结构力学教程——第12章 渐进法和超静定结构的影响线

性质，可得到柱子两端弯矩。
知识点 12.5-3
柱间有水平荷载作用时的计算
I=∞
A
C
q
i1 h1
B
i2 h2 D
I=∞
A
C
q
i1 h1
i2 h2
B
+
D
A
i1 h1 B
I=∞ C
i2 h2 D
P 单跨梁计算
P 力矩分配法
知识点
12.6 用机动法绘制连续梁的影响线
力法基本方程
11 Z1 1P 0
SBA 1 5
CBA 1
例2：作图示刚架的弯矩图
解 （1）固端弯矩
M
F AB
M
F BA
1 4 kN 3.3m 2
= 6.6kN m
M
F BC
M
F CB
1 (4 8.5)kN 3.6m 2
= 22.5kN m
（2）分配系数
SBA iBA 3.5 SBC iBC 5 SBE 3iBE 162
（http://structuremechanics/index1.htm）
1. 课程导入
连续梁桥
q
多跨连续梁
2. 结点力矩下单结点力矩分配
2.1 力矩分配法概念的提出 回顾位移法
例1：若梁线刚度 i 相同，求梁各杆端弯矩。
M
M
B
A
MBA MBC
M BA 4iB
B
θB
C
M AB 2iB
M BC 3iB
SCB 4 SCF 2 SCD 3
CB 0.445 CD 0.333 CF 0.222
解（1）转动刚度和分配系数
EI0=1
SBA 3 SBE 3 SBC 4
BA 0.3 BC 0.4 BE 0.3
（2）固端弯矩
M
F BA
ql 2 8
40 kNm
M
F BC
ql 2
12
41.7 kNm
M
a) A
B
C
D
b) A
M B
限制转动 的约束
C
D
M
A
B
C
b')
单结点问题
C
D
1. 结点力矩下多结点力矩分配的基本思路
例3：若梁线刚度 i 相同，求梁各杆端弯矩。
M
M
a) A
B
C
D
b) A
M B
限制转动 的约束
C
D
c)
A
B
放松约束
C
D
等
限制转动 的约束
价
d) A
B
放松约束
C
D
思考：
M在那步考虑， 如何考虑？
知识点
12.1 力矩分配法的基本概念
1. 课程导入
在结构设计中，结构受力分析具有至关重要的作用。
1. 课程导入
力矩分配法是以位移法为基础，以逐次渐近 的方式求无侧移刚架和连续梁杆端弯矩的一种渐 进方法。
它是1930年由美国的Hardy Cross教授提出。
Cross, Hardy (1930). "Analysis of Continuous Frames by Distributing Fixed-End Moments". Proceedings of the American Society of Civil Engineers (ASCE): pp. 919–928
' BA
17.2 kNm
M
' CB
0
（3）叠加得到最后的杆端弯矩
小结
➢ 力矩分配法的基本原理（单结点） 三个环节： （1）结点力矩； （2）根据分配系数求分配力矩； （3）根据传递系数求传递力矩。
知识点
12.3 多结点的力矩分配——渐进运算
（1）结点力矩下多结点力矩分配的基本思路
例1：若梁线刚度 i 相同，求梁各杆端弯矩。
MB
M
F BAMF BC NhomakorabeaM
F BA
■ 约束力矩等于固端弯矩之和。
（2）在结点B加上一个力偶-MB。
（3）两种情况叠加，得到实际杆端弯矩。 总结
■ 先在刚结点B上加阻止转动的约束，把连续梁 分为单跨梁，求出杆端弯矩。结点B各杆固端弯矩之 和即为约束力矩MB。
■ 去掉约束，求出各杆B端新产生的分配力矩和 远端新产生的传递弯矩。
BA 3.5 170.5 0.0206 BC 5 170.5 0.0293 BE 162 170.5 0.9501
知识点
12.5 剪力分配法
知识点 12.5-1
铰接排架的剪力分配
EA=∞
PA i1 h1 B
C （1）基本未知量：
水平位移Δ
i2 h2 D （2）杆端弯矩
M BA 3i1 / h1 QAB 3i1 / h12 d1 1P M DC 3i2 / h2 QCD 3i2 / h22 d2 2P
SBC = 3i
2A
B
C
3 M图（kN·m）
小结
结点力矩下单结点力矩分配的解题步骤
M=7kN·m
A
B
C
1. 结点力矩 2. 分配系数
1. 确定结点力矩； 2. 根据转动刚度求分配系数；
3. 分配力矩 4. 传递力矩
3. 根据分配系数求分配力矩（近端弯矩）； 4. 根据传递系数求传递力矩（远端弯矩）。
M CB 0
MB
0
M BA
M BC
M
B
4i
1
3i
M
M BA
SBA SBA +SBC
M
=
4 7
M
M BC
SBC SBA +SBC
M=
3 7
M
2.2 力矩分配法涉及的三个概念
例1：若梁线刚度 i 相同，求梁各杆端弯矩。 M
A
B
C
（1）转动刚度S （rotational stiffness）
是指使杆端发生单位转角时需要施加的力矩。
M
F CB
41.7 kNm
（3）力矩分配
按C、B顺序分配两轮。
■ 放松结点的顺序不影响最后的结果。 ■ 先放松结点约束力矩大的结点，收敛速度快。
（4）内力图 由杆端弯矩作弯矩图； 由杆件的平衡条件作剪力图； 由结点的平衡条件作轴力图。
例3：作图示结构的M图。
解 （1）锁住B、C两点
M
F CD
50 kNm
示例 例1：作连续梁的弯矩图。
解 （1）分配系数
SBA
4iBA
4
1 6
0.667
2
SBC
4iBC
4 8
1
BA
0.667 1 0.667
0.4
Bc
1
1 0.667
0.6
SCB 4iCB 1 SCD 3iCD 0.5
CB 0.667 CD 0.333
（2）固端弯矩
M
F AB
ql 2 12
FQ1
12i1 h12
k1
FQ 2
12i2 h22
k2
k1、k2——柱子的侧移刚度。
由平衡条件，得
FP FQ1 FQ2
FQ1
k1 k1 k2
FP
FQ 2
k2 k1 k2
FP
剪力分 配系数
荷载FP按剪力分 配系数分配给各柱。
利用反弯点在柱子中点的
注：在多层刚架中，通常 将底层反弯点设在柱子2/3高 度处。
（2）放松C结点
SCB 4EI / 5 CB 1
SCD 0
CD 0
分配、传递。
（3）C结点不再锁住。 放松结点B
SBA 3EI / 1 SBC 3EI / 5
BA 5 6 BC 1 6
只分配、不传递。
（4）画弯矩图
知识点
12.4 无剪力分配法
（1）特殊结构
特点： （1）横梁AC：两端无相对线位移的杆件。 (没有垂直杆轴的线位移) （2）柱子AB：剪力静定杆件。 (可根据平衡条件直接求出)
上边滑动 下边固定
（1）根据静力条件求出杆端剪力； （2）将剪力看成杆端荷载，按该端滑动、另端固定的杆件计算。
（4）零剪力杆件的转动刚度和传递系数
放松结点相当于在结点处施加一反向的约束力矩。
结点变形：有转角、有侧移 杆件受力：剪力为零，弯矩为常数
若杆端发生转角A，则
M AB iAB A ,
SAB iAB
由互等定理，得
1P P1
则
Z1
1P 11
P1 11
因11 是常数，上式可写成
Z1
x
1
11
P1
x
超静定力的影响线的作法
（1）撤去与所求的约束力Z1相应的约束。 （2）使体系沿Z1的正方向发生位移，作出荷载点的 挠度图，即为影响线的形状。
第 12 章 渐进法和超静定结构的影响线
教学内容 12.1 力矩分配法的基本概念 12.2 单结点的力矩分配——基本计算 12.3 多结点的力矩分配——渐进运算 12.4 无剪力分配法 12.5 剪力分配法 12.6 用机动法绘制连续梁的影响线
知识点
力矩分配法的基本概念 单结点的力矩分配——基本计算 多结点的力矩分配——渐进运算 无剪力分配法 铰接排架的剪力分配 横梁刚度无限大时刚架的剪力分配 柱间有水平荷载作用时的计算 用机动法绘制连续梁的影响线
（2）无剪力分配法的应用条件
两类杆件 横梁： 两端无相对线位移 的杆件。
柱子： 剪力静定杆件。
无剪力分配法的应用条件 刚架中只包含杆端无相对线位移杆件和剪力静定杆件。
（3）剪力静定杆件的固端弯矩
无剪力分配法计算刚架的步骤与力矩分配法相同， 但固端弯矩、转动刚度和分配系数的求法不同
锁住结点（只阻止结点的角位移，不阻止线位移）。
解决办法
锁住结点（只阻止结点的角位移，不阻止线位移）。
上边滑动 下边固定
按该端滑动、另端固定的杆件进行计算。
结点变形：有转角、有侧移 杆件受力：剪力为零，弯矩为常数
若杆端发生转角A，则
M AB iAB A , M BA iAB A
SAB iAB
C AB 1
放松结点时，刚架中静定剪力杆都是在零剪力的条件下 ，得到分配弯矩和传递弯矩的，故称无剪力分配法。
■ 叠加各杆端的力矩就得到实际的杆端弯矩。
示例 例：试用力矩分配法作弯矩图。
M
F AB
200kN 6 m 8
150kNm
解 （1）先在结点B加上约束， 计算固端弯矩和约束力矩。
M
F BA
M
F AB
150kNm
M
F BC
20kN/m 6m2
8
90 kNm
MB 150 kNm 90 kNm 60kNm
柱侧移刚度系数 剪力分配系数
dj
3i j
/
h
2 j
j d j / d j
（3）位移法方程
Q 0 QAB QCD P
知识点 12.5-2
横梁刚度无限大时刚架的剪力分配 （反弯点法）
如果梁的刚度与柱子的线刚度大很多，在水平荷载作用线 位移是主要位移，转角位移可以忽略。
反弯点法假定：将横梁简化为刚性梁。 各柱的剪力为
思考：两个结点
M
A
B
C
渐进法
力矩分配法 无剪力分配法 迭代法
逐次逼近 →收敛 →精确解
特点： ① 不组成求解方程 ② 生动形象，重复步骤，易于手算
知识点
12.2 单结点的力矩分配——基本计算
非结点力矩下单结点力矩分配
计算FP作用下的杆端弯矩。
（1）在结点B加一个阻止转动的约束，阻止B点的转动。
MBA iAB A
CAB 1
示例 例1： 试作刚架的弯矩图。
解 （1）固端弯矩
M
F BC
-3 16
FP l
=
-3.75 kNm
M
F BA
ql 2 -
6
=
-2.67 kNm
M
F AB
ql 2 -
3
=
-5.33 kNm
（2）转动刚度和分配系数
SBC 3i1 = 12 SBA i2 = 3
BC 4 5
等 价
放松约束
e)
A
B
C
D
（2）非结点力矩下多结点力矩分配的基本思路
■ 每放松一次结点相当进行一 次单结点的分配与传递运算。
（1）在结点B、C加约束，阻 止结点的转动。
（2）去掉结点B的约束 （结点C仍夹紧）。
（3）重新夹紧结点B ，然 后去掉结点C的约束。 （4）重复（2）和（3），很快达到实际状态。
（2）分配系数μ （ distribution factor ）
Bj
SBj S
B
是指杆件转动刚度与结点连接所有杆件转动刚度和的比值。
（3）传递系数C （ carry-over factor ）
是指当近端有转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值。
2.2 力矩分配法涉及的三个概念
远端支撑情况
S
i
1. 固定
60 kNm
M
F BA
60 kNm
M
F BC
FP l 8
100 kNm
M
F CB
100 kNm
（3）放松结点C
（4）锁住结点C， 放松结点B （5）进行第二个循环 （6）进行第三个循环 （7）将固端弯矩、分配 弯矩、传递弯矩相加。 （8）根据杆端弯矩画M图
例2：作图示刚架的弯矩图、剪力图和轴力图。
1
S
2. 简支
1
3. 滑动
1
S值 C值
4i
1/2
3i
0
i
-1
2.3 结点力矩下单结点力矩分配的解题步骤
例2：若梁线刚度 i 相同，用力矩分配法求梁各杆端弯矩。 M=7kN·m
A
B
C
1. 结点力矩
7
2. 分配系数
4/7 3/7
A
B
3. 分配力矩 2
1/2 4
3
4. 传递力矩
4
SBA = 4i
0
C 0
第 12 章 渐进法和超静定结构的影响线
Method of Successive Approximations
第 12 章 渐进法和超静定结构的影响线
教学目标
掌握杆件固端弯矩、转动刚度、分配系数和传递 系数的物理意义；
熟练掌握用力矩分配法计算荷载作用下的连续梁 和无侧移刚架；
掌握无剪力分配法与力矩分配法在计算上的异同。 了解近似法 能够计算超静定力的影响线
（2）放松结点B
在B结点上加一个外力偶 -60kNm。进行分配和传递。
转动刚度
SBA 4i SBC 3i
分配系数
BA
4i 4i 3i
Bc
3i 4i 3i
分配弯矩
M
' BA
0.571 60kNm
34.3 kNm
M
' BC
0.429 60kNm
25.7 kNm
传递弯矩
M
' AB
1 2
M