垂线及其性质、画法(课件)

是指线段所在直线、射线所在直线与该直线互相垂直.
对应练习
1、请你过点 P 画出线段 AB 或射线 AB 的垂线.
P
P
A
B
A
B
知识拓展
A
两条线段互相垂直 是指这两条线
段所在的直线互相垂直.
B
C
D
对应练习
2、如图，已知直线 l，作 l 的垂线.
l
问题：这样画 l 的垂线可以画几条？ 无数条
知识拓展
在平面内，作已知直线的垂线有 无数条 ， 但过一 点作已知直线的垂线只有一条.
三、垂线段与点到直线的距离
在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段 (连接直线外 一点与垂足形成的线段) 最短. 简单的说： 垂线段最短.
直线外一点到已知直线的垂线段的长度就叫做点到直线的距离.
对应练习
1、如图，沙坑中留下一位同学跳远的足印，如何测量这位同 学的跳远成绩？为什么？
，且 ∠AOB=90°，∠COD=90°，∠AOD=5
4
求∠BOC的度数．
∠AOC．
巩固练习
7、如图所示，O 是直线AB上一点，∠AOC=
1 3
∠BOC，OC
是 ∠AOD 的平分线．
(1) 求 ∠COD 的度数．
(2) 判断 OD 与 AB 的位置关系，并说出理由．
巩固练习
8、点 O 是直线AB上的一点， OC 是射线，OM 平分 ∠AOC，
直线外一点到已知直线的垂线段
P
的长度 叫做点到直线的距离.
A B O Cl
垂线段与点到直线的距离的区别： 垂线段是一个几何图形，即垂线段是一条线段，长度
可以度量. 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量.
对应练习 1、如图，沙坑中留下一位同学跳远的足印，如何测量这位同
学的跳远成绩？
测量身体的最后着地点到起跳线所在直线的距离，跳远成绩 应测量脚印上点 A 到起跳线的垂线段 AB 的长.
要修一条从学校到公路的道路，如何修才能使道路最短？画出所 修道路的示意图.
解：过点 P 作直线 l 的垂线段 PA，沿 PA 修路，道路最短.
巩固练习
4、如图所示，码头、火车站分别位于A，B两点，直线 a 和 b 分别表示铁路与河流．
(1) 从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由； (2) 从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由； (3) 从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由．
10.1.2 垂线及其性质、画法
知识回顾
两 条 直 线 相 交
一 般 情 况 特殊情况
对顶角相等
C
2O
B
1
3
4
A
D
邻补角互补
创设情境
将十字街口的两条道路看作两条直线，如右图中的 AB
和 CD，它们交于点 O，形成 4 个角. 如果 ∠AOC=90°，
那么其他 3 个角的度数各是多少？为什么？
A
C
归纳总结
点到直线的距离与两点之间的距离的区别：
定义 性质
两点间的距离
点到直线的距离
连接两点的线段的长度
直线外一点到这条直线 的垂线段的长度
两点之间线段最短
垂线段最短
巩固练习
5、如图，OA⊥OB，OB 平分 ∠MON，若 ∠AON=120°，求∠AOM 的度数．
巩固练习
6、如图，射线 OA、OB、OC、OD 有公共端点 O
B
探究新知
在两条直线 AB 和 CD 相交所成的 4 个角中，如果有 一个角是直角就，说这两条直线互相垂直，记作“AB⊥CD” ， 读作“AB垂直于CD”，其中一条直线叫做另一条直线的
垂线，它们的交点O 叫做垂足.
知识拓展
A
垂直和垂线是两个不同的概念，
垂直是两条直线的位置关系，是
C
O
D
相交的一种特殊情况，特殊在相
O
D
探究新知
右图给我们展现了两条直线相交时的一种特殊情况 ——垂直
A
C
O
D
B
探究新知
在两条直线 AB 和 CD 相交所成的 4 个角中，如果有 一个角是直角就，说这两条直线互相垂直，记作“AB⊥CD” ， 读作“AB垂直于CD”，其中一条直线叫做另一条直线的
垂线，它们的交点O 叫做垂足.
A
C
O
D
A
在两条直线 AB 和 CD 相交所成的 4 个角
中，如果有一个角是直角，就说这两条直线
互相垂直，记作“AB⊥CD”， 读作“AB垂 C
O
D
直于CD”，其中一条直线叫做另一条直线的垂
线，它们的交点O 叫做垂足.
B
二、垂线的画法 一靠 二移 三画 四标
基本事实： 过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.
几何语言:
A O
B
因为 AB⊥CD (已知)
所以 ∠AOC﹦90° (垂直的定义)
D
∠BOC=∠AOD=∠BOD﹦90°
生活中的图形 你能举出日常生活中，两条直线互相垂直的情形吗?
地砖间的缝隙 窗户上的格子
围棋盘上的 方格线
对应练习
如图，已知直线 BC、DE 交于 O 点，OA、OF 为射线， OA⊥BC，OF 平分 ∠COE，∠COF=17°. 求∠AOD的度数．
沙坑
起 跳
.
线B
A
巩固练习
1、如图，在三角形 ABC 中，D 是 BC 的中点，连接 AD， 请分别画出自 B，C 向 AD 所作的垂线 (垂足为 E，F ).
巩固练习
2、(1) 如图，用三角尺画出点 A 到直线 BC 的垂线段； (2) 画出点 B 到直线 AC 的垂线段.
巩固练习
3、如图，直线 l 表示一条公路，点 P 是一所学校所在的位置，
ON 平分 ∠BOC，试确定 OM 与 ON 的位置关系，并说明理由.
知识拓展 邻补角的角平分线互相垂直.
巩固练习
9、如图，直线AB、CD相交于点 O，OM⊥AB．
(1) 若 ∠1=∠2，判断 ON 与 CD 的位置关系，并说明理由． (2) 若 ∠1= 1 ∠BOC ，求∠MOD的度数．
4
一、垂直与垂线
四标：标上直角符号.
操作 2 用折纸方法画垂线
你能折出经过点 P 与直线 l 垂直的折痕吗？并用直尺沿折痕
画出直线.
① 折： 折叠纸张，使折痕经过已知点，且使已知直线被折痕 分成的两部分重合.
② 画： 用直尺沿着折痕画出直线，则这条直线就是已知直线 的垂线.
归纳总结
通过上面的操作，你知道过一点画已知直线的垂线， 能画几条吗？
操作 1 用三角尺画垂线
过已知直线 l 上（或外）的一点 P 画直线 l 的垂线.
① 点 p 在直线 l 上
② 点 p 在直线 l 外
P
l
l
P
一靠：把三角尺的一条直角边靠着已知直线，使其与已知直线重合.
二移：沿着已知直线移动三角尺，使另一条直角边经过已知点.
三画：沿这条直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线.
垂线段的性质：
A B O Cl
在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段 (连 接直线外一点与垂足形成的线段) 最短.
简单的说： 垂线段最短.
探究学习
直线外一点到已知直线的垂线段
P
的长度 叫做点到直线的距离.
A B O Cl
如上图，点 P 到直线 l 的距离 就是垂线段 PQ 的长度.
探究学习
交所成的四个角都是直角，而垂
线是一条直线.
B
垂直的书写形式
如图，当直线 AB 与 CD 相交于 O 点，
∠AOC=90°时，AB⊥CD，垂足为 O .
A
几何语言:
C
O
D
因为 ∠AOC﹦90° (已知)
所以 AB⊥CD (垂直的定义)
B
垂直的书写形式
反之，若直线 AB 与 CD 垂直，
C
垂足为O，那么 ∠AOC=90°.
知识拓展 垂线是一条直线，长度不可度量， 而垂线 段是一条线段，长度可以度量.
观察与思考
如图，点 P 在直线 l 外，在直线 l 上任意取一些点 A，
B，C，O，把这些点分别与点 P 连接，得到线段 PA，
PB，PC，PO，其中 PO⊥l.
P
观察这些线段，比较它们的长短，其
中那条线段最短？ 线段 PO 最短
能作一条，而且只能作一条. 关于直线的垂线，有如下基本事实：
过一点有且只有一条直线垂直于已知直线. 知识拓展：
①“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外； ②“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.
对应练习
1、请你过点 P 画出线段 AB 或射线 AB 的垂线.
P
P
A
B
A
B
画注一意条：线画段线或段射(或线射的线垂)线的，垂就线是时画,有它时们要所将在线直段线延的长垂(或线. 将射线有反时向，延我长们)后说再线画段垂、线射.线与某一条直线互相垂直，
观察与思考
如图，点 P 在直线 l 外，在直线 l 上任意取一些点 A，
B，C，O，把这些点分别与点 P 连接，得到线段 PA，
PB，PC，PO，其中 PO⊥l. NhomakorabeaP
观察这些线段，比较它们的长短，其
中那条线段最短？ 线段 PO 最短
A B O Cl
连接直线外一点与垂足之间的线段叫做这点到已知
线段的 垂线段 .