河南省信阳高级中学北湖校区2023-2024学年高一下学期7月月考数学试卷

河南省信阳高级中学北湖校区2023-2024学年高一下学期7月

月考数学试卷

一、单选题

1．已知,,(i)i 2i a b a b ∈+=-R （i 为虚数单位），则复数i z a b =+的共轭复数为（ ） A ．2i -+

B ．2i -

C ．12i +

D ．12i -

2．设x ，()()(),1,1,1,1,,,,4,2y a b y z c x ∈===-R r r r ，且,a c b c ⊥r r r

r ∥，则2a b +=r r （ ）

A ．

B ．0

C ．3

D ．3．已知向量()()4,3,2,2,1,1a b =-=r r ，则向量a r 在向量b r 上的投影向量c =r （ ）

A ．333,,22⎛⎫

⎪⎝⎭

B ．333,,244⎛⎫ ⎪⎝⎭

C ．333,,488⎛⎫ ⎪⎝⎭

D ．()4,2,2

4．从装有2件正品和2件次品的盒子内任取2件产品，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（ ）

A ．“至少有1件正品”与“都是次品”

B ．“恰好有1件正品”与“恰好有1件次品”

C ．“至少有1件次品”与“至少有1件正品”

D ．“都是正品”与“都是次品”

5．如图，水平放置的四边形ABCD 的斜二测直观图为矩形A B C D ''''，已知1A O O B ''''==，1B C ''=，则四边形ABCD 的周长为（ ）

A ．

B ．

C ．8

D ．10

6．给出下列命题：

①经过点()000,P x y 的直线都可以用方程()00y y k x x -=-表示；

②若直线l 的方向向量()0,1,1a =-r ，平面α的法向量()1,1,1n =--r

，则//l α；

③直线()32y ax a a =-+∈R 必过定点()3,2；

④如果向量,a b r r 与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么,a b r

r 一定共线．

其中真命题的个数是（ ）

A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

7．已知直线l 的方程为()sin 30R x y θθ++=∈，则直线l 的倾斜角α的取值范围是（ ） A ．[)0,π B ．ππ,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭

C ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦

D ．πππ3,,422π4⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦

8．如图，在三棱锥O ABC -中，点G 为底面ABC V 的重心，点M 是线段OG 上靠近点G 的

三等分点，过点M 的平面分别交棱OA ，OB ，OC 于点D ，E ，F ，若O D k O A =u r u u r ，OE mOB =u u u r u u u r

，OF nOC

=u u u r u u u r ，则111

k m n

++=（ ）

A ．

133

B ．23

C ．32

D ．92

二、多选题

9．下列命题中，正确的有（ ）

A ．若,a b b c ⊥⊥r r r r

，则a r ⊥c r

B ．若{}

,,a b c r r r 是空间的一个基底，则{}

,,a b b c c a +++r r r r r r

也是空间的一个基底

C ．已知空间三点()()()0,0,0,2,0,1,0,2,1O B C -，点O 到直线BC

D ．n r 是平面α的法向量，a r

是直线l 的方向向量，若,120n a =︒r r ，则1与平面α所成角

为30︒

10．已知复数1z ，2z ，则下列说法中正确的是（ ）

A ．若120z z +=，则12=z z

B ．若1122z z z z ⋅=⋅，则12=z z

C ．若12=z z ，则22

12z z =

D ．若12z z +∈R 且12z z ⋅∈R ，则1z ，2z 为实

数

11．某电影艺术中心为了解短视频平台的观众年龄分布情况，向各大短视频平台的观众发放了线上调查问卷，共回收有效问卷4000份，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）

A ．a ＝0.028

B ．在4 000份有效问卷中，短视频观众年龄在10~20岁的有1 320人

C ．估计短视频观众的平均年龄为32岁

D ．估计短视频观众年龄的75%分位数为39岁

12．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是等腰直角三角形，11AB BC AA ===，点D 为侧棱1BB 上的动点，M 为线段11A B 中点.则下列说法正确的是（ ）

A ．存在点D ，使得AD ⊥平面BCM

B ．1AD

C △周长的最小值为1

C ．三棱锥1C ABC -

D ．平面1ADC 与平面ABC

三、填空题

13．直线1:210l x y -+=与直线2:4230l x y --=之间的距离为．

14．已知(2,1)a =-r ，(,1)b λ=r ，若a r 与b r

的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是.

15．在正三棱锥-P ABC 中，O 是ABC V 的中心，2PA AB ==，则PO PA ⋅=u u u r u u u r

.

16．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，动点P 在1AB C V 内，满足1D P =P 的轨迹长度为.

四、解答题 17．已知复数()()51i 2i 12i

z -=+++，i 为虚数单位.

(1)求z ；

(2)若复数z 是关于x 的方程20x mx n ++=的一个根，求实数m ，n 的值. 18．已知直线():20l kx y k k -++=∈R . (1)若直线不经过第三象限，求k 的取值范围；

(2)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于,B AOB V 的面积为S （O 为坐标原点），求S 的最小值和此时直线l 的方程.

19．为了纪念2017年在德国波恩举行的联合国气候大会，某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动．某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已

知甲家庭回答正确这道题的概率是3

4，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是112

，乙、丙两

个家庭都回答正确的概率是

1

4

．若各家庭回答是否正确互不影响． (1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；

(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．

20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥底面ABCD ，M 为线段PC 的中点，1PD AD ==，N 为线段BC 上的动点.

(1)证明：MD PN ⊥；

(2)当N 为线段BC 的中点时，求点A 到面MND 的距离.

21．已知,,a b c 分别为锐角ABC V 三个内角,,A B C 的对边，且22cos b c a C =+.