易错点09 解析几何(解析版)-备战2021年高考数学一轮复习易错题

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(1)求C的方程:
(2)点M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足.证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值.
【答案】(1) ;(2)详见解析.
【解析】
【分析】
(1)由题意得到关于a,b,c的方程组,求解方程组即可确定椭圆方程.
(2)设出点M,N的坐标,在斜率存在时设方程为 ,联立直线方程与椭圆方程,根据已知条件,已得到m,k的关系,进而得直线MN恒过定点,在直线斜率不存在时要单独验证,然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q的位置.
样直角三角形斜边上的中点为M(1,0),
则半径为 =3,
即得所求圆的方程为(x-1)2+y2=9.
【错因】因为忽视结论的检验,没有注意到点C是直角三角形的顶点,即C点不能在直线AB上,因此造成错解.
【正解】设C(x,y),由于直角三角形斜边上的中点为M(1,0),如图所示,则半径为 =3,即得圆的方程为(x-1)2+y2=9.但是顶点C不能在直线AB上,因此y≠0,也就是要除去两个点,即(-2,0),(4,0),因此C点满足的方程为(x-1)2+y2=9(除去点(-2,0),(4,0)).
此时曲线 表示双曲线,
由 可得 ,故C正确;
对于D,若 ,则 可化为 ,
,此时曲线 表示平行于 轴的两条直线,故D正确;
故选:ACD.
【点睛】本题主要考查曲线方程的特征,熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.
例2(2020年普通高等学校招生全国统一考试数学)斜率为 的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,则 =________.
易错点09解析几何
—备战2021年高考数学一轮复习易错题
【典例分析】
例1(2020年普通高等学校招生全国统一考试数学)已知曲线 .()
A.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上
B.若m=n>0,则C是圆,其半径为
C.若mn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为
D.若m=0,n>0,则C是两条直线
【答案】ACD
当 时, ,方程 化为 ,表示两条直线.
当 时, , .方程 可化为 ,表示焦点在 轴上的双曲线.
所以曲线不可能表示圆.
故选ACD.
2.若方程 所表示的曲线为C,则下面四个命题中正确的是( )
A.若1<t<5,则C为椭图
B.若t<1.则C为双曲线
C.若C为双曲线,则焦距为4
D.若C为焦点在y轴上的椭圆,则3<t<5
易错点6.忽视前提条件致误
例6:已知动点P到点F(0,1)的距离是到直线 距离的2倍,则点P的轨迹为( )
A、直线 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线
【错解】设 表示点P到直线 的距离,由已知条件得离心率 ,故点P的轨迹为双曲线,选C
【错因】上述解法看上去“天衣无缝”,实际上却犯了一个错误。可能因为是选择题,同学们解题时放松了警惕,若认真分析题意就发现问题的核心所在:点F(0,1)在直线 上,而圆锥曲线的统一定义中,焦点不会在对应的准线上。
A. B.离心率
C. 面积的最大值为 D.以线段 为直径的圆与直线 相切
【答案】AD
【解析】根据椭圆的定义判断A选项正确性,根据椭圆离心率判断B选项正确性,求得 面积的最大值来判断C选项的正确性,求得圆心到直线 的距离,与半径 比较,由此判断D选项的正确性.
对于A选项,由椭圆的定义可知 ,所以A选项正确.
【正解】因为圆心在x轴上,半径等于5,且经过原点,所以圆心为(5,0)或(-5,0).因此圆的方程有两个,即(x-5)2+y2=25或(x+5)2+y2=25.
易错点5.忽视检验结论致错
例5:已知Rt△ABC的斜边为AB,点A(-2,0),B(4,0),求点C满足的方程.
【错解】设C(x,y),由于直角三角形斜边上的中线长是斜边长的一半,如图,这
代入抛物线方程消去y并化简得 ,
解法一:解得
所以
解法二:
设 ,则 ,
过 分别作准线 的垂线,设垂足分别为 如图所示.
故答案为:
【点睛】本题考查抛物线焦点弦长,涉及利用抛物线的定义进行转化,弦长公式,属基础题.
例3(2020年普通高等学校招生全国统一考试数学).已知椭圆C: 的离心率为 ,且过点A(2,1).
【答案】ABD
【解析】M的坐标为 ,直线AP的斜率为 ,
由已知得,
化简得点M的轨迹方程为 ,
对A,当 时,方程为 ,故A正确;
对B,当 ,方程为 ,表示椭圆,故B正确;
对C,当 ,方程为 ,不表示抛物线,故C错误;
对D, ,方程为 ,表示双曲线线,故D正确;
故选:ABD.
5.设椭圆 的左右焦点为 , , 是 上的动点,则下列结论正确的是( )
【错因】直线的截距式方程只适用于截距不为0和不平行于坐标轴的情形,本题由截距式求解时没有考虑截距为0的情形,导致漏解.
【正解】当直线的截距均不为0时,同错解;
当直线的截距均为0时,直线过原点,
此时直线的斜率为k=2,
直线的方程为y=2x,即2x-y=0.
故所求的直线方程为2x-y=0或x-y+2=0.
【解析】
【分析】
结合选项进行逐项分析求解, 时表示椭圆, 时表示圆, 时表示双曲线, 时表示两条直线.
【详解】对于A,若 ,则 可化为 ,
因为 ,所以 ,
即曲线 表示焦点在 轴上的椭圆,故A正确;
对于B,若 ,则 可化为 ,
此时曲线 表示圆心在原点,半径为 的圆,故B不验证点A在直线 上,所以点M的轨迹为过原点O且与已知直线垂直的直线。
【正解】正确答案为A
易错点10.忽视题中条件致误
例10:已知点A(-2,0),B(3,0),动点 满足 ,则点P的轨迹是( )
A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线
【错解】误选C,由 得:

化简得: ,则点P的轨迹是双曲线,故选C
【正解】P点的轨迹是过F(0,1)且和直线 夹角为 的两条直线 ,故选A。
易错点7.忽视隐含条件致误
例7:已知 ,求 的取值范围。
【错解】由已知得 ,故
当 时, 有最大值9,即 的取值范围是
【错因】题中条件包含两个意思:一是 ,即 可以用 的代数式表示;
二是 ,即 ,这个条件往往被忽略,产生错解。
【正解】由已知得
对于选项A:由已知 ,可得 ,从而设所求双曲线方程为 ,又由双曲线 过点 ,从而 ,即 ,从而选项A正确;
对于选项B:由双曲线方程可知 , , ,从而离心率为 ,所以B选项错误;
对于选项C:双曲线的右焦点坐标为 ,满足 ,从而选项C正确;
对于选项D:联立 ,整理,得 ,由 ,知直线与双曲线 只有一个交点,选项D错误.
因 ,故

当 时, 有最小值为0;当 时, 有最大值9
故 的取值范围是
易错点8.实施非等价转化致误
例8:在平面直角坐标系 中,动点N到定点M(1,0)的距离比它到 轴的距离大1,求动点N的轨迹方程。
【错解】设动点 ,则N到定点M(1,0)和到定直线 的距离相等,N的轨迹是以M(1,0)为焦点,直线 为准线的抛物线,抛物线的标准方程为:
故选AC
4.已知A、B两点的坐标分别是 ,直线AP、BP相交于点P,且两直线的斜率之积为m,则下列结论正确的是( )
A.当 时,点P的轨迹圆(除去与x轴的交点)
B.当 时,点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆(除去与x轴的交点)
C.当 时,点P的轨迹为焦点在x轴上的抛物线
D.当 时,点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的交点)
【答案】BD
【解析】根据椭圆和双曲线的标准方程及简单的几何性质,逐项判定,即可求解,得到答案.
由题意,若方程 表示椭圆,则满足 ,解得 或 ,
对于A中,当 时,此时方程 表示圆,所以不正确;
当方程 表示焦点在 轴上椭圆,则满足 ,解得 ,
所以D项正确;
对于B中,当 时, ,此时表示焦点在 轴上的双曲线,所以是正确的;
当m≠0时,可得my=-3x+6,即直线的斜截式方程为y=- x+ ,得出此直线的斜率为- ,在y轴上的截距为 .
易错点2.忽视截距为0致误
例3求过点(2,4)且在坐标轴上的截距之和为0的直线方程.
【错解】设直线的方程为 + =1.
因为直线过点(2,4),所以 + =1,解得a=-2.
故所求的直线方程为 + =1,即x-y+2=0.
【详解】(1)由题意可得: ,解得: ,故椭圆方程为: .
(2)设点 .
因为AM⊥AN,∴ ,即 ,①
当直线MN的斜率存在时,设方程为 ,如图1.
代入椭圆方程消去 并整理得:
②,
根据 ,代入①整理可得:
将②代入, ,
整理化简得 ,
∵ 不在直线 上,∴ ,
∴ ,
于是MN的方程为 ,
所以直线过定点直线过定点 .
当直线MN的斜率不存在时,可得 ,如图2.
代入 得 ,
结合 ,解得 ,
此时直线MN过点 ,
由于AE为定值,且△ADE为直角三角形,AE为斜边,
所以AE中点Q满足 为定值(AE长度的一半 ).
由于 ,故由中点坐标公式可得 .
故存在点 ,使得|DQ|为定值.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程和性质,圆锥曲线中的定点定值问题,关键是第二问中证明直线MN经过定点,并求得定点的坐标,属综合题,难度较大.
对于C中,当 时,方程 ,此时双曲线的焦距为 ,所以不正确.
故选BD.
若方程 表示椭圆,则满足 ,解得 或 ,
3.已知双曲线 过点 且渐近线为 ,则下列结论正确的是( )
A. 的方程为 B. 的离心率为
C.曲线 经过 的一个焦点D.直线 与 有两个公共点
【答案】AC
【解析】根据题意得到双曲线 的方程,结合双曲线的性质逐一判断即可.
【易错警示】
易错点1.忽视斜率不存在致误
例1已知直线方程为3x+my-6=0,求此直线的斜率与此直线在y轴上的截距.
【错解】由3x+my-6=0,得my=-3x+6,即直线的斜截式方程为y=- x+ ,得出此直线的斜率为- ,在y轴上的截距为 .
【错因】忘记讨论当m=0时,直线的斜率并不存在.
【正解】当m=0时,直线可化为x=2,此时直线的斜率不存在,在y轴上的截距也不存在;
【错因】没有正确理解数量积的坐标运算法则。
【正解】考查了圆锥曲线中的轨迹方程。
由题知: ,
因为 ,所以 即: ,选D
【变式练习】
1.当 时,方程 表示的轨迹可以是( )
A.两条直线B.圆C.椭圆D.双曲线
【答案】ACD
【解析】将 分为 三种情况进行分类讨论,由此确定正确选项.
当 时, .方程 可化为 ,表示焦点在 轴上的椭圆.
【错因】画出图形后,不难发现, 轴负半轴上的点也适合题意,也就是说上述转化过程不等价。
【正解】设 为轨迹上任意点,则
两边平方,得 所以动点N的轨迹方程为 或
易错点9.忽视圆锥曲线的严格定义
例9:平面内与定点A(-1,2)和定直线 的距离相等的点M的轨迹是( )
A、直线 B、抛物线 C、椭圆 D、圆
【错解】由抛物线定义知点M的轨迹为抛物线,故选B
易错点3.忽视隐含条件致错
例3若过点A(4,2)可以作两条直线与圆C:(x-3m)2+(y-4m)2=25(m+4)2相切,则点A在圆C的________(填“外部”、“内部”、“上面”),m的取值范围是________.
【错解】因为过点A与圆有两条切线,可见点A必在圆的外部.因为点A在圆的外部,则有(4-3m)2+(2-4m)2>25(m+4)2,因此有240m<-380,解得m<- .
【答案】
【解析】
【分析】
先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标,利用点斜式得直线方程,与抛物线方程联立消去y并整理得到关于x的二次方程,接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.
【详解】∵抛物线的方程为 ,∴抛物线 焦点F坐标为 ,
又∵直线AB过焦点F且斜率为 ,∴直线AB的方程为:
故填外部,m<- .
【错因】此题的错解在于忽视了圆方程的半径一定要大于0的隐含条件.应注意条件25(m+4)2>0.
【正解】因为过点A与圆有两条切线,可见点A必在圆的外部.因为点A在圆的外部,则有(4-3m)2+(2-4m)2>25(m+4)2,因此有240m<-380,解得m<- .再结合圆的条件中半径必须大于0,即有25(m+4)2>0,所以m≠-4,因此m的取值范围是m<- 且m≠-4.
易错点4.忽视多解过程致错
例4:圆心在x轴上,半径等于5,且经过原点的圆的方程是________________________.
【错解】因为圆心在x轴上,半径等于5,且经过原点,所以圆心为(5,0).因此圆的方程为(x-5)2+y2=25.
【错因】造成以上错解的原因是在解题过程中忽视了多种情况的存在性.
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