专题10 解三角形(正弦定理与余弦定理)(理科)解析版

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专题10 解三角形（正弦定理与余弦定理）

一、选择题（每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（2020·湖南省长沙市明达中学高三二模（理）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋

c )(a －b ＋c )＝ac ，sinAsinC C =（ ） A ．C ＝15°或C ＝45° B ．C ＝15°或C ＝30° C ．C ＝60°或C ＝45° D ．C ＝30°或C ＝60°

【答案】A

【解析】因为()()a b c a b c ac ++-+=，所以222a c b ac +-=-．

由余弦定理得，2221

cos 22

a c

b B a

c +-==-，

因此120B =︒，所以60A C +=︒，所以cos()cos cos sin sin A C A C A C -=+

cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C =-+ cos()2sin sin A C A C =++

122=

+=

， 故30A C -=︒或030A C -=-，因此，15=︒C 或45C =︒，故选A 。 2．（2020届百校联考高考考前冲刺）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ∆的面积

S =.根据此公式，若()cos 3cos 0a B b c A ++=，且222

2a b c --=，则ABC ∆的面积为（ ）

A B ．C

D ．【答案】A

【解析】由()cos 3cos 0a B b c A ++=得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=， 即()sin 3sin cos 0A B C A ++=，即()sin 13cos 0C A +=， 因为sin 0C ≠，所以1

cos 3

A =-

，

由余弦定理2

2

2

2

2cos 23

a b c bc A bc --=-=

=，所以3bc =，

由ABC ∆的面积公式得S ===A 。 3．（2018•新课标Ⅲ，理9文11）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆的面积为

222

4

a b c +-，则(C = ) A ．

2

π B ．

3

π C ．

4

π D ．

6

π 【答案】C

【解析】ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．ABC ∆的面积为222

4

a b c +-，

2221sin 24ABC

a b c S ab C ∆+-∴==，222sin cos 2a b c C C ab +-∴==，0C π<<，4

C π

∴=，故选C ．

4．已知ABC ∆的内角A ，B ，

C 满足sin 2sin()A A B C +-+=sin()C A B --1

2

+，面积S 满足12S ≤≤， 记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是（ ）

A ．8)(>+c b bc

B ．()ab a b +>

C ．126≤≤abc

D ．1224abc ≤≤ 【解析】A

【解析】因为A B C π++=，由1sin 2sin()sin()2

A A

B

C C A B +-+=--+ 得1sin 2sin 2sin 22

A B C ++=

， 即1sin[()()]sin[()()]sin 22

A B A B A B A B C ++-++--+=， 整理得1sin sin sin 8

A B C =， 又111

sin sin sin 222

S ab C bc A ac B =

==， 因此3

22222211

sin sin sin 864

S a b c A B C a b c ==，由12S ≤≤ 得222

311264

a b c ≤

≤，

即8abc ≤≤C 、D 不一定成立．又0b c a +>>，

因此()8bc b c bc a +>⋅≥，即()8bc b c +>，选项A 一定成立．又0a b c +>>，

因此()8ab a b +>，显然不能得出()ab a b +>B 不一定成立．综上所述，选A ． 5．（2020届黑龙江省齐齐哈尔高三二模）已知ABC ∆中内角,,A B C 所对应的边依次为,,a b c ，若

2=1,3

a b c C π

+==

，则ABC ∆的面积为（ ）

A ．

2

B C ．D ．【答案】A

【解析】由余弦定理，得2272cos a b ab C =+-=22

a b ab +-，由22

721

a b ab a b ⎧=+-⎨=+⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩，

所以，11sin 2322ABC S ab C ∆=

=⨯⨯=

，故选A 。 6．（辽宁省葫芦岛一中2019届高三模拟）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC ∆为锐角三角形，且满足，2

sin 2tan (2sin cos 2)C A C C =+-，则等式成立的是（ ）

A ．2b a =

B ．2a b =

C ．2A B =

D ．2B A =

【答案】B 【解析】依题意得

()2

sin 2sin cos 22cos cos 2cos A C C C C A

=

-+-,2sin sin 12cos cos C A C A =-,

()2sin cos cos sin sin A C A C A +=，即sin 2sin A B =，由正弦定理得2a b =，故选B 。

7．（四川省成都七中2019届模拟）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AD 为角A 的角平分线，交BC 于D ，4

B π

=

，22=AD ，2BD =，则b =（ ）

A ．22 B

C ．3

D

【答案】A

【解析】因为22=AD ，2BD =，4

B π=

，由正弦定理得sin sin AD BD

B BAD =∠，

即

2

sin sin

4

BAD

π

=

∠，解得1

sin 2

BAD ∠=， 又由(0,

)2

BAD π

∠∈，所以6

BAD π

∠=

，则3

π

=

∠BAC ，所以53

4

12

C π

π

ππ=-

-

=

，