高考圆锥曲线中的定点与定值问题(题型总结超全)

专题08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题
一、解答题
1．【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得。

设x轴上的定点为，可得
，由定值可得需满足，解得可得定点坐标。

解得。

∴椭圆的标准方程为.
（Ⅱ）证明：
由题意设直线的方程为，
由消去y整理得，
设，，
要使其为定值，需满足，
解得
.
故定点的坐标为
.
点睛：解析几何中定点问题的常见解法
(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； (2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．
2．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知斜率为k 的直线l 经过点()1,0-与抛物线2
:2C y px =（0,p p >为常数）交于不同的两点,M N ，当1
2
k =时，弦MN 的长为15. （1）求抛物线C 的标准方程；
（2）过点M 的直线交抛物线于另一点Q ，且直线MQ 经过点()1,1B -，判断直线NQ 是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）2
4y x =;（2）直线NQ 过定点()1,4-
【解析】试题分析：（1）根据弦长公式即可求出答案； （2）由（1）可设()()()
2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ，则1
2
MN k t t =+， 则()11:220MN x t t y tt -++=； 同理： ()22:220MQ x t t y tt -++=
()1212:220NQ x t t y t t -++=.
由()1,0-在直线MN 上1
1
t t ⇒=
（1）； 由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ⇒+++=将（1）代入()121221t t t t ⇒=-+- （2） 将（2）代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ⇒-+-+-=，即可得出直线NQ 过定点．
（2）设()()()
2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ，则122
11
222
=MN t t k t t t t -=-+， 则()
21
2
:2MN y t x t t t -=
-+即()11220x t t y tt -++=； 同理： ()22:220MQ x t t y tt -++=；
()1212:220NQ x t t y t t -++=.
由()1,0-在直线MN 上11tt ⇒=，即1
1
t t =
（1）； 由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ⇒+++=将（1）代入()121221t t t t ⇒=-+- （2） 将（2）代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ⇒-+-+-=，易得直线NQ 过定点()1,4-
3．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知抛物线()2
:0C y mx m =>过点()1,2-，
P 是C 上一点，斜率为1-的直线l 交C 于不同两点,A B （l 不过P 点）
，且PAB ∆的重心的纵坐标为2
3
-. （1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标；
（2）记直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的值.
【答案】（1）方程为2
4y x =;其焦点坐标为()1,0（2）120k k +=
【解析】试题分析;（1）将()1,2-代入2
y mx =，得4m =，可得抛物线C 的方程及其焦点坐标；
（2）设直线l 的方程为y x b =-+，将它代入2
4y x =得22220x b x b -++=（），利用韦达定理，结合斜率公式以及PAB ∆的重心的纵坐标2
3
-
，化简可12k k + 的值；
因为PAB ∆的重心的纵坐标为23
-， 所以122p y y y ++=-，所以2p y =，所以1p x =，
所以()()()()()()
1221121212122121221111y x y x y y k k x x x x ------+=
+=----， 又()()()()12212121y x y x --+--
()()()()12212121x b x x b x ⎡⎤⎡⎤=-+--+-+--⎣⎦⎣⎦
()()()12122122x x b x x b =-+-+--
()()()22212220b b b b =-+-+--=.
所以120k k +=.
4．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的短轴端点到右焦点()10F ，的距离为2．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过点F 的直线交椭圆C 于A B ，两点，交直线4l x =：于点P ，若1PA AF λ=，
2PB BF λ=，求证： 12λλ-为定值．
【答案】(1) 22
143
x y +=;(2)详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的几何要素间的关系进行求解；（Ⅱ）联立直线和椭圆的方程，得到关
于x 或y 的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明.
（Ⅱ）由题意直线AB 过点()1,0F ，且斜率存在，设方程为()1y k x =-, 将4x =代人得P 点坐标为()4,3k ，
由()
2
2
1{ 14
3
y k x x y =-+
=，消元得()22223484120k x k x k +-+-=，
设()11,A x y ， ()22,B x y ，则0∆>且2
122
2
122
834{ 412
34k x x k k x x k +=
+-⋅=
+， 方法一：因为1PA AF λ=，所以111
4
1PA x AF x λ-==-. 同理222
41PB x BF
x λ-=
=
-，且1141x x --与2241x x --异号，
所以12121212443321111x x x x x x λλ⎛⎫
---=
+=--+ ⎪----⎝
⎭
()(
)1212123221
x x x x x x +-=-+
-++
()
22
222
38682412834k k k k k --=-+
--++
0=. 所以， 12λλ-为定值0.
当121x x <<时，同理可得120λλ-=. 所以， 12λλ-为定值0.
同理222
3PB my BF
my λ-=
=
，且113my my -与223
my my -异号，
所以()1212121212
333
2y y my my my my my y λλ+---=+=- ()()
36209m m ⨯-=-
=⨯-.
又当直线AB 与x 轴重合时， 120λλ-=， 所以， 12λλ-为定值0.
【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，其主要思路是联立直线和椭圆的方程，整理成关于x 或y 的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解，因为直线AB 过点()1,0F ，在设方程时，往往设为1x my =+
()0m ≠，可减少讨论该直线是否存在斜率.
5．【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中考】设抛物线C ： 2
4y x =， F 为C 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于,A B 两点. （1）设l 的斜率为1，求AB ；
（2）求证： OA OB ⋅u u u v u u u v
是一个定值. 【答案】(1) 8AB =（2）见解析
【解析】试题分析：（1）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出；（2）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出；
（2）证明：设直线l 的方程为1x ky =+，
由2
1
{
4x ky y x
=+-得2440y ky --= ∴124y y k +=， 124y y =- ()()1122,,,OA x y OB x y ==u u u v u u u v
， ∵()()1212121211OA OB x x y y kx ky y y ⋅=+=+++u u u v u u u v
，
()2121212
22
144143k y y k y y y y k k =++++=-++-=-， ∴OA OB ⋅u u u v u u u v
是一个定值.
点睛：熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公式、向量的数量积是解题的关键，考查计算能力,直线方程设成1x ky =+也给解题带来了方便.
6．【内蒙古包头市第三十三中2016-2017学年高一下学期期末】已知椭圆C : 22
221(0,0)x y a b a b
+=>>的离
心率为6
,右焦点为(2,0).(1)求椭圆C 的方程;??(2)若过原点作两条互相垂直的射线,与椭圆交于A ,B 两
点,求证:点O 到直线AB 的距离为定值.
【答案】(1) 2213
x y += ,(2) O 到直线AB 3
【解析】试题分析：（1）根据焦点和离心率列方程解出a ，b ，c ；
（2）对于AB 有无斜率进行讨论，设出A ，B 坐标和直线方程，利用根与系数的关系和距离公式计算；
有OA ⊥OB 知x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(k x 1+m ) (k x 2+m )=(1+k 2) x 1x 2+k m (x 1+x 2)=0 代入,得4 m 2=3 k 2+3
原点到直线AB 的
距离2
31m d k ==
+ ， 当AB 的斜率不存在时, 11x y = ,可得, 13
x d == 依然成立.所以点O 到直线
的距离为定值
3
2
. 点睛： 本题考查了椭圆的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，对于这类题目要掌握解题方法．设而不求，套用公式解决．
7．【四川省成都市石室中学2017-2018学年高二10月月考】已知双曲线()22
2210x y b a a b
-=>>渐近线方程
为3y x =， O 为坐标原点，点(3,3M 在双曲线上．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）已知,P Q 为双曲线上不同两点，点O 在以PQ 为直径的圆上，求
2
2
11OP
OQ
+
的值．
【答案】（Ⅰ）22126x y -=；（Ⅱ） 221113OP OQ
+=. 【解析】试题分析：（1）根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程，代入点M 的坐标求得参数即可；（2）
由条件可得OP OQ ⊥，可设出直线,OP OQ 的方程，代入双曲线方程求得点,P Q 的坐标可求得
2
2
1113
OP
OQ
+
=。

（Ⅱ）由题意知OP OQ ⊥。

设OP 直线方程为y kx =，
由2
2
1{ 26x y y kx -== ，解得22
2
22
6
3{ 63x k k
y k =
-=
-， ∴()
22222222
6166||333k k
OP x y k k k +=+=+=
---。

由OQ 直线方程为1y x k =-.以1
k
-代替上式中的k ，可得
()
22
2
22
16161||3113k k OQ k k ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-⎛⎫
-- ⎪⎝⎭。

∴()(
)(
)()
2
2222222
2111
3311
+=3616161k k k k k k OP OQ
+--+==+++。

8．【湖南省株洲市醴陵第二中学、醴陵第四中学2018届高三上学期两校期中联考】已知椭圆E :
2222
1(0)x y a b a b
+=>>经过点P (2,1)，且离心率为32． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设O 为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M ，N 满足OM NO =u u u u v u u u v
，直线PM 、PN 分别交椭圆于A ，B ．探
求直线AB 是否过定点，如果经过定点请求出定点的坐标，如果不经过定点，请说明理由．
【答案】（1）22
182
x y +=；（2）直线AB 过定点Q （0，﹣2）. 【解析】试题分析：（1）根据椭圆的几何性质得到椭圆方程；（2）先由特殊情况得到结果，再考虑一般情
况，联立直线和椭圆得到二次函数，根据韦达定理，和向量坐标化的方法，得到结果。

x 1+x 2=2
841
kt k -
+，x 1x 2=2
24841t k -+， 又直线PA 的方程为y ﹣1=1112y x --（x ﹣2），即y ﹣1=111
2
kx t x +--（x ﹣2），
因此M 点坐标为（0，
()111222
k x t x ---），同理可知：N （0， ()221222
k x t x ---）
，
当且仅当t =﹣2时，对任意的k 都成立，直线AB 过定点Q （0，﹣2）.
9．【广西桂林市第十八中学2018届高三上学期第三次月考】已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左，右
焦点分别为12,F F .过原点O 的直线l 与椭圆交于,M N 两点，点P 是椭圆C 上的点，若1
4
PM PN k k =-，
110F N F M ⋅=u u u u v u u u u v
，且1F MN ∆的周长为423+. （1）求椭圆C 的方程；
（2） 设椭圆在点P 处的切线记为直线'l ，点12,,F F O 在'l 上的射影分别为,,A B D ，过P 作'l 的垂线交x 轴于点Q ，试问
12F A F B
OD PQ
⋅
是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) 2
214
x y +=;(2)1. 【解析】试题分析; （1）设(),M m n ，则(),N m n --，∴ 22
221m n a b
+=，设()00,P x y ， ,AP BP y n y n k k x m x m -+==-+，以及14
AM BM k k ⋅=-， ()22
4..1a b =⋯⋯⋯⋯，由110F N F M ⋅=u u u u v u u u u v ,由椭圆的
定义可得()22423..2a c +=+⋯⋯⋯，结合()222
..3a b c =+⋯⋯，综合()()()123可得：
224,1a b ==，可得椭圆C 的方程；
（2）由（1）知()(
)
12
3,0,3,0F F -，直线l 的方程为：
0014x x
y y +=，由此可得
121F A F B ⋅=.，又∵PQ ⊥'l ，∴ PQ 的方程为()00004y y y x x x -=-，可得03,04x Q ⎛⎫
⎪⎝⎭
则可得22
0016x y PQ +=
，又22
0016OD x y =
+，∴ 1PQ OD ⋅=.，故
121F A F B
OD PQ
⋅=. 当直线'l 平行于x 轴时，易知121F A PQ OD F B ====，结论显然成立. 综上，可知
12F A F B
OD PQ
⋅
为定值1.
有12F N F M =，则()1112222423..2F N F M MN F N F M c a c ++=++=+=+
∵()222
..3a b c =+⋯⋯，综合()()()123可得： 2
2
4,1a b ==
∴椭圆C 的方程为： 2
214
x y +=. （2）由（1）知()(
)
12
3,0,3,0F F -，直线l 的方程为：
0014
x x
y y += 即： 00440x x y y +-=，所以0012
2
2
2
00
00
34341616x x F A x y x y --+=
=
++
0022
2
2
2
00
00
3+4341616x x F B x y x y --=
=
++∴20001222
222
00
00343416311631616x x x F A F B x x y x y +--⋅=
==-++. ∵PQ ⊥'l ，∴ PQ 的方程为()00004y y y x x x -=
-，令0y =，可得034x
x =，∴ 03,04x Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭
则2
22
2
002
200000163416
x y x x PQ x y y +⎛⎫=-+=
+= ⎪⎝
⎭
又点O 到直线'l 的距离为2
2
00
16OD x y =
+
，∴22
002
2
00
16116x y PQ OD x y +⋅=
⨯
=+.
∴
121F A F B
OD PQ
⋅=. 当直线'l 平行于x 轴时，易知121F A PQ OD F B ====，结论显然成立. 综上，
121F A F B
OD PQ
⋅=. 【点睛】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，椭圆的标准方程，直线与圆的位置关系，是解析几何的综合应用，难度较大． 10．【云南省玉溪第一中学2018届高三上学期第三次月考】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A ，B 两点,O 为坐标原点．
(1) 如果直线l 过抛物线的焦点且斜率为1，求AB 的值；
（2）如果4OA OB ⋅=-u u u v u u u v
，证明：直线l 必过一定点，并求出该定点. 【答案】（1）8；（2）证明见解析 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据抛物线的方程得到焦点的坐标，设出直线与抛物线的两个交点和直线方程，是直线的方程与抛物线方程联立，得到关于y 的一元二次方程，根据根与系数的关系，求出弦长；
（Ⅱ）设出直线的方程，同抛物线方程联立，得到关于y 的一元二次方程，根据根与系数的关系表示出数量积，根据数量积等于﹣4，做出数量积表示式中的b 的值，即得到定点的坐标．
令b 2－4b ＝－4，∴b 2－4b ＋4＝0，∴
b ＝2，
∴直线l 过定点(2,0)．∴若·＝－4，则直线l 必过一定点．
点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
11．【黑龙江省佳木斯市第一中学2017-2018学年高二上学期期中】已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>，
2121.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭
的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q ，使得以线段AB 为直径的圆恒过点Q ?若存在，求出点Q 的坐标：若不存在，请说明理由.
【答案】(1) 椭圆方程为2
212
x y +=;(2) 以线段AB 为直径的圆恒过点()0,1Q .
当l 与y 轴平行时，以线段AB 为直径的圆的方程为2
2
1x y +=. 故若存在定点Q ，则Q 的坐标只可能为()0,1Q . 下面证明()0,1Q 为所求：
若直线l 的斜率不存在，上述己经证明. 若直线l 的斜率存在，设直线1
:3
l y kx =-
， ()()1122,,,A x y B x y ，
∴QA QB ⊥u u u v u u u v
，即以线段AB 为直径的圆恒过点()0,1Q .
点睛：这个题是圆锥曲线中的典型题目，证明定值定点问题。

第一问考查几何意义，第二问是常见的将图的垂直关系，转化为数量关系，将垂直转化为向量点积为0 ，再者就是向量坐标化的意识。

还有就是这种证明直线过定点问题，可以先通过特殊位置猜出结果，再证明。

12．【四川省成都市新津中学2018届高三11月月考】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>2
，
且过点)
2,1.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设P 是椭圆C 长轴上的一个动点，过点P 作斜率为
2
的直线1交椭圆C 于,A B 两点，求证： 22
PA PB +为定值.
【答案】（1）22
142
x y +=；（2）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率
2
2
c
e
a
==，求得2
2
2
a c
=，由222
a b c
++，得22
b c
=，将点()2,1代入
22
22
1
2
x y
b b
+=，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）设()()
,022
P m m
-≤≤，∴直线l的方程是()
2
2
y x m
=-与椭圆的方程联立，利用韦达，根据两点间的距离公式将22
PA PB
+用m表示，化简后消去m即可得结果.
()()
2
22
2222
12121122
4
,,
2
m
x x m x x PA PB x m y x m y
-
∴+==∴+=-+-+
()()()()()()
222222
112212
115
444
x m x m x m x m x m x m
⎡⎤
=-+-+-+-=-+-
⎣⎦
()()()
2222
1212121212
55
222222
44
x x m x x m x x m x x x x m
⎡⎤⎡⎤
=+-++=+-+-+
⎣⎦⎣⎦
222
5
245
4
m m m
⎡⎤
=---=
⎣⎦（定值），
22
PA PB
∴+为定值.
【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法椭圆标准方程、韦达定理的应用以及圆锥曲线的定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 13．【北京朝阳日坛中学2016-2017学年高二上学期期中】已知椭圆
22
22
:1(0)
x y
a b
a b
Γ+=>>的离心率为
2
3
，半焦距为(0)
c c>，且1
a c
-=，经过椭圆的左焦点F，斜率为()
11
k k≠的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点．
（I）求椭圆Γ的标准方程．
（II）设()
1,0
R，延长AR，BR分别与椭圆交于C，D两点，直线CD的斜率为
2
k，求证：1
2
k
k
为定值．
【答案】（I）
22
1
95
x y
+=；（II）见解析.
【解析】试题分析：（I）依题意,得
2
{3
1
c
a
a c
=
-=
,再由222
b a c
=-求得2b,从而可得椭圆的标准方程;
（II ）设()33,C x y ， ()44,D x y ，可求得直线的方程为()1
111
y y x x =
--,与椭圆方程联立,由韦达定理可求得2
113145y y y x =--,进一步可求1111594,55x y C x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭, 同理2222594,55x y D x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭
,从而可得2k ,化简运算即可.
试题解析：
（I ）由题意，得2
{ 31
c a a c =-=解得3
{ 2
a c ==，
∴2225b a c =-=，
故椭圆Γ的方程为22
195
x y +=．
点睛：本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题．求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立,,a b c 的方程，求出2
2
,a b 即可，注意222,c
a b c e a
=+=
的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出1212,x x x x +⋅，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用． 14．【2017－2018学年高中数学（苏教版）选修1－1 课时跟踪训练】已知平面内的动点P 到定直线l ：x ＝
22的距离与点P 到定点F (2，0)之比为2.
(1)求动点P 的轨迹C 的方程；
(2)若点N 为轨迹C 上任意一点(不在x 轴上)，过原点O 作直线AB ，交(1)中轨迹C 于点A 、B ，且直线AN 、BN 的斜率都存在，分别为k 1、k 2，问k 1·k 2是否为定值？
【答案】(1) 22142x y += (2) k 1·k 2＝－1
2
【解析】试题分析：（1）设出点P ，利用两点间的距离公式分别表示出P 到定直线的距离和到点F 的距离的
比，建立方程求得x 和y 的关系式，即P 的轨迹方程．（2）设出N ，A ，则B 的坐标可知，代入圆锥曲线的方程相减后，可求得k 1·k 2＝－1
2
证明原式． 试题解析：
(1)设点P (x ，y )，依题意，有
＝
.整理，得＋＝1.所以动点P 的轨迹C 的方程为＋＝
1.
(2)由题意，设N (x 1，y 1)，A (x 2，y 2)，则B (－x 2，－y 2)， ＋＝1，＋＝1.k 1·
k 2＝·
＝
＝
＝－，为定值．
15．【河北省鸡泽县第一中学2017-2018学年高二10月月考】如图，已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的
左焦点为()1,0F -，过点F 做x 轴的垂线交椭圆于A ，B 两点，且3AB =．
(1)求椭圆C 的标准方程：
(2)若M ，N 为椭圆上异于点A 的两点，且直线,AM AN 的倾斜角互补，问直线MN 的斜率是否为定值?若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1) 22143x y +=;(2) 12
-.
试题解析:
（1）由题意可知1c =，
令x c =-，代入椭圆可得2b y a =±，所以
2
23b a
=，又221a b -=， 两式联立解得： 22
4,3a b ==， 22143
x y ∴+= .
又直线AM 的斜率与AN 的斜率互为相反数，在上式中以k -代替k ，可得
22412334N k k x k --=-+， 32
N N
y kx k =--+, 所以直线MN 的斜率()21
2
M N M N MN M N M N k x x k y y k x x x x ++-===---，
即直线MN 的斜率为定值，其值为1
2
-.
点睛: 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．
16．【北京市西城鲁迅中学2016-2017学年高二上学期期中】过点()0,1M 且与直线:1l y =-相切，设圆心
C 的轨迹为曲线E ， A ， B （A 在y 轴的右侧）为曲线E 上的两点，点()0,(0)P t t >，且满足
(1)AB PB λλ=>u u u v u u u v
． （Ⅰ）求曲线E 的方程．
（Ⅱ）若6t =，直线AB 的斜率为1
2
，过A ， B 两点的圆N 与抛物线在点A 处共同的切线，求圆N 的方程．
（Ⅲ）分别过A ， B 作曲线E 的切线，两条切线交于点Q ，若点Q 恰好在直线l 上，求证： t 与QA QB
⋅u u u v u u u v
均为定值．
【答案】(1) 2
4x y = (2) 22
323125222x y ⎛⎫⎛⎫++-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(3)见解析 【解析】试题分析：（1）由抛物线定义得曲线E 为抛物线，根据基本量可得其标准方程（2）先根据直线AB 方程与抛物线方程解出A ,B 两点坐标，再利用导数求出在点A 处的切线的斜率，则得圆心与A 连线的直
线方程，设圆一般式方程，利用三个条件解方程组得圆N 的方程．（3）设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 2
2
2,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
(),1Q a -，则利用导数求出在点A 处的切线的斜率，利用点斜式写出切线方程211240x ax --=，同理可
得222240x ax --=，即得2
240x ax --=两根为12,x x ，利用韦达定理化简直线AB 斜率得2
a ，即得AB
方程为12
a
y x =+，因此1t =，再根据向量数量积可计算得QA QB ⋅u u u v u u u v =0
由2
4{
2120
x y
x y =-+=，得()6,9A ， ()4,4B -．
∵2
4x y =，即2
14
y x =
， 1
2
y x '=
． ∴抛物线2
4x y =在点A 处切线的斜率
1
632y '=⨯=．
∴圆C 的方程为2222
323323442222x y ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
整理得22
323125222x y ⎛
⎫⎛⎫++-=
⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭． （Ⅲ）设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 2
2
2,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， (),1Q a -，
过点A 的切线方程为()211
142
x x y x x -=-， 即2
11240x ax --=，
同理得2
22240x ax --=，
∴122x x a +=， 124x x =-， 又∵22
12
1212444
AB
x x x x k x x -
+==-，
整理得2
2
2
48
421104
a a a +=--+++
+=， ∴t 与QA QB ⋅u u u v u u u v
均为定值．
点睛：1.求定值问题常见的方法有两种
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 2．定点的探索与证明问题
(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y kx b =+，然后利用条件建立,k b 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．
(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关． 17．【南宁市2018届高三毕业班摸底联考】已知抛物线上一点
到焦点的距离为.
（l ）求抛物线的方程；
（2）抛物线上一点的纵坐标为1，过点的直线与抛物线交于
两个不同的点（均与点不重合），
设直线的斜率分别为，求证：
为定值.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【解析】试题分析：（1）由焦半径定义和点在抛物线上建立两个方程，两个未知数，可求得抛物线方程。

（2）
由（1）知抛物线的方程，及，，设过点的直线的方程为,代入得
,由韦达定理可求得
为定值上。

（2）∵点在抛物线上，且.
∴
∴，设过点的直线的方程为
，即
，
代入
得
，
设，，则，，
所以.
18．如图，椭圆经过点，且离心率为．
（）求椭圆的方程．
（）经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，（均异于点），判断直线与的斜率之和是否为定值？若是定值，求出改定值；若不是定值，请说明理由．
【答案】（1）．（）斜率之和为定值．
【解析】（1）根据题意知：，，结合，解得：
，，，
∴椭圆的方程为：．
从而直线，的斜率之和：
．
故直线、斜率之和为定值．
点睛：本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题．求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．
19．【广西柳州市2018届高三毕业班上学期摸底联考】已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴上，且抛物线上有一点()4,P m 到焦点的距离为5.
（1）求该抛物线C 的方程；
（2）已知抛物线上一点(),4M t ，过点M 作抛物线的两条弦MD 和ME ，且MD ME ⊥，判断直线DE 是否过定点？并说明理由.
【答案】（1）2
4y x =.（2）()8,4- 【解析】试题分析：(1)求出抛物线的焦点坐标,结合题意列关于p 的等式求p ,则抛物线方程可求;
(2)由(1)求出M 的坐标,设出直线DE 的方程x my t =+ ,联立直线方程和抛物线方程,化为关于y 的一元二次方程后D ,E 两点纵坐标的和与积,利用
0MD ME ⋅=u u u u v u u u v 得到t 与m 的关系,进一步得到DE 方程,由直线系方程可得直线DE 所过定点.
（2）由（1）可得点()4,4M ，可得直线DE 的斜率不为0，
设直线DE 的方程为： x my t =+，
联立2{ 4x my t y x
=+=，得2440y my t --=， 则216160m t ∆=+>①.
设()()1122,,,D x y E x y ，则12124,4y y m y y t +==-.
∴()6221t m -=±+，即48t m =+或44t m =-+，
代人①式检验均满足0∆>，
∴直线DE 的方程为： ()4848x my m m y =++=++或()44x m y =-+.
∴直线过定点()8,4-（定点()4,4不满足题意，故舍去）.
点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．
20．【云南省昆明一中2018届高三第一次摸底测试】已知动点(),M x y 满足： ()()22221122x y x y ++-+=
（1）求动点M 的轨迹E 的方程；
（2）设过点()1,0N -的直线l 与曲线E 交于,A B 两点，点A 关于x 轴的对称点为C （点C 与点B 不重合），证明：直线BC 恒过定点，并求该定点的坐标.
【答案】（1）2
212
x y +=；（2）直线过定点()2,0- ，证明见解析. 【解析】试题分析：（1）动点M 到点()1,0P -， ()1,0Q 的距离之和为222PQ <动点M 的轨迹为椭圆，从而可求动点M 的轨迹E 的方程；（2）直线l 的方程为： ()1y k x =+，由
()
221{ 12
y k x x y =++= 得()2222124220k x k x k +++-=，，根据韦达定理可得 1221212x y x y x x +=-，直线BC 的方程为2
1212y y y x x x +=--，即可证明其过定点.
所以2122412k x x k +=-
+， 21222212k x x k
-=+， 直线BC 的方程为： ()212221y y y y x x x x +-=--，所以2112212121y y x y x y y x x x x x ++=---， 令0y =，则()()()()12121212122121121222222
kx x k x x x x x x x y x y x y y k x x k x x +++++====-+++++， 所以直线BC 与x 轴交于定点()2,0D -.。