初中数学微专题讲义 专题1.6 例谈因式分解的方法与技巧

【专题综述】
因式分解是初中代数中一种重要的恒等变形，是处理数学问题重要的手段和工具，也是中考和数学竞赛试题中比较常见的题型。

对于特殊的因式分解，除了掌握提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等基本方法外，还应根据多项式的具体结构特征，灵活选用一些特殊的方法和技巧。

这样不仅可使问题化难为易，化繁为简，复杂问题迎刃而解，而且有助于培养探索求新的学习习惯，提高数学思维能力。

【方法解读】
一、巧拆项：在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项（或几项）适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。

例1：因式分解3
242
2+++-b a b a 解：原式＝22423a b a b -+++224241
a b a b =-+++-22(44)(21)
a a
b b =++--+22
(2)(1)a b =+--(1)(3)
a b a b =++-+【解读】根据多项式的特点，把3拆成4+（-1），即可利用完全平方公式、平方差公式进行因式分解。

【举一反三】因式分解：6
1162
3+++x x x 【答案】(1)(2)(3)x x x +++二、巧添项：在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，也可谓方法独特，新颖别致。

例2：因式分解4
44y
x +解：444x y +422422
(44)4x x y y x y =++-2222
(2)(2)x y xy =+-=2222
(22)(22)x xy y x xy y ++-+学&科网
【解读】根据多项式的特点,在444x y +中添上22224,4x y x y -两项，，即可利用完全平方公式、平方差公式进行因式分解。

【举一反三】
因式分解4
32
3+-x x 【答案】2(1)(2)x x +-三、巧换元：在某些多项式的因式分解过程中，通过换元，可把形式复杂的多项式变形为形式简单易于分解的多项式，会使问题化繁为简，迅捷获解。

例3：因式分解24
)6)(43(2
2+---+x x x x 解：22(34)(6)24
x x x x +---+=(1)(4)(2)(3)24x x x x -++-+(1)(2)(3)(4)24
x x x x =-+-++22(2)(12)24
x x x x =+-+-+设22y x x =+-，则2
1210
x x y +-=-于是，原式(10)24y y =-+21024
y y =-+(4)(6)
y y =--22(24)(26)
x x x x =+--+--22(6)(8)
x x x x =+-+-2(2)(3)(8)
x x x x =-++-【解读】对两个二次三项式进行因式分解后再根据实际情况两两相乘，从而形成一个可以换元的整体，进而利用换元法即可进行因式分解。

【举一反三】
因式分解2
)
1()2)(2(-+-+-+xy y x xy y x 【答案】22(1)(1)x y --
四、展开巧组合：若一个多项式的某些项是积的形式，直接分解比较困难，则可采取展开重组合，然后再用基本方法分解，可谓匠心独具，使问题巧妙得解。

例4：因式分解)
()(2
222n m xy y x mn +++解：2222()()mn x y xy m n +++2222
mnx mny xym xyn =+++2222()()
mnx xym mny xyn =+++()()
mx nx my ny nx my =+++()()nx my mx ny =++学&科网
【解读】将多项式展开再重新组合，分组分解即可。

【举一反三】
因式分解2
2)
()(my nx ny mx -++【答案】2222()()
m n x y ++【解析】先运用完全平方公式进行展开，再利用分组分解法即可进行因式分解。

解：22()()mx ny nx my ++-22222222
22m x mnxy n y n x mnxy m y =+++-+22222222()()
m x n x m y n y =+++222222()()
x m n y m n =+++2222()()
m n x y =++五、巧用主元：对于含有两个或两个以上字母的多项式，若无法直接分解，常以其中一个字母为主元进行变形整理，可使问题柳暗花明，别有洞天。

例5：因式分解xy x y x x x 2232
234-++-
解：4322
322x x x y x xy -++-2432(2)(32)
x x y x x x =-+-+2(2)(2)(1)
x x y x x x =-+--2(2)()x x x x y =--+学&科网
【解读】将多项式以y 为主元，进行整理后即可运用分组分解法进行因式分解。

【举一反三】
因式分解abc
bc c b ac c a ab b a 22
22222++++++【答案】
【解析】这是一个轮换对称多项式，不妨以a 为主元进行整理
解：2222222a b ab a c ac b c bc abc ++++++222()(2)()
a b c a b bc c bc b c =++++++22()()()
a b c a b c bc b c =+++++2()[()]
b c a a b c bc =++++2()()
b c a ab ac bc =++++()[()()]
b c a a b c a b =++++()()()
a b a c b c =+++【强化训练】
1．因式分解：
(5)(2)()()12x x x x +-+-+-.
【来源】【学易金卷】2016-2017学年上期末考试原创模拟卷（1）初二数学（教师版）
【答案】6(2)
x -2．阅读下面解题过程，然后回答问题.分解因式：223x x +-.
解：原式=22113x x ++--=()2214x x ++-=
()214x +-=()()1212x x +++-=()()
31x x +-上述因式分解的方法称为”配方法”.请你体会”配方法”的特点，用“配方法”分解因式：243y y -+.
【来源】辽宁省大石桥市水源镇九年一贯制学校2017-2018学年八年级上学期期末考试数学试题
【答案】（y -1）(y -3)
【解析】试题分析：根据配方法，可得平方差公式，根据平方差公式，可得答案．
试题解析：243
y y -+=24443
y y -+-+=()
2441
y y -+-=()221y --=()()
2121y y -+--=()()
13y y --3．因式分解：
（1）（a +b ）2+6（a +b ）+9；
（2）（x ﹣y ）2﹣9（x +y ）2；（3）a 2（x ﹣y ）+b 2（y ﹣x ）．（4）(x 2－5)2＋8(5－x 2)＋16.
【来源】江苏省启东市建新中学2017-2018学年八年级上学期第二次月考（12月）数学试题
【答案】（1）（a +b +3）2；（2）﹣4（2x +y ）（x +2y ）(3)（x ﹣y ）（a +b ）（a ﹣b ）
(4)(x ＋3)2(x －3)2
=(x 2-9)2
=(x ＋3)2(x －3)2
4．下面是某同学对多项式（x 2-4x +2）（x 2-4x +6）+4进行因式分解的过程.
解：设x 2-4x =y ，
原式=（y +2）（y +6）+4
=y 2+8y +16
=（y +4）2
=（x 2-4x +4）2.
（1）该同学因式分解的结果是否彻底?_______________.（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果__________________.
（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x 2-2x ）（x 2-2x +2）+1进行因式分解.
【来源】北京四中2017-2018学年上学期初中八年级期中考试数学试卷
【答案】（1）不彻底；（x -2）4；（2）（x -1）4
5．先阅读，再因式分解：x 4＋4＝(x 4＋4x 2＋4)－4x 2＝(x 2＋2)2－(2x )2＝(x 2－2x ＋2)(x 2＋2x ＋2)，按照这种方法把多项式x 4＋324因式分解．
【来源】重庆市梁平县荫平镇初级中学华东师大版2016-2017学年七年级下学期期中考试数学试题
【答案】(x 2＋18＋6x )(x 2＋18－6x )．【解析】试题分析：仿照材料依据完全平方式的特点将x 4＋324加上2×18x 2使之成为完全平方式，再减去2×18x 2，前三项利用完全平方公式分解，然后再与最后一项利用平方差公式分解即可．
试题解析：
x 4＋324
＝x 4＋36x 2＋324－36x 2
＝(x 2＋18)2－36x 2
＝(x 2＋18)2－(6x )2
＝(x 2＋18＋6x )(x 2＋18－6x )．点睛：此题要综合运用配方法，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握公式并读懂题目信息是解题的关键．
6．问题背景：对于形如2120+3600x x -这样的二次三项式，可以直接用完全平方公式将它分解成()260x -，对于二次三项式21203456x x -+，就不能直接用完全平方公式分解因式了．此时常采用将2
120x x -加上一项260，使它与2120x x -的和成为一个完全平方式，再减去260，整个式子的值不变，于是有：
2120+3456x -=22226060603456
x x -⨯+-+=()260144x --=()22
6012x --=()()60+126012x x ---=()()4872x x --问题解决：
（1）请你按照上面的方法分解因式：2
140+4756x x -；
（2）已知一个长方形的面积为228+12a ab b +，长为+2a b ，求这个长方形的宽．【来源】[首发]江苏省扬州市邗江区2016-2017学年七年级下学期期中考试数学试题
【答案】（1）()()5882x x --；（2）长为2a b +时这个长方形的宽为6a b
+7．因式分解：(x –3)(x +4)+3x =__________.
【来源】[首发]山东省高密四中文慧学校2017届九年级下学期第一次月考数学试题
【答案】（x +6）(x －2)
【解析】试题解析：
()()()()
22–343=12341262x x x x x x x x x x +++-+=+-=+-8．x 3+3x 2—4（拆开分解法）
【来源】湖南省永州市江永县千家峒学校2016-2017学年七年级下学期期中考试数学试题（附答案）
【答案】()()
221x x +-【解析】.x 3+3x 2—4=()()()322224222x x x x
x x x ++-=+++-=()()222x x x ++-=()()
221x x +-9．先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x +y ）2+2（x +y ）+1．
解：将“x +y ”看成整体，令x +y =A ，则
原式=A 2+2A +1=（A +1）2
再将“A ”还原，得：原式=（x +y +1）2．
上述解题中用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解：1+2（x ﹣y ）+（x ﹣y ）2=__________．
（2）因式分解：（a +b ）（a +b ﹣4）+4
（3）证明：若n 为正整数，则式子（n +1）（n +2）（n 2+3n ）+1的值一定是某一个整数的平方．
【来源】【全国校级联考】河北省秦皇岛市抚宁县台营学区2016-2017学年七年级下学期期末考试数学试题
【答案】（1）（x ﹣y +1）2；（2）（a +b ﹣2）2；（3）证明见解析．
10．已知22610340m n m n +-++=，则m n +=______．
【来源】2017秋华师大版八年级数学上册第12章整式的乘除单元测试题
【答案】-2
【解析】本题利用拆常数项凑完全平方的方法进行求解,22
610340m n m n +-++=,
可变形为:226910250m m n n -++++=,即()()22350m n -++=,根据非负数的非负性可得:30,50,m n -=+=解得::3,5m n ==-,所以()35 2.m n +=+-=-。