高一数学(必修第二册)期中试题

2024年04月24日xx 学校高中数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题
1．如图所示,在ABC △中,6BD DC = ,则AD =
()
A.1677
AB AC +
B.6177
AB AC +
C.1566
AB AC +
D.5166
AB AC +
2．在边长为3的等边ABC △中，点E 满足2,AE EC = ，则BE BA ⋅=
()
A.9
B.152
C.6
D.
27
4
3．如图，在ABC △中，BE 是AC 边上的中线，O 是BE 边的中
点.若AB = a ，AC = b ，则AO =
()
A.1122+a b
B.1123
+a b C.1142+a b D.11
24+a b 4．已知()1,2A ，()42B -,，则AB =
()
A.()
5,0 B.()
5,4- C.()3,4- D.()3,4-5．如图,在正方形网格中有向量a ,b ,c
,若c xa yb =+ ,则()
A.2x =,1y =
B.1x =,2
y =C.1
x y == D.2
x y ==6．已知平面向量(1,2)a = ,(2,)b m =- ,且//a b ,则23a b +=
()A.(5,10)
-- B.()
4,8-- C.()
3,6-- D.()
2,4--7．已知向量()2,4a = ,()6,b m =-
,若()
a a
b ⊥+ ,则m =()
A.2
- B.1
- C.0 D.3
8．一物体在力F 的作用下，由点()10,5A 移动到点(4,2)B ，已知()3,5F =- ，则F
对
该物体所做的功为()A.6
B.-6
C.3
D.-3
9．在ABC △中,若8ac =,7a c +=,π
3
B =,则b =()A.25
B.5
C.4
10．在ABC △中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若2cos c a B =,则ABC △一定为()A.锐角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形
11．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若60A =︒，a =
sin sin sin a b c
A B C
--=--()
A.
1
2
B.
2
D.2
12．如图，为了测量山坡上灯塔CD 的高度，某人从高为40h =的楼AB 的底部A 处和楼顶B 处分别测得仰角为60β=︒，
30α=︒，若山坡高为35a =，则灯塔高度是()
A.15
B.25
C.40
D.60
13．在复平面内，(13i)(3i)+-对应的点位于()A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
14．232i 2i ++=()A.1
B.2
D.5
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
17．下列说法中正确的是()A.棱柱的侧面可以是三角形B.正方体和长方体都是特殊的四棱柱C.所有的几何体的表面都能展成平面图形D.棱柱的各条棱都相等
18．如图所示的正方形O A C B ''''的边长为2cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为()
l
A.2
B.2
8cm C.2
D.2
16cm 19．已知圆锥的侧面面积为2π,底面面积为π,则该圆锥的体积为()
A.
π
3
B.
3
C.
3
20．已知圆台上下底面的半径分别为1和2，母线长为3，则圆台的体积为() A.
7π
3
B.
142π3
C.7π
D.21．已知,,αβγ是三个不同的平面，且m αγ= ，n βγ= ，则“//m n ”是“//αβ”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
22．若直线//a 平面α，直线b α⊂，则直线a 与b 的位置关系是()
A.相交
B.异面
C.异面或平行
D.平行
二、多项选择题
23．下列说法中正确的是()A.零向量与任一向量平行
B.方向相反的两个非零向量不一定共线
C.零向量的长度为0
D.方向相反的两个非零向量必不相等
24．已知向量a ,b
满足1a b == 且2b a -= 则下列结论正确的是()
A.a b -=
B.2
a b += C.,60a b 〈〉=︒
D.a b
⊥ 25．下列命题中是假命题的为().
A.已知向量//a b ，则a ，b 可以作为某一平面内所有向量的一个基底
B.若a ，b 共线，则=a b
C.已知{,}a b 是平面的一个基底，若=+m a b ，则{,}a m 也是该平面的一个基底
D.若P ，A ，B 三点共线，则(1)MP xMA x MB
=+-uuu r uuu r uuu r
26．已知向量(1,2)=-a ，(1,)m =-b ，则()A.若⊥a b ，则1m =- B.若//a b ，则5
⋅=-a b C.若1m =，则||-=a b D.若2m =-，则a 与b 的夹角为60︒
27．甲,乙两楼相距20m,从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为60︒,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为
30︒,则下列说法正确的有()A.甲楼的高度为 B.甲楼的高度为
C.乙楼的高度为
3
m D.乙楼的高度为28．已知a ，b 表示两条不重合的直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列命题，其中正确的是()
A.若a αλ= ，b βγ= ，且//a b ，则//αβ
B.若a ，b 相交且都在α，β外，//a α，//b α，//a β，//b β，则//αβ
C.若//a α，//a β，则//αβ
D.若a α⊂，//a β，b αβ= ，则//a b 三、填空题
29．如图所示，在梯形ABCD 中，//AD BC ，AC 与BD 交于
O 点，则BA BC OA OD DA --++=uu r uu u r uur uuu r uu u r
_____________.
30．化简：
()()
12322132a b a b a b --++⎛⎫
⎪⎝=⎭
- ___________.32．设向量,a b 不平行，向量1
4
λ+a b 与-+a b 平行，则实数λ=_________.
33．如图，在ABC △中，2,3,60,AB BC ABC AH BC =︒=∠=⊥于点H .若AH AB BC λμ=+uuu r uu u r uu u r
，则
λμ+=___________.
34．已知O 为坐标原点,3(2,)A -,(1,2)AB =- ,则||OB =
______.
35．如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉
力分别是1F ，2F ，且1F ，2F 与水平夹角均为45°，12||||10N F F ==
，则物体的重力大小为__________N.
36．已知ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π
4
A =
，22222b a c =+，则sin C =__________.
37．在ABC △中，已知150A =︒，3AC =，5AB =，则ABC △的面积为_______.38．如图,为了测定河两岸点B 与点C 间的距离,在点B 同侧的河岸选定点A ,测得
45CAB ∠=︒,75CBA ∠=︒,120m AB =,则点B 与点C 间的距离为__________m.
39．已知||3z =，且3i z +是纯虚数，则z =_________.
40．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题：“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图,米堆为一个圆锥的四分之一）,米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.6立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有__________斛.（精确到个位）
41．如图所示，G ，H ，M ，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形有__________(填序号).
42．如图，平面//,,,,A C B D αβαβ∈∈，直线AB 与CD 交于点P ，且1,4,6AP BP CD ===，那么CP =__________.
四、解答题
43．（1）已知)
a =
,()2,0b =- ,求向量b 在a
上的投影向量的坐标.
（2）已知()13a = ,,(),2b λ= ,若a ,b
的夹角为锐角,求λ的取值范围.
44．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2()5cos cos 24
A A π++=.
（1）求A ；
（2）若3
b c a -=
，证明：ABC △是直角三角形.
45．在ABC △中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c 且π
2sin(6
b c a C +=+.
（1）求角A 的大小;
（2）若2a =,求ABC △的面积S 的最大值．
47．已知复数11i z =+，22i()z m m =+∈R .（1）若2
1
z z 为纯虚数，求m ；（2）若
2
1
z z ∈R ，求123i z z +的实部与虚部之和.48．某同学在劳动实践课上制作了一个如图所示的容器,其上半部分是一个正四棱锥
,下半部分是一个长方体,已知正四棱锥
S ABCD -的高是长方体1111ABCD A B C D -高的1
2
,且底面正方
形ABCD 的边长为4,12AA =．
（1）求1AC 的长及该长方体的外接球的体积；（2）求正四棱锥的斜高和体积．
49．已知ABC △在平面α外，其三边所在的直线满足,,AB P BC Q AC R ααα⋂=⋂=⋂=，如图所示.求证：P ，Q ，R 三点共线.
50．如图所示，已知ABCD 为梯形，//AB CD ，2CD AB =，M 为线段PC 上一点.
（1）设平面PAB 平面PDC l =，证明：//AB l .
（2）在棱PC 上是否存在点M ，使得//PA 平面MBD ？若存在，请确定点M 的位置；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．答案：A
解析：根据向量的线性运算法则,可得：
()
66167777
AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ .
故选：A.
2．答案：C
解析：由2AE EC = 得()
2BE BA BC BE -=-
，即1233
BE BA BC =+ ，则
21212
3333cos 6063333
BE BA BA BA BC ⋅=+⋅=⨯⨯+⨯⨯⨯︒= ．故选：C ．
3．答案：D
解析： 在ABC △中，BE 是AC 边上的中线，12
AE AC ∴=
.
O 是BE 边的中点，
11111()22424
AO AB AE AB AC ∴=+=+=+ a b ，
故选D.4．答案：C
解析：因为()12A ,，()4,2B -，所以(3),4AB =-
，故选：C.5．答案：A
解析：如图建立直角坐标系,设正方形边长为1,则()2,1a =- ,()3,2b = ,()1,4c =-
,
因为c xa yb =+
,即()()()1,42,13,2x y -=-+,
所以23124
x y x y -+=-⎧⎨+=⎩,解得2x =,1
y =故选：A.
6．答案：B
解析:因为(1,2)a = ,(2,)b m =- ,且//a b
,所以
40m +=,4m =-,()()2321,232,4(4,8)a b +=+--=--
,故选B.
7．答案：A
解析：因为()2,4a = ,()6,b m =- ,()4,4a b m +=-+
,由()
a a
b ⊥+ ,得()8440m -+⨯+=,
所以2m =-.故选:A.8．答案：D
解析： ()10,5A ，(4,2)B ，()6,3AB ∴=--
，又()3,5F =-
，
()()63353F AB ∴⋅=-⨯+-⨯-=-
.
故选：D.9．答案：B
解析：在ABC △中,若8ac =,7a c +=,π3
B =,
由余弦定理得5b ====.
故选：B.
10．答案：B
解析：由2cos c a B =及正弦定理得,2sin cos sin sin()A B C A B ==+,所以sin cos cos sin A B A B =,
即sin()0A B -=,因为A ,(0,π)B ∈,所以(π,π)A B -∈-,所以0A B -=,即A B =,故ABC △为等腰三角形,选B.11．答案：D
解析：在ABC △中，由正弦定理得
3
2sin sin sin sin 60a b c A B C ==︒
==，2sin sin sin a b c A B C --∴
===--，2sin sin sin a b c
A B C
--∴=--.故选D.
12．答案：B
解析：过点B 作BE DC ⊥于点E ，过点A 作AF DC ⊥于点F ，如图所示，在ABD △中，由正弦定理得，sin sin AB AD
ADB ABD
=
∠∠，即
sin[90(90)]sin(90)
h AD
αβα=
︒--︒-︒+，cos sin()h AD αβα∴=
-，在Rt ADF △中，cos sin sin sin()
h DF AD αβ
ββα==-，
又山高为a ，则灯塔CD 的高度是
3340cos sin 22356035251sin()
2
h CD DF EF a αβ
βα⨯
⨯=-=
-=
=-=-.故选
B.
13．答案：A
解析：(13i)(3i)3i 9i 368i +-=-++=+，在复平面内对应的点的坐标为(6,8)，位于第一象限，故选A.14．答案：C
解析：232i 2i 212i 12i ++=--=-
，则232i 2i |12i |++=-=故选C.
解析：由i 3i z =-，得3i
13i i
z -=
=--，则13i z =-+，在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B.17．答案：B
解析：对A,棱柱的侧面都是四边形,故A 错误；对B,正方体和长方体都是特殊的四棱柱,故B 正确；
对C,所有的几何体的表面都能展成平面图形,球不能展成平面图形,故C 错误；对D,棱柱的各条棱都相等,应该为侧棱相等,故D 错误；故选：B.18．答案：C
解析：由于原几何图形的面积:直观图的面积:1=，又 正方形O A C B ''''的边长为2cm ，
∴正方形O A C B ''''的面积为24cm ，
原图形的面积2S =.故选C.19．答案：B
解析：根据题意,圆锥的底面面积为π,设底面半径为r ,圆锥母线为l ,
则2ππr =,1r =,底面周长为2π2πr =,又1
2π2π2l ⨯=,
∴圆锥的母线为2,=,
所以圆锥的体积13π
π33
=
.故选：B.20．答案：B
=
故圆台的体积为(221142
π1π2π33
V =⨯⨯+⨯+=
.
故选：B.21．答案：B
解析：如图，将平面,,αβγ视为一个三棱柱的三个侧面，设a αβ= ，a ，m ，n 为三棱柱三条侧棱所在的直线，则由//m n 得不到//αβ.若//αβ，且m αγ= ，n βγ= ，由面面平行的性质定理可得出//m n .所以由//αβ可得//m n ，因此“//m n ”是“//αβ”的必要不充分条件.故选B.
22．答案：C
解析：由直线//a 平面α，直线b α⊂，可得直线a ，b 一定没有公共点，故两直线的位置关系可以是异面或平行.故选C.
23．答案：ACD
解析：零向量与任一向量平行，零向量的方向不确定，但模确定为0，故A 与C 都是正确的；根据共线向量的定义，方向相反的两个非零向量一定共线，故B 错误；对于D ，因为向量相等的定义是长度相等且方向相同的向量，所以方向相反的两个非零向量必不相等，故D 正确.故选：ACD.
24．答案：AD
解析:因为25b a -= ,所以22
445b a b a -⋅+= ;
因为1a b == ,所以0a b ⋅=
,所以,90a b =︒ ,故C 错误,D 正确;
因为22222a b a a b b -=-⋅+= ,所以2a b -=
,A 正确;
因为22
222a a b b b a +⋅+=+= ,所以2a b += ,B 错误;
故选:AD.
25．答案：AB
解析：对于A ，向量构成平面的基底需满足向量不共线，故A 为假命题.对于B ，若a ，b 共线，则λ=a b ，故B 为仳命题.
对于C ，因为a ，b 不共线，所以{,}a m 也是平面的一个基底，故C 为真命题.
对于D ，P ，A ，B 三点共线，则(1)MP xMA x MB =+-uuu r uuu r uuu r
，故D 为真命题.故选AB.
26．答案：BC
解析：A 项，若⊥a b ，则1(1)(2)0m ⋅=⨯-+-⨯=a b ，即1
2
m =-，故A 项错误；B
项，若//a b ，则11(2)m ⨯=-⨯-，即2m =，1(1)(2)125m m ⋅=⨯-+-⨯=--=-a b ，故B 项正确；C 项，若1m =，则(2,3)-=-a b
，所以||-==a b ，故C 项正确；D 项，2m =-，则1(1)(2)123m m ⋅=⨯-+-⨯=--=a b
，||=a
，||=b ，
31
cos ,||||52
⋅〈〉=
=≠⋅a b a b a b ，所以a 与b 的夹角不是60︒，故D 项错误.故选BC.
27．答案：AC
解析：解：如图所示,ABC △中,20AC m =,90BAC ∠=︒
,
tan 60AB AC =⋅︒=,40BC m =,BCD △中,
30BCD ∠=︒,40BC m =,30CBD ∠=︒,120D ∠=︒
,
由正弦定理得
sin120sin BC CD
CBD
=∠ ,
所以1
40403233
2
CD m
⨯
=
=故选：AC ．
28．答案：BD
解析：对于A ，当a αγ= ，b βγ= ，且//a b 时，α与β有可能平行，也可能相交，所以A 错误，
对于B ，设a ，b 确定的平面为γ，因为//a α，//b α，//a β，//b β，a ，b 是相交直线，所以//γα，//γβ，故//αβ，所以B 正确，
对于C ，当//a α，//a β时，α与β可能平行，也可能相交，所以C 错误，
对于D ，当a α⊂，//a β，b αβ= 时，由线面平行的性质定理可知//a b ，所以D 正确.故选：BD.
29．答案：CA
uu r
解析：BA BC OA OD DA CA AD DA CA --++=++=uu r uu u r uur uuu r uu u r uu r uuu r uu u r uu r
.
30．答案：1522
a b
-
解析：()()
11232223a b a b a b ⎛⎫
--++- ⎪⎝⎭
，
13242a b a b a b =---+-
，
1522a b =- ，
故答案为：1522
a b -
.
解析：,a b Q 不平行，1
4
λ∴+≠a b 0，0-+≠a b .
又1
4λ+a b 与-+a b 平行，
∴存在实数μ，使1
()4
λμ+
=-+a b a b ，根据平面向量基本定理得，1,41,4
μλλμ-=⎧⎪
∴=-⎨=⎪⎩.
33．答案：
4
3
解析：2,60AB ABC =∠=︒Q ，11,3
BH BH BC ∴=∴=uuu r uu u r
，
13AH AB BH AB BC AB BC λμ∴=+=+=+uuu r uu u r uuu r uu u r uu u r uu u r uu u r ，故11,3λμ==，故43
λμ+=.
34
解析：因为()()()2,31,23,5OB OA AB =+=-+-=- ,所以
OB =
故答案为:
35．答案：解析：一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，所以重力12||||G F F =+
，
因为1F ，2F 与水平夹角均为45°，12||||10N F F ==
，
由向量加法的平行四边形法则可知12F F +
的方向是竖直向上的，且121||2||sin 452102F F F +=︒=⨯⨯=
，所以物体的重力大小为
.
故答案为：36．答案：
255
解析：由2
2
2
22b a c =+得22
2
2c a b =-，而π
4
A =，
由余弦定理可得2
2
2
2cos a b c bc A =+-
，即2
2
222
c b b c -=+
-，整理可得
b =
.
所以222
2
22952828c c a b c =-=-
=
，于是a c =.
由正弦定理可得
sin sin a A c C ==
，所以π
4sin 5C ==.
37．答案：
15
4
解析：因为150A =︒，3b AC ==，5c AB ==，则11115
sin 352224ABC S bc A ==⨯⨯⨯=△.
38
．答案：解析:在ABC △中,45CAB ∠=︒,75CBA ∠=︒,120m AB =,则60ACB ∠=︒,因为
sin sin AB BC
ACB BAC
=
∠∠,
所以2
120sin 2sin 32
AB BAC
BC ACB
⨯
⋅∠=
=
∠,
所以点B 与点C
间的距离为.故答案为
:.39．答案：3i
解析：设i(,)z a b a b =+∈R ，因为||3z =，所以229a b +=.因为
3i i 3i (3)i z a b a b +=++=++为纯虚数，所以030a b =⎧⎨+≠⎩，即0
3a b =⎧⎨
≠-⎩.又229a b +=，所以0
3a b =⎧⎨=⎩
，所以3i z =.
40．答案：22
解析：根据可设四分之一圆锥的底面圆半径为r ,
即12π84r ⨯=,可得16
π
r =尺；根据锥体的体积公式可得四分之一圆锥的体积为211320π5343π
V r =⨯⨯=立方尺；
又1斛米的体积约为1.6立方尺,所以共3201
223π 1.6
⨯≈斛.故答案为：22.
41．答案：②④
解析：如题干图①中，直线//GH MN ；
题干图②中，G ，H ，N 三点共面，但M ∉平面GHN ，因此直线GH 与MN 异面；题干图③中，连接MG(图略)，//GM HN ，因此，GH 与MN 共面；题干图④中G ，M ，N 三点共面，但H ∉平面GMN ，所以GH 与MN 异面.42．答案：2
解析：因为平面//,,,,A C B D αβαβ∈∈，直线AB 与CD 交于点P ，所以//AC BD ，所以
PA PC
AB CD
=
，因为1,4,6AP BP CD ===，所以
1416
CP
=
-，所以2CP =.43．答案：（1）见解析
（2）22633λ⎛⎫⎛⎫∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,,解析：（1）由题意可得
:(
)230a b ⋅=-+⨯=-
a =
=
向量b 在a
方向上的投影向量
为
:2cos ,1,12622a b a b a b a b a a a a a
a
b b ⋅⋅⋅⋅⎛⋅-⋅=⋅===-=-- ⎝⎭
;
（2）因为a ,b 的夹角为锐角,所以13260a b λλ⋅=⨯+⨯=+>
,解得:6λ>-,又当a 与b 共线时,可得:123λ⨯=,解得:23
λ=,
此时22,233b a ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ,此时a 与b
同向,需排除,
所以 λ的取值范围是:22633λ⎛⎫⎛⎫
∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,,.
44、
（1）答案：3
A π
=
解析：由已知得25sin cos 4A A +=
，即21
cos cos 04
A A -+=.所以2
1cos 02A ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，1cos 2A =.
由于0A <<π，故3
A π=
.（2）答案：证明见解析
解析：由正弦定理及已知条件，可得3
sin sin sin 3
B C A -=.由（1）知23
B C π+=
，
所以2sin sin 333B B ππ⎛⎫
--= ⎪⎝⎭.
即131sin cos 222B B -=，1sin 32B π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭.
由于203B π<<
，故2
B π
=，所以ABC △是直角三角形.45．答案：（1）π
3
A =（2
解析：（1）由已知π
2sin(6b c a C +=+及正弦定理得
31
sin sin 2sin sin cos 22B C A C C ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭
,
所以()sin sin sin sin cos A C C A C A C ++=+,
所以sin cos cos sin sin sin sin cos A C A C C A C A C ++=+,
cos sin sin sin A C C A C +=,又sin 0C ≠,
cos 1A A
+=π
cos 1,2sin 1
6A A A -=-=（）()0,πA ∈ ,ππ5π,666A ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭,ππ66A ∴-=,π
3
A ∴=.
（2）根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-得224b c bc =+-,由基本不等式222b c bc +≥得42bc bc ≥-,4
bc ≤∴ABC △
的面积13sin 24S bc A bc ==≤当且仅当2b c ==时等号成立,
∴ABC △的面积S
．
46．答案：(1)5m =或3m =-;(2)5m ≠且3m ≠-且2m ≠-;(3)3m =.
解析：(1)复数z 是实数，则22150
20
m m m ⎧--=⎨+≠⎩，
解得5m =或3m =-;
(2)复数z 是虚数，则22150
20
m m m ⎧--≠⎨+≠⎩，
解得5m ≠且3m ≠-且2m ≠-;
(3)复数是纯虚数，则2260202150m m m m m ⎧--=⎪
+≠⎨⎪--≠⎩
，
解得3m =.
47．答案：（1）2m =-（2）6
解析：（1）因为11i z =+，22i z m =+，所以
212i (2i)(1i)(2)(2)i
1i (1i)(1i)2
z m m m m z ++-++-===
++-，由2
1z z 为纯虚数得2020m m +=⎧⎨-≠⎩
，
解得2m =-.故2m =-.（2）由（1）可知
21(2)(2)i 2z m m z ++-=
，由21
z
z ∈R ，得20m -=，解得2m =.则222i z =+，所以123i 33i 2i 215i z z +=++-=+，所以123i z z +的实部为1，虚部为5，故实部与虚部之和为156+=.
48．答案：（1）16AC =,36π；
（2体积为16
3
．解析：（1） 几何体1111ABCD A B C D -为长方体且4AB BC ==,12AA =,
∴16AC ===,
记长方体外接球的半径为R ,线段1AC 就是其外接球直径,则26R =,∴3R =,∴外接球的体积为34π336π3
V =⨯=．（2）如图,设AC ,BD 交于点O ,连结SO ,则SO 为正四棱锥的高,
S ABCD -为正四棱锥,∴SO 为正四棱锥的高,
又长方体的高为12AA =,∴1212
SO =⨯=,取AB 的中点E ,连结OE 、SE ,则SE 为正四棱锥的斜高,在Rt SOE △中,1SO =,12
2
OE AD ==,∴SE === 4416ABCD S =⨯=,1SO =,∴1116161333S ABCD ABCD V S SO -=
⨯=⨯⨯=,∴体积为
16
3
．49．答案：见解析.解析：因为AP AR A ⋂=，所以直线AP 与直线AR 确定平面APR .又因为,AB P AC R αα⋂=⋂=，所以平面APR ⋂平面PR α=.因为B ∈平面,APR C ∈平面APR ，
所以BC ⊂平面APR .
因为Q BC ∈，所以Q ∈平面APR ，又Q α∈，
所以Q PR ∈，所以P ，Q ，R 三点共线.
50、
（1）答案：见解析
解析：因为//AB CD ，AB ⊄平面PDC ，CD ⊂平面PDC ，所以//AB 平面PDC .又因为平面PAB 平面PDC l =，且AB ⊂平面PAB ，所以//AB l .
（2）答案：存在点M ，使得//PA 平面MBD ，此时12PM MC =，理由见解析解析：存在点M ，使得PA ∥平面MBD ，此时
12PM MC =.证明如下：连接AC 交BD 于点O ，连接MO .
因为//AB CD ，且2CD AB =，所以12AB AO CD OC ==，又因为12PM MC =，PC AC C = ，所以//PA MO ，因为PA ⊄平面MBD ，MO ⊂平面MBD ，所以//PA 平面MBD .。