2018-2019学年四川省内江市高一下学期期末教学质量检查数学(文)试题(有解析)

2018-2019学年四川省内江市高一下学期期末教学质量检查
数学（文）试题
一、单选题
1．如果a ＜b ＜0，则下列不等式成立的是（） A.
11a b
< B.a 2＜b 2 C.a 3＜b 3 D.ac 2＜bc 2
【答案】C
【解析】根据a 、b 的范围，取特殊值带入判断即可． 【详解】 ∵a ＜b ＜0，
不妨令a ＝﹣2，b ＝﹣1，则
111
12a b
=->=-，a 2>b 2 所以A 、B 不成立，当c=0时，ac 2=bc 2所以D 不成立， 故选：C ． 【点睛】
本题考查了不等式的性质，考查特殊值法进行排除的应用，属于基础题．
2．若向量a r ，b r 的夹角为60°，且|a r |＝2，|b r |＝3，则|a r
-2b r |＝（ ）
7 B.14
13 D.8
【答案】A
【解析】由已知可得|2a b -r
r
|2(2)a b =-r
r
，根据数量积公式求解即可． 【详解】 |2a b -r
r
|12222(2)(44)4423604337
a b a ab b cos =-=-+=-⨯⨯⨯︒+⨯⨯=r r
r r r r ． 故选：A ． 【点睛】
本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查了利用数量积进行向量模的运算求解方法，属于基础题．
3．在等比数列{a n }中，若a 2，a 9是方程x 2﹣2x ﹣6＝0的两根，则a 4•a 7的值为（） A ．6
B ．1
C ．﹣1
D ．﹣6
【答案】D
【解析】由题意利用韦达定理，等比数列的性质，求得a 4•a 7的值． 【详解】
∵等比数列{a n }中，若a 2，a 9是方程x 2﹣2x ﹣6＝0的两根，∴a 2•a 9＝﹣6， 则a 4•a 7＝a 2•a 9＝﹣6， 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查等比数列的性质及二次方程中韦达定理的应用，考查了分析问题的能力，属于基础题．
4．已知向量()()cos ,,2,1a sin b θθ==-v v ，且a b ⊥r r ，则tan 4πθ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
的值是（ ）
A ．
1
3
B ．3-
C ．3
D ．13
-
【答案】A
【解析】由已知求得tan θ，然后展开两角差的正切求解． 【详解】
解：由(cos ,sin ),(2,1)a b θθ==-r
r
，且a b ⊥r
r
，得2cos sin 0θθ-=，即tan 2θ=。

tan tan
2114tan 412131tan tan 4
π
θπθπθ--⎛⎫∴-=
== ⎪+⨯⎝
⎭+⋅，故选：A 。

【点睛】
本题考查数量积的坐标运算，考查两角差的正切，是基础题． 5．若不等式220ax bx ++>的解集是11|23x x ⎧
⎫
-<<⎨⎬⎩⎭
，则+a b 的值为（ ） A ．12 B ．14-
C ．12-
D ．10
【答案】B
【解析】将不等式解集转化为对应方程的根，然后根据韦达定理求出方程中的参数,a b ，从而求出所求． 【详解】
解：Q 不等式220ax bx ++>的解集为11,23⎛⎫-
⎪⎝
⎭， 11
,23
∴-为方程220ax bx ++=的两个根，根据韦达定理：
11
2311223b a
a
⎧-+=-⎪⎪⎨
⎪-⨯=⎪⎩ 解得12
142a a b b =-⎧∴+=-⎨
=-⎩
，故选：B 。

【点睛】
本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及韦达定理的运用和一元二次不等式解集与所对应一元二次方程根的关系，属于中档题．
6．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若94S S =，且20k a a +=，则k =（ ） A ．10 B ．7
C ．12
D ．3
【答案】C
【解析】由等差数列{}n a 的前n 项和公式解得16a d =-，由20k a a +=， 得11(1)0a k d a d +-++=，由此能求出k 的值。

【详解】
解：Q 差数列{}n a 的前n 项和为n S ，94S S =，
119843
9422
a d a d ⨯⨯∴+
=+，解得16a d =-， 2110,(1)=0k a a a k d a d +=∴+-++Q
解得12k =，故选：C 。

【点睛】
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 7．已知,,a b c 分别是ABC ∆的内角,,A B C 的的对边，若cos c
A b
<，则ABC ∆的形状为（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．等边三角形
【答案】C
【解析】由已知结合正弦定理可得sin sin cos A C B <利用三角形的内角和及诱导公式
可得，
sin()sin cos A B B A +<整理可得sin cos sin cos sin cos A B B A B A +<从而有sin cos 0A B <结合三角形的性质可求
【详解】
解：A Q 是ABC ∆的一个内角，0A π<<，
sin 0
cos A c
A b
∴><Q 由正弦定理可得，sin sin cos C B A <
sin()sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos 0
A B B A
A B B A B A A B ∴+<∴+<∴< 又sin 0A >，cos 0B ∴<，即B 为钝角，故选：C 。

【点睛】
本题主要考查了正弦定理，三角形的内角和及诱导公式，两角和的正弦公式，属于基础试题．
8．已知β为锐角，角α的终边过点(()2
3,2
sin αβ+=
，则cos β=（ ） A ．
12
B ．
62
4
C ．
62
4 D ．
62
4
【答案】B
【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得sin α和cos α，再利用同角三角函数的基本关系求得cos()αβ+的值，再利用两角差的余弦公式求得
cos cos[()]βαβα=+-的值．
【详解】
Q 角α的终边过点(3，
2
2223sin ,31co 2211s 3
3
αα∴=
=
==++，
2
sin()2sin()sin αβαβα
+=
∴+<Q
又βQ 为锐角，
2
π
αβ∴+>
cos()0αβ∴+<
由2
sin()2
αβ+=
，可得
22cos()1sin ()cos cos[()]cos()cos sin()sin 136224
22222αβαββαβααβααβα+=-+=∴=+-=+++=-
⨯+= 故选：B 。

【点睛】
本题考查任意角的三角函数的定义，考查两角差的余弦，是基础题。

9．在ABC ∆中，已知90BAC ∠=o ，6AB =，若D 点在斜边BC 上，2CD DB =，则AB AD ⋅u u u r u u u r
的值为 （ ）． A ．6 B ．12
C ．24
D ．48
【答案】C
【解析】试题分析：因为，2CD DB =，90BAC ∠=o ，所以
1()()3AB AD AB AB BD AB AB BC ⋅=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ＝1[()]3AB AB AC AB +-u u u r u u u r u u u r u u u r ＝223
AB u u u r ＋
13AB AC ⋅u u u
r u u u r ＝223AB u u u r ＝226243
⨯=，故选C ． 【考点】1、平面向量的加减运算；2、平面向量的数量积运算．
10．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 成等比数列，且2c a =，则cos B 等于（ ） A ．
1
4
B ．
34
C ．
23
D ．
24
【答案】B
【解析】,,a b c 成等比数列，可得2b ac =，又2c a =，可得222b a =，利用余弦定理即可得出． 【详解】
解：Q ,,a b c 成等比数列，∴2b ac =，又2c a =，222b a ∴=，
则222222423
cos 2224
a c
b a a a B a
c a a +-+-===⨯
故选：B 。

【点睛】
本题考查了等比数列的性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．《九章算术》中有如下问题：今有浦生一日，长三尺，莞生一日，长一尺，蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长等?意思是今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍，若蒲、莞长度相等，则所需时间为( ).(结果精确到0.1，参考数据: lg 20.3010=，lg30.4771=) A ．2.2天 B ．2.4天
C ．2.6天
D ．2.8天
【答案】C
【解析】设蒲的长度组成等比数列{a n }，其a 1=3，公比为
1
2
，其前n 项和为A n ；莞的长度组成等比数列{b n }，其b 1=1，公比为2，其前n 项和为B n ．利用等比数列的前n 项和公式及对数的运算性质即可得出． 【详解】
设蒲的长度组成等比数列{a n }，其a 1=3，公比为12
，其前n 项和为A n ，则A n =1312
112
n
⎛
⎫- ⎪⎝
⎭-.
莞的长度组成等比数列{b n }，其b 1=1，公比为2，其前n 项和为B n ．则B n 21
21
n -=
- ， 由题意可得：1312112
n ⎛
⎫- ⎪⎝⎭-2121n
-=
-，整理得：2n +62n =7，解得2n =6，或2n =1（舍去）． ∴n=2lg 6lg 3
log 61lg 2lg 2
==+≈2.6．∴估计2.6日蒲、莞长度相等. 故选：C ． 【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式在实际中的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,1
cos 9
C =，且边2c =，则ABC ∆面积的最大值为（ ） A ．5B ．
85
9
C 43
D 5 【答案】D
【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin C ，根据余弦定理，基本不等式
可求ab 的最大值，进而利用三角形面积公式即可求解． 【详解】 解：1cos ,29C c =
=Q ，可解得：245sin 1cos C C =-= ∴由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，可得222
49
a b ab =+-
22221642999a b ab ab ab ab =+--=∴≥，即9
ab 4≤，当且仅当a b =时成立。

119455
sin 22492
S ABC ab C ∴=
≤⨯⨯=
V 等号当a b =时成立。

故选：D 。

【点睛】
本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．
二、填空题
13．已知0x >，0y >，21
2x y
+=，则2x y +的最小值为______． 【答案】4
【解析】将所求的式子变形为()121222x y x y x y ⎛⎫
+=++ ⎪⎝⎭
，展开后可利用基本不等式求得最小值. 【详解】
解：0x >Q ，0y >，
21
2x y
+=， ()1211414224424222x y x y x y x y x y y x y x ⎛⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当22x y ==时取等号．故答案为：4．
【点睛】
本题考查了“乘1法”和基本不等式，属于基础题．由于已知条件和所求的式子都是和的形式，不能直接用基本不等式求得最值，使用 “乘1法”之后，就可以利用基本不等式来求得最小值了.
14．已知两点A （2，1）、B （1，312AB u u u r ＝（sinα，cosβ），α，β∈（﹣2
π，
2
π），则α+β＝_______________ 【答案】3
π
-或0
【解析】运用向量的加减运算和特殊角的三角函数值，可得所求和． 【详解】
两点A （2，1）、B （1，13+）满足12
AB =u u u
r （sin α，cosβ）， 可得
12（﹣1，3）＝（12-，3）＝（sinα，cosβ）， 即为sinα12=-，cosβ3
2
=， α，β∈（22ππ
-
，），可得α6π=-，β＝±6
π， 则α+β＝0或3π
-． 故答案为：0或3
π
-．
【点睛】
本题考查向量的加减运算和三角方程的解法，考查运能力，属于基础题．
15．已知P 为ABC ∆所在平面内一点，且2355
A AP
B A
C =+u u u v u u u v u u u v
，则:PAB ABC S S ∆∆=_____
【答案】3
5
【解析】将向量进行等量代换，然后做出对应图形，利用平面向量基本定理进行表示即可． 【详解】
解：设32,55
AN AC AM AB ==u u u r u u u r u u u u r u u u r ，则根据题意可得，AP AM AN =+u u u r u u u u r u u u r ，
如图所示，作CH AB,NQ AB ⊥⊥，垂足分别为H,Q ，则
11
,22
ABC PAB S AB CH S AB NQ =⋅⋅=⋅⋅V V
又35NQ AN CH AC ==Q ，35PAB ABC S S ∴=V V ，故答案为：35。

【点睛】
本题考查了平面向量基本定理及其意义，两个向量的加减法及其几何意义，属于中档题． 16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：a 2＝2a 1，且S n ＝2
n n
a +1（n ≥2），则数列{a n }的通项公式为_______．
【答案】1(1)2(1)(2)
n n a n n =⎧=⎨
-≥⎩ 【解析】推导出a 1＝1，a 2＝2×
1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣111
22
n n n n a a --=-，即11
2
n n a n a n --=-，由此利用累乘法能求出数列{a n }的通项公式． 【详解】
∵数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：a 2＝2a 1，且S n 2
n n
a =+1（n ≥2）， ∴a 2＝S 2﹣S 1＝a 2+1﹣a 1， 解得a 1＝1，a 2＝2×1＝2， ∴3333
1212S a a =++=
+，解得a 3＝4， 4444
12412
S a a =+++=+，解得a 4＝6，
当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣11122
n n n n a a --=-，即112n n a n a n --=-， ∴n ≥2时，342231n n n a a
a a a a a a -=⨯
⨯⨯⨯=L 2231122
n n -⨯⨯⨯⨯=-L 2n ﹣2， ∴数列{a n }的通项公式为11
222n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，，．
故答案为：11
222
n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，，．
【点睛】
本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的通项公式与前n 项和公式的关系，考查运算求解能力，分类讨论是本题的易错点，是基础题．
三、解答题 17．（1）设0＜x ＜
3
2
，求函数y ＝x （3﹣2x ）的最大值； （2）解关于x 的不等式x 2-（a +1）x +a ＜0．
【答案】（1）max 9
8
y =
（2）见解析 【解析】（1）由题意利用二次函数的性质，求得函数的最大值． （2）不等式即（x ﹣1）（x ﹣a ）＜0，分类讨论求得它的解集． 【详解】
（1）设0＜x 32＜，∵函数y ＝x （3﹣2x ）98=-22
34x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭，故当x 34=时，函数取得
最大值为
98
． （2）关于x 的不等式x 2﹣（a +1）x +a ＜0，即（x ﹣1）（x ﹣a ）＜0． 当a ＝1时，不等式即 （x ﹣1）2＜0，不等式无解； 当a ＞1时，不等式的解集为{x |1＜x ＜a }； 当a ＜1时，不等式的解集为{x |a ＜x ＜1}．
综上可得，当a ＝1时，不等式的解集为∅，当a ＞1时，不等式的解集为{x |1＜x ＜a }，当a ＜1时，不等式的解集为{x |a ＜x ＜1}． 【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，求二次函数的最值，一元二次不等式的解集，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
18．已知数列{}n a 满足()111,21n n a na n a +==+. （1）若n
n a b n
=
，证明：数列{}n b 是等比数列，求{}n a 的通项公式； （2）求{}n a 的前n 项和n T ．
【答案】（1）证明见解析，1
2n n a n -=⋅；（2）()112n
n T n =+-⋅.
【解析】（1）由条件可得
121n n
a a n n
+=+，即12n n b b +=，运用等比数列的定义，即可得到结论；运用等比数列的通项公式可得所求通项。

（2）数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，可得所求的和。

【详解】
解：（1）证明：由()121n n na n a +=+，得121n n
a a n n
+=+， 又n
n a b n =
，12n n b b +∴=，又1111
a b ==， 所以{}n b 是首相为1，公比为2的等比数列；
12n n
n a b n
-∴
==，
12n n a n -∴=⋅。

（2）前n 项和0121
1222322n n T n -=⋅+⋅+⋅+⋯+⋅，
2321222322n n T n =⋅+⋅+⋅+⋯+⋅，
两式相减可得：
231
1212222
2212
n
n n
n n T n n ---=++++⋯+-⋅=-⋅-
化简可得1(1)2n
n T n =+-⋅
【点睛】
本题考查利用辅助数列求通项公式，以及错位相减求和，考查学生的计算能力，是一道基础题。

19．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，满足S 3
a 2+c 2﹣
b 2）． （1）求角B 的大小； （2）若边b 3
a +c 的取值范围． 【答案】（1）B =60°（2）33⎝ 【解析】（1）由三角形的面积公式，余弦定理化简已知等式可求tan B 的值，结合B 的范围可求B 的值．
（2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求a +c 3=（A 6
π
+），由题意可求范围A 6π+
∈（6
π，56π），根据正弦函数的图象和性质即可求解． 【详解】
（1）在△ABC 中，∵S 3
=a 2+c 2﹣b 2）12=ac sin B ，cos B 222
2a c b ac +-=．
∴tan B 3= ∵B ∈（0，π）， ∴B 3
π
=
．
（2）∵B 3
π
=
，b 3=
∴由正弦定理可得3
23
c a b
sinC sinA sinB sin π
====1，可得：a ＝sin A ，c ＝sin C ，
∴a +c ＝sin A +sin C ＝sin A +sin （
23π-A ）＝sin A 3
2
+cos A 12+sin A 3=（A 6π+），
∵A ∈（0，23π），A 6π+∈（6π，56π
）， ∴sin （A 6π+）∈（1
2
，1]，
∴a +c 3=（A 6π+）∈3
3． 【点睛】
本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积计算公式及三角函数恒等变换的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 20．设函数f （x ）＝2cos 2x ﹣cos （2x ﹣3
π
）． （1）求f （x ）的周期和最大值；
（2）已知△ABC 中，角A.B.C 的对边分别为A ，B ，C ，若f （π﹣A ）＝3
2
，b +c ＝2，求a 的最小值．
【答案】（1）周期为π，最大值为2.（23【解析】（1）利用倍角公式降幂，展开两角差的余弦，将函数的关系式化简余弦型函数，可求出函数的周期及最值； （2）由f （π﹣A ）3
2
=，求解角A ，再利用余弦定理和基本不等式求a 的最小值． 【详解】
（1）函数f （x ）＝2cos 2x ﹣cos （2x 3
π-
） ＝1+cos2x 131********cos x sin x cos x sin x -=+ ＝cos （2x 3
π
+
）+1， ∵﹣1≤cos （2x 3
π
+）≤1，
∴T 22
π
π==，f （x ）的最大值为2；
（2）由题意，f （π﹣A ）＝f （﹣A ）＝cos （﹣2A 3π+）+132
=， 即：cos （﹣2A 3π+）1
2
=， 又∵0＜A ＜π， ∴53π-
-＜2A 33
ππ
+＜， ∴﹣2A 3
3
π
π
+
=-
，即A 3
π
=
．
在△ABC 中，b +c ＝2，cos A 1
2
=
， 由余弦定理，a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝（b +c ）2﹣bc ， 由于：bc 2
(
)12
b c +≤=，当b ＝c ＝1时，等号成立． ∴a 2≥4﹣1＝3，即a 3≥． 则a 的最小值为3． 【点睛】
本题考查三角函数的恒等变换，余弦形函数的性质的应用，余弦定理和基本不等式的应用，是中档题．
21．如图，在ABC ∆中，4
C π
=，角B 的平分线BD 交AC 于点D ，设CBD θ∠=，
其中1tan 2
θ=
．
（1）求sin A ；
（2）若28CA CB ⋅=u u u v u u u v
，求AB 的长．
【答案】（172
；（2）5. 【解析】（1）根据tan θ求出sin θ和cos θ的值，利用角平分线和二倍角公式求出
cos ABC ∠，即可求出sin A ；
（2）根据正弦定理求出AC ，BC 的关系，利用向量的夹角公式求出AC ，可得BC ，正弦定理可得答案 【详解】
解：（1）由CBD θ∠=，且1
tan 2
θ=
， Q 0,
2πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
， 221sin cos ,sin cos 2θθθθ=+∴=22215
cos cos cos 144θθθ+==，
∴cos sin 55
θθ=
= 则4
sin ABC sin 22sin cos 25
55θθθ∠==== 243
cos ABC 2cos 12155
θ∴∠=-=⨯-=
22234sin sin 2sin 2224422255A πππθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=-+=+=+=⋅+=
⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣
⎦
2
10
； （2）由正弦定理，得sin sin BC AC
A ABC =∠472
510
AC
=，2BC AC 8∴=， 又2||||282
CA CB CB CA ⋅=
⋅=u u u r u u u r
u u u
r u u u r ，||||282CB CA ∴⋅=u u u u u r u u u u r ， 由上两式解得AC 42=，又由sin sin AB AC
C ABC
=∠42
52
AC
=， 解得5AB = 【点睛】
本题考查了二倍角公式和正弦定理的灵活运用和计算能力，是中档题．
22．数列{}n a ，*n N ∈各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足2
21n n n a S a -=.
（1）求证数列{}
2
n S 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；
（2）设42
41
n n b S =
-，求数列{}n b 的前n 项和n T ，并求使()2
136
n T m m >
-对所有的*n N ∈都成立的最大正整数m 的值.
【答案】（1）证明见解析，1n a n n =-（2）3
【解析】（1）由题得()2
2
112n n S S n --=≥，即得数列{}
2
n S 为首项和公差都是1的等差
数列，再求出n S n =，再利用项和公式求数列{}n a 的通项公式.(2)先求出
11
2121
n b n n =
--+，再利用裂项相消求出n T ，最后解二次不等式得解. 【详解】
（1）证明：2
21n n n a S a -=Q ，∴当2n ≥时，()()2
1121n n n n n S S S S S -----=，
整理得，()2
2
112n n S S n --=≥，
又2
11S =，
∴数列{}
2
n S 为首项和公差都是1的等差数列. 2n S n ∴=，
又0n S >，n S n ∴=
2n ∴≥时，11n n n a S S n n -=-=-111a S ==适合此式
∴数列{}n a 的通项公式为1n a n n =-
（2）解：()()
4
22
41
2121n n
b S n n Q =
=
--+ 11
2121
n n =
--+ 1111335n T ∴=-+-+ 112121n n ⋅⋅⋅+-=-+ 1
121
n -+
*n N ∈Q 12
3
n T T ∴≥=
依题意有()
2
21336
m m >-，解得14m -<<， 故所求最大正整数m 的值为3.
【点睛】
本题主要考查等差数列性质的证明，考查项和公式求通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。