2019_2020学年高中数学第2章2.2.2第2课时椭圆的标准方程及性质的应用学案新人教A版选修2_1

第2课时椭圆的标准方程及性质的应用
1．点与椭圆的位置关系
点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的位置关系：
点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20
b 2＝1；
点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20
b 2<1；
点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20
b
2>1．
2．直线与椭圆的位置关系
直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的位置关系：
联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2
b
2＝1，消去y 得一个关于x 的一元二次方程．
思考：(1)(2)直线y ＝kx ＋1与椭圆x 24＋y 2
3＝1有怎样的位置关系？
[提示] (1)根据椭圆的对称性知，两交点关于原点对称．
(2)直线y ＝kx ＋1恒过定点(0，1)，点(0，1)在椭圆x 24＋y 2
3＝1的内部，因此直线与椭圆
相交．
1．直线y ＝x ＋1与椭圆x 2
＋y 2
2＝1的位置关系是( )
A ．相离
B ．相切
C ．相交
D ．无法确定
C [联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 2＋y 22＝1，消去y ，得3x 2
＋2x －1＝0，
Δ＝22＋12＝16＞0，
∴直线与椭圆相交．]
2．直线x ＋2y ＝m 与椭圆x 2
4＋y 2
＝1只有一个交点，则m 的值为( )
A ．2 2
B ．± 2
C ．±2 2
D ．±2
C [由⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝m ，x 2＋4y 2
＝4，消去y 并整理得 2x 2－2mx ＋m 2
－4＝0.
由Δ＝4m 2
－8(m 2
－4)＝0，得m 2
＝8. ∴m ＝±2 2.]
3．若点A (a ，1)在椭圆x 24＋y 2
2＝1的内部，则a 的取值范围是________．
(－2，2) [∵点A 在椭圆内部， ∴a 24＋1
2
＜1，∴a 2
＜2，∴－2＜a ＜ 2.] 4．如果椭圆x 236＋y 2
9
＝1的一条弦被点(4，2)平分，那么这条弦所在直线的斜率是________．
－12 [设此弦的两端点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则有x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y 2
2
9＝1， 两式相减，得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）36＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）9＝0，
又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4， ∴
y 1－y 2x 1－x 2＝－1
2
， 即此弦所在直线斜率为－12
.]
【例1】 对不同的实数值m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆4
＋y 2
＝1的位置关系．
思路探究：
联立两个方程―→消去y 得到关于
x 的一元二次方程
―→
求Δ―→讨论Δ得结论
[解] 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ， ①x 2
4
＋y 2
＝1. ② 将①代入②得：x 2
4＋(x ＋m )2
＝1， 整理得：5x 2
＋8mx ＋4m 2
－4＝0.③
Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)．
当Δ＞0，即－5＜m ＜5时，方程③有两个不同的实数根，代入①可得两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交；
当Δ＝0，即m ＝±5时，方程③有两个相等的实数根，代入①得一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切；
当Δ＜0，即m ＜－5或m ＞5时，方程③无实根，此时直线与椭圆相离．
代数法判断直线与椭圆的位置关系
判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则
Δ>0⇔直线与椭圆相交； Δ＝0⇔直线与椭圆相切； Δ<0⇔直线与椭圆相离．
提醒：注意方程组的解与交点个数之间的等价关系．
1．(1)若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 2
2＝1相切，则斜率k 的值是( )
A.
63 B ．－63 C ．±63 D ．±33
C [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 23＋y 2
2
＝1得(3k 2＋2)x 2
＋12kx ＋6＝0，
由题意知Δ＝144k 2
－24(3k 2
＋2)＝0， 解得k ＝±
6
3
.] (2)直线y ＝kx －k ＋1(k ∈R )与焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y 2
m
＝1总有公共点，则m 的取值范
围是________．
⎣⎢⎡⎭
⎪⎫54，5 [直线y ＝k (x －1)＋1恒过定点P (1，1)，直线与椭圆总有公共点等价于点P (1，1)在椭圆内或在椭圆上．所以12
5＋12
m ≤1，即m ≥5
4
，又0<m <5，
故m ∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫54，5.]
【例2】 过椭圆16＋4＝1内一点M (2，1)引一条弦，使弦被M 点平分．
(1)求此弦所在的直线方程； (2)求此弦长．
思路探究：(1)法一：联立方程，消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解． 法二：点差法．
(2)设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，利用弦长公式求解．
[解] (1)法一：设所求直线方程为y －1＝k (x －2)．代入椭圆方程并整理，得 (4k 2
＋1)x 2
－8(2k 2
－k )x ＋4(2k －1)2
－16＝0. 又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1，x 2是方程的两个根， 于是x 1＋x 2＝8（2k 2
－k ）
4k 2
＋1
. 又M 为AB 的中点，∴x 1＋x 22＝4（2k 2－k ）
4k 2
＋1
＝2， 解得k ＝－1
2
.
故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.
法二：设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 又M (2，1)为AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 又A ，B 两点在椭圆上， 则x 2
1＋4y 2
1＝16，x 2
2＋4y 2
2＝16. 两式相减得(x 2
1－x 2
2)＋4(y 2
1－y 2
2)＝0.
于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∴
y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24（y 1＋y 2）＝－1
2
， 即k AB ＝－12
.
又直线AB 过点M (2，1)， 故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.
(2)设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，x 216＋y 2
4
＝1，得x 2
－4x ＝0，
∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝0，
∴|AB |＝1＋k 2
·（x 1＋x 2）2
－4x 1x 2
＝
1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－122
·42
－4×0＝2 5.
1．直线与椭圆相交弦长的求法
(1)直接利用两点间距离公式：当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长．
(2)弦长公式：当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式．
设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则有|AB |＝ （x 1－x 2）2
＋（y 1－y 2）2
＝（1＋k 2
）（x 1－x 2）2
＝1＋k 2
·（x 1＋x 2）2
－4x 1x 2 ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1k 2（y 1－y 2）2 ＝
1＋1k
2·（y 1＋y 2）2
－4y 1y 2(k 为直线斜率)．
提醒：如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况． 2．解决椭圆中点弦问题的两种方法
(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作
差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)
上的两个不同的点，M (x 0，y 0)是线段AB 的中点，则
⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21
b
2＝1，x 2
2a 2
＋y 22b 2
＝1，
①②
由①－②，得1
a 2(x 2
1
－x 22
)＋1
b 2(y 21
－y 22
)＝0，变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0
y 0
，即k AB
＝－b 2x 0
a 2y 0
.
2．(1)已知点P (4，2)是直线l 被椭圆x 236＋y 2
9＝1所截得的线段的中点，则直线l 的方程
为________．
x ＋2y －8＝0 [由题意可设直线l 的方程为y －2＝k (x －4)，
而椭圆的方程可以化为x 2
＋4y 2
－36＝0. 将直线方程代入椭圆方程有
(4k 2
＋1)x 2
－8k (4k －2)x ＋4(4k －2)2
－36＝0.设直线l 与椭圆的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 所以x 1＋x 2＝8k （4k －2）4k 2
＋1＝8，所以k ＝－12.所以直线l 的方程为y －2＝－12
(x －4)，即x ＋2y －8＝0.]
(2)已知点P (4，2)是直线l ：x ＋2y －8＝0被焦点在x 轴上的椭圆所截得的线段的中点，则该椭圆的离心率为________．
32 [设椭圆方程为x 2
a 2＋y
2
b
2＝1(a >b >0)， 直线x ＋2y －8＝0与椭圆交于A ，B 两点，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则
⎩⎪⎨⎪
⎧x 21a 2＋y 21
b
2＝1， ①x 2
2a 2
＋y
22b 2
＝1， ②
①－②得（x 1－x 2）（x 1＋x 2）a 2＋（y 1－y 2）（y 1＋y 2）
b
2
＝0， 即y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2（x 1＋x 2）a 2（y 1＋y 2）
. 因为k AB ＝－1
2
，AB 中点为(x 0，y 0)，x 0＝4，y 0＝2，
所以－12＝－2b 2
a 2，即a 2＝4
b 2
.
所以该椭圆的离心率为e ＝
1－b 2a 2＝3
2
.] (3)已知动点P 与平面上两定点A (－2，0)，B (2，0)连线的斜率的积为定值－1
2.
①试求动点P 的轨迹方程C ；
②设直线l ：y ＝kx ＋1与曲线C 交于M ，N 两点，当|MN |＝42
3时，求直线l 的方程．
[解] ①设动点P 的坐标是(x ，y )，由题意得，k PA ·k PB ＝－1
2.
∴
y x ＋2·
y
x －2
＝－12，
化简整理得x 2
2
＋y 2
＝1.
故P 点的轨迹方程C 是x 2
2＋y 2
＝1(x ≠±2)．
②设直线l 与曲线C 的交点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2
2
＋y 2
＝1，得(1＋2k 2)x 2
＋4kx ＝0. ∴x 1＋x 2＝－4k 1＋2k
2，x 1·x 2＝0.
|MN |＝1＋k 2
·（x 1＋x 2）2
－4x 1·x 2＝42
3
， 整理得k 4
＋k 2－2＝0， 解得k 2
＝1或k 2
＝－2(舍)． ∴k ＝±1，经检验符合题意．
∴直线l 的方程是y ＝±x ＋1，即x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝0.
与椭圆有关的综合问题
1．直线y ＝kx ＋1表示过点(0，1)且斜率存在的直线，即不包含直线x ＝0，那么直线x ＝ky ＋1表示什么样的直线？
[提示] 直线x ＝ky ＋1，表示过点(1，0)且斜率不为0的直线，即不包含直线y ＝0. 2．如果以线段AB 为直径的圆过点O ，那么可以得到哪些等价的条件？ [提示] (1)设AB 的中点为P ，则|OP |＝1
2|AB |.
(2)OA →·OB →
＝0.
【例3】 如图所示，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)过点(0，2)，
且离心率e ＝
22
. (1)求椭圆E 的方程；
(2)设直线l ：x ＝my －1(m ∈R )交椭圆E 于A ，B 两点，判断点
G ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－94
，0与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．
思路探究：(1)由椭圆经过的一点及离心率公式，再结合a 2
＝b 2
＋c 2
即可求出a ，b ，c 的值，从而可得椭圆E 的方程．
(2)法一：判断点与圆的位置关系，只需把点G 与圆心的距离d 与圆的半径r 进行比较，若d >r ，则点G 在圆外；若d ＝r ，则点G 在圆上；若d <r ，则点G 在圆内．
法二：只需判断GA →·GB →的符号，若GA →·GB →＝0，则点G 在圆上；若GA →·GB →
>0，则点G 在圆外；若GA →·GB →
<0，则点G 在圆内．
[解] (1)由已知得，
⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c a ＝2
2，a 2
＝b 2
＋c 2
，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，c ＝ 2.
所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2
2＝1.
(2)法一：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
AB 的中点为H (x 0，y 0)．
由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y 2
2
＝1得(m 2＋2)y 2
－2my －3＝0，
所以y 1＋y 2＝2m m 2
＋2，y 1y 2＝－3
m 2＋2
， 从而y 0＝
m
m 2
＋2
.
所以|GH |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋942
＋y 20＝⎝
⎛⎭⎪⎫my 0＋542
＋y 20＝(m 2＋1)y 2
0＋52my 0＋2516.
|AB |2
4＝（x 1－x 2）2
＋（y 1－y 2）2
4＝（1＋m 2
）（y 1－y 2）2
4＝（1＋m 2
）[（y 1＋y 2）2
－4y 1y 2]
4＝(1＋m 2
)(y 20－y 1y 2)，
故|GH |2
－|AB |2
4＝52my 0＋(1＋m 2)y 1y 2＋2516＝5m 2
2（m 2＋2）－3（1＋m 2
）m 2＋2＋2516＝17m 2
＋216（m 2
＋2）
>0， 所以|GH |>|AB |
2
.
故点G ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－94，0在以线段AB 为直径的圆外． 法二：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则GA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋94，y 1，GB →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋94，y 2.
由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y 2
2
＝1得(m 2＋2)y 2
－2my －3＝0，
所以y 1＋y 2＝
2m m 2＋2，y 1y 2
＝－3
m 2＋2
， 从而GA →·GB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋94⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋94＋y 1y 2＝⎝
⎛⎭⎪⎫my 1＋54⎝ ⎛⎭⎪⎫my 2＋54＋y 1y 2＝(m 2
＋1)y 1y 2＋54m (y 1＋y 2)＋
25 16＝
－3（m2＋1）
m2＋2
＋
5
2
m2
m2＋2
＋
25
16
＝
17m2＋2
16（m2＋2）
>0，
所以cos〈GA
→
，GB
→
〉>0.又GA
→
，GB
→
不共线，所以∠AGB为锐角．故点G⎝
⎛
⎭⎪
⎫
－
9
4
，0在以线段AB
为直径的圆外．
解决与椭圆有关的综合问题的思路
直线与椭圆的综合问题常与不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等知识联系在一起综合考查，解决这类问题常需要挖掘出题目中隐含的数量关系、垂直关系等，然后利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式进行合理的转化，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．
3．椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(－3，0)和F 2(3，0)，且椭圆过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，－32. (1)求椭圆方程；
(2)过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫－65，0作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于M ，N 两点，A 为椭圆的左顶点，试判断∠MAN 的大小是否为定值，并说明理由．
[解] (1)由题意设椭圆方程x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)，
由c ＝3，a 2
＝b 2
＋c 2
，
代入方程x 2
b 2＋3＋y 2
b
2＝1，
又∵椭圆过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，－
32， 得
1
b 2
＋3＋34
b 2
＝1， 解得b 2
＝1，∴a 2
＝4. 椭圆的方程为x 2
4
＋y 2
＝1.
(2)设直线MN 的方程为x ＝ky －6
5
，
联立直线MN 和曲线C 的方程可得⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝ky －6
5
，
x 2
4＋y 2
＝1，
得(k 2＋4)y 2
－125ky －6425
＝0，
设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，A (－2，0)，
y 1y 2＝－
6425（k 2＋4），y 1＋y 2＝12k
5（k 2
＋4）
， 则AM →·AN →
＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2) ＝(k 2
＋1)y 1y 2＋45k (y 1＋y 2)＋1625＝0，
即可得∠MAN ＝π
2
.
解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为： (1)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)； (2)联立直线与椭圆的方程；
(3)消元得到关于x 或y 的一元二次方程； (4)利用根与系数的关系设而不求；
(5)把题干中的条件转化为x 1＋x 2，x 1·x 2或y 1＋y 2，y 1·y 2，进而求解.
1．已知点(2，3)在椭圆x 2m 2＋y 2
n
2＝1上，则下列说法正确的是( )
A ．点(－2，3)在椭圆外
B ．点(3，2)在椭圆上
C ．点(－2，－3)在椭圆内
D ．点(2，－3)在椭圆上
D [由椭圆的对称性知，点(2，－3)在椭圆上，故选D.] 2．椭圆x 2＋4y 2
＝16被直线y ＝12
x ＋1截得的弦长为________．
35 [由⎩⎪⎨⎪
⎧x 2＋4y 2
＝16，y ＝12
x ＋1，
消去y 并化简得x 2
＋2x －6＝0.
设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6. ∴弦长|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝
54
[（x 1＋x 2）2
－4x 1x 2]＝5
4
（4＋24）＝35.] 3．已知P (1，1)为椭圆x 24＋y 2
2＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此
弦所在的直线方程为________．
x ＋2y －3＝0 [易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k ，弦的端点坐标为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，
则x 214＋y 212＝1①，x 224＋y 22
2
＝1②，
①－②得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）4＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）
2＝0，
∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴
x 1－x 2
2
＋y 1－y 2＝0，
∴k ＝
y 1－y 2x 1－x 2＝－1
2
. ∴此弦所在的直线方程为y －1＝－1
2(x －1)，
即x ＋2y －3＝0.]
4．焦点分别为(0，52)和(0，－52)的椭圆截直线y ＝3x －2所得椭圆的弦的中点的横坐标为1
2
，求此椭圆方程．
[解] 设y 2a 2＋x 2
b
2＝1(a >b >0)．
依题意，有a 2
－b 2
＝(52)2
＝50.①
由⎩⎪⎨⎪⎧y 2a 2＋x 2
b 2＝1，y ＝3x －2，
消去y 并整理，得
(a 2
＋9b 2
)x 2
－12b 2
x ＋4b 2
－a 2b 2
＝0. 因为
x 1＋x 22
＝1
2
，
所以6b 2
a 2＋9
b 2＝12.
所以a 2
＝3b 2
.②
由①②，得a 2
＝75，b 2
＝25. 经检验，此时Δ>0. 所以椭圆方程为y 275＋x 2
25＝1.。