高数部分习题解答(第1章)吴炯祈版

高等数学部分习题解答
根据教学需要,我们对李进金教授主编的《高等数学》（上、下册）每章节提供的习题的部分（约1800条）作出解答如下。

选题的标准是：1. 尽可能覆盖所有典型性强的习题；2. 较多地覆盖难题，特别是证明题；3. 较多地覆盖应用题。

解答努力突出解题的思想方法, 结合必要的分析与综合, 阐明难点要点,力求表达清晰规范. 读者应在自己努力完成作业之后才（而不是之前就）来查这个解答, 以检验自己的解题水平.
第一章 函数与极限
习题1.1
7.求下列函数的反函数: (1) 21x y -=, x ∈[-1,0]; (2) );2ln(1++=x y
解: (1) 首先注意到函数在[-1,0]是单调的,其值域为[0, 1].因为y 2 = 1-x 2, 所以x 2 =
1-y 2, 开方得x = ±21y -, y ∈[0,1]. 但据题设, x ∈[-1,0],所以只取 x =21y -.
因此所求的反函数为y =21x -, x ∈[0,1].
(2) y = 1+ln(x +2)在定义域为(-2,∞)为单调的, 其值域为(-∞, ∞).把y = 1+ln(x +2)变形得ln (x +2) = y – 1, x = e y – 1 –2 , y ∈(-∞, ∞).
因此所求的反函数为y = e x – 1 –2, x ∈(-∞, ∞).
习题1.2
4. 讨论极限1
1arctan lim 1-→x x 是否存在. 解: 由于11arct an l i m 1--→x x =2
π-, 11arctan lim 1-+→x x =2π, 左右极限不相等, 因此1
1arct an l i m 1-→x x 的极限不存在. 6. 分别用ε-δ或 ε- X 语言叙述如下单侧极限的定义：
（1）()A x f x x =+→0lim ，（2）()A x f x =-∞
→lim . 解:(1) 设函数f (x )在点x 0的右侧有定义. 如果存在这样的常数A ：对任给的正数ε，总有某一正数δ，使得当δ+<<00x x x 时，f (x )都满足不等式
()ε<-A x f ，
则称当x 趋于x 0时，f (x )有右极限且A 为f (x )的右极限，记作()A x f x x =+→0
lim . (2) 设函数f (x )当 x 小于某一负数时有定义. 如果存在这样的常数A ：对于任给的正数ε，总有某一个正数X ，使得对于当x < - X ），f (x )都满足不等式
| f (x ) - A| < ε,
则称常数A 为函数f (x )当x →-∞时的极限，记作，()A x f x =-∞
→lim 或 f (x ) →A ，x → -∞. 习题1.3
1. 求下列极限: (5) ;115lim 330x
x x x --+→ (6) 1lim →x 45322+--x x x ; 解: (5) 330115lim x x x x --+→=)
1()1())1(11)1((5lim 3233320x x x x x x x x --+-+-+++→ =2
))1(11)1((5lim 3233320x x x x x -+-+++→=215. 解: (6) 当x →1 时分母的极限为0，不能直接应用商的极限运算法则. 但是，由于分子的极限不为0，可以先求原式倒数的极限
1lim →x 3
2452-+-x x x = 0， 再利用无穷小与无穷大的关系得1lim →x 4
5322+--x x x = ∞. 习题1.4
1. 说明下列各无穷小之间的关系（假定x →0）: (1) x x --+11与2x ; (2) x x sin tan -与x sin .
解: (1) 当x →0 时,
x x --+11与2x 都是无穷小, 由于 x
x x --+112= x x x x 2)11(2-++=2)11(x x x -++→0, 所以x x --+11是比2x 低阶的无穷小(当x →0时).
(2) 当x →0 时, x x sin tan -与x sin 都是无穷小, 由于
x x x sin sin tan -=1cos 1-x
→0, 所以x x sin tan -是比x sin 高阶的无穷小(当x →0时).
3. 利用夹逼准则求下列极限: (1) ;)2(1)1(11lim 222⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++++∞→n n n n (2) ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→π
ππn n n n n n 2221211lim .
解: (1) 因为2)2(1n n +≤222)2(1...)1(11n n n
++++≤21n n +, 而 ∞→n lim 2)2(1n n +=∞→n lim 2
1n n +=0, 所以,根据夹逼定理知⎥⎦⎤⎢
⎣⎡++++∞→222)2(1)1(11lim n n n n = 0. (2)因为π+⋅n n n n 2≤π+++π++π+n n n n 2221...211≤ π
++⋅21n n n , 而 ∞→n lim π+⋅n n n n 2=∞→n lim π+11=1; ∞→n lim π+⋅
2n n n =∞→n lim 211n π+=1; 所以,根据夹逼定理知⎪⎭
⎫ ⎝⎛++++++∞→πππn n n n n n 2221211lim =1. 习题1.5
1． 确定常数a ，b ，使下列函数在x = 0处连续：
(1)⎩⎨⎧>≤+=;0,sin ,0,)(x x x x a x f (3) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>=;0),31ln(1,0,2,0,
sin )(x x bx
x x x ax x f 解: (1) 因为由于f (0) = a ,a x a x f x x =+=--→→)(lim )(lim 00，0sin lim )(lim 0
0==++→→x x f x x ，而要使函数f (x )在x = 0处连续必须且只须在x = 0处的左右极限存在且等于f (0) = a ，故a = 0.
(3)因为由于f (0) = 2,a x
ax x f x x ==++→→sin lim )(lim 00， bx
x x f x x )31ln(lim )(lim 00-==-→→=bx x x 1)31ln(lim 0--→=b x x x 331])31ln[(lim 0----→=b 3-， 而要使函数f (x )在x = 0处连续必须且只须在x = 0处的左右极限存在且等于f (0) = 2，故a = 2且b 3-=2. 即a = 2且b =2
3-. 7．如果f (x )在x 0处连续，g (x )在x 0处间断，问：)()(x g x f ±在0x 处是连续还是间断，为什么？
答: 设f (x )在x 0处连续，g (x )在x 0处间断，那末h (x )= f (x )+ g (x ) 在x 0处间断. 否则, 由h (x ), f (x )在x 0处连续要推出g (x )= h (x )- f (x ) 在x 0处连续, 与条件矛盾. 同理, f (x )- g (x ) 在x 0处间断.
8．如果f (x )在0x 处连续，问：| f (x )| 和f 2(x )在x 0处是否连续？又，如果|)(x f |或)(2x f 在x 0处连续，问)(x f 在x 0处是否连续，为什么？
答: 如果f (x )在0x 处连续，则| f (x )| 和f 2(x )在x 0处连续. 这因为| f (x )|可以看成y =f (x )，与函数 z = g (y )= | y |的复合函数, 即 | f (x )| = g [ f (x )]，而已知f (x )在0x 处连续，g (y )= | y | 在(-∞, ∞)连续，从而在y = f (x 0) 连续，所以复合函数| f (x )| 在0x 处连续.
同样道理, f 2(x ) 可以看成y =f (x )，与函数 z = h (y )= y 2的复合函数, 即 f 2 (x ) = h [ f (x )],而已知f (x )在0x 处连续，h (y )= y 2 在(-∞, ∞)连续从而在f (x 0)连续，所以复合函数f 2 (x ) 在0x 处连续.
反之，如果| f (x )|或f 2 (x )在x 0处连续，则f (x )在x 0处未必连续. 因为未必能找到一个在y 0 = | f (x 0)| (或f 2 (x 0))处连续的函数 z = W (y )使得f (x )能表示成这两个函数的复合函数. 事实上,存在这样的反例y =f (x )和x 0, 尽管|)(x f |或f 2 (x )在x 0处连续，则)(x f 在x 0处不连续.
例:设f (x ) =1
001,,11≤<≤≤-⎩⎨⎧-x x . 那么| f (x )| = f 2 (x ),它们在[-1, 1] 连续, 特别在x 0 = 0连续, 但是f (x ) 在x 0 = 0处不连续.
习题1.6
1.(3)设a > 0 ， b > 0，证明方程b x a x +=sin 至少有一个正根，并且它不超过a + b ． 证明: 令f (x ) = (x - b ) - a sin x , 那么f (x )在[0, a +b ] 连续, f (0) = -b<0, f (a +b ) = a [1-sin(a +b )]. 下面分两种情形讨论.
(i) 当 sin (a +b )<1时, f (a +b ) > 0, 即f (a +b )与f (0)异号, 由介值定理知, 存在ξ ∈(0, a +b )使得f (ξ) = 0, 即ξ是原方程的正根, 且不超过a + b ．
(ii) 当 sin(a +b )=1时, f (a +b ) = 0, 即ξ = a +b 就是原方程的根, 且满足条件．
总习题一
四、设f (x )在[a , b ]上连续，且b b f a a f ><)(,)(. 试证:在),(b a 内至少有一点ξ，使得f (ξ) = ξ.
证明: 令g (x )= f (x ) – x . 那么g (x )在[a , b ] 连续, g (a )= f (a )-a <0, g (b )= f (b )- b >0. 于是由连续函数的介值定理知, 存在ξ ∈( a , b )使得g (ξ)= f (ξ) –ξ = 0, 即f (ξ) = ξ.。