流体力学09章
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轴 对 称 射 流
5) 主体段平均流速 6) 主体段质量平均流速 7) 起始段长度 8) 起始段流量
9.3 轴对称和平面射流半经验公式解
起始段的平均流速v1和质量平均流速v2按定义计 算，即 v1 = (qV’ + qV’’)/(pR2)，v2 = u0qV0/(qV’ + qV’’) 以上轴对称射流各特征量计算式也可用于矩 形喷嘴射流，但在计算时需将矩形截面换算成当 量圆形截面，当量直径为De = 2r0’ = A/(4C) 。
第 9 章 气体自由射流
9.1 定常射流 9.1.1 流动特征 9.1.2 流动方程 9.2 平面射流的动量积分解 9.3 轴对称和平面射流的半经验公式解 9.4 温差射流和浓差射流
流 体 力 学
9.1 定常射流
图9-1a所示为气体从一喷嘴流出后进入静止 的相同气体所形成的自由射流。射流沿途不断地 将周围一部分原来静止的气体卷吸带入下游，使 射流断面的面积和流量沿程逐渐增大、流速和总 动量逐渐减小。但对于小粘度流体的湍动射流， 可近似认为射流总动量沿流程保持不变，即动量 通量是守恒的。 图9-1b表示翼型尾流。尾流和自由射流的共 同特点是运动方向相同但流速不同的两层流体相 接触而在接触面形成一个流速不连续的间断面。 这个间断面不稳定并将变成湍流，产生脉动掺混 向下游扩展。 图9-1c表示燃油喷入空气中雾化。
流 体 力 学
9.4 温差射流和浓差射流
温度与周围流体不同的射流称为温差射流， 如暖通空调工程中采用的冷、暖空气射流；浓度 与周围流体不同的射流称为浓差射流，如稀释室 内有害气体或灰尘的空气射流。 9.4.1 温差射流 有温差空气射流的半厚度要比相应无温差射 流的大些，但在实际中为了简化一般不计这种增 大，于是温差射流的流动特征量仍可用上节的公 式计算，只需进一步对温度特征量进行分析。 以下分析中，采用任一断面温差分布的经验 公式为
气 体 自 由 射 流
9.1 定常射流
气 体 自 由 射 流
图9-1 气体射流、翼型尾流及液体喷射雾化
9.1 定常射流
9.1.1 流动特征 从孔口或管嘴喷射出来的自由射流具有明显 的流动特征，据此可将其划分为起始段、过渡段 和主体段三个区域，如图9-2所示。射流从出口 开始与周围流体接触形成界面并发展为强烈掺混 的湍动混合层，混合层在向下游流动的过程中不 断地向内外扩展，形成图中MACBN所包围的剪 切流。射流的边界是由射流边缘涡体和周围流体 交错组成的不规则面，工程应用中只能从统计平 均意义上认定射流边界(图中的AM和BN面)。 如图9-2所示，射流起始段中心部分(核心区) 未受到掺混影响仍保持出口流速。为简化分析常 忽略过渡段、将起始段末端视为主体段开始。
对上式微分，得射流流量沿程增加率为
气 体 自 由 射 流
卷吸系数 设ve为垂直于x方向的卷吸速度， 则从周围流体卷入射流中的流量为2ve dx。根据 质量守恒，必须有dqV = 2ve dx，所以
9.2 平面射流的动量积分解
前式中，a称为卷吸系数。由阿尔贝特松等人的 平面射流试验结果，有c = 0.154，由此得—— 射流卷吸系数： a = 0.069 射流半厚度： be = 0.154x 起始段长度： s0 = 10.4 b0 流量比： qV/qV0 = 0.62(x/2b0)1/2 射流中心线流速：umax/u0 = 2.28(2b0/x)1/2 以上结果是假设射流沿程断面上流速为高斯 正态分布得到的。假设不同的速度分布得到的结 果也不同。此外，根据湍动射流的自保持性，还 可应用普朗特边界层微分方程式和普朗特掺混长 度湍流模型来分析平面射流，得到任一断面的流 速分布进而得到流量等参数，如图9-4所示。
气 体 自 由 射 流
9.2 平面射流的动量积分解
气 体 自 由 射 流
图9-4 平面湍动射流
第 9 章 气体自由射流
9.1 定常射流 9.2 平面射流的动量积分解 9.3 轴对称和平面射流的半经验公式解 9.3.1 轴对称射流 9.3.2 平面射流 9.4 温差射流和浓差射流
流 体 力 学
9.3 轴对称和平面射流半经验公式解
气体自由射流的求解除上节讨论的动量积分 方法外，空调工程中还采用半经验的方法。
气 体 自 由 射 流
9.3.1 轴对称射流 轴对称射流也称圆形射流，根据特留彼尔对 其主体段、阿勃拉莫维奇对其起始段流速的测试 结果, 将射流任一断面流速分布用相似律半经验 公式表示为 如图9-7所示，取对应于u = 0.01umax的y值构 成射流边界，则由实验确定的轴对称射流扩散角 即半极角为
流 动 特 征
9.1 定常射流
9.1.2 流动方程 湍动射流在垂直于流动方向的尺度远小于流 动方向的尺度，具有与边界层流动类似的特点， 因而可应用普朗特边界层微分方程
气 体 自 由 射 流
式中湍流应力可应用普朗特掺混长度模型，即 实验数据表明普朗特掺混长度湍流模型对于 自由射流具有较好的适用性。对于更复杂的湍动 射流问题，除采用更完善的湍流模型外，实验的 方法依然是解决问题的重要途径。
气 体 自 由 射 流
9.2 平面射流的动量积分解
积分可得 在上式中，令umax= u0得到的x值就是射流起 始段的长度s0。
气 体 自 由 射 流
图9-3 平面湍动射流
9.2 平面射流的动量积分解
流量沿程变化 射流对周围流体的卷吸作用 使流量沿程增加。应用上面的射流中心线流速式 以及流速分布式，通过积分可得
气 体 自 由 射 流
9.源自文库 温差射流和浓差射流
射流边界的温度因与周围流体的相同而不进 行热量交换，即射流内为绝能流动。设射流周围 流体的温度Te为常数，喷嘴出口射流的热焓通量 为r qV0 cp T0，则根据能量守恒原理，有 表示以相对于周围流体温差表示的射流热焓通量 沿程保持不变。 轴心线温差DTm 在射流起始段，轴心线温 差保持为喷咀出口截面的温差不变，即DTm=DT0； 在射流主体段，将断面温差分布代入热焓通量不 变式，经积分并整理，可得
气 体 自 由 射 流
9.3.2 平面射流 平面自由射流的半经验公式解法与上面轴对 称射流的完全相同，只是前者的射流扩散角经验 公式(任意截面速度分布半经验公式相同)为 tang = 2.44a 射流各特征量则为——
9.3 轴对称和平面射流半经验公式解
1) 射流扩散角
2) 射流半厚度
3) 主体段轴心线流速 4) 主体段流量
流 动 方 程
9.1 定常射流
由于射流的垂向分速相对小而有
流 动 方 程
所以 对于定常自由射流，另有 比较上面两式，得 bx
9.1 定常射流
中心线流速umax的沿程变化 不计流体粘性， 则射流任一截面上动量通量J保持不变: 对于狭长缝隙或孔口喷出的平面射流，易得 umax x-1/2 对于从圆形管嘴喷出的轴对称射流，则有 umax x-1
气 体 自 由 射 流
9.4 温差射流和浓差射流
射 流 弯 曲
图9-8 射流中心先的弯曲
对于理想气体的定常自由射流，有
9.4 温差射流和浓差射流
所以
对上式积分两次并根据实验数据修正，最后 可得量纲一的射流中心线方程，即
射 流 弯 曲
同理可得平面射流的量纲一中心线方程为
9.1 定常射流
第6章讨论过边界层流动的相似解。若射流 在不同断面的流动之间存在相似性，则在选取适 当的尺度使坐标和流动参数成为量纲一变量后， 可使量纲一因变量沿流程具有相同的分布函数关 系。这种特性称为自保持性。实验指出自由射流 在出口一段距离后的流动具有这种自保持性—— 时均流速和湍流特征量等都具有相似性。对于具 有自保持性的自由射流，可以通过减少一个变量 的方法将流动偏微分方程简化为常微分方程。 射流半厚度的沿程变化 在自由射流任一断 面，假定掺混长度l为一常数并将它表示为同一 断面射流半厚度b的线性函数，同时假定射流半 厚度增长率db/dt与垂向脉动速度uy'成正比，即
气 体 自 由 射 流
9.1 定常射流
流 动 特 征
图9-2 定常湍动射流
9.1 定常射流
在自由射流的每一断面，由对称性可知其中 心处的流速必为最大值umax，在边界上流速趋于 零，其他地方的流速则介于二者之间。射流中心 线至射流边界的距离称为射流的半厚度，用符号 b表示。此外还可以将流速等于最大速度umax的 某一比值处的y值来作为射流断面的特征半厚度， 例如可定义b1/ 2为u = umax /2处的半厚度、be为u = umax /e(e为自然对数的底)处的半厚度。由实验观 察到，湍动射流的厚度沿程呈线性扩展，但主体 段和起始段的扩展率略有不同，将主体段的边界 线延长将与射流轴线相交于孔口或管嘴内的某点 O，称O点为射流源，并在分析中一般将O点作 为坐标原点。
气 体 自 由 射 流
则根据物质守恒，有
比较温差和浓差的射流断面分布式、以及射 流热焓通量不变式和物质守恒式，可知浓差射流 的浓度特征量沿程变化与上述温差射流的温度特 征量沿程变化完全相同，不赘述。
9.4 温差射流和浓差射流
9.4.3 射流弯曲 射流的密度与周围流体的不同时，导致射流 因重力与浮力间不平衡而发生向上或向下弯曲。 假定射流弯曲后不改变对称性，则射流轴心线的 弯曲就代表射流整体的弯曲。 设一定常热射流自直径d0= 2r0的圆形喷嘴射 出，射流中心线与水平面成a角，如图9-8所示。 在射流中心线上任意位置A取一单位体积流体， 则该单位体积流体受到的重力为-rmg、浮力近似 地为re g，二者的代数和为(re - rm)g。按图中所 示坐标系并应用牛顿第二运动定律，有
平 面 射 流
5) 主体段平均流速 6) 主体段质量平均流速 7) 起始段长度 8) 起始段流量
第 9 章 气体自由射流
9.1 定常射流 9.2 平面射流的动量积分解 9.3 轴对称和平面射流的半经验公式解 9.4 温差射流和浓差射流 9.4.1 温差射流 9.4.2 浓差射流 9.4.3 射流弯曲
自由射流半厚度和中心线流速的沿程变化
流 动 方 程
第 9 章 气体自由射流
9.1 定常射流 9.2 平面射流的动量积分解 9.3 轴对称和平面射流的半经验公式解 9.4 温差射流和浓差射流
流 体 力 学
9.2 平面射流的动量积分解
气体由狭长的缝隙或孔口喷出的定常自由射 流可按二维流动处理，其流动特征如图9-3所示。 通常，平面射流的出口雷诺数Re = 2b0u0 /u > 30 就可认为是湍动射流。 射流中心线流速 平面射流在出口断面上单 位宽度的动量通量为J = 2b0r u02。由射流沿程各 断面动量通量J保持不变： 以及射流主体段各断面流速分布具有相似性并假 设为高斯分布：
9.3 轴对称和平面射流半经验公式解
轴 对 称 射 流
图9-4 平面湍动射流
由以上的射流扩散角经验公式、任意截面速 度分布半经验公式以及动量通量为常数条件，就 可计算定常轴对称和平面自由射流各特征量。
9.3 轴对称和平面射流半经验公式解
1) 射流扩散角
2) 射流半厚度
3) 主体段轴心线流速 4) 主体段流量
温 差 射 流
9.4 温差射流和浓差射流
质量平均温差DT2 其定义为 由热焓通量不变式易得DT2/DT0 = qV0/qV。因 此，在射流主体段有
温 差 射 流
在射流起始段则有
对于有温差的平面气体射流，在给出任一断 面的温差分布后可采用相同方法分析。
9.4 温差射流和浓差射流
9.4.2 浓差射流 对于有浓差的圆形空气射流，若对任一射流 断面采用以下的浓差分布经验公式
5) 主体段平均流速 6) 主体段质量平均流速 7) 起始段长度 8) 起始段流量
9.3 轴对称和平面射流半经验公式解
起始段的平均流速v1和质量平均流速v2按定义计 算，即 v1 = (qV’ + qV’’)/(pR2)，v2 = u0qV0/(qV’ + qV’’) 以上轴对称射流各特征量计算式也可用于矩 形喷嘴射流，但在计算时需将矩形截面换算成当 量圆形截面，当量直径为De = 2r0’ = A/(4C) 。
第 9 章 气体自由射流
9.1 定常射流 9.1.1 流动特征 9.1.2 流动方程 9.2 平面射流的动量积分解 9.3 轴对称和平面射流的半经验公式解 9.4 温差射流和浓差射流
流 体 力 学
9.1 定常射流
图9-1a所示为气体从一喷嘴流出后进入静止 的相同气体所形成的自由射流。射流沿途不断地 将周围一部分原来静止的气体卷吸带入下游，使 射流断面的面积和流量沿程逐渐增大、流速和总 动量逐渐减小。但对于小粘度流体的湍动射流， 可近似认为射流总动量沿流程保持不变，即动量 通量是守恒的。 图9-1b表示翼型尾流。尾流和自由射流的共 同特点是运动方向相同但流速不同的两层流体相 接触而在接触面形成一个流速不连续的间断面。 这个间断面不稳定并将变成湍流，产生脉动掺混 向下游扩展。 图9-1c表示燃油喷入空气中雾化。
流 体 力 学
9.4 温差射流和浓差射流
温度与周围流体不同的射流称为温差射流， 如暖通空调工程中采用的冷、暖空气射流；浓度 与周围流体不同的射流称为浓差射流，如稀释室 内有害气体或灰尘的空气射流。 9.4.1 温差射流 有温差空气射流的半厚度要比相应无温差射 流的大些，但在实际中为了简化一般不计这种增 大，于是温差射流的流动特征量仍可用上节的公 式计算，只需进一步对温度特征量进行分析。 以下分析中，采用任一断面温差分布的经验 公式为
气 体 自 由 射 流
9.1 定常射流
气 体 自 由 射 流
图9-1 气体射流、翼型尾流及液体喷射雾化
9.1 定常射流
9.1.1 流动特征 从孔口或管嘴喷射出来的自由射流具有明显 的流动特征，据此可将其划分为起始段、过渡段 和主体段三个区域，如图9-2所示。射流从出口 开始与周围流体接触形成界面并发展为强烈掺混 的湍动混合层，混合层在向下游流动的过程中不 断地向内外扩展，形成图中MACBN所包围的剪 切流。射流的边界是由射流边缘涡体和周围流体 交错组成的不规则面，工程应用中只能从统计平 均意义上认定射流边界(图中的AM和BN面)。 如图9-2所示，射流起始段中心部分(核心区) 未受到掺混影响仍保持出口流速。为简化分析常 忽略过渡段、将起始段末端视为主体段开始。
对上式微分，得射流流量沿程增加率为
气 体 自 由 射 流
卷吸系数 设ve为垂直于x方向的卷吸速度， 则从周围流体卷入射流中的流量为2ve dx。根据 质量守恒，必须有dqV = 2ve dx，所以
9.2 平面射流的动量积分解
前式中，a称为卷吸系数。由阿尔贝特松等人的 平面射流试验结果，有c = 0.154，由此得—— 射流卷吸系数： a = 0.069 射流半厚度： be = 0.154x 起始段长度： s0 = 10.4 b0 流量比： qV/qV0 = 0.62(x/2b0)1/2 射流中心线流速：umax/u0 = 2.28(2b0/x)1/2 以上结果是假设射流沿程断面上流速为高斯 正态分布得到的。假设不同的速度分布得到的结 果也不同。此外，根据湍动射流的自保持性，还 可应用普朗特边界层微分方程式和普朗特掺混长 度湍流模型来分析平面射流，得到任一断面的流 速分布进而得到流量等参数，如图9-4所示。
气 体 自 由 射 流
9.2 平面射流的动量积分解
气 体 自 由 射 流
图9-4 平面湍动射流
第 9 章 气体自由射流
9.1 定常射流 9.2 平面射流的动量积分解 9.3 轴对称和平面射流的半经验公式解 9.3.1 轴对称射流 9.3.2 平面射流 9.4 温差射流和浓差射流
流 体 力 学
9.3 轴对称和平面射流半经验公式解
气体自由射流的求解除上节讨论的动量积分 方法外，空调工程中还采用半经验的方法。
气 体 自 由 射 流
9.3.1 轴对称射流 轴对称射流也称圆形射流，根据特留彼尔对 其主体段、阿勃拉莫维奇对其起始段流速的测试 结果, 将射流任一断面流速分布用相似律半经验 公式表示为 如图9-7所示，取对应于u = 0.01umax的y值构 成射流边界，则由实验确定的轴对称射流扩散角 即半极角为
流 动 特 征
9.1 定常射流
9.1.2 流动方程 湍动射流在垂直于流动方向的尺度远小于流 动方向的尺度，具有与边界层流动类似的特点， 因而可应用普朗特边界层微分方程
气 体 自 由 射 流
式中湍流应力可应用普朗特掺混长度模型，即 实验数据表明普朗特掺混长度湍流模型对于 自由射流具有较好的适用性。对于更复杂的湍动 射流问题，除采用更完善的湍流模型外，实验的 方法依然是解决问题的重要途径。
气 体 自 由 射 流
9.2 平面射流的动量积分解
积分可得 在上式中，令umax= u0得到的x值就是射流起 始段的长度s0。
气 体 自 由 射 流
图9-3 平面湍动射流
9.2 平面射流的动量积分解
流量沿程变化 射流对周围流体的卷吸作用 使流量沿程增加。应用上面的射流中心线流速式 以及流速分布式，通过积分可得
气 体 自 由 射 流
9.源自文库 温差射流和浓差射流
射流边界的温度因与周围流体的相同而不进 行热量交换，即射流内为绝能流动。设射流周围 流体的温度Te为常数，喷嘴出口射流的热焓通量 为r qV0 cp T0，则根据能量守恒原理，有 表示以相对于周围流体温差表示的射流热焓通量 沿程保持不变。 轴心线温差DTm 在射流起始段，轴心线温 差保持为喷咀出口截面的温差不变，即DTm=DT0； 在射流主体段，将断面温差分布代入热焓通量不 变式，经积分并整理，可得
气 体 自 由 射 流
9.3.2 平面射流 平面自由射流的半经验公式解法与上面轴对 称射流的完全相同，只是前者的射流扩散角经验 公式(任意截面速度分布半经验公式相同)为 tang = 2.44a 射流各特征量则为——
9.3 轴对称和平面射流半经验公式解
1) 射流扩散角
2) 射流半厚度
3) 主体段轴心线流速 4) 主体段流量
流 动 方 程
9.1 定常射流
由于射流的垂向分速相对小而有
流 动 方 程
所以 对于定常自由射流，另有 比较上面两式，得 bx
9.1 定常射流
中心线流速umax的沿程变化 不计流体粘性， 则射流任一截面上动量通量J保持不变: 对于狭长缝隙或孔口喷出的平面射流，易得 umax x-1/2 对于从圆形管嘴喷出的轴对称射流，则有 umax x-1
气 体 自 由 射 流
9.4 温差射流和浓差射流
射 流 弯 曲
图9-8 射流中心先的弯曲
对于理想气体的定常自由射流，有
9.4 温差射流和浓差射流
所以
对上式积分两次并根据实验数据修正，最后 可得量纲一的射流中心线方程，即
射 流 弯 曲
同理可得平面射流的量纲一中心线方程为
9.1 定常射流
第6章讨论过边界层流动的相似解。若射流 在不同断面的流动之间存在相似性，则在选取适 当的尺度使坐标和流动参数成为量纲一变量后， 可使量纲一因变量沿流程具有相同的分布函数关 系。这种特性称为自保持性。实验指出自由射流 在出口一段距离后的流动具有这种自保持性—— 时均流速和湍流特征量等都具有相似性。对于具 有自保持性的自由射流，可以通过减少一个变量 的方法将流动偏微分方程简化为常微分方程。 射流半厚度的沿程变化 在自由射流任一断 面，假定掺混长度l为一常数并将它表示为同一 断面射流半厚度b的线性函数，同时假定射流半 厚度增长率db/dt与垂向脉动速度uy'成正比，即
气 体 自 由 射 流
9.1 定常射流
流 动 特 征
图9-2 定常湍动射流
9.1 定常射流
在自由射流的每一断面，由对称性可知其中 心处的流速必为最大值umax，在边界上流速趋于 零，其他地方的流速则介于二者之间。射流中心 线至射流边界的距离称为射流的半厚度，用符号 b表示。此外还可以将流速等于最大速度umax的 某一比值处的y值来作为射流断面的特征半厚度， 例如可定义b1/ 2为u = umax /2处的半厚度、be为u = umax /e(e为自然对数的底)处的半厚度。由实验观 察到，湍动射流的厚度沿程呈线性扩展，但主体 段和起始段的扩展率略有不同，将主体段的边界 线延长将与射流轴线相交于孔口或管嘴内的某点 O，称O点为射流源，并在分析中一般将O点作 为坐标原点。
气 体 自 由 射 流
则根据物质守恒，有
比较温差和浓差的射流断面分布式、以及射 流热焓通量不变式和物质守恒式，可知浓差射流 的浓度特征量沿程变化与上述温差射流的温度特 征量沿程变化完全相同，不赘述。
9.4 温差射流和浓差射流
9.4.3 射流弯曲 射流的密度与周围流体的不同时，导致射流 因重力与浮力间不平衡而发生向上或向下弯曲。 假定射流弯曲后不改变对称性，则射流轴心线的 弯曲就代表射流整体的弯曲。 设一定常热射流自直径d0= 2r0的圆形喷嘴射 出，射流中心线与水平面成a角，如图9-8所示。 在射流中心线上任意位置A取一单位体积流体， 则该单位体积流体受到的重力为-rmg、浮力近似 地为re g，二者的代数和为(re - rm)g。按图中所 示坐标系并应用牛顿第二运动定律，有
平 面 射 流
5) 主体段平均流速 6) 主体段质量平均流速 7) 起始段长度 8) 起始段流量
第 9 章 气体自由射流
9.1 定常射流 9.2 平面射流的动量积分解 9.3 轴对称和平面射流的半经验公式解 9.4 温差射流和浓差射流 9.4.1 温差射流 9.4.2 浓差射流 9.4.3 射流弯曲
自由射流半厚度和中心线流速的沿程变化
流 动 方 程
第 9 章 气体自由射流
9.1 定常射流 9.2 平面射流的动量积分解 9.3 轴对称和平面射流的半经验公式解 9.4 温差射流和浓差射流
流 体 力 学
9.2 平面射流的动量积分解
气体由狭长的缝隙或孔口喷出的定常自由射 流可按二维流动处理，其流动特征如图9-3所示。 通常，平面射流的出口雷诺数Re = 2b0u0 /u > 30 就可认为是湍动射流。 射流中心线流速 平面射流在出口断面上单 位宽度的动量通量为J = 2b0r u02。由射流沿程各 断面动量通量J保持不变： 以及射流主体段各断面流速分布具有相似性并假 设为高斯分布：
9.3 轴对称和平面射流半经验公式解
轴 对 称 射 流
图9-4 平面湍动射流
由以上的射流扩散角经验公式、任意截面速 度分布半经验公式以及动量通量为常数条件，就 可计算定常轴对称和平面自由射流各特征量。
9.3 轴对称和平面射流半经验公式解
1) 射流扩散角
2) 射流半厚度
3) 主体段轴心线流速 4) 主体段流量
温 差 射 流
9.4 温差射流和浓差射流
质量平均温差DT2 其定义为 由热焓通量不变式易得DT2/DT0 = qV0/qV。因 此，在射流主体段有
温 差 射 流
在射流起始段则有
对于有温差的平面气体射流，在给出任一断 面的温差分布后可采用相同方法分析。
9.4 温差射流和浓差射流
9.4.2 浓差射流 对于有浓差的圆形空气射流，若对任一射流 断面采用以下的浓差分布经验公式