高中数学第1章导数及其应用1.3.2利用导数研究函数的极值b22b高二22数学

故当 x＝0 时，函数取得极小值，且 y 极小＝0.
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1．讨论函数的性质要注意定义域优先的原则．
2．极值点与导数的关系
(1)可导函数的极值点一定是导数值为 0 的点，导数值为 0 的点
不一定是极值点．
点 x0 是可导函数 f(x)在区间(a，b)内的极值点的充要条件：
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(3)f(x)＝|x|＝x－，xx，≥x0<，0.
显然函数 f(x)＝|x|在 x＝0 处不可导，
当 x>0 时，f′(x)＝x′＝1>0，
函数 f(x)＝|x|在(0，＋∞)内单调递增；
当 x<0 时，f′(x)＝(－x)′＝－1<0，
函数 f(x)＝|x|在(－∞，0)内单调递减．
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2．函数 f(x)＝2x－cos x 在(－∞，＋∞)上( )
A．无最值
B．有极值
C．有最大值
D．有最小值
[解析] f′(x)＝2＋sin x>0 恒成立，所以 f(x)在(－∞，＋∞)上单调 递增，无极值，也无最值．
[答案] A
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3．下列说法正确的是________．(填序号) ①函数的最大值一定是函数的极大值； ②开区间上的单调连续函数无最值； ③函数 f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处 取得．
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1．观察[a，b]上函数 y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小 值．
提示：f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值．
2．结合图象判断，函数 y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值， 最小值？若存在，分别为多少？
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一、极值点和极值的概念
极 已知函数 y＝f(x)，设 x0 是定义域(a，
极 小 b)内任一点，如果对 x0 附近的所有点 记作_y_极_小_＝__f_(x_0_)_
值
x，都有 f(x)>f(x0) ，则称函数 f(x)在
值
点 x0 处取极小值
极值点
___极_大__值__点_与__极__小__值_点_________统称为极值点
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已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以 下两点：
(1)根据极值点处导数为 0 和极值两个条件列方程组，利用待定 系数法求解；
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用 待定系数法求解后必须验证根的合理性．
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①f′(x0)＝0；
②点 x0 两侧 f′(x)的符号不同．
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(2)不可导的点可能是极值点(如本例(3)中 x＝0 点)，也可能不是 极值点(如 y＝ x，在 x＝0 处不可导，在 x＝0 处也取不到极值)，所 以函数的极值点可能是 f′(x)＝0 的根，也可能是不可导点．
A．72
B．36
C．12
D．0
(2)函数 f(x)＝ln x－x 在区间(0，e]上的最大值为( )
A．1－e
B．－1
C．－e
D．0
(3)求函数 f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]的最值．
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[解析] (1)因为 y＝x4－4x＋3，所以 y′＝4x3－4，令 y′＝0，解得
提示：存在．f(x)的最小值为 f(a)，f(x)的最大值为 f(x3)．
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3．函数 y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是其极值吗？ 提示：不一定．也可能是区间端点的函数值．
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【例 3】 (1)函数 y＝x4－4x＋3 在区间[－2,3]上的最小值为( )
[答案] ②
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合作探究 提素养
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求函数的极值(jízhí)
【例 1】 求下列函数的极值． (1)f(x)＝x2－2x－1； (2)f(x)＝x44－23x3＋x22－6； (3)f(x)＝|x|.
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令 f′(x)＝0，得 x＝－1，x＝0，x＝1．
当 x 变化时，f′(x)及 f(x)的变化情况如下表：
x －3 (－3，－1) －1 (－1,0)
0
(0,1)
1
(1,2) 2
f′(x)
＋
0
－
0
＋
0
－
单调递增 极大 单调递减 极小 单调递增 极大 单调递减
f(x) －60
－5
↗ 值4
↘
值3
↗
值4
↘
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1．已知函数 f(x)＝x2－2ln x，则 f(x)的极小值是__________．
[解析] ∵f′(x)＝2x－2x，
且函数定义域为(0，＋∞)，
令 f′(x)＝0，得 x＝1 或 x＝－1(舍去)，
当 x∈(0,1)时，f′(x)<0，
当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
∴当 x＝－3 时，f(x)取最小值－60；
当 x＝－1 或 x＝1 时，f(x)取最大值 4.
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求函数最值的四个步骤 第一步，求函数的定义域； 第二步，求 f′(x)，解方程 f′(x)＝0； 第三步，列出关于 x，f(x)，f′(x)的变化表； 第四步，求极值、端点值，确定最值．
2．会求函数的极值．(重点)
素养．
3．会求函数在闭区间上的最值． 2．借助利用导数求函数的极值、
4．能利用导数解决与函数极值、 最值，提升学生的逻辑推理、数学
最值相关的综合问题．(难点) 运算素养.
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自主预习 探新知
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不同的交点，
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如图所示． Δ＝m＋32－4m＋6>0，
所以f′1＝1－m＋3＋m＋6>0， m＋2 3>1，
解得 m>3.故实数 m 的取值范围是(3，＋∞)．
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求函数的最值
[探究问题] 如图为 y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．
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二、函数 f(x)在闭区间[a，b]上的最值 假设函数 y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不间断的曲 线，则该函数在[a，b]一定能够取得 最大值 与 最小值 ，若函数在[a， b]内是可导的，则该函数的最值必在极值点或区间端点取得．
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∴当 x＝1 时，函数有极小值，极小值为 f(1)＝1．
[答案] 1
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利用(lìyòng)函数的极值求参数
【例 2】 已知 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c 在 x＝1 与 x＝－23时都取得极值．
(1)求 a，b 的值；
(2)若 f(－1)＝32，求 f(x)的单调区间和极值． [思路探究] (1)求导函数 f′(x)，则由 x＝1 和 x＝－32是 f′(x)＝0 的两根
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一、极值点和极值的概念
名称
定义
表示法
极 已知函数 y＝f(x)，设 x0 是定义域(a，
极 大 b)内任一点，如果对 x0 附近的所有点 记作_y_极_大_＝__f_(x_0_)
值
x，都有 f(x)<f(x0) ，则称函数 f(x)在
值
点 x0 处取极大值
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当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－∞，
－23
－23
－23，1
1
f′(x)
＋
0
－
0
f(x)
单调递增 ↗
49 27
单调递减 ↘
－12
(1，＋∞)
＋ 单调递增
↗
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∴f(x)的递增区间为－∞，－23和(1，＋∞)，递减区间为－23，1. 当 x＝－23时，f(x)有极大值为 f－23＝4297； 当 x＝1 时，f(x)有极小值为 f(1)＝－12.

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3．已知函数 f(x)＝－x3＋3x2＋m(x∈[－2,2])，f(x)的最小值为 1， 则 m＝__________.
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[解析] f′(x)＝－3x2＋6x，x∈[－2,2]． 令 f′(x)＝0，得 x＝0 或 x＝2， 当 x∈(－2,0)时，f′(x)<0， 当 x∈(0,2)时，f′(x)>0， ∴当 x＝0 时，f(x)有极小值，也是最小值． ∴f(0)＝m＝1．
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1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数 f(x)＝x3＋ax2－x＋1 必有 2 个极值．
()
(2)在可导函数的极值点处，切线与 x 轴平行或重合． ( )
(3)函数 f(x)＝1x有极值．
()
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
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当 x∈(0,1)时，f′(x)>0，当 x∈(1，e)时，f′(x)<0，
∴当 x＝1 时，f(x)有极大值，也是最大值，最大值为 f(1)＝－1，
故选 B. 12/12/2021
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[答案] (1)D (2)B
(3)f′(x)＝－4x3＋4x＝－4x(x＋1)(x－1)，
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所以当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，0) 0
(0,1)
1 (1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
＋
单调
单调
单调
f(x)
极小值
无极值
递减↘
递增↗
递增↗
所以当 x＝0 时，函数取得极小值，且 y 极小＝－6.
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x＝1．当 x<1 时，y′<0，函数单调递减；当 x>1 时，y′>0，函数单调
递增，所以函数 y＝x4－4x＋3 在 x＝1 处取得极小值 0.而当 x＝－2
时，y＝27，当 x＝3 时，y＝72，所以当 x＝1 时，函数 y＝x4－4x＋3
取得最小值 0，故选 D.
(2)f′(x)＝1x－1，令 f′(x)＝0，得 x＝1．
[答案] 1
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当堂达标 固双基
及根与系数的关系求出 a，b.
(2)由 f(－1)＝32求出 c，再列表求解．
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[解] (1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 令 f′(x)＝0，由题设知 x＝1 与 x＝－23为 f′(x)＝0 的解．
∴1－23＝－23a， 1×－23＝3b，
∴a＝－12，b＝－2.
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(2)由(1)知 f(x)＝x3－12x2－2x＋c， 由 f(－1)＝－1－12＋2＋c＝32，得 c＝1． ∴f(x)＝x3－12x2－2x＋1． ∴f′(x)＝3x2－x－2. 令 f′(x)＝0，得 x＝－23或 x＝1，
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2．已知函数 f(x)＝13x3－12(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m 为常数)， 在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数 m 的取值范围．
[解] f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6.
因为函数 f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点，
所以导数 f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6 在(1，＋∞)内与 x 轴有两个
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[解] (1)f′(x)＝2x－2，令 f′(x)＝0，解得 x＝1． 因为当 x<1 时，f′(x)<0， 当 x>1 时，f′(x)>0， 所以函数在 x＝1 处有极小值，且 y 极小＝－2. (2)f′(x)＝x3－2x2＋x＝x(x2－2x＋1)＝x(x－1)2. 令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝1．
第一章 导数 及其应用 (dǎo shù)
1.3 导数 的应用 (dǎo shù) 1.3.2 利用导数研究函数的极值
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学习目标
核心素养
1．理解极值、极值点的概念，明 1．通过学习函数的极值、极值点、
确极值存在的条件．(易混点) 最值等概念，培养学生的数学抽象