专题10 解三角形(正弦定理与余弦定理)(理科)解析版

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专题10 解三角形（正弦定理与余弦定理）

一、选择题（每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2020·湖南省长沙市明达中学高三二模（理）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b
＋

c)(a－b＋c)＝ac，sinAsinC＝3-14，则角C=（ ）
A．C＝15°或C＝45° B．C＝15°或C＝30°
C．C＝60°或C＝45° D．C＝30°或C＝60°
【答案】
A
【解析】因为()()abcabcac，所以222acbac．

由余弦定理得，2221cos22acbBac，
因此120B，所以60AC，所以
cos()coscossinsinACACAC
coscossinsin2sinsinACACAC
cos()2sinsinACAC

13132242

， 故30AC或030AC，因此，15C或45C，故选A。

2．（2020届百校联考高考考前冲刺）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”
，用现

代式子表示即为：在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，则ABC的面积

2
222

2
1()42abcSab











.
根据此公式，若cos3cos0aBbcA，且2222abc，则

ABC
的面积为（ ）

A．2 B．22 C．6 D．23
【答案】
A
【解析】由cos3cos0aBbcA得sincoscossin3sincos0ABABCA，
即sin3sincos0ABCA，即sin13cos0CA，
因为sin0C，所以1cos3A，
由余弦定理22222cos23abcbcAbc，所以3bc，
由ABC的面积公式得222222211()312424cbaSbc，故选A。
3．（2018•新课标Ⅲ，理9文11）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若ABC的面积为
222
4
abc

，则(C )

A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【解析】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．ABC的面积为2224abc，
2221sin24ABCabcSabC，222
sincos2abcCCab
，0C，4C，故选C．

4．已知ABC的内角A，B，C满足sin2sin()AABC=sin()CAB12，面积S满足12S≤≤，
记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．8)(cbbc B．()162abab C．126abc D．1224abc
【解析】A

【解析】因为ABC，由1sin2sin()sin()2AABCCAB

得1sin2sin2sin22ABC，
即1sin[()()]sin[()()]sin22ABABABABC，
整理得1sinsinsin8ABC，
又111sinsinsin222SabCbcAacB，
因此322222211sinsinsin864SabcABCabc，由12S≤≤
得222311264abc≤≤，
即8162abc≤≤，因此选项C、D不一定成立．又0bca，
因此()8bcbcbca≥，即()8bcbc，选项A一定成立．又0abc，
因此()8abab，显然不能得出()162abab，选项B不一定成立．综上所述，选A．
5
．（2020届黑龙江省齐齐哈尔高三二模）已知ABC中内角,,ABC所对应的边依次为,,abc，若

2=1,7,3abcC
，则ABC的面积为（ ）

A．332 B．3 C．33 D．23
【答案】
A
【解析】由余弦定理，得2272cosababC22abab，由22721ababab，解得23ab，

所以，11333sin232222ABCSabC，故选A。
6
．（辽宁省葫芦岛一中2019届高三模拟）在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，若ABC为锐角

三角形，且满足，2sin2tan(2sincos2)CACC，则等式成立的是（ ）
A．2ba B．2ab C．2AB D．2BA
【答案】
B
【解析】依题意得

2

sin2sincos22coscos2cosACCCCA,2sinsin12coscosCA

CA
,


2sincoscossinsinACACA
，即sin2sinAB，由正弦定理得2ab，故选B。

7
．（四川省成都七中2019届模拟）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD为角A的

角平分线，交BC于D，4B，22AD，2BD，则b（ ）
A．22 B．2 C．3 D．6
【答案】
A
【解析】因为22AD，2BD，4B，由正弦定理得sinsinADBDBBAD，

即222sinsin4BAD，解得1sin2BAD，
又由(0,)2BAD，所以6BAD，则3BAC，所以53412C，
又因为512ADCBBAD，
所以ADC为等腰三角形，所以22bAD，故选A。
8．（2020·
四川省成都市树德中学高三二诊（理））在锐角ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对

的边，ABC的面积2S，且满足cos(1cos)aBbA，则()()cabcba的取值范围是（ ）

A．828,8 B．(0,8) C．838,833 D．838,83
【答案】
A
【解析】由题意，在锐角ABC中，满足cos(1cos)aBbA，由正弦定理可得
sincossinsincosABBBA，即sincossincossinABBAB
，

可得sin()sinABB，所以ABB，即22AB，
所以(0,)4B，所以33(,)24ABB，则3(,)42CB，

所以22tan2tan11tan2CCC，可得1tan122C，
又由ABC的面积1sin22SabC，所以4sinabC，
则
222
()()2cabcbacabab
2cos2abCab
2(1cos)abC

2
1(12sin)82(1cos)88tan(828,8)sin22sincos22CCCCCC


。

9．（2020·
陕西省西安中学高三三模（理））如图平面四边形ABCD的对角线的交点位于四边形的内部，

1AB
，3BC，ACCD，ACCD，当ABC变化时，对角线BD的最大值为__________．

【答案】
16
【解析】设∠ABC＝α，∠ACB＝β，则由余弦定理得，AC2＝1+3﹣2×13cosα＝4﹣23cosα；
由正弦定理得ACABsinsin，则sinβ423sincos；
所以BD2＝3+（4﹣23cosα）﹣23423coscos（90°+β）＝7﹣
23cosα+23sinα
＝7+26sin（α﹣45°），所以α＝135°时，BD取得最大值为72616。
二、填空题（每小题5分）
10．（2020·北京市平谷区高三一模）在ABC中，3B，7b， .求BC边上的高.

①21sin7A，②sin3sinAC，③2ac，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答
.
【答案】见解析

【解析】选择①，在ABC中，由正弦定理得sinsinabAB，即732172a，解得2a；
由余弦定理得2222cosbacacB，即222172222cc，
化简得2230cc，解得3c或1c（舍去）；

所以BC边上的高为
333
sin322hcB
.

选择②，在ABC中，由正弦定理得sinsinacAC，
又因为sin3sinAC，所以3sinsinacCC，即3ac；
由余弦定理得2222cosbacacB，
即222173232cccc，
化简得277c，解得1c或1c（舍去）；

所以BC边上的高为
33
sin122hcB
.

选择③，在ABC中，由2ac，得2ac；
由余弦定理得2222cosbacacB，