=AD,所以Rt△ABD≌Rt△ACD(HL).所以BD=DC.例7．如图9，海岛上有A，B两个观测点，点B在点A 的正东方，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B 图7图8图9的正北方，从观测点A看海岛C、D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C、D 的视角∠CBD相等，那么海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等吗？为什么？分析：本题是一道和三角形全等有关的实际问题，要看海岛C、D到海岸AB的距离是否相等，则要看△ABC与△BAD是否全等.解：海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等.理由：由已知得∠CAB=∠DBA=90°，又∠CAD=∠CBD，所以∠DAB=∠CBA，在Rt△ABC和Rt△BAD中，∠CAB=∠DBA，AB=BA，∠CBA=∠DAB，所以△ABC≌△BAD（ASA），所以CA=DB，即海岛C、D到观测点A、B所在海岸的距离相等.。
8年级数学全等三角形经典例题
8年级数学全等三角形经典例题一、全等三角形经典例题1。
例1：如图，在△ABC中，AB = AC，AD是BC边上的中线，求证：△ABD≌△ACD。
解析：1. 在△ABD和△ACD中：- 已知AB = AC（题目中给出的等腰三角形的两腰相等）。
- 因为AD是BC边上的中线，所以BD = CD（中线的定义）。
- AD = AD（公共边）。
2. 根据SSS（边边边）全等判定定理，可得△ABD≌△ACD。
二、全等三角形经典例题2。
例2：已知：如图，AB = AD，∠B = ∠D，∠1=∠2，求证：△ABC≌△ADE。
解析：1. 因为∠1 = ∠2，所以∠1+∠DAC = ∠2+∠DAC，即∠BAC = ∠DAE。
2. 在△ABC和△ADE中：- 已知AB = AD。
- ∠B = ∠D。
- 且∠BAC = ∠DAE（已证）。
3. 根据ASA（角边角）全等判定定理，可得△ABC≌△ADE。
三、全等三角形经典例题3。
例3：如图，在△ABC中，∠C = 90°，AC = BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，AB = 6cm，求△DEB的周长。
解析：1. 因为AD平分∠CAB，∠C = 90°，DE⊥AB，根据角平分线的性质，可知CD = DE。
2. 在Rt△ACD和Rt△AED中：- AD = AD（公共边）。
- CD = DE（已证角平分线性质）。
- 根据HL（斜边直角边）定理，可得Rt△ACD≌Rt△AED。
- 所以AC = AE。
3. 因为AC = BC，AB = 6cm，设AC = BC=x，根据勾股定理AC^2+BC^2=AB^2，即x^2+x^2=6^2，2x^2=36，x^2=18，x = 3√(2)。
4. 又因为AE = AC = 3\sqrt{2}\)，所以BE=AB - AE = 6 - 3\sqrt{2}\)。
5. 而△DEB的周长为DE+DB+BE，因为CD = DE，BC = BD + CD，所以△DEB的周长为BC+BE = 3\sqrt{2}+6 - 3\sqrt{2}=6cm。
全等三角形创新题
一.条件补充型
例1.（1）(2006年内江)如图1,在⊿ABC
中,已知AB=AC,要使AD=AE,需要添加
的一个条件是_____________。 A
（2）（2006年宜昌）如图2，
AB=CD，AD，BC相交于点O，
要使⊿ABO≌⊿DCO，应添加的
条件为_____________。
BD
E
C
（添加一个条件即可）
写出每一步的推理依据;若不正确,请
∴∠B指A出E=错∠在C哪A一E 步,并写出正确的证明
过程。
五.方案设计型
例５.（２００５年西宁）如图，在人·民 公园人工湖两侧的Ａ，Ｂ两点欲建一座观 赏桥，由于受条件限制，无法直接度量Ａ， Ｂ间的距离，请你用学过的知识，设计三 种测量方案。
要求：（１）画出你设计测
全等三角形创新题
序言
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关于全等三角形的例题
关于全等三角形的例题全等三角形，听起来是不是有点高大上？其实它就像我们生活中的小秘密一样，随处可见。
这不，咱们先来聊聊，三角形的魅力在哪里。
大家都知道，三角形是最简单的几何图形之一。
三条边，三角角，简单又好玩。
不过，说到全等三角形，这事儿可就有意思了。
全等三角形就像是长得一模一样的双胞胎，简直让人忍不住想要八卦一番。
想象一下，有两个三角形，A和B，长得就像复制粘贴过来的一样。
这两个小家伙无论是边长还是角度，都是一模一样的。
就像是穿了一样的衣服，甚至连发型都不带差别。
是不是特别有趣？你知道，这样的三角形是怎么判定的嘛？我们常用的有SSS、SAS、ASA和AAS这几种方式。
听上去很复杂，其实就是看边边角角。
只要其中三条边都相等，或者两边一夹角相等，咱们就可以自信地说“嘿，这俩小家伙全等！”再说说我们日常生活中的例子。
想象一下，你和你的小伙伴一起画画，你们俩居然画出了一模一样的三角形。
这不就是全等三角形的真实写照吗？你们用的尺子、量角器，全都一样。
要是让其他朋友来看看，他们肯定会惊叹“哇，真是天衣无缝啊！”这时候，你心里是不是乐开了花？那种感觉就像是找到了志同道合的伙伴，一起做了一件很酷的事情。
咱们再来聊聊这些三角形的性质。
全等三角形之间的关系可不简单。
就像好朋友一样，它们之间有很多的共同点。
比如说，面积和周长，都是一模一样的。
想想看，如果你们在比赛，结果肯定是平局，没有谁赢谁输。
就像打游戏的时候，两个玩家都是满血状态，谁也不服谁。
这样的局面是不是很让人兴奋？还记得我们在课堂上学的那些定理吗？比如说，平行线被横线切割后，形成的角度就可以帮助我们判断全等三角形。
老师一边讲解，一边用粉笔在黑板上画个不停，大家听得津津有味。
每当这时候，心里总会想“哇，数学真有趣！”就像是在探险一样，发现了一个又一个小秘密。
再说说实际应用，生活中其实到处都是全等三角形的身影。
建筑设计、工程测量，甚至一些玩具的制作，三角形的稳定性让它们成为了各种设计的宠儿。
全等三角形创新题
全等三角形创新题举例胡怀志涉及全等三角形问题已不再是传统的单一题型了，给出几道新颖别致的创新题供欣赏并参考。
一、阅读纠错题例1. 阅读下题及证明过程：已知：如图1，D 是ΔABC 中BC 边上一点，E 是AD 上一点，EB ＝EC ，∠ABE ＝∠ACE 。
求证：∠BAE ＝∠CAE图1证明：在ΔAEB 和ΔAEC 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AE ACE ABE EC EB AEC AEB ∆≅∆∴第一步 ∴∠BAE ＝∠CAE第二步问上面的证明过程是否正确，若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程。
分析：这是一道阅读纠错题，解答时，应认真阅读题目和解题过程的每一步，依据概念、定理、公式、法则等作出判断，并按要求写出正确的解题过程。
解：上面的证明过程是错误的，错在第一步。
正确证明如下： ∵EB ＝EC ，∴∠1＝∠2又∠ABE ＝∠ACE ，∴∠ABC ＝∠ACB ∴AB ＝AC在ΔABC 和ΔACE 中，⎪⎩⎪⎨⎧===AE AE EC EB AC ABCAEBAE ACE ABE ∠=∠∴∆≅∆∴二、条件开放题例2. 如图2，ΔABC 中，AD ⊥BC ，EC ⊥AB ，垂足分别是D 、E ，AD ，CE 交于点H ，请你添加一个适当的条件：___________，使CEB AEH ∆≅∆。
图2解析：本题考查全等三角形的判定方法，不能机械地死记判定定理，而应根据已知条件结合图形，通过逆向思考，找出适合的条件，所以添加一个条件可以是： AE ＝CE 或BC ＝AH 或EH ＝EB 。
三、条件选择题例3. 如图3，正面四个条件中，请你以其中两个为已知条件，第三个为结论，推出一个正确的命题。
（只需写出一种情况）并证明。
①AE ＝AD ②AB ＝AC ③OB ＝OC④∠B ＝∠C图3分析：在备选的4个条件中，以其中两个为已知条件，第三个为结论，可组成12种命题，但要得到真命题，题设必须满足三角形的全等条件。
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全等三角形创新题举例
胡怀志
涉及全等三角形问题已不再是传统的单一题型了，给出几道新颖别致的创新题供欣赏并参考。
一、阅读纠错题
例1. 阅读下题及证明过程：
已知：如图1，D 是ΔABC 中BC 边上一点，E 是AD 上一点，EB ＝EC ，∠ABE ＝∠ACE 。
求证：∠BAE ＝∠
CAE
图1
证明：在ΔAEB 和ΔAEC 中
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=AE AE ACE ABE EC EB AEC AEB ∆≅∆∴
第一步 ∴∠BAE ＝∠CAE
第二步
问上面的证明过程是否正确，若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程。
分析：这是一道阅读纠错题，解答时，应认真阅读题目和解题过程的每一步，依据概念、定理、公式、法则等作出判断，并按要求写出正确的解题过程。
解：上面的证明过程是错误的，错在第一步。
正确证明如下： ∵EB ＝EC ，∴∠1＝∠2
又∠ABE ＝∠ACE ，∴∠ABC ＝∠ACB ∴AB ＝AC
在ΔABC 和ΔACE 中，⎪⎩⎪
⎨⎧===AE AE EC EB AC AB
CAE
BAE ACE ABE ∠=∠∴∆≅∆∴
二、条件开放题
例2. 如图2，ΔABC 中，AD ⊥BC ，EC ⊥AB ，垂足分别是D 、E ，AD ，CE 交于点H ，请你添加一个适当的条件：___________，使CEB AEH ∆≅∆。
图2
解析：本题考查全等三角形的判定方法，不能机械地死记判定定理，而应根据已知条件结合图形，通过逆向思考，找出适合的条件，所以添加一个条件可以是： AE ＝CE 或BC ＝AH 或EH ＝EB 。
三、条件选择题
例3. 如图3，正面四个条件中，请你以其中两个为已知条件，第三个为结论，推出一个正确的命题。
（只需写出一种情况）并证明。
①AE ＝AD ②AB ＝AC ③OB ＝OC
④∠B ＝∠
C
图3
分析：在备选的4个条件中，以其中两个为已知条件，第三个为结论，可组成12种命题，但要得到真命题，
题设必须满足三角形的全等条件。
因此本题答案不唯一。
解：正确的命题有：
（1）已知AE ＝AD ，AB ＝AC 求证：∠B ＝∠C
（2）已知AE ＝AD ，AB ＝AC 求证：OB ＝OC
（3）已知AB ＝AC ，∠B ＝∠C 求证：AE ＝AD 。
等等 以命题（1）为例，证明如下：
在ΔACD 和ΔABE 中，⎪⎩⎪
⎨⎧=∠=∠=AC AB A A AD AE
C
B ABE ACD ∠=∠∴∆≅∆∴
四、结论开放题
例4. 如图4，AB ＝AD ，BC ＝DC ，AC 与BD 相交于E ，由这些条件你能推出哪些结论？（不再添加辅助线，不再标注其它字母，不写推理过程，只要求写出四个你认为正确的结论即可）。
图4
解析：本题是一道结论开放题，有助于考查同学们的发散思维能力，在三角形全等的基础上，利用“三线合一”、“边角转换”可推出许多结论。
如： ∠DAC ＝∠BAC ；∠ADC ＝∠ABC ； ∠DCA ＝∠BCA ；∠ADB ＝∠ABD ∠CDB ＝∠CBD ；DE ＝BE ，AC ⊥BD ；
ABE ADE ADC ABC ∆≅∆∆≅∆；；
CBE CDE ∆≅∆；E 为BD 的中点；AC 是BD 的中垂线，等等。
五、结论判断题
例5. 如图5，在ABC Rt ∆中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，O 为BC 的中点。
如果点M 、N 分别在线段AB 、AC 上移动，在移动时保持AN ＝BM ，请判断ΔOMN 的形状，并证明你的结论。
图5
分析：此题为探索、猜想、判断、证明的试题，为此先要认真观察图形，作出判断，然后加以证明。
解：证明ΔOMN 是等腰直角三角形。
证明如下：连结OA
∵AC ＝AB ，∠BAC ＝90°，O 为BC 的中点 ∴∠1＝∠2＝∠B ＝∠C ＝45° ∠4＋∠5＝90°，OB ＝OA 又∵AN ＝BM ，BMO ANO ∆≅∆∴ ∴NO ＝MO ，∠3＝∠5
∴∠3＋∠4＝90°，即∠MON ＝90° ∴ΔOMN 是等腰直角三角形
六、存在性探索题
例6. 如图6，已知E 是正方形ABCD 的边AB 的中点，∠B 的外角∠CBG 的平分线BF 交DE 的垂线EF 于F 。
（1）DE 与EF 是什么关系？（不用证明）
（2）若E 为AB 上的任意一点（点A 、B 除外），结论（1）还成立吗？若成立，给出证明，若不成立，请说明理由。
图6
分析：这是一道存在性探索题，解题思路一般用综合法，即从已知条件入手，向所求结论去思考，直至推出满足条件的结论为止。
解：（1）DE ＝EF
（2）结论（1）DE ＝EF 能成立。
证明：如图7
图7
在AD 上取一点H ，使AH ＝AE ，连接EH ，易证∠DHE ＝∠EBF ＝135°，DH ＝BE 又∵∠1＝90°－∠AED ∠2＝90°－∠AED ∴∠1＝∠2
≅∆∴DHE EBF ∆
∴DE ＝EF
七、图形设计题
例7. 如图8，已知在ΔABC 中，∠B ＝∠C ＝30°，请设计三种不同的分法，将ΔABC 分割成四个三角形，使得其中两个是全等三角形，而另外两个是相似但不全等的直角三角形，请画出分割线段，标出能说明分法的所得三角形的顶点和内角的度数（或记号）并在各种分法的空格线上填空（画图工具不限，不要证明，不要求写出画法）。
图8
注：两种分法只要有一条分割线段的位置不同，就认为是两种不同的分法。
分法一：分割后所得的四个三角形中，
∆
∆
∆≅∆Rt Rt ~
分法二：分割后所得的四个三角形中
∆
∆
∆≅∆Rt Rt ~
分法三：分割后所得的四个三角形中
∆
∆
∆≅∆Rt Rt ~
解析：由于ΔABC 中的三个内角都是特殊角，而要求所分割成的四个三角形中，至少有两个相似的直角三角形，因此在考虑画分割线时，应首先考虑画垂线，然后考虑要构成的全等三角形或相似三角形。
由此可得下面几种分法： 分法一：（图9）
EFB
Rt ADC Rt AEF AED ∆∆∆≅∆~
图9
分法二：（图10）
DAE
Rt ABD Rt EFD EFC ∆∆∆≅∆~
图10
分法三：（图11）
DCE
Rt ABD Rt DEF AEF ∆∆∆≅∆~
图11
分法四：（图12）
CDF
Rt DEF Rt EBD ABD ∆∆∆≅∆~
图12
分法五：（图13）
EBF
Rt ACD Rt AFE ADE ∆∆∆≅∆~
图13
此例还有多种不同的分割法，请同学们自己画出。