高一数学第一章集合及基本运算章末习题课

第一章章末习题课
(时间：80分钟)
一、单项选择题
1．已知集合A＝{1,2}，B＝{1}，则下列关系正确的是(C)
A．B∉A B．B∈A
C．B⊆A D．A⊆B
解析：两个集合之间不能用“∈或∉”，首先排除选项A，B，因为集合A＝{1,2}，B＝{1}，所以集合B中的元素都是集合A中的元素，由子集的定义知B⊆A.故选C.
2．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(B)
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
3．已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x>3}，则M∪N＝(A)
A．{x|x>－3} B．{x|－3<x≤5}
C．{x|3<x≤5} D．{x|x≤5}
解析：在数轴上表示集合M，N，如图所示，则M∪N＝{x|x>－3}．
4．“－2<x<4”是“x＜4”的(A)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由“－2<x<4”可得“x<4”，反之不成立，故“－2<x<4”是“x＜4”的充分不必要条件．故选A.
5．已知集合U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,3,4}，集合B＝{2,4}，则(∁U A)∪B＝(A) A．{2,4,5} B．{1,3,4}
C．{1,2,4} D．{2,3,4,5}
解析：由题意知∁U A＝{2,5}，所以(∁U A)∪B＝{2,4,5}．故选A.
6．“⎩⎪⎨⎪⎧
x >0，y >0”是“1xy >0”的( A ) A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：因为⎩⎨⎧ x >0，y >0⇒1xy >0，1xy >0⇒⎩⎨⎧ x >0，y >0或⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，y <0，
所以“⎩⎨⎧
x >0，y >0”是“1xy >0”的充分不必要条件．故选A.
7．满足M ⊆{a 1，a 2，a 3，a 4}，且M ∩{a 1，a 2，a 3}＝{a 1，a 2}的集合M 的个数是( B )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 解析：集合M 必须含有元素a 1，a 2，并且不能含有元素a 3，故M ＝{a 1，a 2}或M ＝{a 1，a 2，a 4}．
8．设全集U ＝A ∪B ，定义：A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，集合A ，B 分别用圆表示，则下列图中阴影部分表示A －B 的是( C )
解析：因为A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，所以A －B 是集合A 中的元素去掉A ∩B 中的元素构成的集合．故选C.
二、多项选择题
9．下列命题正确的有( ABD )
A ．0是最小的自然数
B ．每个正方形都有4条对称轴
C ．∀x ∈{1，－2,0},2x ＋1＞0
D ．∃x ∈N ，使x 2≤x
解析：对于A ：根据自然数集的定义知，最小的自然数是0，命题A 正确；对于B ：由
正方形的图形特点知，每个正方形都有两条对角线和过对边中点的直线四条对称轴，命题B 正确；对于C：这是全称量词命题，当x＝－2时，2×(－2)＋1＜0，命题C错误；对于D：这是存在量词命题，当x＝1或x＝0时，可得x2≤x成立，命题D正确．故选ABD.
10．已知集合M＝{－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，则满足条件的实数x可能为(AC)
A．2 B．－2
C．－3 D．1
解析：由题意得2＝3x2＋3x－4或2＝x2＋x－4，若2＝3x2＋3x－4，即x2＋x－2＝0，所以x＝－2或x＝1，检验：当x＝－2时，x2＋x－4＝－2，与元素互异性矛盾，舍去；当x＝1时，x2＋x－4＝－2，与元素互异性矛盾，舍去．若2＝x2＋x－4，即x2＋x－6＝0，所以x＝2或x＝－3，经验证x＝2或x＝－3为满足条件的实数x.故选AC.
11．下列命题正确的有(CD)
A．A∪∅＝∅
B．∁U(A∪B)＝(∁U A)∪(∁U B)
C．A∩B＝B∩A
D．∁U(∁U A)＝A
解析：在A中，A∪∅＝A，故A错误；在B中，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)，故B错误；在C中，A∩B＝B∩A，故C正确；在D中，∁U(∁U A)＝A，故D正确．故选CD.
12．若－1<x<2是－2＜x＜a的充分不必要条件，则实数a的值可以是(BCD)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由题意得a≥2.所以实数a的值可以是2,3,4.故选BCD.
三、填空题
13．若命题p：∀a，b∈R，方程ax2＋b＝0恰有一解，则命题p的否定为∃a，b∈R，方程ax2＋b＝0无解或至少有两解.
14．已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(∁
B)＝__{3}__．
U
解析：由U＝{1,2,3,4}，且∁U(A∪B)＝{4}，得A∪B＝{1,2,3}，又B＝{1,2}，所以A中一定有元素3，没有元素4，所以A∩(∁U B)＝{3}．
15．设p：－m≤x≤m(m>0)，q：－1≤x≤4，若p是q的充分条件，则m的最大值为
__1__；若p 是q 的必要条件，则m 的最小值为__4__.
解析：设A ＝{x |－m ≤x ≤m }(m >0)，B ＝{x |－1≤x ≤4}，若p 是q 的充分条件，则A ⊆B ，所以⎩
⎪⎨⎪⎧ －m ≥－1，m ≤4，所以0<m ≤1，所以m 的最大值为1；若p 是q 的必要条件，则B ⊆A ，所以⎩
⎪⎨⎪⎧ －m ≤－1，m ≥4，所以m ≥4，所以m 的最小值为4. 16．若“x <－1”是“x ≤a ”的必要不充分条件，则a 的取值范围是__{a |a <－1}__． 解析：若“x <－1”是“x ≤a ”的必要不充分条件，则{x |x ≤a }⊆{x |x <－1}，∴a <－1.
四、解答题
17．已知集合A ＝{x |2≤x ≤5}，B ＝{x |－2m ＋1＜x ＜m }，全集为R .
(1)若m ＝3，求A ∪B 和(∁R A )∩B ；
(2)若A ∩B ＝A ，求实数m 的取值范围．
解：(1)∵m ＝3，∴B ＝{x |－5＜x ＜3}．
又A ＝{x |2≤x ≤5}，
∴∁R A ＝{x |x ＜2或x ＞5}．
∴A ∪B ＝{x |－5＜x ≤5}，
(∁R A )∩B ＝{x |－5＜x ＜2}．
(2)∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B .
∴⎩⎪⎨⎪⎧
－2m ＋1＜2，m ＞5，解得m ＞5. ∴实数m 的取值范围为{m |m ＞5}．
18．在①{x |a －1≤x ≤a }，②{x |a ≤x ≤a ＋2}，③{x |a ≤x ≤a ＋3}这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的a 存在，求a 的值；若a 不存在，请说明理由．
已知集合A ＝________，B ＝{x |1≤x ≤3}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：由题意知，A 不为空集，B ＝{x |1≤x ≤3}．
当选条件①时，因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，所以A B ，即
⎩⎪⎨⎪⎧ a －1≥1，a <3或⎩⎪⎨⎪⎧
a －1>1，a ≤3，解得2≤a ≤3. 所以实数a 的取值范围是{a |2≤a ≤3}．
当选条件②时，因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，所以A B ，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥1，a ＋2<3或⎩⎪⎨⎪⎧
a >1，a ＋2≤3，无解．故不存在满足题意的a . 当选条件③时，因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，所以A B ，即⎩⎨⎧
a ≥1，
a ＋3<3或⎩⎨⎧ a >1a ＋3≤3，
无解． 故不存在满足题意的a .。