人教版数学高二数学人教A版选修2-1学案第一课时椭圆的简单几何性质

2．2．2椭圆的简单几何性质
第一课时椭圆的简单几何性质
预习课本P43～47，思考并完成以下问题
1．椭圆有哪些几何性质？什么叫做椭圆的中心、顶点、长轴与短轴？
2．什么是椭圆的离心率？随着离心率的变化椭圆的形状有何变化？
[新知初探]
椭圆的简单几何性质
焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形
标准方程
x2
a2＋
y2
b2＝1(a＞b＞0)
y2
a2＋
x2
b2＝1(a＞b＞0) 范围－a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长长轴长＝2a，短轴长＝2b
焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距|F1F2|＝2c
对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)
离心率
e ＝c
a
(0<e <1) [小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的长轴长等于a ( )
(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a －c ( ) (3)椭圆的离心率e 越小，椭圆越圆( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√
2．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．5,3，4
5
B ．10,6，4
5
C ．5,3，3
5
D ．10,6，3
5
答案：B
3．若椭圆x 2a 2＋y 2
＝1的焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则椭圆的离心率为( )
A ．32
B ．12
C ．
22
D ．
52 答案：A
4．若焦点在y 轴上的椭圆x 2m ＋y 22＝1的离心率为1
2，则m 的值为________．
答案：3
2
由标准方程研究几何性质
[典例] [解] 椭圆方程变形为x 29＋y 2
4＝1，
∴a ＝3，b ＝2，∴c ＝
a 2－
b 2＝9－4＝5．
∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6,2c ＝25， 焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，
顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)，B 1(0，－2)，B 2(0,2)， 离心率e ＝c a ＝5
3
．
求椭圆的性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a ，b 的数值，进而求出c ，求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．
[活学活用]
已知椭圆C 1：x 2100＋y 2
64＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆
C 2的焦点在y 轴上．
(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质．
解：(1)由椭圆C 1：x 2100＋y 2
64＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，
(－6,0)，离心率e ＝3
5
；
(2)椭圆C 2：y 2100＋x 2
64
＝1，
性质：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10； ②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；
③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)； ④焦点：(0,6)，(0，－6)； ⑤离心率：e ＝3
5
．
利用几何性质求标准方程
[典例] (1)长轴长是10，离心率是4
5
；
(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6． [解] (1)设椭圆的方程为
x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a >b >0)． 由已知得2a ＝10，a ＝5． 又∵e ＝
c a ＝4
5，∴c ＝4．
∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9．
∴椭圆方程为x 225＋y 29＝1或y 225＋x 2
9
＝1．
(2)依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)．
如图所示，△A 1FA 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ，
则c ＝b ＝3， a 2＝b 2＋c 2＝18，
故所求椭圆的方程为x 218＋y 2
9
＝1．
(1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法．
(2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先明确焦点的位置或分类讨论．一般步骤是：①求出a 2，b 2的值；②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程．
[活学活用]
求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A (5,0)． (2)离心率e ＝3
5
，焦距为12．
解：(1)若椭圆焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，由题意得
⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝5×2b ，25a 2＋0b 2＝1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝5，
b ＝1.
故所求椭圆的标准方程为x 2
25
＋y 2＝1；
若焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a >b >0)，由题意，得
⎩⎪⎨⎪⎧
2a ＝5×2b ，0a 2＋25b 2
＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝25，
b ＝5.
故所求椭圆的标准方程为y 2625＋x 2
25
＝1．
综上所述，所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2
＝1或y 2625＋x 2
25＝1．
(2)由e ＝c a ＝3
5，2c ＝12，得a ＝10，c ＝6，
则b 2＝a 2－c 2＝64．
当焦点在x 轴上时，
所求椭圆的标准方程为x 2100＋y 2
64＝1；
当焦点在y 轴上时，
所求椭圆的标准方程为y 2100＋x 2
64＝1．
综上所述，所求椭圆的标准方程为 x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 2
64＝1．
求椭圆的离心率
[典例] 设椭圆C ：x a 2＋y b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2
⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )
A ．
3
6
B ．13
C ．12
D ．
33
[解析] 法一：由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ，故离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3m 2m ＋m ＝33
．
法二：由PF 2⊥F 1F 2可知P 点的横坐标为c ，将x ＝c 代入椭圆方程可解得y ＝±b 2
a ，所以|PF 2|＝
b 2a ．又由∠PF 1F 2＝30°可得|F 1F 2|＝3|PF 2|，故2
c ＝3·b 2
a ，变形可得3(a 2－c 2
)＝2ac ，等式两边同除以a 2，得3(1－e 2)＝2e ，解得e ＝
3
3
或e ＝－3(舍去)． [答案] D
[一题多变]
1．[变条件]若将本例中“PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°”改为“∠PF 2F 1＝75°，∠PF 1F 2
＝45°”，求C 的离心率．
解：在△PF 1F 2中，
∵∠PF 1F 2＝45°，∠PF 2F 1＝75°， ∴∠F 1PF 2＝60°，
设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，|F 1F 2|＝2c ，椭圆的长轴长为2a ，
则在△PF 1F 2中， 有m sin 75°＝n sin 45°＝2c
sin 60°， ∴
m ＋n sin 75°＋sin 45°＝2c
sin 60°
，
∴e ＝c a ＝2c 2a ＝sin 60°sin 75°＋sin 45°
＝
6－2
2
． 2．[变条件，变设问]若将本例中“PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°”改为“C 上存在点P ，使∠F 1PF 2为钝角”，求C 的离心率的取值范围．
解：由题意，知c >b ，∴c 2>b 2． 又b 2＝a 2－c 2，∴c 2>a 2－c 2， 即2c 2>a 2． ∴e 2＝
c 2a 2>12，∴e >2
2
． 故C 的离心率的取值范围为
⎝⎛⎭
⎫22，1．
求椭圆离心率及范围的两种方法
(1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝c
a 求解．若已知a ，
b 或b ，
c 可借助于a 2＝b 2＋c 2求出c 或a ，再代入公式e ＝c
a 求解．
(2)方程法：若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2
＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或范围．
层级一 学业水平达标
1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )
A ．(±13,0)
B ．(0，±10)
C ．(0，±13)
D ．(0，±69)
解析：选D 由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．
2．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A ．12
B ．
32 C ．
34
D ．
64
解析：选A 依题意，△BF 1F 2是正三角形，
∵在Rt △OBF 2中，|OF 2|＝c ，|BF 2|＝a ，∠OF 2B ＝60°， ∴cos 60°＝c a ＝12，即椭圆的离心率e ＝12
，故选A ．
3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1的短轴长与椭
圆y 221＋x 2
9
＝1的短轴长相等，则( ) A ．a 2＝25，b 2＝16 B ．a 2＝9，b 2＝25
C ．a 2＝25，b 2＝9或a 2＝9，b 2＝25
D ．a 2＝25，b 2＝9
解析：选D 因为椭圆x 225＋y 216＝1的长轴长为10，焦点在x 轴上，椭圆y 221＋x 2
9＝1的短
轴长为6，所以a 2＝25，b 2＝9．
4．已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x
轴，直线AB 交y 轴于点P ．若AP ＝2PB ，则椭圆的离心率是( )
A ．
32
B ．
22
C ．13
D ．12
解析：选D ∵AP ＝2PB ，∴|AP |＝2|PB |． 又∵PO ∥BF ，∴|PA ||AB |＝|AO ||AF |＝2
3，
即
a a ＋c ＝2
3
，∴e ＝c a ＝12．
5．椭圆mx 2＋ny 2＋mn ＝0(m <n <0)的焦点坐标是( ) A ．(0，±m －n ) B ．(±m －n ，0) C ．(0，±n －m )
D ．(±n －m ，0)
解析：选C 化为标准方程是x 2－n ＋y 2
－m ＝1，
∵m <n <0，∴0<－n <－m ．
∴焦点在y 轴上，且c ＝－m －(－n )＝n －m ． 6．椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为1
2，则m ＝________．
解析：当焦点在x 轴上时，4－m 2＝1
2
⇒m ＝3； 当焦点在y 轴上时，m －4m
＝12⇒m ＝163． 综上，m ＝3或m ＝16
3
． 答案：3或16
3
7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为5
5
， 且过P (－5,4)，则椭圆的方程为________________．
解析：∵e ＝c a ＝5
5，
∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15
， ∴5a 2－5b 2＝a 2即4a 2＝5b 2．
设椭圆的标准方程为x 2a 2＋5y 2
4a 2＝1(a >0)，
∵椭圆过点P (－5,4)，∴25a 2＋5×164a 2
＝1． 解得
a 2＝45．∴椭圆方程为
x 245＋y 2
36
＝1． 答案：x 245＋y 2
36
＝1
8．设F 1，F 2分别为椭圆x 23＋y 2
＝1的左，右焦点，点A ，B 在椭圆上，若1F A ＝5F B 2，
则点A 的坐标是________．
解析：设A (m ，n )．
由1F A ＝5F B 2，得B ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫m ＋625，n 5．
又A ，B 均在椭圆上，所以有⎩⎪⎨⎪
⎧
m 2
3
＋n 2＝1，⎝ ⎛⎭
⎪⎫m ＋6
252
3
＋⎝⎛⎭⎫n 52＝1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝0，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝0，
n ＝－1，
所以点A 的坐标为(0,1)或(0，－1)． 答案：(0,1)或(0，－1)
9．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为
2
2
，过点F 1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，求椭圆C 的标准方程．
解：设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)．
由e ＝22知c a ＝2
2，故c 2a 2＝12，从而a 2－b 2a 2＝12，b 2a 2＝12．由△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|
＋|AF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16，得a ＝4，∴b 2＝8．
故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 2
8
＝1．
10．椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的右顶点是A (a,0)，其上存在一点P ，使∠APO ＝90°，求椭
圆离心率的取值范围．
解：设P (x ，y )，由∠APO ＝90°知，点P 在以OA 为直径的圆上，圆的方程是⎝⎛⎭⎫x －a 22＋y 2＝⎝⎛⎭⎫a 22
．
∴y 2＝ax －x 2．①
又P 点在椭圆上，故x 2a 2＋y 2
b
2＝1．②
把①代入②化简，得(a 2－b 2)x 2－a 3x ＋a 2b 2＝0，即 (x －a )[(a 2－b 2)x －ab 2]＝0，∵x ≠a ，x ≠0， ∴x ＝ab 2
a 2－
b 2，又0<x <a ，
∴0<ab 2
a 2－
b 2
<a ，即2b 2<a 2． 由b 2＝a 2－c 2，得a 2<2c 2，∴e >2
2
． 又∵0<e <1，∴
2
2
<e <1． 层级二 应试能力达标
1．椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 2
25－k ＝1(0<k <9)的关系为( )
A ．有相等的长轴长、短轴长
B ．有相等的焦距
C ．有相同的焦点
D ．有相同的顶点 解析：选B c 21＝25－9＝16，c 2
2＝(25－k )－(9－k )＝25－9＝16，所以两椭圆有相等的
焦距．故选B ．
2．过椭圆x 24＋y 2
3＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为( )
A ．8,6
B ．4,3
C ．2， 3
D ．4,2 3
解析：选B 过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a ＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c ＝1，将x ＝1代入x 24＋y 23＝1，得124＋y 23＝1，解得y 2＝94，即y ＝±3
2，所以最短弦的长
为2×3
2
＝3．故选B ．
3．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( ) A ．x 22＋y 2
4＝1
B ．x 2＋
y 2
6
＝1 C ．x 26＋y 2
＝1
D ．x 28＋y 2
5＝1
解析：选B 椭圆
9x 2＋4y 2＝36
可化为x 24＋y 2
9
＝1，
可知焦点在y 轴上，焦点坐标为(0，±5)，
故可设所求椭圆方程为y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a >b >0)，则
c ＝5．
又2b ＝2，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝6， 则所求椭圆的标准方程为
x 2＋
y 2
6
＝1． 4．(全国丙卷)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分
别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )
A ．13
B ．12
C ．23
D ．34
解析：选A 如图所示，由题意得A (－a,0)，B (a,0)，F (－c,0)． 设E (0，m )， 由PF ∥OE ，得
|MF ||OE |＝|AF |
|AO |
， 则|MF |＝m (a －c )
a ．①
又由OE ∥MF ，得12|OE ||MF |＝|BO |
|BF |
，
则|MF |＝m (a ＋c )2a
．② 由①②得a －c ＝12
(a ＋c )，即a ＝3c ， ∴e ＝c a ＝13
．故选A ． 5．已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，A ，B 分别为椭圆的左顶点和上顶点，F 为右焦点，且AB ⊥BF ，则椭圆的离心率为________．
解析：在Rt △ABF 中，
|AB |＝a 2＋b 2，|BF |＝a ，|AF |＝a ＋c ，
由|AB |2＋|BF |2＝|AF |2，
得a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2．
将b 2＝a 2－c 2代入，得a 2－ac －c 2＝0，
即e 2＋e －1＝0，解得e ＝
－1±52． 因为e >0，所以e ＝
5－12
． 答案：5－12 6．已知椭圆的长轴长为20，短轴长为16，则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围是________．
解析：由题意，知a ＝10，b ＝8，不妨设椭圆方程为x 2100＋y 2
64
＝1，其上的点M (x 0，y 0)，则|x 0|≤a ＝10，|y 0|≤b ＝8，点M 到椭圆中心的距离d ＝
x 20＋y 20．因为x 20100＋y 2064＝1，所以y 20＝64⎝⎛⎭⎫1－x 20100＝64－1625
x 20，则d ＝x 20＋64－1625x 20＝ 925x 20
＋64，因为0≤x 20≤100，所以64≤925x 20
＋64≤100，即8≤d ≤10． 答案：[8,10]
7．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝
32，求实数m 的值及椭圆的长轴长和短轴长，并写出焦点坐标和顶点坐标．
解：椭圆方程可化为x 2m ＋y 2
m m ＋3
＝1，
由m －m m ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0，可知m >m m ＋3，
所以a 2＝m ，b 2＝
m m ＋3，c ＝a 2－b 2＝ m (m ＋2)m ＋3， 由e ＝32，得 m ＋2m ＋3＝32
，解得m ＝1． 于是椭圆的标准方程为x 2＋y 2
1
4
＝1， 则a ＝1，b ＝12，c ＝32
． 所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为⎝⎛⎭⎫－
32，0，⎝⎛⎭⎫32，0；四个顶点坐标分别为(－1,0)，(1,0)，⎝
⎛⎭⎫0，－12，⎝⎛⎭⎫0，12．
8．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0) 的左、右焦点，过点 F 1的直线交椭圆 E 于 A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |．
(1)若|AB |＝4，△ABF 2 的周长为16，求|AF 2|；
(2)若cos ∠AF 2B ＝35
，求椭圆E 的离心率． 解：(1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，
得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1．
因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8． 故|AF 2|＝8－3＝5．
(2)设|F 1B |＝k ，则k >0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k ． 由椭圆定义可得，|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k ． 在△ABF 2中，由余弦定理可得，
|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|·cos ∠AF 2B ，
即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65
(2a －3k )·(2a －k )． 化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0，故a ＝3k ． 于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k ．
因此|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ，
故△AF 1F 2为等腰直角三角形．
从而c ＝
22a ，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22．。