初等变换与初等矩阵

设矩阵A已通过初等行变换化为阶梯 形矩阵(2.5.1),我们再对它的第k行分别乘以
1 (k 1,2,, r) ，然后再对矩阵作第三种
bk
初等行变换，则矩阵A就可以化为简化阶 梯形
0 0
1 0
0
0 1
0 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0
r4 12r3
0 0 0
0 0 0
1 0 0
2 1
2 0
6 12
这就是矩阵 A的阶梯形. 再对其进行初
等行变换 1 3 2 2 1
A
0 0 0
0 0 0
1 0 0
2 1
2 0
6 12
1 3 0 6 3
( 12)rr13, r2112r4
0 0 0
0 0 0
1 0 0
2 1 0
1 13
Ps P2 P1 AQ1Q2 Qt B
若记P= P1,P2,…,Ps，Q=Q1,Q2,…,Qt ， 则 P为 m阶可逆矩阵， Q为 n阶可逆矩阵， 于是得到
推论1 mn矩阵A与B等价存在m阶 可逆矩阵P与n阶可逆矩阵 Q ,使得
PAQ B
结合定理2.5.2,我们有 推论2 对于任意非零mn矩阵A，必 存在m阶可逆矩阵 P与 n阶可逆矩阵Q,使 得
外，还满足条件： (3) 各非零行的第一个非零元素均为1，
且所在列的其它元素都为零，
则称 A为简化阶梯形矩阵.
例如
0 2 1 4 A 0 0 5 7
0 0 0 0
1 2 0 5 3
B
0 0 0
0 0 0
4 0 0
8 3 0
3 10
为阶梯形矩阵；
1 2 0 0 2 C 0 0 1 0 1
1 3 0 0 0
A
0 0 0
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0
0 1
1 0 0 0 0
c2 (3)c1
0 0 0
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0
0 1
1 0 0 0 0
c2 c3
0 0 0
1 0 0
0 0 0
0 1 0
0
0 1
1 0 0 0 0
c3c4 c4c5
0 0 0
1 0 0
(2.5.6)
（2.5.5）式表明，可逆矩阵A经过有
限次初等行变换可化为单位矩阵 E ；
(2.5.6)式则表明，这些初等行变换同时可
以把单位矩阵 E化为 A-1.
根据分块矩阵的乘法，（2.5.5），
(2.5.6)两式可合并为
P1P2 Pl ( A E) (E A1 )
或 ( AE) 初等行变换(E A1)
E
Ek O
O Es
，
其中k+s=n
对其分别进行两行(列)的互换，某一行(列) 左乘（右乘）一个矩阵P(Q) ，把某一行 (列)的 M倍(N倍)( M,N为矩阵）加到另一 行(列)上的初等变换，可得如下三种分块 初等矩阵：
的初等矩阵；
(2) 初等矩阵都是可逆矩阵； (3) 初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵， 且
E 1 (i, j) E(i, j) E 1(i(k)) E(i( 1 ))
k E 1 (i, j(k)) E(i, j(k))
对于初等矩阵，我们有如下定理 定理2.5.3 设A是一个 m×n矩阵, 对 A 作一次初等行变换，相当于在 A的左边乘 以相应的 m阶初等矩阵；对 A作一次初等 列变换，相当于在 A的右边乘以相应的 n 初等矩阵.
证 仅就对行作第三种初等变换的情形
给出证明. 设矩阵 A=(aij)m×n，用m阶初等矩阵
E(i,j(k))左乘以A ，则
a11
a12
a1n
ai1
k
a
ji
ai2 kaj2
ain
k
a
jn
i
E(i, j(k))A
a j1
a j2
a jn
j
am1
am2
amn
上式右端相当于对矩阵A作第三种初等行 变换(即把矩阵 A的第 j行乘以常数 k加到第 i行上). 证毕.
O O
mn
（2.5.3）
矩阵（2.5.3）的左上角是一个单位矩阵，
我们称（2.5.3）为矩阵A的标准形.
由以上讨论，我们可以得到如下结论
定理2.5.2 任意非零矩阵A=(aij)m×n都 与它的标准形等价,即存在矩阵
Er O
O O
mn
，使
A
Er O
O O
mn
其中矩Er为阵和r阶它单的位标矩准阵形,1等r价m是in一{个m,n重}.要结
0
0
0 0
（2.5.1）
上述矩阵中,bk(1kr)为非零常数，*号表示 某一常数.
定理2.5.1 任何非零矩阵都可以通过初 等行变换化为阶梯形.
证 设矩阵
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
am1 am2 amn
应用行的互换和倍加变换就可以把它
化为阶梯形.由于 A为非零矩阵，那么它
0 0 0 1 3
为简化阶梯形矩阵.
阶梯形矩阵的一般形式为
0 0
0 0
b1 0 0 0 b2
0
0
00
00
bj
0
0
0
br
0 0 0 0
0
0
0
0
0
0
0
0 0 0 0
3 9
0 1
1 0
0 2
1 0 1 0 2 1
r1(2)r2 0 1 3 0 1
0
0 0 6 1 1 2
r316
1 0
0 1
1 3
0 0
2 1 1 0
0 0 1 1 6 1 6 1 3
1 0 0 1 6 13 6 4 3
r2+r1(-3r3)r3
0 0
1 0
0 1
12 1 6
i列与第 j列）的位置，记为 rirj(或 cicj );
(2)用常数 k≠0去乘矩阵 A的第 i行(或 第 j列)，记为krj(或 kcj );
(3)将矩阵 A的第 j行（或第 j列）各元 素的 k倍加到第 i行(或第 i列)的对应元素上 去，记为 ri+krj(或ci+kcj );
这三种初等变换分别简称为互换、倍 乘、倍加.矩阵的初等行变换与初等列变 换统称为矩阵的初等变换.
绍的利用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵， 求矩阵的秩以及线性方程组的求解中都是 非常有用的.
定义2.5.3 如果矩阵A满足下列条件：
(1) 若有零行，则零行全在矩阵A的下 方；
(2) A的各非零行的第一个非零元素的 列序数小于下一行中第一个非零元素的列 序数；
则称 A为行阶梯形矩阵，或阶梯形矩阵.
如果矩阵 A除满足上述条件(1) 、(2)
Байду номын сангаас
0 0 0 0 0 0 0 0
（2.5.2） 再对矩阵（2.5.2）作初等列变换和初等行
变换，则可以把它化成如下更加简单的形
式
1 0
0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0
0
0
0 0
1
0 0
0
1 0
0
0
0 0
0
0
0 0
0 0 0
Er O
0 0
0 0 0 0 0 0 0mn
要注意,当进行列的第三种初等变换时, 即将j列的 k倍加到 i列上去时，要右乘以
E( j,i(k)) ET (i, j(k)) ,请读者自行验证之. 由这个定理，矩阵的初等变换和矩阵
乘法建立了联系.
利用定理2.5.3和矩阵等价的定义, 立 即可以得到如下定理
定理2.5.4 mn矩阵A与B等价有m阶 初等矩阵P1,P2,…,Ps与n阶初等矩阵 Q1,Q2,…,Qt ,使得
阶初等矩阵 P1,P2,…,Pt,Pt+1,…,Ps ，使
Pt P2P1APs Ps1 Pt1 E
A P11P21Pt1Pt11Ps1 即可逆矩阵 A可以表示成有限个初等 矩阵的乘积；反之，若A能表示成有限个 初等矩阵的乘积，根据可逆矩阵的乘积仍 为可逆矩阵的结论，一定是可逆的.
因此，得到如下结论
32 1 6
1 1 3
所以
A1
1 6 12
1 6
13 6 32 1 6
4 3 1 . 1 3
2.5.3* 分块矩阵的初等变换
前面介绍了矩阵的初等变换，它在求 可逆矩阵的逆矩阵等方面有着重要的应用， 下面我们把它推广到分块矩阵的情形.这 里仅以2×2分块矩阵为例进行讨论.
将n阶单位矩阵进行如下分块
定义2.5.2 如果矩阵A经过有限次初等 变换化为矩阵 B,则称 A与 B等价， 记为
A≌B ，或 AB.
等价是矩阵间的一种关系，具有以下 基本性质:
(1) 自反性：A≌A ； (2) 对称性：若 A≌B, 则 A≌B; (3) 传递性： 若A≌B, B≌C, 则A≌C . 在数学中把具有上述三个基本性质的 关系称为等价关系. 利用矩阵的初等变换，可以把矩阵化 为简单的阶梯形矩阵，后者在以后将要介
PAQ
Er O
O O
（2.5.4）
这里
Er O
OO 是矩阵A的标准形.
推论3 若A为n阶可逆矩阵，则A≌ E
若不然，它的标准形矩阵主对角线上
至少含有一个零元素，对（2.5.4）两端取 行列式，
|PAQ|=0
即 |P||A||Q|=0
此与矩阵A,P,Q可逆， |A||P||Q|≠0矛盾. 若n阶矩阵A可逆，由推论3，存在 n
2 5 0
1
7 5
1 3 2 2 1
r3 r4(+r21)r1
0 0 0
0 0 0
1 0 2
2 1
1 2
9 4
1 3 2 2 1
r3r4
0 0 0
0 0 0
1 2 0
2 1
2 1
4 9
1 3 2 2 1
r3(2)r2
0 0 0
0 0 0
1 0 0
2 1
2 1
6 9
1 3 2 2 1
1 3 0 0 15
rr21 +((-62))rr3 3
0 0 0
0 0 0
1 0 0
0 1 0
5 13
1 3 0 0 0
r1 (15)r4
r2 r 3( 3r54)r4
0 0 0
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0
0 1
此即到矩阵A的简化阶梯形矩阵.
如果再对 A的简化阶梯形作列的初等 变换,可得矩阵A的标准形
推论4 n阶矩阵 A可逆的充分必要条
件是它可表示成有限个初等矩阵的乘积.
应用这个结论，可以得到一个应用初
等变换求可逆矩阵的逆矩阵的方法.
设矩阵A可逆，则 A-1可表示成有限个
初等矩阵的乘积，即 A-1 = P1,P2,…,Pt.由 AA-1=E，有
P1P2 Pl A E
（2.5.5）
即
P1P2 Pl E A1
例2.5.2 设
2 3 1 A 0 1 3
1 2 5
用初等行变换法求A-1
解
( A E )
2 0
3 1
1 3
1 0
0 1
0 0
1 2 5 0 0 1
1 2 5 0 0 1
r1r3 0
1
3
0
1
0
2 3 1 1 0 0
1 2 5 0 0 1
r2r3+(-r22)r1
0 0
1 1
§2.5 初等变换与初等矩阵 本节主要介绍矩阵的初等变换和初等
矩阵，它们在求矩阵的秩，求可逆矩阵的 逆矩阵以及解线性方程组等方面起着重要 作用.
2.5.1 矩阵的初等变换 2.5.2 初等矩阵 2.5.3* 分块矩阵的初等变换
2.5.1 矩阵的初等变换
定义2.5.1 矩阵A的下列变换称为它的
初等行（或列）变换： (1)互换矩阵A的第 i行与第 j行（或第
1
1
E(i(k))
k
i行
1
1
(3) 用数k乘 E的第j行(i列)加到第i行(j 列)上，记为
1
E(i, j(k))
1k
i
行
1
j
行
1
我们把 E(i, j), E(i(k)),E(i, j(k))
分别称为互换、倍乘、倍加初等矩阵. 初等矩阵的性质： (1) 初等矩阵的转置矩阵仍为同类型
论，后面我们还要说明，对于一个矩阵来
说，它的标准形是唯一的，它反映了矩阵
在初等变换下的一种不变性.
例2.5.1 用初等行变换把矩阵
0 0 1 2 1
A
1 2 1
3 6 3
2 4 4
2 5 0
1
7 5
化为阶梯形和简化阶梯形.
解
1 3 2 2 1
A
r1r 2
0 2 1
0 6 3
1 4 4
0 1 0
0 0 1
0 00
2.5.2 初等矩阵
定义2.5.4 由单位矩阵E经过一次初等 变换得到的矩阵称为初等矩阵.
由于矩阵的初等变换有三种，所以对 应的初等矩阵有三类：
(1)互换E的第i行（列）与第 j 行 （列），记为
1
1
01
i行
1
E(i, j)
1 10
j行
1
1
(2) 用数k≠0乘 E的第i行(列)，记为
至少有一列含有非零元素，不妨设j1列是
它的第一个非零列，并且 a1 j1 0
，否则可通过交换矩阵中行的顺序即可达
到目的.记 b1 a1 j1.从矩阵的第二行起，
依次减去第一行的 akj1 (k 2,3,, m)
b1
倍，则A可化为 0
0
0 0
b1 0
0 0 0
A1
其中 A1为(m-1)×(n-j1)矩阵.再对矩阵 A1应 用上述方法，继续进行下去，即可把 A化 为形如（2.5.1）的阶梯形矩阵. 证毕.