2018年数学第一章集合与常用逻辑用语第三讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案

第三讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
【考点梳理】 1．简单的逻辑联结词
（1）命题中的“或”“且”“非”叫做逻辑联结词． (2)命题p ∧q ，p ∨q ，綈p 的真假判断
2.全称量词与存在量词
(1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示． （2）全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题．
全称命题“对M 中任意一个x ，有p (x )成立"简记为∀x ∈M ，p (x ）．
（3）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．
(4)特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题．特称命题“存在M 中的一个元素x 0，使p (x 0)成立”，简记为∃x 0∈M ，p （x 0)．
3．含有一个量词的命题的否定
【教材改编】
1．（选修2－1 P 22例1改编)下列命题是真命题的是( ) A ．所有素数都是奇数 B ．∀x ∈R,x 2
＋1≥0
C ．对于每一个无理数x ,x 2
是有理数 D ．∀x ∈Z，1x
∉Z
2．（选修2－1 P16例3(1)改编)有下列两命题：
①2≥2；②2≥1，则下列正确的为（)
A．①真②真B．①真②假
C．①假②真D．①假②假
【答案】 A
【解析】∵命题“2≥2”由命题p：2＝2，q：2＞2用“或”联结后构成的新命题，且p真q假，
∴p∨q为真，即①真，同理②也真，故选A。

3．(选修2－1 P27 A组T3(3）改编)命题p：∃x0∈R，x2，0－x0＋1≤0的否定是（）
A．∃x0∈R，x错误!－x0＋1＞0
B．∀x∈R，x2－x＋1＞0
C．∃x0∈R,x20－x0＋1≥0
D．∀x∈R,x2－x＋1≤0
【答案】 B
【解析】∵命题∃x0∈M，p(x0）的否定是∀x∈M，﹁p(x)，故选B.
4．(选修2－1 P27 A组T3（1）改编）命题p：∀x∈N，x2＞x3的否定是( ）
A．∃x0∈N，x错误!＞x错误!B．∀x∈N,x2≤x3
C．∃x0∈N，x2，0≤x30D．∀x∈N，x2＜x3
【答案】 C
【解析】∵命题∀x∈M,p（x)的否定是∃x0∈M，﹁p（x0)，故选C.
5．(选修2－1 P18 B组T(3)（4）改编)命题p：2＞3，q:8＋7≠15，则“p∧q”的否定是( ）
A．2≤3且8＋7＝15 B．2≤3或8＋7＝15
C．2＞3或8＋7≠15 D．2≤3且8＋7≠15
【答案】 B
【解析】因为“p∧q”的否定是“(﹁p）∨(﹁q）”,故选B.
【考点突破】
考点一、含有逻辑联结词的命题的真假判断
(1) 设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0,则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( ）
A．p∨q B．p∧q
C．(綈p)∧（綈q) D．p∧(綈q)
【答案】 A
【类题通法】
1。

“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题真假判断的关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是:(1）明确其构成形式;（2）判断其中命题p，q的真假;（3)确定“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题的真假．
2．p且q形式是“一假必假,全真才真”，p或q形式是“一真必真，全假才假"，非p则是“与p的真假相反”．
【对点训练】
1. 命题p：若sin x＞sin y，则x＞y；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是（)
A．p∨q B．p∧q
C．q D．綈p
【答案】 B
【解析】取x＝错误!，y＝错误!，可知命题p不正确；由（x－y)2≥0恒成立，可知命题q正确．
故綈p为真命题，p∨q是真命题，p∧q是假命题．
考点二、全称命题、特称命题
【例2】
(1) 命题“∃x0∈(0,＋∞），ln x0＝x0－1”的否定是( )
A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1
B．∀x∉（0，＋∞)，ln x＝x－1
C．∃x0∈（0，＋∞），ln x0≠x0－1
D．∃x0∉（0，＋∞），ln x0＝x0－1
（2）不等式组错误!的解集记为D，有下面四个命题：
p1：∀(x,y）∈D，x＋2y≥－2；
p2:∃(x，y）∈D,x＋2y≥2；
p3：∀(x,y)∈D,x＋2y≤3；
p4：∃(x,y）∈D，x＋2y≤－1。

其中的真命题是( )
A．p2,p3 B．p1,p4 C．p1，p2 D．p1，p3
【答案】（1) A （2) C
【解析】 (1）改变原命题中的三个地方即可得其否定，∃改为∀,x0改为x，否定结论，即ln x≠x－1，故选A。

(2) 作出不等式组表示的可行域，如图（阴影部分)．
由错误!
得交点A（2，－1)．
目标函数的斜率k＝－错误!>－1,
观察直线x＋y＝1与直线x＋2y＝0的倾斜程度，可知u＝x＋2y过点A时取得最小值0y＝－错误!＋错误!，错误!表示纵截距．结合题意知p1,p2正确．
【类题通法】
1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论．
2．要判断一个特称命题是真命题,只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p（x0）成立即可，否则这一特称命题就是假命题．
3．要判断一个全称命题是真命题,必须对限定的集合M中的每一个元素x,证明p(x）成立．只要找到一个反例，则该命题为假命题.
【对点训练】
2．(1）命题“∀x∈[0，＋∞),x3＋x≥0”的否定是（）
A．∀x∈(－∞，0）,x3＋x<0
B．∀x∈(－∞，0），x3＋x≥0
C．∃x0∈［0，＋∞），x30＋x0<0
D．∃x0∈［0，＋∞)，x错误!＋x0≥0
（2) 下列命题中为假命题的是（)
A．∀x∈错误!，x＞sin x
B．∃x0∈R，sin x0＋cos x0＝2
C．∀x∈R，3x＞0
D．∃x0∈R，lg x0＝0
【答案】 (1) C (2) B
【解析】（1）全称命题：∀x∈［0，＋∞)，x3＋x≥0的否定是特称命题：∃x0∈［0，＋∞），x错误!＋x0〈0. （2）对于A，令f（x)＝x－sin x，则f′（x)＝1－cos x，当x∈错误!时,f′(x）＞0.从而f（x)在错误!上是增函数，则f(x)＞f(0）＝0，即x＞sin x，故A正确；对于B，由sin x＋cos x＝2sin错误!≤错误!＜2知，不存在x0∈R，使得sin x0＋cos x0＝2，故B错误；对于C,易知3x＞0,故C正确；对于D,由lg 1＝0知,D正确．
考点三、由命题的真假求参数的取值范围
【例3】(1)已知命题“∃x0∈R，使2x错误!＋（a－1)x0＋错误!≤0"是假命题，则实数a的取值范围是（）A．(－∞，－1) B．(－1，3） C．(－3，＋∞） D．(－3，1）
(2)已知p：∃x0∈R,mx错误!＋1≤0,q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p∨q为假命题,则实数m的取值范围为( ）A．m≥2 B．m≤－2 C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2
【答案】（1）B (2）A
（2)依题意知，p,q均为假命题．当p是假命题时，∀x∈R，mx2＋1＞0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0,m≤－2或m≥2。

因此,由p，q均为假命题得错误!即m≥2.
【类题通法】
1.根据含逻辑联结词命题的真假求参数的方法步骤：
（1）根据题目条件，推出每一个命题的真假（有时不一定只有一种情况)．（2）求出每个命题是真命题时参数的取值范围．
（3）根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．
2．全称命题可转化为恒成立问题．
【对点训练】
3．若“∀x∈错误!，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________. 【答案】 1
【解析】∵0≤x≤错误!，∴0≤tan x≤1，
由“∀x∈错误!，tan x≤m”是真命题，得m≥1。

故实数m的最小值为1。

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