相似三角形判定复习精选课件

又 知 CE DE EF, 得 Δ CDF是 RtΔ 可 ,
M
∟
A
由条件得 AMD Δ FCD, Δ ∽ 结论成立。
综合运用
如图，正方形ABCD 中，E是AD的中点， ^ BE， EF 求证：ΔABE ∽ ΔEBF
A E D F
你能发现 ninengfaxi
几对三角 形相似？
B
C
正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个 动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直. （1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN； （2）设BM=x，四边形ABCN的面积为y，求y与x之间 的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形 ABCN面积最大，并求出最大面积； （3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN， 求此时x的值.
定理1：三组对应边的比相等，两三角形相似。 AB BC CA A' △ABC∽△A'B'C' A'B' B'C' C'A' 定理2：两组对应边的比相等且夹角相等， 两三角形相似。 B' AB BC A A' B ' B ' C ' △ABC∽△A'B'C'
∠B= ∠B'
C'
定理3：两角对应相等，两三角形相似。
△ ACP∽△ABC 答：当∠1= ∠ACB 或∠2= ∠B
或AC:AP＝AB:AC时,△ ACP∽△ABC.
练习
已知，△ABC中，D为AB上一点，画一条过 点D的直线(不与AB重合),交AC于E，使所得 三角形与原三角形相似，这样的直线最多能 画出多少条? A
A
D
E
D
E
B
C
B
C
如图，D是△ABC的AB边上的一点，已知 2 AB=12，AC=15，AD= 3 AB，在AC上取一 点E，使△ADE与△ABC相似，求AE的长。
△ A1B1C1 ∽△ABC （相似比不为1）， 且点都在单位正方形 的顶点上 . C A B
尝试
如图,矩形ABCD是由三个正方形 ABEG,GEFH,HFCD组成的,判断下列两 个结论是否成立?若成立,请证明.若不成 立,请说明理由. ① △AEF∽△CEA ② ∠AFE +∠ACE=45 °
A G H D
2
a2 b2 时， BD
2
答：略.
a
基本图形应用 （1）
已知：如图，△ABC中，P是AB边上的一点，连 结CP．满足什么条件时△ ACP∽△ABC?
解:⑴∵∠A= ∠A，∴当∠1= ∠ACB
（或∠2= ∠B）时，△ ACP∽△ABC A
⑵ ∵∠A= ∠A，
P 1 4
2 C
∴当AC:AP＝AB:AC时， B
B
B
C
A
B
C
定理应用
如图，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝ 6 ， AD＝2。问当AB的长为多少时，这两个直角 三角形相似？
A
D
∟
B
C
要使这两个直角三角形相似，有两种情况： （1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有
AC AB AD AC
AC 2 AB 3 AD
A
（2）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有
A
D E G
C
已知：如图，△PQR是等边三角形， ∠APB = 120 ° 求证：（1）PAQ∽△BPR．
（2） AQ RB=QR 2
Q
R
B
已知：如图，△PQR是等边三角形， ∠APB = 120 °，你还能发现几对 三角形相似？ PB² =？PA² =？你能证明 AQ:AB=QR² :PB²
B
E
F
C
如图，这是由三个全等的正方形组成的 广告牌。你能从中找出一对相似三角形 吗？说明理由（全等三角形除外）
A C E G
B
1 D
2
3
F
H
∠1+ ∠2+ ∠3＝
度
解:⑴∵ ∠1＝∠D＝90° A
b a b １ AC BC ∴当 时，即当 b B D 时， B BC BD b2 △ABC∽ △CDB,∴ B D a
⑵∵ ∠1＝∠D＝90° a AC AB ∴当 B C B D 时,即当 b
D
△ABC∽ △BDC， ∴ B D b a b
C
∟
A
D
B
如图，已知：DE ∥BC，DC和BE相交于P点， 连结AP交DE于M，延长AP交BC于点N ，求证： DM=ME，BN=NC。
A D
M
要证DM EM，需利用中间比过渡，由DE // BC ,
DM AD 推得ADM ∽ABN , 得 BN AB
E
P B
AD DE DE EP EP ME 同理可证 , , AB BC BC PB PB BN
AC AB CD AC
AC 2 AB 3 2 CD
D
∟
故当AB的长为3或
3 2BC源自时，这两个直角三角形相似。
如图:∠ABC=∠CDB=90°, 2 b AC=a, BC=b, 当BD= 时， △ABC∽△CDB.
A C
a
B
D
如图：已知∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a， BC=b，当BD与a、b之间满足怎样的关系式时， 两三角形相似 a C
A D
N B M C
如图，在 □ ABCD中，G是BC延 长线上一点，AG与BD交于点E,与 DC交于点F，则图中相似三角形 共有（ D ）
A． B． C． D． 3对 4对 5对 6对
A
D
E B
F C G
Rt△ABC中， ∠ACB＝90 °，CD⊥AB于D
（1）写出图中所有的相似三角形，并选择其中一 对说明理由 （2）若AD＝4cm, BD＝1cm,请你求出CD的长度
Q B P C Q B P C
基本图形应用 （2）
将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图 的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面 内，则图中有相似（不包括全等）三角形吗？如 有，把它们一 一写出来. 解：有相似三角形，它们是： △ADE∽ △BAE, B △BAE ∽ △CDA ， △ADE∽ △CDA （ △ADE∽ △BAE ∽ F △CDA）
C E E C
A
D
B
A
D
B
动点与相似三角形
如图：在⊿ABC中， ∠C= 90°,BC=8,AC=6.点P 从点B出发，沿着BC向点C以2cm/秒的速度移动;点 Q从点C出发，沿着CA向点A以1cm/秒的速度移动。 如果P、Q分别从B、C同时出发，问： ①经过多少秒时⊿CPQ∽ ⊿CBA; ② 经过多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰好与 A ⊿ABC相似？ A
三角形相似的判定方法有哪些？
三个角对应相等 方法1：通过定义 三边对应成比例 方法2：平行于三角形一边的直线与其它两边

相交，所得三角形与原三角形相似 方法3：三组对应边的比相等，两个三角形相似 方法4：两组对应边比相等且夹角相等， 两个三角形相似
方法5：两组角分别对应相等，两个三角形相似
相似三角形的判定定理：
Q
R
B
如图，已知EM ^ AM，交AC于D，CE=DE 求证：2ED · DM=AD · CD。
F
C
证法一： 要 证 2ED DM AD CD成 立 ，
E
D
应把积的形式转化成比 例式 （还应考虑系数2）， 2ED CD ,要 得 出 2ED， AD DM 可 延 长 DE到 F， 使F DE, E
∠A= ∠A' △ABC∽△A'B'C' ∠B= ∠B'
B
C
直角三角形相似的判定:
直角边和斜边的比相等，两直角 三角形相似。
C' ∠C=∠C' =90 Rt△ABC∽Rt△A'B'C' AB AC = A A'C' A' B '
o
A'
B'
C
B
A
1 2
A O
C
B
A
C
C
D E
B D
D O
A D E
N
DM ME , DM ME C BN BN
同理可证：BN=NC
网格问题
如图，小正方形的边长均为1，则下列 图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似 的是 A
A
B
C
(A)
(B)
(C)
(D)
在正方形方格中, △ABC的顶点A、 B、C在单位正方形的顶点上 ，请在 图中画一个△A1B1C1 使