2021年高中数学第二章2.1.1平面学案新人教A版必修2
高中数学人教A版必修2导学案：2.1.1平面
高二数学必修2 2.1.1平面学案主备人: 审核:数学组日期2020年9月【学习目标】1、借助实例，体会生活中平面与立体几何中平面的异同，理解平面的描述性概念及其特性；通过观察和乡下生活中物体运用长方体模型感知点、直线、平面及其位置关系，探索、理解并掌握平面基本性质的三条公理。
2、会把文字语言转化为图形语言和符号语言，发展学生的数学语言交流能力。
【学习重难点】重点：点、线、面的理解与表示以及平面三个公理难点：公理的运用【知识】1、平面的概念:2、平面的画法及表示：3、点与线、点与面、线与面的关系：【学法指导】注意数学符号语言的运用【学习内容】课本43页例1（画图并解答，写在下面）课本43页课后练习1、2、3、4（1,2,3写书上。
4写在下面）4（1） （2） （3）思考：已知：EF ∩GH ＝P ，E ∈AB ，F ∈AD ，G ∈BC ，H ∈CD,则P 点的位置为（ ）变式：若α∩β＝l ，点 A 、B ∈α，C ∈β，试画出平面 ABC 与平面α、β的交线．【学习小结】数学语言的运用以及三个公理的应用【达标检测】1 下面是一些命题的叙述语,其中命题和叙述方法都正确的是（ ）A ．∵αα∈∈B A ,，∴α∈AB ． B ．∵βα∈∈a a ,，∴a =βα ．C ．∵α⊂∈a a A ,，∴A α∈．D ．∵α⊂∉a a A ,，∴α∉A ．2．下列推断中，错误的是（ ）A ααα⊂⇒∈∈∈∈lB l B A l A ,,,．B ．AB B B A A =⇒∈∈∈∈βαβαβα ,,,C ．βα∈∈C B A C B A ,,,,,，且A,B,C 不共线βα,⇒重合D ．αα∉⇒∈⊄A l A l ,3．两个平面把空间最多分成___部分，三个平面把空间最多分成__ 部分．【学习反思】：。
高中数学第二章数列 第2课时等差数列的性质学案含解析新人教A版必修
第2课时等差数列的性质[目标] 1.记住等差数列的一些常见性质；2.会用等差数列的性质解答一些简单的等差数列问题．[重点] 等差数列性质的应用．[难点] 等差数列性质的理解．知识点一等差数列的重要性质[填一填]1．a n＝a m＋(n－m)d(m,n∈N*)．2．若m＋n＝p＋q(m,n,q,p∈N*),则a m＋a n＝a p＋a q.[答一答]1．在等差数列{a n}中,若a m＋a n＝a p＋a q(m,n,p,q∈N*),则m＋n＝p＋q成立吗？提示：不一定．若数列{a n}是常数列,则m＋n＝p＋q不一定成立．2．在公差为d的等差数列{a n}中,若m＋n＝2p(m,n,p∈N*),则2a p与a m,a n有何关系？提示：2a p＝a m＋a n.3．在等差数列{a n}中,若m＋n＝p,则a m＋a n＝a p成立吗？提示：不成立．知识点二等差数列的其他性质[填一填]1．若{a n}是公差为d的等差数列,则下列数列：(1){c＋a n}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；(2){ca n}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；(3){a n＋a n＋k}(k为常数,k∈N*)是公差为2d的等差数列．2．若{a n},{b n}分别是公差为d1,d2的等差数列,则数列{pa n＋qb n}(p,q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．[答一答]4．在等差数列中,如何判断数列的单调性？提示：在等差数列{a n}中,a n＝a1＋(n－1)d.当d>0时,{a n}是递增数列；当d＝0时,{a n}是常数列；当d<0时,{a n}是递减数列．5．判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”． (1)等差数列去掉前面若干项后,剩下的项仍构成等差数列．( √ ) (2)摆动数列不可能是等差数列．( √ )(3)在等差数列{a n }中,若m ＋n ＋p ＝3t ,则a m ＋a n ＋a p ＝3a t .( √ )类型一 等差数列的性质应用[例1] (1)已知等差数列{a n },a 5＝10,a 15＝25,求a 25的值； (2)已知等差数列{a n },a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝70,求a 1＋a 9的值；(3)已知数列{a n },{b n }都是等差数列,且a 1＝2,b 1＝－3,a 7－b 7＝17,求a 19－b 19的值． [分析] 分析题目,可利用等差数列的性质,也可利用通项公式求解． [解] (1)方法一：设{a n }的公差为d ,则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝10，a 1＋14d ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝32，故a 25＝a 1＋24d ＝4＋24×32＝40.方法二：因为5＋25＝2×15,所以在等差数列{a n }中有a 5＋a 25＝2a 15,从而a 25＝2a 15－a 5＝2×25－10＝40.方法三：因为5,15,25成等差数列,所以a 5,a 15,a 25也成等差数列,因此a 25－a 15＝a 15－a 5,即a 25－25＝25－10,解得a 25＝40.(2)由等差数列的性质,得a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5＝a 1＋a 9,所以a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝70,于是a 5＝14,故a 1＋a 9＝2a 5＝28.(3)令c n ＝a n －b n ,因为{a n },{b n }都是等差数列,所以{c n }也是等差数列,设其公差为d ,由已知,得c 1＝a 1－b 1＝5,c 7＝17,则5＋6d ＝17,解得d ＝2,故a 19－b 19＝c 19＝5＋18×2＝41.在等差数列中,一般存在两种运算方法：一是利用基本量运算,借助于a 1,d 建立方程组进行运算,这是最基本的方法；二是利用性质运算,运用等差数列的性质可简化计算,往往会有事半功倍的效果.[变式训练1] (1)在等差数列{a n }中,a 2＝－5,a 6＝a 4＋6,则a 1等于( B ) A ．－9 B ．－8 C ．－7 D ．－4解析：∵{a n }是等差数列,∴a 6－a 4＝6＝2d . ∴d ＝3.∴a 1＋d ＝－5.∴a 1＝－8.(2)若数列{a n }的公差为2,则数列{3a n －2}的公差为( D ) A ．3 B ．4C．5 D．6解析：∵数列{a n}的公差为2,∴数列{3a n－2}的公差为3×2＝6.(3)设数列{a n},{b n}都是等差数列,且a1＝25,b1＝75,a2＋b2＝100,那么由a n＋b n所组成的数列的第37项的值为( C )A．0 B．37C．100 D．－37解析：设c n＝a n＋b n,则c1＝a1＋b1＝25＋75＝100,c2＝a2＋b2＝100.故d＝c2－c1＝0.故c n＝100(n∈N*)．从而c37＝100.类型二等差数列的实际应用[例2] 有一批影碟机原销售价为每台800元,在甲、乙两家商场均有销售．甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元,买两台单价为760元,以此类推,每多买一台则所买各台单价均减少20元,但每台最低不低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售．某单位需购买一批此类影碟机,问去哪一家商场购买花费较少？[分析] 先求出购买n台时甲商场的售价,再与购买n台时乙商场的售价作差比较．[解]设该单位需购买影碟机n台,在甲商场购买单价为a n元,当a n不低于440时,a1,a2,…,a n构成等差数列,则a n＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n,解不等式a n≥440,即800－20n≥440,得n≤18.当购买台数小于或等于18台时,每台售价为(800－20n)元,当购买台数大于18台时,每台售价为440元．到乙商场购买,每台售价为800×75%＝600(元)．又(800－20n)n－600n＝20n(10－n),所以,当n<10时,600n<(800－20n)n；当n＝10时,600n＝(800－20n)n；当10<n≤18时,(800－20n)n<600n；当n>18时,440n<600n.所以当购买台数少于10台时,到乙商场购买花费较少；当购买10台时,到两商场购买花费相同；当购买台数多于10台时,到甲商场购买花费较少．1.在实际问题中,若涉及一组与顺序有关的数的问题,可考虑利用数列方法解决,若这组数依次成直线上升或下降,则可考虑利用等差数列方法解决.2.在利用数列方法解决实际问题时,一定要分清首项、项数等关键问题.[变式训练2] 有一个很神秘的地方,那里有很多的雕塑,每个雕塑都是由蝴蝶组成的．第一个雕塑有3只蝴蝶,第二个雕塑有5只蝴蝶,第三个雕塑有7只蝴蝶,第四个雕塑有9只蝴蝶,以后的雕塑按照这样的规律一直延伸到很远的地方,学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里,那么,第102个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？解：由题知：a 1＝3,a 2＝5,a 3＝7,a 4＝9,…,可知其是以3为首项,2为公差的等差数列,则a n ＝2n ＋1,当n ＝102时,a 102＝205,当a n ＝999时,2n ＋1＝999,n ＝499.答：第102个雕塑是由205只蝴蝶组成的；由999只蝴蝶组成的雕塑是第499个． 类型三 等差数列的综合应用[例3] 已知两个等差数列5,8,11,…和3,7,11,…都是100项,求它们有多少个共同的项．[分析] 先写出两数列的通项公式,利用两通项公式寻找共同的项． [解] 解法一：设两个数列分别为{a n }与{b k }, 则a 1＝5,d 1＝8－5＝3,通项a n ＝5＋(n －1)·3＝3n ＋2；b 1＝3,d 2＝7－3＝4,通项b k ＝3＋(k －1)·4＝4k －1. 设数列{a n }的第n 项与{b k }的第k 项相同, 即a n ＝b k ,即3n ＋2＝4k －1. ∵n ＝43k －1,而n ∈N *,k ∈N *,∴k 必须为3的倍数,设k ＝3r (r ∈N *),得n ＝4r －1,由条件知⎩⎪⎨⎪⎧1≤3r ≤100，1≤4r －1≤100，解得12≤r ≤1014,又∵r ∈N *,∴1≤r ≤25(r ∈N *)． ∴共有25个共同的项．解法二：由解法一知两数列的通项分别为a n ＝3n ＋2,b k ＝4k －1,设共同项构成新数列{c n },则c 1＝11,∵数列{a n },{b n }均为等差数列,∴数列{c n }仍为等差数列,且公差为d ＝12. ∴c n ＝11＋(n －1)·12＝12n －1. 又∵a 100＝302,b 100＝399, ∴c n ＝12n －1≤302,∴n ≤25.25,∴两数列有25个共同项．本题是探求两个数列的公共项问题,解法一是常规解法,解法二利用了最小公倍数．通常是从通项公式入手,建立a n ＝b m 这样的方程,再求其一定范围内的整数解．本题常见的错误是求得数列a n ＝3n ＋2,b n ＝4n －1,即令3n ＋2＝4n －1,解得n ＝3,所以有一个公共项11,这显然是错误的．[变式训练3] 把数列{2n ＋1}中的项依次按第一个括号一个数,第二个括号两个数,第三个括号三个数,第四个括号四个数,第五个括号一个数,…循环,为：(3),(5,7),(9,11,13),(15,17,19,21),(23),(25,27),(29,31,33),(35,37,39,41),(43),…,则第104个括号内的各数之和为( D )A ．2 036B ．2 048C ．2 060D ．2 072解析：由观察发现,每四个括号是一个循环,一个循环由10个数组成,104个括号有26个循环,则第104个括号内有四个数,这四个数为数列3,5,7,9,…的第257项、第258项、第259项、第260项,分别为3＋(257－1)×2,3＋(258－1)×2,3＋(259－1)×2,3＋(260－1)×2,即515,517,519,521,其和为2 072.故选D.1．等差数列{a n }中,若a 2＋a 4 024＝4,则a 2 013＝( A ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．－2解析：∵2a 2 013＝a 2＋a 4 024＝4,∴a 2 013＝2.2．已知等差数列{a n }中,a 7＝π4,则tan(a 6＋a 7＋a 8)等于( C )A ．－33B ．－ 2C ．－1D ．1解析：∵在等差数列{a n }中,a 6＋a 7＋a 8＝3a 7＝3π4,∴tan(a 6＋a 7＋a 8)＝tan 3π4＝－1.3．如果等差数列{a n }中,a 1＝2,a 3＝6,则数列{2a n －3}是公差为4的等差数列． 解析：设数列{a n }的公差为d ,则a 3－a 1＝2d ＝4, 即d ＝2.故数列{2a n －3}的公差为4.4．在等差数列{a n }中,a 3＝7,a 5＝a 2＋6,则a 6＝13. 解析：设等差数列{a n }的公差为d . ∵a 5＝a 2＋6,∴a 5－a 2＝6,即3d ＝6,d ＝2. ∴a 6＝a 3＋3d ＝7＋3×2＝13. 5．在等差数列{a n }中： (1)若a 5＝a ,a 10＝b ,求a 15； (2)若a 3＋a 8＝m ,求a 5＋a 6； (3)若a 5＝6,a 8＝15,求a 14. 解：(1)∵a 5＋a 15＝2a 10,∴a 15＝2a 10－a 5＝2b －a .(2)解法一：∵a 3＋a 8＝(a 1＋2d )＋(a 1＋7d ) ＝2a 1＋9d ＝m ,∴a 5＋a 6＝(a 1＋4d )＋(a 1＋5d )＝2a 1＋9d ＝m . 解法二：∵5＋6＝3＋8, ∴a 5＋a 6＝a 3＋a 8＝m .(3)解法一：∵a 8＝a 5＋(8－5)d , 即15＝6＋3d ,∴d ＝3.∴a 14＝a 8＋(14－8)d ＝15＋6×3＝33. 解法二：∵数列{a n }是等差数列,∴数列a 5,a 8,a 11,a 14,…是等差数列,首项a 5＝6,公差d ＝a 8－a 5＝15－6＝9, ∴第四项a 14＝6＋3×9＝33.——本课须掌握的问题运用等差数列的性质,能够简化问题,提高准确性．常用的性质主要有： (1)d ＝a m －a n m －n(m ,n ∈N *,且n ≠m )； (2)a n ＝a m ＋(n －m )d (n ,m ∈N *)； (3)若m ＋n ＝p ＋q (m ,n ,p ,q ∈N *), 则a m ＋a n ＝a p ＋a q .特别地,若m ＋n ＝2p (m ,n ,p ∈N *), 则a m ＋a n ＝2a p .在解决等差数列问题时要注意项数(即项的下标)之间的关系．。
高中数学 2.1.1平面全册精品教案 新人教A版必修2
第一课时平面（一）教学目标1．知识与技能（1）利用生活中的实物对平面进行描述；（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图（3）掌握平面的基本性质及作用；（4）培养学生的空间想象能力.2．过程与方法（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；（2）让学生归纳整理本节所学知识.3．情感、态度与价值观使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣.（二）教学重点、难点重点：1、平面的概念及表示；2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.难点：平面基本性质的掌握与运用.（三）教学方法师生共同讨论法是20m；④平面是绝对的平，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念.生：平面是没有厚度，无限延展的；所以①②③错误；④正确.探索新知2．平面的画法及表示（1）平面的画法通常我们把水平的平面画成平行四边形，用平行四边形表示平面，其中平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住. 我们常把被遮挡的部分用垂线画出来.（2）平面的表示法1：平面α，平面β.法2：平面ABCD，平面AC或平面BD.（3）点与平面的关系平面内有无数个点，平面可看成点的集合. 点A在平面α内，记作：Aα∈. 点B在平面外，记作：Bα∉.师：在平面几何中，怎样画直线？(一学生上黑板画)师：这位同学画的实质上是直线的部分，通过想象两端无限延伸而认为是一条直线，仿照直线的画法，我们可以怎样画一个平面？生：画出平面的一部分，加以想象，四周无限延展，来表示平面.师：大家画一下.学生动手画平面，将有代表性的画在黑板上，教师给予点评，并指出一般画法及注意事项(作图)加深学生对平面概念的理解，培养学生知识迁移能力，空间想象能力和发散思想能力.探索新知3．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（1）公理1的图形如图（2）符号表示为：A lB llABααα∈⎫⎪∈⎪⇒⊂⎬∈⎪⎪∈⎭（3）公理1的作用：判断直线是否在平面内.公理2：过不在一条直线上的师：我们下面学习平面的基本性质的三个公理.所谓公理，就是不必证明而直接被承认的真命题，它们是进一步推理的出发点和根据. 先研究下列问题：将直线上的一点固定在平面上，调整直线上另一点的位置，观察其变化，指出直线在何时落在平面内.生：当直线上两点在一个平面内时，这条直线落在平面内.师：这处结论就是我们要讨论的公理1（板书）通过实验，培养学生观察、归纳能力.加深学生对公理的理解与记忆.三点有且只有一个平面.（1）公理2的图形如图（2）符号表示为：C ∉直线AB ⇒存在惟一的平面α，使得ABCααα∈⎧⎪∈⎨⎪∈⎩注意：（1）公理中“有且只有一个”的含义是：“有”，是说图形存在，“只有一个”，是说图形惟一，“有且只有一个平面”的意思是说“经过不在同一直线上的三个点的平面是有的，而且只有一个”，也即不共线的三点确定一个平面.“有且只有一个平面”也可以说成“确定一个平面.”（2）过A、B、C三点的平面可记作“平面ABC”公理3：如果两个不重合的平师：从集合的角度看，公理1就是说，如果一条直线（点集）中有两个元素（点）属于一个平面（点集），那么这条直线就是这个平面的真子集.直线是由无数个点组成的集合，点P在直线l上，记作P∈l；点P在直线l外，记作P ∉l；如果直线l上所有的点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l，记作lα⊂，否则就说直线l在平面α外，记作lα⊄.下面请同学们用符号表示公理1.学生板书，教师点评并完善.大家回忆一下几点可以确定一条直线生：两点可确定一条直线.师：那么几点可以确定上个平面呢？学生思考，讨论然后回答.生1：三点可确定一个平面师：不需要附加条件吗？生2：还需要三点不共线师：这个结论就是我们要讨论的公理2师投影公理2图示与符号表示，分析注意事项.师：下面请同学们观察教加强学生对知识的理解，培养学生语言（符号图形）的表达能力.学生在观察、实验讨论中得出正确结论，加深了对知识的理解，还培养了他们思维的严谨面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. （1）公理3的图形如图（2）符号表示为：lP P lαβαβ=⎧∈⇒⎨∈⎩（3）公理3作用：判断两个平面是否相交.室的天花板与前面的墙壁，思考这两个平面的公共点有多少个？它们有什么特点.生：这两个平面的无穷多个公共点，且所有这些公共点都在一条直线上.师：我们把这条直线称为这两个平面的公共直线.事实上，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.（板书）这就是我们要学的公理3.性.典例分析例1 如图，用符号表示下图图形中点、直线、平面之间的位置关系.分析：根据图形，先判断点、直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来.解：在（1）中，l αβ=，a A α=，aB β=.在（2）中，l αβ=，a α⊂，b β⊂，a l P =，b l P =.学生先独立完成，让两个学生上黑板，师生给予点评巩固所学知识随堂练习1．下列命题正确的是（ ） A ．经过三点确定一个平面 B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．四边形确定一个平面D ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面2．（1）不共面的四点可以确定几个平面？学生独立完成 答案： 1．D2．（1）不共面的四点可确定4个平面.（2）共点的三条直线可确定一个或3个平面.3．（1）×（2）√（3）√（4）√巩固所学知识备选例题例1 已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面．证明 1o若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点A，但A ∉d ，如图1．∴直线d 和A 确定一个平面α． 又设直线d 与a ，b ，c 分别相交于E ，F ，G ， 则A ，E ，F ，G ∈α．∵A ，E ∈α，A ，E ∈a ，∴a ⊂α． 同理可证b ⊂α，c ⊂α． ∴a ，b ，c ，d 在同一平面α内．2o当四条直线中任何三条都不共点时，如图2． ∵这四条直线两两相交，则设相交直线a ，b 确定一个平面α．设直线c 与a ，b 分别交于点H ，K ，则H ，K ∈α． 又 H ，K ∈c ，∴c ⊂α． 同理可证d ⊂α．∴a ，b ，c ，d 四条直线在同一平面α内．说明：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．例2 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C 与平面BDC 1交于点O ，AC 、BD 交于点M ，求证：点C 1、O 、M 共线.分析：要证若干点共线的问题，只需证这些点同在两个相交平面内即可. 解答：如图所示A 1A ∥C 1C ⇒确定平面A 1CA 1C ⊂平面A 1C又O ∈A 1C平面BC 1D ∩直线A 1C = O⇒O ∈平面A 1CM O B 1C 1D 1A 1D C B Aαb adcG F EAa bcd α H K 图1图2⇒O∈平面BC1D⇒O在平面A1C与平面BC1D的交线上.AC∩BD = M⇒M∈平面BC1D且M∈平面A1C平面BC1D∩平面A1C = C1M⇒O∈C1M，即O、C1、M三点共线.评析：证明点共线的问题，一般转化为证明这些点同是某两个平面的公共点.这样，可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上.。
高中数学必修二2.1.1平面教案新人教A版必修2
点 A 在平面 α 外（或平面 α 不经过点 A）
图5 A∈ａ Aa A∈ α
Aα
元素与 集合间 的关系
④直线上有一个点在平面内，直线没有全部落在平面内
( 图 7) ，直线上有两个点在平面内，则直线全
部落在平面内 . 例如用直尺紧贴着玻璃黑板，则直尺落在平面内
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
§2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
§2.1.1 平面
一、教材分析
平面是最基本的几何概念 , 教科书以课桌面、黑板面、海平面等为例 , 对它只是加以描述而不定义 . 立
体几何中的平面又不同于上面的例子 , 是上面例子的抽象和概括 , 它的特征是无限延展性 . 为了更准确地理
.
公理 1： 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内
.
2
这是用文字语言描述，我们也可以用符号语言和图形语言（图
6）描述 .
空间图形的基本元素是点、直线、平面 . 从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、
平面看成是点的集合， 因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外， 还可借用集合中的符号语言来表示 .
的点、直线、平面之间有哪些位置关系呢？本节我们将讨论这个问题
.
（二）推进新课、新知探究、提出问题 ①怎样理解平面这一最基本的几何概念 ; ②平面的画法与表示方法 ; ③如何描述点与直线、平面的位置关系？ ④直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内？直线与平面至少有几个公共点才能判断直线在平面
1
内？
解平面 , 教材重点介绍了平面的基本性质 , 即教科书中的三个公理 , 这也是本节的重点 . 另外 , 本节还应充分
高中数学 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 新人教A版必修2
公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据。
精品课件
例1、用符号表示下列图形中点、直线、平 面之间的关系。
解 ：左边的图中， α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B。 右边的图中， α∩β＝l，a α，b β， a∩l=P，b∩l=P。
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新疆 王新敞
奎屯
求证： P 在直线 BD 上新疆 王新敞 奎屯
A
P EH
D
G
B
C
F
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证明：∵ EH FG P ，∴ PEH ， P FG ， ∵ E, H 分别属于直线 AB, AD ， ∴ EH 平面 ABD，∴ P 平面 ABD， 同理： P 平面 CBD ， 又∵平面 ABD 平面 CBD BD ，
集合中“∈”的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，“ ”和“∩”的符号只能
用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用
几何语言．（平面α外的直线 a）表示 a （平面α外的直线 a）表示 a 或 a A．
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问题4：如果直线l与平面α有一个公共点P，直线l是否在平面α内？ 直线l不一定在平面α内。
答案：（1）×（2）√（3）×（4）√
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2．①一条直线与一个平面会有几种位置关系
．
②如图所示，两个平面、，若相交于一点，则会发生什么现象.
③几位同学的一次野炊活动，带去一张折叠方桌，不小心弄坏了桌脚，
有一生提议可将几根一样长的木棍，在等高处用绳捆扎一下作桌脚（如图
所示），问至少要几根木棍，才可能使桌面稳定？
（5）
直线在平面内
aα
直线与平面相交
新课标人教A版高中数学必修2教学案(完整版)
第一章：空间几何体1.1.1柱、锥、台、球的结构特征一、教学目标1．知识与技能（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。
（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
（3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。
（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。
2．过程与方法（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。
（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3．情感态度与价值观（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。
（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。
二、教学重点、难点重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。
难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。
三、教学用具（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。
（2）实物模型、投影仪四、教学思路（一）创设情景，揭示课题1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。
教师对学生的活动及时给予评价。
2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体），你能通过观察。
根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。
（二）、研探新知1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。
2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。
在此基础上得出棱柱的主要结构特征。
（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边互相平行。
概括出棱柱的概念。
4．教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。
5．提出问题：各种这样的棱柱，主要有什么不同？可不可以根据不同对棱柱分类？请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？6．以类似的方法，让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念，分类以及表示。
2020_2021学年高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.2.1第2课时对数的运算学案含解析新人教A版必
第2课时对数的运算内容标准学科素养1.理解对数的运算性质．2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．3.会运用运算性质进行一些简单的化简与证明.提升数学运算发展逻辑推理授课提示：对应学生用第45页[基础认识]知识点一对数的运算性质预习教材P66，思考并完成以下问题(1)我们知道a m＋n＝a m·a n，那么log a(M·N)＝log a M·log a N正确吗？举例说明．提示：不正确．例如log24＝log2(2×2)＝log22·log22＝1×1＝1，而log24＝2.(2)你能推出log a(MN)(M>0，N>0)的表达式吗？提示：能．令a m＝M，a n＝N，∴MN＝a m＋n.由对数的定义知log a M＝m，log a N＝n，log a(MN)＝m＋n，∴log a(MN)＝log a M＋log a N.预习教材P64－65，思考并完成以下问题知识梳理若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)log a(M·N)＝log a M＋log a N，(2)log aMN＝log aM－log a N，(3)log a M n＝n log a M(n∈R)．知识点二 换底公式(1)①log 28；②log 232；③log 832各为何值？提示：①log 28＝3；②log 232＝5；③log 832＝log 8853＝53.(2) log 832＝log 232log 28成立吗？提示：成立．知识梳理 1.若c >0且c ≠1，则log a b ＝log c blog c a (a >0，且a ≠1，b >0)．2．换底公式常用推论log an b n ＝log a b (a >0，a ≠1，b >0，n ≠0)； log am b n ＝nmlog a b (a >0，a ≠1，b >0，m ≠0，n ∈R )；log a b ·log b a ＝1(a >0，b >0，a ≠1，b ≠1)；log a b ·log b c ·log c d ＝log a d (a >0，a ≠1，b >0，b ≠1，c >0，c ≠1，d >0)．[自我检测]1．计算：log 62＋log 63＝( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．2解析：log 62＋log 63＝log 6(2×3)＝log 66＝1. 答案：A2．log 29·log 34＝( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4解析：log 29·log 34＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3lg 2·2lg 2lg 3＝4.答案：D3.log 29log 23＝__________. 解析：log 29log 23＝log 39＝log 332＝2.答案：2授课提示：对应学生用书第46页探究一 对数运算性质的应用[阅读教材P 65例4]求下列各式的值：(1)log 2(47×25)；(2)lg 5100.题型：对数化简求值[例1] 计算下列各式的值： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg245；(2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2； (3)lg 2＋lg 3－lg10lg 1.8.[解析] (1)原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43·32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5＝12lg 2＋12lg 5 ＝12(lg 2＋lg 5) ＝12lg 10＝12. (2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2 ＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2 ＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.(3)原式＝12lg 2＋lg 9－lg 10lg 1.8＝lg 18102lg 1.8＝lg 1.82lg 1.8＝12. 方法技巧 解决对数运算的常用方法解决对数的运算问题，主要依据是对数的运算性质．常用方法有： (1)将真数化为“底数”“已知对数的数”的幂的积，再展开； (2)将同底数的对数的和、差、倍合并； (3)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.跟踪探究 1.计算：(1)2log 122＋log 123；(2)lg 500－lg 5； (3)已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，求lg45.解析：(1)原式＝log 1222＋log 123＝log 124＋log 123＝log 1212＝1. (2)原式＝lg 5005＝lg 100＝lg 102＝2lg 10＝2.(3)∵lg45＝lg 4512＝12lg(5×9)＝12(lg 5＋lg 9)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 102＋lg 32＝12(1－lg 2＋2lg 3)，又∵lg 2＝0.301 0， lg 3＝0.477 1， ∴lg45＝12(1－0.301 0＋2×0.477 1)＝0.826 6.探究二 换底公式的应用 [例2] 计算： (1)lg 20＋log 10025；(2)(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 1258＋log 254＋log 52). [解析] (1)lg 20＋log 10025＝1＋lg 2＋lg 25lg 100＝1＋lg 2＋lg 5＝2.(2)(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 1258＋log 254＋log 52)＝(log 253＋log 2252＋log 235)·(log 5323＋log 5222＋log 52)＝⎝⎛⎭⎪⎫3＋1＋13log 25·(1＋1＋1)log 52＝133·3＝13.方法技巧 换底公式的应用技巧(1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式． 跟踪探究 2.计算(log 43＋log 83)×lg 2lg 3.解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8×lg 2lg 3 ＝lg 32lg 2×lg 2lg 3＋lg 33lg 2×lg 2lg 3 ＝12＋13＝56. 探究三 对数的综合应用[阅读教材P 66例5] 题型：对数的应用[例3] (1)在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v (单位：m/s)和燃料的质量M (单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m (单位：kg)满足e v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋M m 2 000(e 为自然对数的底)．(ln 3≈1.099)，当燃料质量M 为火箭(除燃料外)质量m 的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)．(2)已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645.(用a ，b 表示)[解析] (1)因为v ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋M m 2 000＝2 000·ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋M m ，所以v ＝2 000·ln 3≈2 000×1.099＝2 198(m/s)．故当燃料质量M 为火箭质量m 的两倍时，火箭的最大速度为2 198 m/s. (2)因为18b ＝5，所以b ＝log 185. 所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 185×9log 182×18＝log 185＋log 189log 182＋log 1818＝a ＋b 1＋log 182＝a ＋b1＋log 18189＝a ＋b2－log 189 ＝a ＋b2－a.延伸探究 1.若本例(2)条件不变，如何求log 1845(用a ，b 表示)?解析：因为18b ＝5，所以log 185＝b ，所以log 1845＝log 189＋log 185＝a ＋b . 2．若将本例(2)条件“log 189＝a,18b ＝5”改为“log 94＝a,9b ＝5”，则又如何求解呢？ 解析：因为9b ＝5，所以log 95＝b .所以log 3645＝log 945log 936＝log 95×9log 94×9＝log 95＋log 99log 94＋log 99＝b ＋1a ＋1. 方法技巧 解对数应用题的步骤授课提示：对应学生用书第47页[课后小结]1．在应用对数运算性质解题时，要保证每个对数式都有意义，避免出现lg(－5)2＝2lg(－5)等形式上的错误．2．对于底数相同的对数式的化简，常用的方法： (1)“合”：将同底的对数的和(差)合为积(商)的对数； (2)“拆”：将积(商)的对数拆成同底数的对数的和(差)．3．对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．4．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．[素养培优]对数运算中忽视隐含条件致误已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则xy的值为__________．易错分析：在对数运算中，易忽视隐含条件真数大于0致误．自我纠正：因为lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，所以xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0，即(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y ，所以x y ＝1或xy＝4.由已知等式知，x >0，y >0，x －2y >0，而当xy＝1时，x －2y <0，此时lg(x －2y )无意义，所以xy＝1不符合题意，应舍去；当x y ＝4时，将x ＝4y 代入已知条件，符合题意，所以xy＝4.答案：4。
高中数学 2.1.1《平面》导学案 新人教A版必修2
【学习目标】知识与技能：利用生活中的实物对平面进行描述；掌握平面的表示法及水平放置的直观图；掌握平面的基本性质及作用；培养学生的空间想象能力。
过程与方法：通过共同讨论，增强对平面的感性认识；归纳整理本节所学知识情感态度与价值观：认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣。
【重点难点】学习重点：1、平面的概念及表示；2、平面的基本性质，注意它们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。
学习难点：平面基本性质的掌握与运用。
【学法指导】通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，从而较好地完成本节课的学习目标。
【知识链接】生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多例子吗？【学习过程】A问题1、平面含义A问题2、平面的画法A问题3、平面的表示平面通常用希腊字母（）等表示，如（）等，也可以用表示平面的平行四边形的（）来表示，如（）等。
如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成（）A问题４、点与平面的关系：平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。
点A在平面α内，记作：点B在平面α外，记作：A例1、判断下列各题的说法正确与否，在正确的说法的题号后打√，否则打×：1）、一个平面长 4 米，宽 2 米； ( )2）、平面有边界； ( )3）、一个平面的面积是 25 cm 2； ( )4）、菱形的面积是 4 cm 2； ( )5）、一个平面可以把空间分成两部分. ( )A问题5如果直线l与平面α有一个公共点，直线l是否在平面α内？如果直线l与平面α有两个公共点呢？·B1A 问题6公理1： 符号表示为公理1作用：判断直线是否在平面内B 问题7公理2：符号表示为：公理2作用：确定一个平面的依据。
注意：（1）公理中“有且只有一个”的含义是：“有”，是说图形存在，“只有一个”，是说图形惟一，“有且只有一个平面”的意思是说“经过不在同一直线上的三个点的平面是有的，而且只有一个”，也即不共线的三点确定一个平面.“有且只有一个平面”也可以说成“确定一个平面.B 问题8公理3：符号表示为：公理3作用：判定两个平面是否相交的依据B 例题教材P43 例1【基础达标】B 课本P43 练习1、2、3、4①为什么有的自行车后轮旁只安装一只撑脚？②三角形、梯形是否一定是平面图形？为什么？③四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面图形吗？为什么？④用符号表示下列语句，并画出图形：⑴点A 在平面α内，点B 在平面α外；⑵直线L 在平面α内，直线m 不在平面α内；⑶平面α和β相交于直线L⑷直线L 经过平面α外一点P 和平面α内一点Q ；⑸直线L 是平面α和β的交线，直线m 在平面α内, 和m 相交于点P.【学习反思】1．平面的概念，画法及表示方法.2．平面的性质及其作用3．符号表示C · B· A · α P · α L β。
2021年高中数学 全册学案 新人教A版必修2(付,213页)
第一章空间几何体1.1空间几何体的结构1．1.1柱、锥、台、球的结构特征第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征[目标] 1.记住棱柱、棱锥、棱台的定义及结构特征；2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系；3.能用棱柱、棱锥、棱台的定义及结构特征解答一些简单的有关问题．[重点] 棱柱、棱锥、棱台的定义及结构特征．[难点] 棱柱、棱锥、棱台之间关系的理解．知识点一空间几何体[填一填]1．空间几何体的定义空间中的物体都占据着空间的一部分，如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．2．空间几何体的分类(1)多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．(2)旋转体：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴．[答一答]1．多面体与旋转体的主要区别是什么？提示：多面体是由多个多边形围成的几何体，旋转体是由平面图形绕轴旋转而形成的几何体．2．多面体最少有几个面，几个顶点，几条棱？提示：多面体最少有4个面、4个顶点和6条棱．知识点二棱柱的结构特征[填一填]有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．[答一答]3．棱柱的各侧棱是什么关系？各侧面是什么样的多边形？两个底面的关系是怎样的？提示：根据棱柱的定义，棱柱的各侧棱互相平行，侧面是平行四边形，两个底面是全等的多边形．4．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱吗？提示：不一定，因为“其余各面都是平行四边形”并不等价于“每相邻两个四边形的公共边都互相平行”，如右图所示．知识点三棱锥的结构特征[填一填]有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的多面体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．[答一答]5．棱锥的侧面是什么样的多边形？有什么特征？提示：根据棱锥的定义，棱锥的侧面一定是三角形，且各个三角形有公共顶点．6．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥吗？提示：不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图所示．知识点四棱台的结构特征[填一填]用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面间的部分叫做棱台．原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面．[答一答]7．棱台的各侧棱是什么关系？各侧面是什么样的多边形？两个底面是什么关系？提示：棱台的各侧棱延长后交于一点，各侧面是梯形，两个底面是相似的多边形．8．观察下面的几何体，思考问题：图①是棱台吗？图②用任意一个平面去截棱锥，一定能得到棱台吗？提示：图①不是棱台，因为各侧棱延长后不交于一点，图②中只有用平行于底面的平面去截才能得到棱台．类型一棱柱的结构特征[例1]下列关于棱柱的说法：(1)所有的面都是平行四边形；(2)每一个面都不会是三角形；(3)两底面平行，并且各侧棱也平行；(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱．其中正确的序号是________．[解析](1)错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；(2)错误，棱柱的底面可以是三角形；(3)正确，由棱柱的定义易知；(4)正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以说法正确的序号是(3)(4)．[答案](3)(4)棱柱的结构特征：(1)两个面互相平行；(2)其余各面是四边形；(3)相邻两个四边形的公共边互相平行.求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征.[变式训练1]如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，请说明理由．解：(1)是棱柱，并且是四棱柱．因为以长方体相对的两个面作为底面，则底面都是四边形，其余各面都是矩形，矩形当然是平行四边形，并且几何体的四条侧棱互相平行．(2)截面BCFE上方的部分是棱柱，且是三棱柱BEB1-CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面．截面BCFE下方的部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1-DCFD1，其中四边形ABEA1和四边形DCFD1是底面．类型二棱锥、棱台的结构特征[例2](1)如图，在三棱台A′B′C′-ABC中，截去三棱锥A′-ABC，则剩余部分是() A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．三棱台(2)下列关于棱锥、棱台的说法：①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；②棱台的侧面一定不会是平行四边形；③棱锥的侧面只能是三角形；④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥，其中正确说法的序号是________．[解析](1)由题意知，在三棱台A′B′C′中，截去三棱锥A′-ABC，剩下的部分如图所示，故剩余部分是四棱锥A′-BB′C′C.故选B.(2)①错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；②正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；③正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；④正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；⑤错误，如图所示四棱锥被平面P AC截成的两部分都是棱锥．[答案](1)B(2)②③④判断棱锥、棱台形状的两个方法(1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法：棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点[变式训练2]如图，下列几何体是棱台的是④(填序号)．解析：①③都不是由棱锥截成的，不符合棱台的定义，故①③不满足题意．②中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义，故②不满足题意．④符合棱台的定义．类型三空间几何体的展开图问题[例3](1)请画出如图所示的几何体的表面展开图；(2)如图是两个几何体的表面展开图，请问各是什么几何体？[解](1)展开图如图所示．(答案不唯一)(2)根据表面展开图还原成几何体，如图③和④所示，可知①为五棱柱，②为三棱台．(1)解答此类问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力.(2)若给出多面体画其展开图时，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面.(3)若是给出表面展开图，则可把上述程序逆推.[变式训练3]某城市中心广场主题建筑为一三棱锥，且所有边长均为10 m，如图所示，其中E，F分别为AD，BC的中点．(1)画出该几何体的表面展开图，并注明字母；(2)为迎接国庆，城管部门拟对该建筑实施亮化工程，现预备从底边BC中点F处分别过AC，AB上某点向AD中点E处架设LED灯管，所用灯管长度最短为多少？解：(1)该几何体的表面展开图为(2)由该几何体的展开图知，四边形ACBD为菱形，四边形ABCD为菱形．若使由F 向E所架设灯管长度最短，可由其展开图中连接线段EF.这两条线段均为10，故所用灯管最短为20 m.1．有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为(D) A．四棱柱B．四棱锥C．三棱柱D．三棱锥2．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是(B)A．棱柱的侧棱长都相等B．四棱锥有五个顶点C．三棱台的上、下底面是相似三角形D．有的棱台的侧棱长都相等解析：根据棱锥顶点的定义可知，四棱锥只有一个顶点，故B不正确．3．如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是(C)A．①③B．②④C．③④D．①②解析：可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体．4．下列几何体中，①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台(仅填相应序号)．解析：结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台．5．画一个三棱台，再把它分成：(1)一个三棱柱和另一个多面体．(2)三个三棱锥，并用字母表示．解：画三棱台一定要利用三棱锥．(1)如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′-AB″C″，另一个多面体是B′C′BCC″B″.(2)如图②所示，三个三棱锥分别是A′-ABC，B′-A′BC，C′-A′B′C.——本课须掌握的四大问题1．对于多面体概念的理解，注意以下两个方面：(1)多面体是由平面多边形围成的，围成一个多面体至少要四个面．(2)多面体是一个“封闭”的几何体．2．对于棱柱的定义注意以下三个方面：(1)有两个面平行，各侧棱都平行，各侧面都是平行四边形．(2)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱．(3)从运动的观点看，棱柱可以看成是一个平面多边形，从一个位置沿一条不与其共面的直线运动到另一位置时，形成的几何体．3．对于棱锥要注意有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，必须强调其余各面是共顶点的三角形．4．棱台中各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台．学习至此，请完成课时作业1学科素养培优精品微课堂柱、锥、台结构特征判断中的误区开讲啦(1)解答过程中易忽视侧棱的延长线不能交于一点，直观感觉是棱台，而不注意逻辑推理．(2)解答空间几何体概念的判断题时，要注意紧扣定义，切忌只凭图形主观臆断．[典例]如图所示，几何体的正确说法的序号为________．(1)这是一个六面体；(2)这是一个四棱台；(3)这是一个四棱柱；(4)此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到；(5)此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到．[解析](1)正确，因为有六个面，属于六面体的范围；(2)错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确；(3)正确，如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱；(4)(5)都正确，如图所示．[答案](1)(3)(4)(5)[对应训练]如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是(A)A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体D．不能确定解析：符合棱柱的定义．第2课时圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征[目标] 1.记住圆柱、圆锥、圆台、球的定义及它们的结构特征；2.能用圆柱、圆锥、圆台的定义及结构特征解答一些相关问题．[重点] 圆柱、圆锥、圆台、球的定义及结构特征．[难点] 圆柱、圆锥、圆台之间关系的理解．知识点一圆柱[填一填]以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线．棱柱和圆柱统称为柱体．[答一答]1．①在圆柱中，圆柱的任意两条母线是什么关系？过两条母线的截面是怎样的图形？②在圆柱中，过轴的截面是轴截面，圆柱的轴截面是什么图形？轴截面含有哪些重要的量？③圆柱上底面圆周上任一点与下底面圆周上任一点的连线是圆柱的母线吗？提示：①圆柱的任意两条母线平行，过两条母线的截面是矩形．②圆柱的轴截面是矩形，轴截面中含有圆柱的底面直径与圆柱的母线．③不一定．圆柱的母线与轴是平行的．知识点二圆锥[填一填]以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥．棱锥与圆锥统称为锥体．[答一答]2．直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥吗？提示：不是．当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底面圆锥组成的几何体．知识点三圆台[填一填]用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台．棱台与圆台统称为台体．[答一答]3．类比圆柱、圆锥的形成过程，圆台可以由平面图形旋转而成吗？提示：(1)圆台可以看作是直角梯形以垂直底边的腰所在的直线为旋转轴，其他三边旋转一周而成的曲面所围成的几何体．(2)圆台也可以看作是等腰梯形以其两底边的中点连线为轴，各边旋转半周形成的曲面所围成的几何体．知识点四球体[填一填]以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球．半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径．[答一答]4．半圆或圆绕它的直径所在直线旋转一周形成什么？它与球有区别吗？提示：半圆或圆绕它的直径所在直线旋转一周形成球面．球面是一曲面，它只能度量面积而不能度量体积，球是由球面围成的几何体，它不仅可以度量球的表面积，还可以度量其体积．5．用一个平面去截球，得到的是一个圆吗？提示：不是，得到的是一个圆面，球是一个几何体，包括表面及其内部．类型一旋转体的结构特征[例1](1)下列叙述中，正确的个数是()①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥．②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台．③用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．④圆面绕它的任一直径旋转一周形成的几何体是球．A．0个B．1个C．2个D．3个(2)给出下列命题：①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是()A．①②B．②③C．①③D．②④[解析](1)以直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体不是圆锥，故①错；以直角梯形的一斜腰为轴旋转一周所得的旋转体不是圆台，故②错；当截面与底面不平行时，得到的两个几何体不是圆锥和圆台，故③错．故只有④是正确的．故选B.(2)由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确，①③错误．[答案](1)B(2)D简单旋转体判断问题的解题策略(1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键．(2)解题时要注意两个明确：①明确由哪个平面图形旋转而成；②明确旋转轴是哪条直线．[变式训练1] 以下说法中：①圆台上底面的面积与下底面的面积之比一定不等于1；②矩形绕任意一条直线旋转都可以围成圆柱；③圆锥侧面的母线长一定大于圆锥底面圆直径；④圆台的上下底面不一定平行，但过圆台侧面上每一点的母线都相等． 其中正确的序号为①. 解析：圆台上、下底面不等，所以面积比不等于1，所以①正确；矩形绕其一边所在直线旋转才可以围成圆柱，所以②不正确；圆锥母线不一定大于底面直径，所以③不正确；圆台的上、下底面一定平行，所以④不正确．类型二 旋转体的有关计算命题视角1：圆柱、圆锥、圆台的计算问题[例2] 已知一个圆台的母线长为12 cm ，两底面的面积分别为4π cm 2和25π cm 2，求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．[分析] 在解答有关台体的问题时，一般要把台体还原成锥体，这就是常应用的“还台为锥”的思想，不仅在作图时应用，而且在计算时也常应用此思想寻求元素间的关系，以便解决问题．[解] (1)设圆台的轴截面为等腰梯形ABCD (如图所示)．由题意可得上底的一半O 1A ＝2 cm ，下底的一半OB ＝5 cm ，腰长AB ＝12 cm ，所以圆台的高AM ＝122－(5－2)2＝315(cm)．(2)如图，延长BA ，OO 1，CD ，交于点S ，设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm ，则由△SAO 1∽△SBO ，得l －12l ＝25， 解得l ＝20.故截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体问题平面化.对于圆台的轴截面，可将两腰延长相交后在三角形中求解.这是解答圆台问题常用的方法.[变式训练2] 用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截得圆台的上、下底面半径之比是14，截去的小圆锥的母线长是3 cm ，则圆台的母线长9 cm. 解析：如右图，设圆台的母线长为y ，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x,4x .根据相似三角形的性质得33＋y ＝x 4x，解此方程得y ＝9.所以圆台的母线长为9 cm. 命题视角2：球的截面问题 [例3] 已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别是12π和16π，求这两个截面间的距离．[分析] 画出球的截面图，球心与截面圆心连线垂直于截面所在的平面，构造直角三角形解决．对于球的两个平行截面要注意讨论它们在球心同侧还是异侧，否则容易漏解．[解] 设球的大圆为圆O ，C ，D 两点为两截面圆的圆心，AB 为经过C ，O ，D 三点的直径且两截面圆的半径分别是6和8.当两截面在球心同侧时，如图(1)，此时CD ＝OC －OD ＝OE 2－EC 2－OF 2－DF 2＝8－6＝2.当两截面在球心两侧时，如图(2)，此时CD ＝OC ＋OD ＝OE 2－EC 2＋OF 2－DF 2＝8＋6＝14.故两截面间的距离为2或14.利用球的截面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键.[变式训练3] 已知正方体的棱长为a ，求它的外接球的半径．解：正方体的外接球与正方体相连接的点为正方体的各个顶点，故应作正方体的对角面，则球的轴截面为对角面矩形的外接圆，如图所示，设球的半径为R 2，则(2R 2)2＝(2a )2＋a 2⇒R2＝3 2a.类型三旋转体的展开图问题[例4]如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在点A处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由点A爬到点B，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？[解]把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图，连接AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离．∵AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，∴AA′＝2π×1＝2π，∴AB′＝A′B′2＋AA′2＝4＋(2π)2＝21＋π2，故蚂蚁爬行的最短距离为21＋π2.求旋转体侧面上两点间的最短距离，一般转化为侧面展开图上两点间的距离进行求解.[变式训练4]若本例中蚂蚁围绕圆柱转两圈，如图，则它爬行的最短距离是多少？解：可把圆柱展开两次，如图，则AB′即为所求．∵AB＝2，BB′＝2×2π×1＝4π，∴AB′＝AB2＋BB′2＝4＋16π2＝21＋4π2.故蚂蚁爬行的最短距离为21＋4π2.1．下图是由哪个平面图形旋转得到的( D )解析：组合体上半部分是圆锥，下半部分是一个圆台，因此应该是由上半部分为三角形，下半部分为梯形的平面图形旋转而成的，观察四个选项得D 正确．2．下列说法正确的是( C )A ．用一平面去截圆台，截面一定是圆面B ．通过圆台侧面上一点，有无数条母线C ．圆台的任意两条母线延长后相交于同一点D ．圆锥的母线可能平行解析：对于A ，用一平面去截圆台，当截面与底面不平行时，截面不是圆面；对于B ，通过圆台侧面上一点，只有一条母线；对于D ，圆锥的母线延长后交于顶点，因此不可能平行．3．若A ，B 为球面上相异的两点，则通过A ，B 两点可作球的大圆有( D )A ．一个B ．无穷多个C ．零个D ．一个或无穷多个解析：若A ，B 为一条直径的两端点，则经过A ，B 两点可作无数个大圆．若A ，B 与球心O 不在同一直线上，只能作一个大圆．故选D.4．一个圆锥的母线长为20 cm ，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为10 3 cm. 解析：h ＝20cos30°＝10 3 (cm)．5．已知圆锥底面半径r ＝1 cm ，母线l ＝6 cm ，现有一只蚂蚁，从圆锥底面圆周上的点A 沿侧面爬一周后又回到点A ，求它至少要爬的路程．解：如图，将圆锥侧面沿母线P A 展开，所得扇形的圆心角θ＝r l ·360°＝16×360°＝60°. 连接AA ′，则AA ′的长度就是蚂蚁爬的最短距离．因为△AA ′P 是等边三角形，所以AA ′＝AP ＝6 cm ，即蚂蚁至少要爬6 cm.——本课须掌握的三大问题1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．2．处理台体问题常采用还台为锥的补体思想．3．重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想．1．1.2 简单组合体的结构特征[目标] 1.了解组合体的概念；2.会用柱、锥、台、球的结构特征描述简单组合体的结构特征．[重点] 对简单组合体两种基本形式的认识．[难点] 把简单组合体分解为简单几何体．知识点一 简单组合体的结构特征[填一填]1．定义：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．2．简单组合体的两种基本形式：简单组合体⎩⎪⎨⎪⎧由简单几何体拼接而成；由简单几何体截去或挖去一部分而成. [答一答]1．组合体的形式有哪些？提示：(1)多面体与多面体的组合体．(2)旋转体与旋转体的组合体．(3)多面体与旋转体的组合体．2．如图是一暖瓶，不考虑提手，其主要的结构特征是什么？提示：把暖瓶看作一个旋转体，它是一个简单组合体，是由两个圆柱和一个圆台拼接而成的．类型一简单组合体的结构特征[例1](1)如图①所示的物体为燕尾槽工件，请说明该物体是由哪些几何体构成的．(2)指出图②中三个几何体的主要结构特征．[解](1)图①中的几何体可以看做是一个长方体割去一个四棱柱所得的几何体，也可以看成是一个长方体与两个四棱柱组合而成的几何体(如图所示)．(2)(A)中的几何体由一个三棱柱挖去一个圆柱后剩余部分组合而成，其中圆柱内切于三棱柱．(B)中的几何体由一个圆锥挖去一个四棱柱后剩余部分组合而成，其中四棱柱内接于圆锥．(C)中的几何体由一个球挖去一个三棱锥后剩余部分组合而成．其中三棱锥内接于球．会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，我们应注意观察周围的物体，然后将它们“分拆”成几个简单的几何体，进而培养我们的空间想象能力和识图能力.[变式训练1]请描述如图所示的组合体的结构特征．解：①是由一个圆台挖去一个圆锥后剩下的部分得到的组合体；②是由一个四棱柱和一个四棱锥组合而成的组合体．类型二平面图形旋转形成的组合体[例2]已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的一腰，如图．分别以AB，BC，CD，DA为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．[解](1)以AB为轴旋转所得旋转体是圆台．如图①所示．(2)以BC为轴旋转所得的旋转体是一组合体：下部为圆柱，上部为圆锥．如图②所示．(3)以CD为轴旋转所得的旋转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥．如图③所示．(4)以AD为轴旋转所得的旋转体为一组合体：一个圆柱上部挖去一个圆锥．如图④所示．对于不规则的平面图形绕轴旋转的问题，要对原平面的图形通过向轴作垂线，作适当的分割，再根据圆柱、圆锥、圆台的特征进行判断.[变式训练2]如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为(B)。
高中数学第2章2.1.1平面课件新人教A版必修2
图形语言 或
[归纳总结] 从集合的角度理解点、线、面之间的位置关系 (1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的 关系，用“∈”或“∉”表示． (2) 平 面 也 可 以 看 成 点 集 ， 故 点 与 平 面 的 关 系 也 是 元 素 与 集 合 的 关 系 ， 用 “∈”或“∉”表示． (3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用 “⊂”或“⊄”表示．
象的数学概念．其中正确说法的个数为( A )
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] 因为平面是无限延展的，故(1)错；平面是无厚度的，故(2)错；平
面是无限延展的，不可度量，故(3)错；平面是平滑、无厚度、无限延展的，故
(4)正确．
2．(2018·永春一中高一期末)下列说法正确的是( D ) A．三点确定一个平面 B．四边形一定是平面图形 C．共点的三条直线确定一个平面 D．梯形一定是平面图形 [解析] A中三点共线时为直线，故A错误；B中四边形可为空间四边形，故 B错误；C中共点的三条直线可能共面，也可能确定三个平面，故选D.
〔跟踪练习3〕 已知E、F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、BC的中点．求证：A1、 C1、E、F四点共面． [证明] 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AA1 CC1，∴四边形 ACC1A1 为平 行四边形，∴A1C1∥AC. ∵E、F 分别为 AB、BC 的中点， ∴EF∥AC. ∴A1C1∥EF. ∴直线 A1C1 与 EF 确定一个平面 α， ∴A1、C1、E、F 四点共面于平面 α.
3．已知直线m⊂平面α，P∉m，Q∈m，则( D)
A．P∉α，Q∈α
2019_2020学年高中数学第2章2.1.1平面学案新人教A版必修2
2.1.1 平面学习目标核心素养1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法．(难点) 2．能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．(重点)3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用．(难点、易错点) 1.通过对平面有关概念的学习，培养直观想象的数学素养．2．通过平面基本性质的应用，培养逻辑推理、直观想象的数学素养.1．平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．思考：一个平面能否把空间分成两部分？[提示]因为平面是无限延展的，一个平面把空间分成两部分．2．平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图①．(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②．①②3．平面的表示法上图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面B D．4．平面的基本性质公理内容图形符号公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α公理2 过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线?存在唯一的平面α使A，B，C∈α公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α，P∈β?α∩β＝l且P∈l思考：经过空间任意三点能确定一个平面吗？[提示]不一定，只有经过空间不共线的三点才能确定一个平面．1．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是( )A．A∈l，lαB．A∈l，l?αC．A?l，l?αD．A?l，lα[答案]B2．如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为( )A．平面MN B．平面NQPC．平面αD．平面MNPQA[表示平面不能用一条线段的两个端点表示，但可以表示为平面MP，选A.]3．任意三点可确定平面的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．1或无数个D[当这三点共线时，可确定无数个平面；当这三点不共线时，可确定一个平面．]立体几何三种语言的相互转化【例1】用符号表示下列语句，并画出图形．(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上．[解](1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图．(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C AB，如图．三种语言的转换方法：(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．(2)要注意符号语言的意义. 如点与直线的位置关系只能用“∈”或“”，直线与平面的位置关系只能用“?”或“?”．(3)由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．1．用符号语言表示下列语句，并画出图形：(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.[解](1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示：如图①．(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示：如图②．点线共面问题【例2】如图，已知：a?α，b?α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ?α.[证明]∵PQ∥a，∴PQ与a确定一个平面β.∴直线a?β，点P∈β.∵P∈b，b?α，∴P∈α.又∵a?α，∴α与β重合．∴PQ?α.解决点线共面问题的基本方法：2．求证：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内．[解]已知：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C.求证：直线AB，BC，AC共面．证明：法一：因为AC∩AB＝A，所以直线AB，AC可确定一个平面α.因为B∈AB，C∈AC，所以B∈α，C∈α，故B C?α.因此直线AB，BC，AC都在平面α内，所以直线AB，BC，AC共面．法二：因为A不在直线BC上，所以点A和直线BC可确定一个平面α.因为B∈BC，所以B∈α，又A∈α，所以AB?α.同理AC?α，故直线AB，BC，AC共面．法三：因为A，B，C三点不在同一条直线上，所以A，B，C三点可以确定一个平面α.因为A∈α，B∈α，所以AB?α，同理BC?α，AC?α，故直线AB，BC，AC共面．点共线、线共点问题[探究问题]1．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1＝E.能否判断点E在平面A1BCD1内？[提示]如图，连接BD1，∵A1C∩平面ABC1D1＝E，∴E∈A1C，E∈平面ABC1D1.∵A1C?平面A1BCD1，∴E∈平面A1BCD1.2．上述问题中，你能证明B，E，D1三点共线吗？[提示]由于平面A1BCD1与平面ABC1D1交于直线BD1，又E∈BD1，根据公理3可知B，E，D1三点共线．【例3】如图，已知平面α，β，且α∩β＝l. 设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB?α，CD?β.求证：AB，CD，l共点(相交于一点).思路探究：梯形的两腰→找交点→探求交点与面α，β的位置关系→得结论[证明]因为梯形ABCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的两腰.所以AB，CD必定相交于一点.设AB∩CD＝M.又因为AB?α，CD?β，所以M∈α，M∈β.所以M∈α∩β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.即AB，CD，l共点(相交于一点).本例变为：如图所示，在空间四边形各边AD、AB、BC、CD上分别取E、F、G、H四点，如果EF、GH交于一点P，求证：点P在直线BD上．[证明]若EF、GH交于一点P，则E，F，G，H四点共面，又因为EF?平面ABD，GH?平面CBD，平面ABD∩平面CBD＝BD，所以P∈平面ABD，且P∈平面CBD，由公理3可得P∈BD.1．证明三点共线的方法(1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知，这些点都在两个平面的交线上．(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上．2．证明三线共点的步骤(1)首先说明两条直线共面且交于一点；(2)说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交；(3)得到交线也过此点，从而得到三线共点．1．立体几何的三种语言图形语言、符号语言、文字语言是立体几何的三大语言，要准确实现这三种语言的相互转换．2．三个公理的作用：公理1——判定直线在平面内的依据；公理2——判定点共面、线共面的依据；公理3——判定点共线、线共点的依据．3．证明几点共线的方法：首先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点. 或先由某两点作一条直线，再证明其他点也在这条直线上．1．有以下结论：①平面是处处平的面；②平面是无限延展的；③平面的形状是平行四边形；④一个平面的厚度可以是0.001 cm.其中正确的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4B[平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，①②两种说法是正确的；③④两种说法是错误的．故选 B.]2．下列空间图形画法错误的是( )A B C DD[遮挡部分应画成虚线．故D错，选 D.]3．如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为( ) A．A?a，a?α，B∈αB．A∈a，a?α，B∈αC．A?a，a∈α，B?αD．A∈a，a∈α，B∈αB[点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，表示为A∈a，a?α，B∈α.]4．如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，求证：点P在直线DE上．[证明]因为P∈AB，AB?平面ABC，所以P∈平面ABC.又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE.。
2021学年数学人教A版必修2学案 第2章
第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2．1.1平面[目标] 1.理解平面的概念，会画一个平面及会表示平面；2.会用符号语言表示空间点、直线、平面之间的位置关系；3．掌握三个公理并会简单应用．[重点] 平面的画法、表示；用符号语言描述点与直线、直线与平面、点与平面的关系；三个公理及简单应用．[难点] 对平面的理解及三个公理的简单应用．知识点一平面的概念[填一填]1．概念：平面是从生活中抽象出来的，具有以下特点：①平；②无限延展；③没有厚薄．2．画法：(1)通常用平行四边形来表示平面．(2)当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成45°，且横边长是邻边长的2倍；当平面竖直放置时，通常把平行四边形的一组对边画成铅垂线．3．表示法：一般用希腊字母α，β，γ，…来表示，还可以用代表平面的平行四边形的四个顶点或相对的两个顶点的大写英文字母表示，如平面ABCD、平面AC.[答一答]1．课桌面、黑板面、海面是平面吗？提示：虽然课桌面、黑板面、海面给我们以平面的形象，但是平面是无限延展的，所以它们不是平面．2．如下图所示，平面(1)和平面(2)哪个大？提示：平面无厚薄、无大小，是无限延展的，所以两个平面之间无法比较大小．3．我们常用平行四边形表示平面，所以平行四边形就是一个平面，这句话对吗？提示：不对，我们通常用平行四边形表示平面，但平面是无限延展的，所以平行四边形不是一个平面．知识点二点、直线、平面之间位置关系的三种语言表示[填一填][答一答]4．如图，点A∈平面ABC；点A∉平面BCD；BD⊂平面ABD；平面ABC∩平面BCD＝BC.知识点三平面的基本性质[填一填][答一答]5．如果线段AB在平面α内，那么直线AB在平面α内吗？为什么？提示：直线AB在平面α内，因为线段AB在平面α内，所以线段AB上的所有点都在平面α内，故线段AB上A，B两点一定在平面α内，由公理1可知直线AB在平面α内．6．经过三点有多少个平面？提示：当三点不共线时，由公理2可知，经过这三点有且只有一个平面．而当三点共线时，经过这三点有无数个平面．7．若两个平面相交，则有几条交线？若点P是这两个平面的公共点，那么点P在哪里？提示：两个平面相交只有一条交线，点P在交线上．类型一平面的概念、画法及表示[例1](1)给出下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50 m，宽为20 m；④平面是绝对平的、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为________．(2)下图中的两个相交平面，其中画法正确的是__________________________________________．[分析]根据平面的特征及表示来判断．[解析](1)由平面的概念知，平面是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判断命题④正确，其余的命题都不符合平面的概念，所以命题①②③都不正确．(2)对于①，图中没有画出平面α与平面β的交线，另外图中的实线、虚线也没有按照画法原则去画，因此①的画法不正确．同样的道理，也可知②③图形的画法不正确，④中图形画法正确．[答案](1)1(2)④(1)平面是无限延展的，不能度量其面积；平面没有厚薄之分，不能度量其体积；平面可以用任意平面图形来表示．(2)在平面几何中，凡是所引的辅助线都要画成虚线，但在立体几何中，能看见的线要画成实线，看不见的线要画成虚线．[变式训练1]下列对平面的描述语句：①平静的太平洋面就是一个平面；②平面ABCD的面积为100 cm2；③三角形、圆、平行四边形都可以表示平面；④平面可以看成空间中点的集合，它当然是一个无限集．其中正确的是③④.解析：序号正误原因分析①×太平洋面只是给我们以平面的形象，而平面是抽象的，且无限延展的②×平面不能度量大小③√三角形、圆、平行四边形都是平面图形，可以用来表示平面④√平面是空间中点的集合，是无限集类型二之间的关系[例2](1)用文字语言表述语句“l⊂α，m∩α＝A，A∉l”表示的点、线、面的位置关系，并画出图形；(2)用符号语言表示下图所表示的点、线、面的位置关系．[解](1)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，图形如图所示．(2)题图表示的点、线、面的位置关系可用符号语言表示为α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，l∩n＝P，m∥l.(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.(2)要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”.[变式训练2]把下列符号叙述所对应的图形的序号填在题后的横线上：(1)A∉α，a⊂α：③.(2)α∩β＝a，P∉α，且P∉β：④.(3)a⊄α，a∩α＝A：①.(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O：②.类型三公理的应用命题视角1：共面问题[例3]过直线l外一点P引两条直线P A，PB和直线l分别相交于A，B两点，求证：三条直线P A，PB，l共面．[分析]根据条件点P，A，B确定一个平面，再证直线l，P A，PB在这个平面内．[证明]如图，∵点P，A，B不共线，∴点P，A，B确定一个平面α.∴P∈α，A∈α，B∈α.∴P A⊂α，PB⊂α.又A∈l，B∈l，∴l⊂α.∴P A，PB，l共面．证明点、线共面的两种方法方法一：先由确定平面的条件确定一个平面，然后再证明其他的点、线在该平面内．方法二：先由有关点、线确定一个平面α，再由其余元素确定一个平面β，然后根据有关定理，证明这两个平面重合．[变式训练3]如图，已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：直线a，b，c，l共面．证明：∵a∥b，∴a和b确定一个平面α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.故l⊂α.又a∥c，∴a和c确定一个平面β.同理l⊂β.即l和a既在α内又在β内，且l与a相交，故α，β重合，即直线a，b，c，l共面．命题视角2：共线与共点问题[例4]如右图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且直线EH与直线FG交于点O.求证：B，D，O三点共线．[分析]解答本题只要证明点O在平面ABD与平面CBD的交线BD上即可．[证明]∵E∈AB，H∈AD，∴E∈平面ABD，H∈平面ABD.∴EH⊂平面ABD.∵EH∩FG＝O，∴O∈平面ABD.同理O∈平面BCD，即O∈(平面ABD∩平面BCD)，∴O∈BD，即B，D，O三点共线．(1)证明三点共线的常用方法：,方法一：首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点.根据公理3知，这些点都在交线上.,方法二：选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在其上.(2)证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题.[变式训练4]在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF FC＝DH HA＝23，求证：EF，GH，BD交于一点．证明：如图，因为E，G分别为BC，AB的中点，所以GE∥AC.又因为DF FC＝DH HA＝23，所以FH∥AC，从而FH∥GE，故E，F，H，G四点共面．所以四边形EFHG是一个梯形，GH和EF交于一点O.因为O在平面ABD内，又在平面BCD内，所以O在这两平面的交线上，而这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条，所以点O在直线BD上．这就证明了GH和EF的交点也在BD上，所以EF，GH，BD交于一点.1．下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是(D)解析：画两个相交平面时，被遮住的部分用虚线表示．2．若点Q在直线b上，b在平面β内，则Q，b，β之间的关系可记作(B)A．Q∈b∈βB．Q∈b⊂βC．Q⊂b⊂βD．Q⊂b∈β解析：∵点Q(元素)在直线b(集合)上，∴Q∈b.又∵直线b(集合)在平面β(集合)内，∴b⊂β，∴Q∈b⊂β.3．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l ＝C，则直线AB∩β＝C.解析：∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.4．(1)空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定4个平面．(2)空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定7个平面．解析：(1)可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面．(2)可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面．5．如图，已知D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点．(1)作直线AB与平面α的交点P；(2)求证：D，E，P三点共线．解：(1)延长AB交平面α于点P，如图所示．(2)证明：∵平面ABC∩平面α＝DE，P∈AB，AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.又∵P∈α，∴P在平面α与平面ABC的交线DE上，即P∈DE，∴D，E，P三点共线．——本课须掌握的两大问题1．解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚．2．在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时要体会三个公理的作用，体会先部分再整体的思想．2．1.2空间中直线与直线之间的位置关系[目标] 1.会判断空间两直线的位置关系；2.理解异面直线的定义，会求两异面直线所成角；3.能用公理4解决一些简单的相关问题．[重点] 两直线位置关系的判断；公理4的应用；异面直线的定义及两异面直线所成的角．[难点] 异面直线定义的理解；求两异面直线所成的角．知识点一空间直线的位置关系[填一填]1．异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线．2．空间直线的三种位置关系：[答一答]1．若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a，b是否为异面直线？为什么？提示：a，b不一定是异面直线，因为a，b也有可能平行或相交．根据异面直线的定义，若a，b是异面直线，则找不到任何一个平面，使得直线a，b都在这个平面内．2．若两条直线没有公共点，那么这两条直线的关系是怎样的？提示：这两条直线平行或异面．知识点二公理4和等角定理[填一填]1．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．符号表示：a∥b，b∥c⇒a∥c.2．定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．[答一答]3．已知∠BAC＝30°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠B′A′C′＝(C)A．30°B．150°C．30°或150°D．大小无法确定解析：两个角的两边分别对应平行，那么这两个角是相等或互补关系，所以∠B′A′C′＝30°或150°.4．若两个角的两边分别对应平行，且两个角的开口方向相同，那么这两个角的关系是什么？提示：相等．知识点三异面直线所成的角[填一填][答一答]5．在异面直线所成角的定义中，角的大小与点O的位置有关系吗？提示：根据等角定理可知，a′与b′所成角的大小与点O的位置无关．但是为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上，特别是这一直线上的某些特殊点(如线段的端点、中点等)．6．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，∠BAE＝25°，则异面直线AE与B1C1所成的角的大小为65°.解析：∵B1C1∥BC，∴异面直线AE与B1C1所成的角是∠AEB ＝90°－25°＝65°.类型一空间两条直线的位置关系[例1]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，以下四个结论：①直线DM与CC1是相交直线；②直线AM与NB是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的为________(把你认为正确的结论的序号都填上)．[分析]利用平行直线、相交直线、异面直线的定义判断．[解析]①中直线DM与直线CC1在同一平面内，它们不平行，必相交．故结论正确．③④中的两条直线既不相交也不平行，即均为异面直线，故结论正确．②中AM与BN是异面直线，故②不正确．故填①③④.[答案]①③④判定两条直线是异面直线的方法(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图)．[变式训练1](1)如图，AA1是长方体的一条棱，这个长方体中与AA1异面的棱的条数是(B)A．6B．4C．5D．8解析：与AA1异面的棱有CD、C1D1、BC、B1C1共4条．(2)若a，b，c是空间三条直线，a∥b，a与c相交，则b与c的位置关系是相交或异面．解析：b与c不可能平行，相交、异面都可能．类型二公理4与等角定理的应用[例2]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.[分析](1)欲证四边形BB1M1M是平行四边形，可证BB1与MM1平行且相等；(2)可结合(1)利用等角定理证明或利用三角形全等证明．[证明](1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，∴MM1綊AA1.又∵AA1綊BB1，∴MM1∥BB1，且MM1＝BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM，由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．∴∠BMC＝∠B1M1C1.(1)公理4表明了平行线的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明方法.,(2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等.[变式训练2]如右图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G 分别是AB，BB1，BC的中点．求证：△EFG∽△C1DA1.证明：连接B1C.因为G，F分别为BC，BB1的中点，所以GF綊12B1C.又ABCD-A1B1C1D1为正方体，所以CD綊AB，A1B1綊AB，由公理4知CD綊A1B1，所以四边形A1B1CD为平行四边形，所以A1D綊B1C.又B1C∥FG，由公理4知A1D∥FG.同理可证：A1C1∥EG，DC1∥EF.又∠DA1C1与∠EGF，∠A1DC1与∠EFG，∠DC1A1与∠GEF的两边分别对应平行且均为锐角，所以∠DA1C1＝∠EGF，∠A1DC1＝∠EFG，∠DC1A1＝∠GEF.所以△EFG∽△C1DA1.类型三异面直线所成的角[例3]如图，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：(1)BE与CG所成的角．(2)FO与BD所成的角．[解](1)如图，因为CG∥BF，所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG 所成的角为45°.(2)如图，连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形，所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH为等边三角形，又知O 为AH 的中点，所以∠HFO ＝30°，即FO 与BD 所成的角为30°.求两异面直线所成的角的三个步骤(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；(2)证：证明作出的角就是要求的角；(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出．可作“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角θ的取值范围为0°<θ≤90°.[变式训练3] 四面体A -BCD 中，AB ＝CD ，AB 与CD 成30°角，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，求EF 和AB 所成的角．解：如图，取BD 的中点G ，连接EG ，FG .∵E ，F ，G 分别是BC ，AD ，BD 的中点，∴EG 綊12CD ，GF 綊12AB .∴∠EGF (或∠EGF 的补角)为AB 与CD 所成的角，即∠EGF ＝30°或150°.∵AB ＝CD ，∴EG ＝GF ，故由等腰△EGF ，知∠GFE ＝75°或15°.而由FG ∥AB ，知∠GFE 就是EF 和AB 所成的角．从而EF 和AB 所成的角为75°或15°.1．若a 和b 是异面直线，b 和c 是异面直线，则a 和c 的位置关系是( D )A ．异面或平行B ．异面或相交C ．异面D ．相交、平行或异面 2．若a ，b 是异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是( D )A ．相交B ．异面C ．平行D ．异面或相交3．已知棱长为a 的正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，M ，N 分别为CD ，AD 的中点，则MN 与A ′C ′的位置关系是平行．解析：如图所示，MN ∥AC 且MN ＝12AC ，又因为AC ∥A ′C ′，所以MN ∥A ′C ′.4．如图，在三棱锥A -BCD 中，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，AD 的中点，∠GEF ＝120°，则BD 和AC 所成角的度数为60°.解析：依题意知，EG ∥BD ，EF ∥AC ，所以∠GEF 或其补角即为异面直线AC 与BD 所成的角，又∠GEF ＝120°，所以异面直线BD 与AC 所成的角为60°.5．如图所示，在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别是AB ，CD 的中点．若EF ＝2，求AD ，BC 所成的角．解：如图，取BD的中点H，连接EH，FH，因为E是AB的中点，且AD＝2，所以EH∥AD，EH＝1.同理FH∥BC，FH＝1，所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD，BC所成的角，又因为EF＝2，所以EH2＋FH2＝EF2，所以△EFH 是等腰直角三角形，EF是斜边，所以∠EHF＝90°，即AD，BC所成的角是90°.——本课须掌握的两大问题1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角为θ，且0°<θ≤90°，解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小．2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2．1.4平面与平面之间的位置关系[目标] 1.会判断直线与平面、平面与平面的位置关系；2.会用符号语言和图形语言表示直线与平面、平面与平面的位置关系．[重点] 直线与平面、平面与平面位置关系的判断．[难点] 直线与平面、平面与平面位置关系的判断．知识点一直线与平面的位置关系[填一填]1．位置关系：有且只有三种(1)直线在平面内——有无数个公共点；(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点；(3)直线与平面平行——没有公共点．直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外．2．符号表示：直线l在平面α内，记为l⊂α；直线l与平面α相交于点M，记为l∩α＝M；直线l与平面α平行，记为l∥α.3．图示：直线l在平面α内，如下图(1)所示；直线l与平面α相交于点M，如下图(2)所示；直线l与平面α平行，如下图(3)所示．[答一答]1．假如不小心一支铅笔掉在地面上，那么铅笔所在的直线与地面有何关系？提示：直线在平面内．2．直线l在平面α外，l就与α无公共点吗？提示：直线l在平面α外包含两种情况：l与α平行，l与α相交．若l与α相交，则有唯一的公共点．所以直线l在平面α外，l与α不一定没有公共点．3．若直线l上有无数个点都在平面α外，则直线l与平面α的位置关系是什么？提示：相交或平行．知识点二平面与平面的位置关系[填一填]1．位置关系：有且只有两种(1)两个平面平行——没有公共点；(2)两个平面相交——有一条公共直线．2．符号表示：两个平面α，β平行，记为α∥β；两个平面α，β相交于直线l，记为α∩β＝l.3．图示：两个平面α，β平行，如下图(1)所示；两个平面α，β相交于直线l，如下图(2)所示．[答一答]4．两本书所在的平面可以平行吗？公共点的个数是多少？提示：可以，无公共点．5．两本书所在的平面可以相交吗？公共点的个数是多少？提示：可以，有无数个公共点．类型一直线与平面之间的位置关系[例1]下列命题中正确的是()A．如果a、b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面B．如果直线a和平面α满足a∥α，那么a平行于平面α内的任何一条直线C．如果直线a、b满足a∥α，b∥α，则a∥bD．如果直线a、b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α[解析]如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面AB′内，故选项A不正确；AA′∥平面B′C，BC⊂平面B′C，但AA′不平行于BC，故选项B不正确；AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，但AA′与A′D′相交，所以选项C不正确；选项D中，假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即选项D正确．故选D.[答案] D判断空间中直线与平面的位置关系，一般先作出几何图形，直观判断，然后依据公理给出严格证明．另外，借助模型(如长方体)举反例也是解决这类问题的有效方法．[变式训练1]如图所示，A′B与长方体ABCD-A′B′C′D′的六个面所在的平面有什么位置关系？解：∵直线A′B与平面ABB′A′有无数个公共点，∴直线A′B在平面ABB′A′内．∵直线A′B与平面ABCD，BCC′B′都有且只有一个公共点B，∴直线A′B与平面ABCD，BCC′B′相交．∵直线A′B与平面ADD′A′，A′B′C′D′都有且只有一个公共点A′，∴直线A′B与平面ADD′A′，A′B′C′D′相交．∵直线A′B与平面DCC′D′没有公共点，∴直线A′B与平面DCC′D′平行．类型二平面与平面之间的位置关系命题视角1：两平面位置关系的判断[例2]如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是()A．平行B．相交C．平行或相交D．垂直相交[解析]可根据题意作图(如图①②)，判断．[答案] C两个平面之间的位置关系有且只有两种：平行和相交.判断两个平面之间的位置关系的主要依据是两个平面之间有没有公共点.解题时要善于将文字语言或符号语言转换成图形语言，借助空间图形作出判断.[变式训练2]α，β是两个不重合的平面，下面说法正确的是(C)A．平面α内有两条直线a，b都与平面β平行，那么α∥βB．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥βC．平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥βD．以上说法均正确解析：根据两平面相交和平行的定义进行判断，A，B都不能保证α，β无公共点，正确答案为C.命题视角2：两平面位置关系的作图[例3]完成下列作图．(1)在图中画出两个平行平面．(2)在图中画出两个相交平面．(3)在图中画出一个平面与两个平行平面相交．(4)在图中画出三个两两相交的平面．[解]动手作图对于空间想象能力的培养大有帮助，也能够更深刻地理解空间中直线与平面、平面与平面的位置关系.另外注意空间中不同情况的讨论，这也是一种分类讨论思想的具体体现.[变式训练3](1)两个平面将空间分成几部分？(2)将一个三棱柱的各面延展成平面后，这些平面可将空间分成几部分？解：(1)两个平面平行时，将空间分成三部分；两个平面相交时，将空间分成四部分．(2)如图，将三棱柱的三个侧面延展成平面后，可将空间分成7部分，然后将三棱柱的两底面延展成平面，那么每一个平面将这7部分一分为二，故共分成3×7＝21部分．1．过平面外两点，可作这个平面的平行线条数为(D)A．1条B．2条C．无数条D．不确定解析：可能有1条，也可能没有．2．若a∩α＝A，则直线a与平面α内的直线的可能关系是(B) A．相交B．相交或异面C．异面与平行D．相交或平行3．在如图正方体中，与平面AA1C1C平行的棱有BB1和DD1，与棱BB1平行的平面有平面AD1和平面DC1.4．下列命题：①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.其中错误命题的序号为①②.解析：对于①，两个平面相交，则有一条交线，也是有无数个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD-A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误．5．指出如下图所示的图形的画法是否正确，若不正确，则画出正确的图形．解：都不正确．正确的画法如下图所示．——本课须掌握的两大问题1．直线和平面的位置关系(1)在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交，统称直线在平面外，可以用记号a⊄α来表示a∥α、a∩α＝A 这两种情形．(2)一般地，直线a在平面α内，应把直线a画在表示平面α的平行四边形内；直线a与平面α平行时，把a画成与表示平面α的平行四边形的水平边平行．2．两个平面的位置关系两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系相类似，可以从有无公共点来区分．如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知：这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面相互平行．2．2直线、平面平行的判定及其性质2．2.1直线与平面平行的判定[目标] 1.理解并掌握直线与平面平行的判定定理，明确定理中“平面外”三个字的重要性；2.能利用判定定理证明线面平行问题．[重点] 直线与平面平行的判定定理及应用．[难点] 在应用时在平面内找到直线与已知直线平行．知识点直线与平面平行的判定定理[填一填][答一答]1．直线和平面平行的判定定理中如果没有“不在一个平面内”的限制条件，结论还成立吗？为什么？提示：结论不一定成立．因为直线a可能在平面α内．2．如果一条直线与平面内无数条直线平行，那么这条直线与这个平面平行吗？提示：不一定平行，有可能直线在平面内．3．直线a∥直线b，直线a∥平面α，那么直线b与平面α的位置关系是什么？提示：b∥α或b⊂α.类型一线面平行判定定理的理解[例1]下列说法中正确的是()A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥αB．若直线a在平面α外，则a∥αC．若直线a∥b，b⊂α，则a∥αD．若直线a∥b，b⊂α，那么直线a平行于平面α内的无数条直线[解析]选项A中，直线l⊂α时l与α不平行；直线在平面外包括直线与平面平行和直线与平面相交两种情况，所以选项B不正确；选项C中直线a可能在平面α内；选项D正确．故选D.[答案] D正确理解直线与平面平行的判定定理和掌握直线和平面的位置关系是解决此类题目的关键，可以采用直接法，也可以使用排除法.[变式训练1]设b是一条直线，α是一个平面，则由下列条件不能得出b∥α的是(A)A．b与α内一条直线平行B．b与α内所有直线都无公共点C．b与α无公共点D．b不在α内，且与α内的一条直线平行解析：A中b可能在α内；B、C显然是正确的，D是线面平行的判定定理，所以选A.类型二线面平行的证明命题视角1：以锥体、台体为背景证明线面平行。
2021年高中数学第二章2.3.2平面与平面垂直的判定学案新人教A版必修2
2.3.2 平面与平面垂直的判定[目标] 1.理解二面角及其平面角的定义并会求一些简单二面角的大小；2.理解两平面垂直的定义；3.掌握两个平面垂直的判定定理并能应用判定定理证明面面垂直问题．[重点] 两个平面垂直的判定定理及应用．[难点] 二面角、二面角平面角定义的理解；求二面角．知识点一二面角及其平面角[填一填]1．二面角2.二面角的平面角(1)满足条件：如图，二面角α-l-β的平面角为∠AOB，则平面角∠AOB应满足的条件为：①O∈l；②OA⊥l；③OB⊥l.(2)直二面角：若二面角α-l-β的平面角∠AOB＝90°，则该二面角叫做直二面角．(3)表示方法：图中二面角可记为二面角α-l-β或P-l-Q.[答一答]1．二面角是一个角吗？其平面角是否只有一个？提示：不是，二面角是从一条直线出发的两个半平面构成的空间图形．不是，其平面角有无数个．知识点二平面与平面垂直[填一填]1．定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．如果平面α与平面β垂直，记作α⊥β.2．画法：两个互相垂直的平面，通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直．如下图(1)(2)所示．3．判定定理文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．符号语言：l⊥α，l⊂β⇒α⊥β.图形语言：如图所示．[答一答]2．面面垂直的判定定理的条件有几个，减少一个条件定理是否还成立？提示：判定定理有两个条件，若去掉一个条件，则定理不一定成立．3．当开启房门时，为什么房门转到任何位置时，门所在平面都与地面垂直？提示：因为房门无论转到什么位置，都始终经过与地面垂直的门轴，根据两个平面垂直的判定定理知，门所在平面都与地面垂直．4．过一点有多少个平面与已知平面垂直？为什么？提示：过一点有无数个平面与已知平面垂直，虽然过一点有且只有一条直线和已知平面垂直，但是经过这条垂线的所有平面都和已知平面垂直．类型一二面角的概念及求法[例1]如图，四边形ABCD是正方形，P A⊥平面ABCD，且P A＝AB.(1)求二面角A-PD-C平面角的度数；(2)求二面角B-P A-D平面角的度数；(3)求二面角B-P A-C平面角的度数．[分析](1)证明平面P AD⊥平面PCD；(2)，(3)先找出二面角的平面角，再证明该角满足平面角的定义，最后在三角形中求角的大小．[解](1)∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥CD.又四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD.P A∩AD＝A，∴CD⊥平面P AD.又CD⊂平面PCD，∴平面P AD⊥平面PCD.∴二面角A-PD-C平面角的度数为90°.(2)∵P A⊥平面ABCD，∴AB⊥P A，AD⊥P A.∴∠BAD为二面角B-P A-D的平面角．又由题意知∠BAD＝90°，∴二面角B-P A-D平面角的度数为90°.(3)∵P A⊥平面ABCD，∴AB⊥P A，AC⊥P A.∴∠BAC为二面角B-P A-C的平面角．又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°，即二面角B-P A-C平面角的度数为45°.清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点.求二面角的大小的方法为：一作，即先作出二面角的平面角；二证，即说明所作角是二面角的平面角；三求，即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，其中关键是“作”.[变式训练1]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是BD的中点，二面角C1-AB-C 的平面角是∠C1BC；二面角C1-BD-C的平面角是∠C1OC，其正切值为 2.类型二平面与平面垂直的判定[例2]如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝12AA1，D是棱AA1的中点．证明：平面BDC1⊥平面BDC.[证明]由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.又DC1⊂平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC.又DC1⊂平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.判定两平面垂直的常用方法：(1)定义法：即说明两个平面所成的二面角是直二面角；(2)判定定理法：其关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面.[变式训练2]如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，P A＝PC＝2a.求证：(1)PD⊥平面ABCD；(2)平面P AC⊥平面PBD.证明：(1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝2a，∴PC2＝PD2＋DC2，则PD⊥DC.同理可证PD⊥AD.又AD∩DC＝D，且AD⊂平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PD⊥平面ABCD.(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC.∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又BD∩PD＝D，且PD⊂平面PBD，BD⊂平面PBD，∴AC⊥平面PBD.又AC ⊂平面P AC ，∴平面P AC ⊥平面PBD . 类型三 线面垂直、面面垂直的综合应用[例3] 如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形，E ，F 分别是BC ，CC 1的中点．(1)证明：平面AEF ⊥平面B 1BCC 1；(2)若直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角为45°，求三棱锥F -AEC 的体积． [解] (1)证明：因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，所以BB 1⊥平面ABC ，所以AE ⊥BB 1.又E 是正三角形ABC 的边BC 的中点，所以AE ⊥BC .因此AE ⊥平面B 1BCC 1.而AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面B 1BCC 1.(2)如图，设AB 的中点为D ，连接A 1D ，CD .因为△ABC 是正三角形，所以CD ⊥AB .又三棱柱ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CD ⊥AA 1.因此CD ⊥平面A 1ABB 1，于是∠CA 1D 为直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角． 由题设，∠CA 1D ＝45°， 所以A 1D ＝CD ＝32AB ＝ 3. 在Rt △AA 1D 中，AA 1＝A 1D 2－AD 2＝3－1＝2，所以FC ＝12AA 1＝22.故三棱锥F -AEC 的体积V ＝13S △AEC ×FC ＝13×32×22＝612.本题是涉及线面垂直、面面垂直、二面角的求法等诸多知识点的一道综合题，解决这类问题的关键是转化：线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直.[变式训练3] 如图，在三棱锥P -ABC 中，PC ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，D ，E 分别是AB ，PB 的中点．(1)求证：DE∥平面P AC；(2)求证：AB⊥PB；(3)若PC＝BC，求二面角P-AB-C的大小．解：(1)证明：因为D，E分别是AB，PB的中点，所以DE∥P A.又因为P A⊂平面P AC，DE⊄平面P AC，所以DE∥平面P AC.(2)证明：因为PC⊥底面ABC，AB⊂底面ABC，所以PC⊥AB.又因为AB⊥BC，PC∩BC ＝C，所以AB⊥平面PBC，又因为PB⊂平面PBC，所以AB⊥PB.(3)由(2)知，AB⊥PB，AB⊥BC，所以∠PBC即为二面角P-AB-C的平面角，因为PC＝BC，∠PCB＝90°，所以∠PBC＝45°，所以二面角P-AB-C的大小为45°.1．自二面角棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，则必须具有条件(D)A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂βB．AO⊥l，BO⊥lC．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂βD．AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是(C)A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β3．如图，AB是圆的直径，P A垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且P A ＝AC，则二面角P-BC-A的大小为(C)A．60°B．30°C．45°D．15°解析：易得BC⊥平面P AC，所以∠PCA是二面角P-BC-A的平面角，在Rt△P AC中，P A＝AC，所以∠PCA＝45°.故选C.4．在三棱锥P-ABC中，已知P A⊥PB，PB⊥PC，PC⊥P A，如图所示，则在三棱锥P-ABC的四个面中，互相垂直的平面有3对．解析：因为P A ⊥PB ，P A ⊥PC ，PB ∩PC ＝P ，所以P A ⊥平面PBC ， 因为P A ⊂平面P AB ，P A ⊂平面P AC ，所以平面P AB ⊥平面PBC ，平面P AC ⊥平面PBC . 同理可证：平面P AB ⊥平面P AC .5．如图，在四面体A -BCD 中，BD ＝2a ，AB ＝AD ＝CB ＝CD ＝AC ＝a ，求证：平面ABD ⊥平面BCD .证明：如图，取BD 的中点E ，连接AE ，CE .由AB ＝AD ＝CB ＝CD ，知AE ⊥BD ，CE ⊥BD ，所以∠AEC 为二面角A -BD -C 的平面角．在△ABE 中，AB ＝a ，BE ＝12BD ＝22a ，所以AE 2＝AB 2－BE 2＝12a 2，同理CE 2＝12a 2，所以AE 2＋CE 2＝a 2＝AC 2，所以AE ⊥CE ，即∠AEC ＝90°.所以平面ABD ⊥平面BCD .——本课须掌握的三大问题1．证明两个平面垂直的主要途径： (1)利用面面垂直的定义；(2)利用面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．2．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的．3．求二面角的大小关键是要找出或作出平面角．再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值，其步骤为作角→证明→计算．。
2021年高中数学第二章2.2.2平面与平面平行的判定学案新人教A版必修2
2.2.2 平面与平面平行的判定[目标] 1.理解并掌握平面与平面平行的判定定理，明确定理中“相交”两字的重要性；2.能利用判定定理解决有关面面平行问题．[重点] 平面与平面平行的判定定理的理解及应用．[难点] 定理应用条件中“相交”的理解．知识点平面与平面平行的判定定理[填一填][答一答]1．如果把定理中的“相交”去掉，这两个平面是否一定平行，为什么？提示：不一定平行．如果不是两条相交直线，即使在一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，也不能判定这两个平面平行，这是因为在两个相交平面的一个平面内，可以画出无数条直线与交线平行，显然这无数条直线都与另一个平面平行，但这两个平面不平行．2．如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行吗？提示：不一定平行，这无数条直线可能相互平行，此时两个平面也可能相交．3．三角板的两条边所在直线分别与桌面平行，这个三角板所在平面与桌面的位置关系是什么？提示：平行．类型一面面平行判定定理的理解[例1]已知直线l，m，平面α，β，下列命题正确的是()A．l∥β，l⊂α⇒α∥βB．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α⇒α∥βC．l∥m，l⊂α，m⊂β⇒α∥βD．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α，l∩m＝M⇒α∥β[解析]如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥CD，则AB∥平面DC1，AB⊂平面AC，但是平面AC与平面DC1不平行，所以选项A错误；取BB1中点E，CC1的中点F，则可证EF∥平面AC，B1C1∥平面AC.又EF⊂平面BC1，B1C1⊂平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以选项B错误；可证AD∥B1C1，AD⊂平面AC，B1C1⊂平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以选项C错误；很明显选项D是面面平行的判定定理，所以选项D 正确．故选D.[答案] D解决此类问题的关键有两点：(1)借助常见几何体进行分析，使得抽象问题具体化.(2)把握住面面平行的判定定理的关键“一个平面内两条相交直线均平行于另一个平面”.[变式训练1]在以下说法中，正确的个数是(B)①平面α内有一条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；③平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；④平面α内任意一条直线和平面β都无公共点，那么这两个平面平行．A．0 B．1C．2 D．3解析：①平面α和平面β相交时，平面α内与两平面交线平行的直线与平面β都平行，所以该命题不正确；②当两条直线相交时，两个平面平行；当两条直线平行时，平面α和平面β可能相交；③α内这无数条直线相互平行时，两平面可能相交，此时这些直线和两平面的交线平行；④由直线和平面平行的定义可知，平面α内任意一条直线与平面β都平行，所以平面α和平面β没有公共点，即两个平面平行，所以该命题正确．综上所述，只有④正确，故选B.类型二平面与平面平行的证明[例2]如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，E、F、H分别为AB、CD、PD的中点．求证：平面AFH∥平面PCE.[分析]由面面平行的判定定理可知，要证平面AFH∥平面PCE，只需证平面AFH中两相交直线平行于平面PCE，这两条相交直线不妨取AF与FH.[证明]因为F、H分别为CD、PD的中点，所以FH∥PC.又PC⊂平面PCE，FH⊄平面PCE，所以FH∥平面PCE.因为底面ABCD为矩形，所以AB∥CD，且AB＝CD.因为E、F分别为AB、CD的中点，所以AE∥CF且AE＝CF，所以四边形AECF为平行四边形，所以AF∥CE，又CE⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，所以AF∥平面PCE.因为FH⊂平面AFH，AF⊂平面AFH，FH∩AF＝F，所以平面AFH∥平面PCE.判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，先在一个平面内找两条与另一个平面平行的相交直线，找不到再引辅助线.[变式训练2]如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．求证：(1)E、F、B、D四点共面；(2)平面MAN∥平面EFDB.证明：(1)连接B1D1，∵E、F分别是边B1C1、C1D1的中点，∴EF∥B1D1，而BD∥B1D1，∴BD∥EF.∴E、F、B、D四点共面．(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD.又MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB.∴MN∥平面EFDB.如图，连接MF.∵M、F分别是A1B1，C1D1的中点，∴MF∥A1D1，MF＝A1D1.∴MF∥AD，MF＝AD.∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.又AM⊄平面BDFE，DF⊂平面BDFE，∴AM∥平面BDFE.又∵AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB.类型三线面平行、面面平行的综合应用[例3]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.[证明](1)如图，连接SB，∵E、G分别是BC、SC的中点，∴EG∥SB.又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1.(2)如图，连接SD，∵F、G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD.又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.(1)要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面.(2)判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线.[变式训练3]如图，在底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD中，点E在PD上，且PE ED＝21，M为PE的中点，在棱PC上是否存在一点F，使平面BFM∥平面AEC？并证明你的结论．解：当F 是棱PC 的中点时，平面BFM ∥平面AEC . ∵M 是PE 的中点，∴FM ∥CE .∵FM ⊄平面AEC ，CE ⊂平面AEC ，∴FM ∥平面AEC .由EM ＝12PE ＝ED ，得E 为MD 的中点，连接BM ，BD ，如图所示，设BD ∩AC ＝O ，则O 为BD 的中点． 连接OE ，则BM ∥OE .∵BM ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ，∴BM ∥平面AEC . 又∵FM ⊂平面BFM ，BM ⊂平面BFM ， FM ∩BM ＝M ，∴平面BFM ∥平面AEC .1．设直线l ，m 和平面α，β，下列条件能使α∥β的有( D ) ①l ⊂α，m ⊂α，且l ∥β，m ∥β；②l ⊂α，m ⊂β且l ∥m ； ③l ∥α，m ∥β且l ∥m . A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个 解析：①②③都不正确．2．平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为( C )A ．平行B ．相交C ．平行或相交D ．可能重合解析：若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行，若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交．3.在如图所示的几何体中，三个侧面AA 1B 1B ，BB 1C 1C ，CC 1A 1A 都是平行四边形．则平面ABC 与平面A 1B 1C 1平行吗？是(填“是”或“否”)．解析：因为AA 1B 1B 是平行四边形，所以AB ∥A 1B 1，因为AB ⊄平面A 1B 1C 1，A 1B 1⊂平面A 1B 1C 1，所以AB ∥平面A 1B 1C 1，同理可证：BC ∥平面A 1B 1C 1.又因为AB ∩BC ＝B ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ∥平面A 1B 1C 1. 4．a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出六个命题．① ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b ；② ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ；③ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β； ④⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β；⑤ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a ∥c ⇒a ∥α；⑥⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γα∥γ⇒a ∥α， 其中正确的命题是①④.(填序号)解析：①是平行公理，正确；②中a ，b 还可能异面或相交；③中α，β还可能相交；④是平面平行的传递性，正确；⑤还有可能a ⊂α；⑥也是忽略了a ⊂α的情形．5．如图所示，B 为△ACD 所在平面外一点，点M ，N ，G 分别为△ABC ，△ABD ，△BCD 的重心．(1)求证：平面MNG ∥平面ACD ； (2)求S △MNGS △ACD .解：(1)证明：如图，连接BM ，BN ，BG 并延长分别交AC ，AD ，CD 于P ，F ，H 三点， ∵M ，N ，G 分别是△ABC ，△ABD ，△BCD 的重心， ∴BM MP ＝BN NF ＝BGGH＝2， 连接PF ，FH ，PH ，有MN ∥PF .又PF ⊂平面ACD ，MN ⊄平面ACD ，∴MN ∥平面ACD . 同理MG ∥平面ACD ，又MG ∩MN ＝M ， ∴平面MNG ∥平面ACD .(2)由(1)可知MG PH ＝BG BH ＝23，∴MG ＝23PH .又PH ＝12AD ，∴MG ＝13AD .同理NG ＝13AC ，MN ＝13CD ，∴△MNG ∽△DCA ， ∴S △MNGS △ACD ＝(NGAC )2＝(13)2＝19.——本课须掌握的两大问题1．证明面面平行的方法：①利用定义：两个平面没有公共点；②判定定理：归纳为线面平行⇒面面平行；③利用平行平面的传递性；④推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行；⑤垂直于同一条直线的两个平面平行．2．要证明面面平行需证明线面平行，要证明线面平行需证明线线平行，因此“面面平行”问题最终转化为“线线平行”问题．在判断相关命题时要把握好定理的条件，可结合常见几何模型，比如长方体(正方体)等帮助理解．。
最新-2021年高中数学人教A版必修二课件：2.1.1 平 面 精品
图形语言
3．平面的性质
公理
文字语言
如果一条直线
上的__两__点____ 公理
在一个平面内， 1
那么这条直线
_在__此__平__面__内___
图形语言
符号语言
A∈l，B∈l，且 A∈α， B∈α⇒___l⊂__α_______
公理
文字语言
过__不__在___一__条__直_
探究点 2 点、线共面问题 证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．
【解】 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3 ＝B，． 证明：法一：(纳入平面法) 因为 l1∩l2＝A，所以 l1 和 l2 确定一个平面 α． 因为 l2∩l3＝B，所以 B∈l2． 又因为 l2⊂α，
所以 B∈α．同理可证 C∈α． 又因为 B∈l3，C∈l3，所以 l3⊂α． 所以直线 l1，l2，l3 在同一平面内． 法二：(辅助平面法) 因为 l1∩l2＝A，所以 l1，l2 确定一个平面 α． 因为 l2∩l3＝B， 所以 l2，l3 确定一个平面 β．
因为 A∈l2，l2⊂α，所以 A∈α． 因为 A∈l2，l2⊂β，所以 A∈β． 同理可证 B∈α，B∈β，C∈α，C∈β． 所以不共线的三个点 A，B，C 既在平面 α 内，又在平面 β 内． 所以平面 α 和 β 重合，即直线 l1，l2，l3 在同一平面内．
(4)直线 a 与直线 b 相交于点 A，可用符号表示为 a∩b＝ A．( √ ) (5)平面 ABCD 的面积为 100 m2．( × ) (6)过三点 A，B，C 有且只有一个平面．( × )
点 A 在直线 l 上，直线 l 在平面 α 外的符号表示是( )
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第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2．1.1平面[目标] 1.理解平面的概念，会画一个平面及会表示平面；2.会用符号语言表示空间点、直线、平面之间的位置关系；3．掌握三个公理并会简单应用．[重点] 平面的画法、表示；用符号语言描述点与直线、直线与平面、点与平面的关系；三个公理及简单应用．[难点] 对平面的理解及三个公理的简单应用．知识点一平面的概念[填一填]1．概念：平面是从生活中抽象出来的，具有以下特点：①平；②无限延展；③没有厚薄．2．画法：(1)通常用平行四边形来表示平面．(2)当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成45°，且横边长是邻边长的2倍；当平面竖直放置时，通常把平行四边形的一组对边画成铅垂线．3．表示法：一般用希腊字母α，β，γ，…来表示，还可以用代表平面的平行四边形的四个顶点或相对的两个顶点的大写英文字母表示，如平面ABCD、平面AC.[答一答]1．课桌面、黑板面、海面是平面吗？提示：虽然课桌面、黑板面、海面给我们以平面的形象，但是平面是无限延展的，所以它们不是平面．2．如下图所示，平面(1)和平面(2)哪个大？提示：平面无厚薄、无大小，是无限延展的，所以两个平面之间无法比较大小．3．我们常用平行四边形表示平面，所以平行四边形就是一个平面，这句话对吗？提示：不对，我们通常用平行四边形表示平面，但平面是无限延展的，所以平行四边形不是一个平面．知识点二点、直线、平面之间位置关系的三种语言表示[填一填][答一答]4．如图，点A∈平面ABC；点A∉平面BCD；BD⊂平面ABD；平面ABC∩平面BCD＝BC.知识点三平面的基本性质[填一填][答一答]5．如果线段AB在平面α内，那么直线AB在平面α内吗？为什么？提示：直线AB在平面α内，因为线段AB在平面α内，所以线段AB上的所有点都在平面α内，故线段AB上A，B两点一定在平面α内，由公理1可知直线AB在平面α内．6．经过三点有多少个平面？提示：当三点不共线时，由公理2可知，经过这三点有且只有一个平面．而当三点共线时，经过这三点有无数个平面．7．若两个平面相交，则有几条交线？若点P是这两个平面的公共点，那么点P在哪里？提示：两个平面相交只有一条交线，点P在交线上．类型一平面的概念、画法及表示[例1](1)给出下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50 m，宽为20 m；④平面是绝对平的、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为________．(2)下图中的两个相交平面，其中画法正确的是__________________________________________．[分析]根据平面的特征及表示来判断．[解析](1)由平面的概念知，平面是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判断命题④正确，其余的命题都不符合平面的概念，所以命题①②③都不正确．(2)对于①，图中没有画出平面α与平面β的交线，另外图中的实线、虚线也没有按照画法原则去画，因此①的画法不正确．同样的道理，也可知②③图形的画法不正确，④中图形画法正确．[答案](1)1(2)④(1)平面是无限延展的，不能度量其面积；平面没有厚薄之分，不能度量其体积；平面可以用任意平面图形来表示．(2)在平面几何中，凡是所引的辅助线都要画成虚线，但在立体几何中，能看见的线要画成实线，看不见的线要画成虚线．[变式训练1]下列对平面的描述语句：①平静的太平洋面就是一个平面；②平面ABCD的面积为100 cm2；③三角形、圆、平行四边形都可以表示平面；④平面可以看成空间中点的集合，它当然是一个无限集．其中正确的是③④.解析：序号正误原因分析①×太平洋面只是给我们以平面的形象，而平面是抽象的，且无限延展的②×平面不能度量大小③√三角形、圆、平行四边形都是平面图形，可以用来表示平面④√平面是空间中点的集合，是无限集类型二之间的关系[例2](1)用文字语言表述语句“l⊂α，m∩α＝A，A∉l”表示的点、线、面的位置关系，并画出图形；(2)用符号语言表示下图所表示的点、线、面的位置关系．[解](1)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，图形如图所示．(2)题图表示的点、线、面的位置关系可用符号语言表示为α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，l∩n ＝P，m∥l.(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.(2)要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”.[变式训练2]把下列符号叙述所对应的图形的序号填在题后的横线上：(1)A∉α，a⊂α：③.(2)α∩β＝a，P∉α，且P∉β：④.(3)a⊄α，a∩α＝A：①.(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O：②.类型三公理的应用命题视角1：共面问题[例3]过直线l外一点P引两条直线P A，PB和直线l分别相交于A，B两点，求证：三条直线P A，PB，l共面．[分析]根据条件点P，A，B确定一个平面，再证直线l，P A，PB在这个平面内．[证明]如图，∵点P，A，B不共线，∴点P，A，B确定一个平面α.∴P∈α，A∈α，B∈α.∴P A⊂α，PB⊂α.又A∈l，B∈l，∴l⊂α.∴P A，PB，l共面．证明点、线共面的两种方法方法一：先由确定平面的条件确定一个平面，然后再证明其他的点、线在该平面内．方法二：先由有关点、线确定一个平面α，再由其余元素确定一个平面β，然后根据有关定理，证明这两个平面重合．[变式训练3]如图，已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：直线a，b，c，l共面．证明：∵a∥b，∴a和b确定一个平面α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.故l⊂α.又a∥c，∴a和c确定一个平面β.同理l⊂β.即l和a既在α内又在β内，且l与a相交，故α，β重合，即直线a，b，c，l共面．命题视角2：共线与共点问题[例4]如右图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且直线EH与直线FG交于点O.求证：B，D，O三点共线．[分析]解答本题只要证明点O在平面ABD与平面CBD的交线BD上即可．[证明]∵E∈AB，H∈AD，∴E∈平面ABD，H∈平面ABD.∴EH⊂平面ABD.∵EH∩FG＝O，∴O∈平面ABD.同理O∈平面BCD，即O∈(平面ABD∩平面BCD)，∴O∈BD，即B，D，O三点共线．(1)证明三点共线的常用方法：,方法一：首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点.根据公理3知，这些点都在交线上.,方法二：选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在其上.(2)证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题.[变式训练4]在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD 上，且有DF FC＝DH HA＝23，求证：EF，GH，BD交于一点．证明：如图，因为E，G分别为BC，AB的中点，所以GE∥AC.又因为DF FC＝DH HA＝23，所以FH∥AC，从而FH∥GE，故E，F，H，G四点共面．所以四边形EFHG是一个梯形，GH和EF交于一点O.因为O在平面ABD内，又在平面BCD内，所以O在这两平面的交线上，而这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条，所以点O在直线BD上．这就证明了GH和EF的交点也在BD上，所以EF，GH，BD交于一点.1．下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是(D)解析：画两个相交平面时，被遮住的部分用虚线表示．2．若点Q在直线b上，b在平面β内，则Q，b，β之间的关系可记作(B)A．Q∈b∈βB．Q∈b⊂βC．Q⊂b⊂βD．Q⊂b∈β解析：∵点Q(元素)在直线b(集合)上，∴Q∈b.又∵直线b(集合)在平面β(集合)内，∴b⊂β，∴Q∈b⊂β.3．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝C.解析：∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.4．(1)空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定4个平面．(2)空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定7个平面．解析：(1)可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面．(2)可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面．5．如图，已知D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点．(1)作直线AB与平面α的交点P；(2)求证：D，E，P三点共线．解：(1)延长AB交平面α于点P，如图所示．(2)证明：∵平面ABC∩平面α＝DE，P∈AB，AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.又∵P∈α，∴P在平面α与平面ABC的交线DE上，即P∈DE，∴D，E，P三点共线．——本课须掌握的两大问题1．解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚．2．在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时要体会三个公理的作用，体会先部分再整体的思想．。