2025版高考数学一轮总复习第七章立体几何专题突破13球的切接问题课件

1
(为多面体的体积，为多面体的表面积，为内切
3
球的半径）. ②轴截面法：适用于对称几何体，作出轴截面，利用相似三角形以及勾
股定理求解.
变式3 如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成
的组合体，设它的体积为1 ，它的内切球的体积为2 ，则1 : 2 =
(
)
A.2: 3
2
2
足 = +
ℎ2
.
4
考点一 长（正）方体的外接球
2 6
例1 正四面体的所有顶点都在表面积为36π 的球面上，则该正四面体的棱长为_____．
解：如图，在正方体 − 1 1 1 1 中，正四面体为 − 1 1 .设
球的半径为，则4π2 = 36π ，解得 = 3.所以1 = 6,则正方体的
设内切球半径为，则
= − + − + − + − =
= 3，可得 = 2 − 1.
故填 2 − 1.
1

3 △
⋅+3×
1

3 △
⋅ =
3+ 6
【点拨】求几何体内切球的方法.①等体积法：内切球球心到多面体各面的距离
均相等，故可用等体积法 =
解：如图，在正三棱锥 − 中，过点作 ⊥ 平面于点
，连接并延长,交于点，连接.
易知为△ 的中心.
因为 = 2 3， = 1,所以△ = 3 3， = 1， = 2.所以
1
2
1
3
△ = × 2 3 × 2 = 6.所以三棱锥的体积 = × 3 3 × 1 = 3.
2
故选B.
− 的外接球的体积 =4π3来自×3 32
3
=
27 3π
.
2
考点二 外接球的球心问题
例2 【多选题】正三棱锥 − 的外接球半径为2， = 3，则此正三棱锥的体积
为(
)
√
√
9 3
A.
4
3 3
B.
4
27 3
C.
4
3 3
D.
2
解：设三棱锥 − 的外接球球心为，△ 的中心为D.由题知2 =
线上，球的半径可用勾股定理求得,如图所示.
变式2 （2023年全国乙卷）已知点,,,均在半径为2的球面上，△ 是边长为3
2
的等边三角形， ⊥ 平面，则 =___．
解：如图，将三棱锥 − 补形成直三棱柱 − .
设△ 的外接圆圆心为1 ，半径为，则2 =
棱长为2 3.所以正四面体的棱长为1 = 2 6.故填2 6.
【点拨】①长（正）方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线
长的一半．②可以补成长方体的一些特殊三棱锥如下,上面讲到的“共斜边直角三角形
所成三棱锥”也可算作其中1种，据此可确定球心.
图形特征
图示
三棱锥的三条侧棱两两
三棱锥的四个面均是直
3
，解
sin 60∘
得 = 3.
当外接球球心在线段上时，如图1所示.
则 =
2
1
3
1
2
−
2
=
− = × × 3 × 3 ×
22
3
2
−
×3=
3
2
9 3
.
4
= 1, = 1 + 2 = 3.所以
图1
当外接球球心在线段的延长线上时，如图2所示.则
=
22
1
3
B.2 2: 3
D.
√
C.3: 2
2: 1
解：该几何体的轴截面如图，可得内切球的半径 = =
1 =
2
π
3
× 12 × 1 =
故选D．
2
π
3
,2 =
4
π
3
×
2
2
3
=
2
π
3
2
,
2
,所以1 : 2 = 2: 1,
考点四 最值问题
例4 【多选题】已知圆柱的轴截面的周长为12，圆柱的体积为，外接球的表面积为
−
3
1
2
2
= 1, = 2 − 1 = 1.所以
− = × × 3 × 3 ×
3
2
×1=
3 3
.故选AB.
4
图2
【点拨】确定多面体外接球球心的方法:寻找几何体中一个面的外
接圆圆心1 （正三角形外心为中心，直角三角形外心为斜边中点，一般
三角形可用正弦定理确定外心），过点1 作该平面的垂线，球心就在垂
，则下列结论正确的是(
A.有最大值，最大值为36π
C.有最大值，最大值为8π
√
)
B.有最小值，最小值为18π
√
D.有最小值，最小值为4π
解：设圆柱的底面半径为，高为ℎ，圆柱的外接球的半径为.

sin ∠
=
3
3
2
= 2 3，
可得 = 3.
设三棱锥 − 的外接球球心为，连接,1 ，则 = 2,
1 =
1
.由2
2
=
12
+ 1
2 ，得4
=
1
2
4
+ 3，解得 = 2.故填2.
考点三 内切球的球心问题
2−1
例3 已知正三棱锥的高为1，底面边长为2 3，则该棱锥的内切球的半径为_______．
△ ≌△ ≌△ .
因为 ⊥ ，所以 ⊥ ， ⊥ .
以，，为过同一顶点的三条棱作正方体（如图所示），则正方
体的外接球即三棱锥 − 的外接球．
因为正方体的体对角线长为 32 + 32 + 32 = 3 3，所以其外接球半径
=
3 3
.因此三棱锥
3
=
6
，内切球半径
4
4.在三棱锥中，若有两个面为直角三角形，且这两个三角形有公共的斜边，则斜
边的中点为该三棱锥外接球的球心，斜边长的一半为外接球的半径.
5.若几何体外接球的球心到面的距离为，该截面外接圆的半径为，则外接球的
半径满足2 = 2 + 2 .
6.已知直棱柱，侧棱长为ℎ，底面多边形外接圆的半径为，则外接球的半径满
第七章 立体几何
专题突破13 球的切、接问题

2
1.在棱长为的正方体中，内切球半径1 = ，棱切球半径2 =
3 =
3
.
2
2.在棱长为，，的长方体中,外接球半径 =
3.在棱长为的正四面体中，高ℎ =
2 =
2
，外接球半径
2
6
.
12
2 +2 + 2
.
2
6
，外接球半径1
三棱锥的对棱两两
互相垂直
角三角形
相等
变式1 已知三棱锥 − 中，△ 为等边三角形， = = = 3， ⊥ ，
则三棱锥 − 的外接球的体积为(
27π
A.
2
√
27 3π
B.
2
)
C.27 3π
D.27π
解：因为在三棱锥 − 中，△ 为等边三角形， = = = 3，所以