高二下学期期末考试数学(理)试题及答案

第二学期高二数学（理）期末考试试卷
一、选择题：（共10个小题，每小题4分；在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项代号填入答题卡对应符号栏内）
1.已知集合}
{
2,A x x x R =≤∈,{|4,}B x x x Z =≤∈,则A B ⋂= （ ）
(A)(0,2) (B) {0,1,2} (C){}0,2 (D) [0,2]
2．抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线22
154
y x -=的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是 ( ) A ．24=x y B ．24=-x y C ．212=-x y D ．212=-y x 3.已知向量()2,1=a ，()3,2-=b ，若向量c 满足()b a c //+，()
b a
c -⊥，则向量
c = ( ) A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛--177,1735 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛1735,177 C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛177,1735 D.⎪⎭
⎫
⎝⎛--1735,177
4.复数z=
22i
i
-+(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为 （ ） A ．第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5. 下列命题中，真命题是 ( ) A. 存在[0,],sin cos 22∈+≥x x x π
; B. 任意2(3,),21∈+∞>+x x x ;
C. 存在2,1∈+=-x R x x ;
D. 任意[,],tan sin ;2∈>x x x π
π
6．设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且对任意R ∈x 都有)4()(+=x f x f ，当
）
，（20∈x 时，x x f 2)(=，则)2011()2012(f f -的值为 （ ） A ．2 B ．2 C ．12 D ．12
7．设,a b 是两条不重合的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中错误的
是 ( )
A ．若⊥a α，⊥a β,则//αβ
B ．若b 是β内任意一条直线，a
α，a b 则αβ
C ．若a α，b ⊥α，则a b
D ．若a//α，b α，则a //b
8.在在ABC 中，AB
3,AC
4,BC
13，则AC 边上的高为 （ ）
A.
223 B. 233 C. 2
3
D. 33 9．设函数()sin(2)cos(2)44
=+++f x x x ππ
，则
A ．()=y f x 在(0,)2π单调递增，其图象关于直线4=x π对称
B ．()=y f x 在(0,)2π单调递增，其图象关于直线2=x π对称
C ．()=y f x 在(0,)2π单调递减，其图象关于直线4=x π对称
D ．()=y f x 在(0,)2π
单调递减，其图象关于直线2
=x π
对称 10．直线20(0)-+=≥ax y a a 与圆229+=x y 的位置关系是 （ ）
A ．相离
B ．相交
C ．相切
D ．不确定 二、填空题（共四个小题，每小题4分）
11.已知函数()bx x x f 22+=过（1， 2）点，若数列()⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n f 1的前n 项和为n S ，则
2012S 的值为_________.
12.若将()()x a x b --逐项展开得2x ax bx ab --+，则2x 出现的概率为1
4，x 出现
的概率为1
2，如果将()()()()()x a x b x c x d x e -----逐项展开，那么3x 出现的概率为 .
13.对于三次函数d cx bx ax x f +++=23)(（0≠a ），定义：设)(x f ''是函数()y f x =的导数'()y f x =的导数，若方程)(x f ''＝0有实数解0x ，则称点
00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有
‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你
将这一发现为条件，函数3231
()324
f x x x x =-+-，则它的对称中心为_____；
正视图 侧视图 俯视图 3 1 2 2 3 2 B A C S （第14题图）
14.三棱锥S ABC 的三视图如下（尺寸的长度单位为m ）．则这个三棱锥的体积为 _________;
参考答案
一、选择题(本题共10小题，每题4分，共40分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B
C
A
D B
A
D B
D B
二、填空题（本题共4小题，每题4分，共16分） 题号
11 12
13 14
答案
2013
2012
516
(
1
2
, 1) 34m
三、解答题
15．(本题满分10分)
如图所示,已知α的终边所在直线上的一点P 的坐标为(3,4)-,β的终边在第一象限且与单位圆的交点Q 的纵坐标为210
.
⑴求α-βtan()的值； ⑵若2
παπ<<,2
0π
β<<
,求αβ+.
解：⑴由三角函数的定义知43
tan α=-
又由三角函数线知210
sin β=
,
∵β为第一象限角,∴17
tan β=,
∴41--tan α-tan β3137tan(α-β)==
=-411+tan αtan β17
1+(-)37. ……5分 ⑵∵3
5
cos α=-,2
παπ<<,∴4
5
sin α=.
又210
sin β=
,2
0π
β<<
,∴2
721sin 10cos β
β-=
=
. …7分
∴4
723225
10
5
10
2
sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+=⨯
-⨯=
.
由2
παπ<<,2
0π
β<<
,得32
2
ππαβ<+<
,
∴34
παβ+=
. ……10分
（2）2583n 138n a a a a a -+、、是首项为22a =，公比为8，项数为n+8项的等比
数列，
882583n 138
2(18)2(81)187
n n n a a a a a ++-+-+
+++==--++
17．（本小题满分10分）
学校在高二开设了当代战争风云、投资理财、汽车模拟驾驶与保养、硬笔书法共4门选修课，每个学生必须且只需选修1门选修课，对于该年级的甲、乙、丙3名学生。

（I ）求这3名学生选择的选修课互不相同的概率；
（II ）求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；
（III ）求投资理财选修课被这3名学生选择的人数的数学期望。

解析：(Ⅰ)3名学生选择了3门不同的选修课的概率为
834442344
3341=
⨯⨯⨯⨯==A P ----------2分
(Ⅱ) 恰有2门选修课这3名学生都没选择的概率为
16944423324
3
2223242=⨯⨯⨯⨯⨯==A C C P -----------5分
(Ⅲ) 设投资理财选修课被这3名学生选择的人数为ξ，则ξ＝0,1,2,3
-----------6分
P(ξ＝0)＝64274
33
3= P(ξ＝1)＝6427
4332
13=C
P(ξ＝2)＝6494
33
13=⋅C P(ξ＝3)＝641
4333=C ξ的分布列是
2727913E 012
364
64
64
64
4
ξ
18. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥S —ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，且
2SD AD AB ==，E 是SA 的中点。

（1）求证：平面BED ⊥平面SAB ；
（2）求平面BED 与平面SBC 夹角的大小。

解：（Ⅰ）∵SD ⊥平面ABCD ，∴平面SAD ⊥平面ABCD ，
∵AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面SAD ，∴DE ⊥AB ． ∵SD ＝AD ，E 是SA 的中点，∴DE ⊥SA ， ∵AB ∩SA ＝A ，∴DE ⊥平面SAB ∴平面BED ⊥平面SAB ． …4分
（Ⅱ）建立如图所示的坐标系D —xyz ，不妨设AD ＝2，则 D (0，0，0)，A (2，0，0)，B (2，2，0)，
C (0，2，0)，S (0，0，2)，E (1，0，1)． DB →＝(2，2，0)，DE →＝(1，0，1)，
CB →＝(2，0，0)，CS →＝(0，－2，2)． 设m ＝(x 1，y 1，z 1)是面BED 的一个法向量，则
⎩
⎪⎨⎪⎧m ·DB →＝0，m ·DE →＝0，即⎩⎨⎧2x 1＋2y 1＝0，x 1＋z 1＝0，
因此可取m ＝(－1，2，1)．…8分 设n ＝(x 2，y 2，z 2)是面SBC 的一个法向量，则
⎩⎪⎨⎪⎧n ·CB →＝0，n ·CS →＝0，即⎩
⎨⎧2x 2＝0，－2y 2＋2z 2＝0，
因此可取n ＝(0，2，1)． …10分
ξ
0 1 2 3
P
6427
6427 649 641
cos 〈m ，n 〉
＝m ·n |m ||n |＝323＝3
2
，
故平面BED 与平面SBC 所成锐二面角的大小为30︒．…12分
（2）设直线l
的斜率为
k(k 0)
由（1）及
直线,NA NB 的斜率
1212221212441144
NA NB y y y y
k k x x y y +=+=+++++ ()()()()
()()
22
1221211222
221
2
1
2
4444(4444)
04444y y y y y y y y y y y
y ⎡⎤+++-+-+⎣⎦
=
=
=++++．----10分
又当l 垂直于x 轴时，点,A B 关于x 轴对称，显然0,NA NB NA NB k k k k +==-． 综上，0,NA NB NA NB k k k k +==-． ----------12分 20. （本小题满分12分）
已知函数22()ln ()f x x a x ax a =-+∈R ． （Ⅰ）当1a =时，证明函数()f x 只有一个零点；
（Ⅱ）若函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，求实数a 的取值范围．
解：（Ⅰ）当1a =时，2()ln f x x x x =-+，其定义域是(0,)+∞ ………1分
2121()21x x f x x x x
--'∴=-+=-………………………2分
令()0f x '=，即2
210x x x ---
=，解得1
2
x =-或1x =． 0x >，∴ 1
2
x ∴=-舍去． ………………………4分
当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．
∴ 函数()f x 在区间()01,上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减
∴ 当x =1时，函数()f x 取得最大值，其值为2(1)ln1110f =-+=．
当1x ≠时，()(1)f x f <，即()0f x <．
∴ 函数()f x 只有一个零点． ……6分
∴1120
a a ⎧-≤⎪⎨⎪<⎩ 得12a ≤- ………………………11分
综上，实数a 的取值范围是1
(,][1,)2
-∞-+∞
………12分
法二：
①当0a =时，1
()0,()f x f x x '=
>∴
在区间()1,+∞上为增函数，不合题意
②当0a ≠时，要使函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，
只需()0f x '≤在区间()1,+∞上恒成立，
0x >∴只要22210a x ax --≥恒成立，
221
4210
a
a
a a ⎧≤⎪∴⎨⎪--≥⎩
解得1a ≥或12a ≤- 综上，实数a 的取值范围是1
(,][1,)2
-∞-+∞。