ch4_05复变函数的级数(1)

n0
zn
1 2
n0
1 2n
z n
(1
n0
1 )zn. 2n1
y 1
x O1
解: 首先将f(z)分解成部分分式: f (z) 1 1 .
z2 z1
(2) 在圆环1<|z|<2内, |1/z|<1, |z/2|<1, 故
f (z) 1 1 1 1 2 1 z / 2 z 11/ z
| z z0|<R时,
f (z)
n0
f
(n) (z0 n!
)
(z
z0
)n
,
且展开式是唯一的.
(2) 解析函数的泰勒展开式
上述定理中的
f (z)
n0
f
(n) (z0 n!
)
(z
z0
)n
称为f(z)在
点z0处的泰勒展式.
n0
f
(n) (z0 n!
)
(z
z0
)n
称为f(z)在
点z0处的泰勒级数.
(2) | zn | 收敛 zn收敛,此时称 zn为绝对收敛。
n1
n1
n1
二. 复函数项级数的基本概念
1. 设u1(z), u2(z), …, un(z), …是定义在区域D 上的复变函数序列, 则称
un (z) = u1(z) + u2(z) + …+ un(z) + …
n 1
为定义在区域D上的复函数项级数.
(1)n1(n 3n1
1)
(z
1)n
| z 1| 3
展开式的系数都是实数，为什么？
六 Laurent级数
1. 双边无穷级数
(1). 定义:
cn (z z0 )n cn (z z0 )n cn (z z0 )n
n
n0
n1
称为双边幂级数.
(2). 规定: 仅当级数 cn (z z0 )n 与 cn (z z0 )n
n0
n1
都收敛时, 才称 cn (z z0 )n 收敛.
n
(3). 收敛圆环
设正幂项部分 cn (z z0 )n 的收敛半径为R2,
n0
和函数为f1(z) (|zz0|<R2).
对于负幂项部分
cn (z z0 )n 作代换
n1
1 ,
z z0
使之成为幂级数 cn n . 设其收敛半径为R, 当 n1
1 z
n0
2n zn
1 z
n0
1 zn
2n1 1
n2
zn
.
y
x
O2
例7
求f
(z)
(z
1 2i)2 (z
i)
在以z
i为中心的各圆环域
内的Laurent展式。
解
f (z)
1
的奇点为z 2i, z i,
(z 2i）2 (z i)
以z i为中心的圆环域: 0 z i 1;1 z i
复函数项级数也有和函数、余项、收敛等概念.
复等比级数 z n 1 + z + z2 + … + zn +…
n 1
是定义在复平面上的复函数项级数.
当|z|<1时, 几何级数 | z |n 收敛, 故
n 1
zn (绝对)收敛.
n 1
当|z|1时,
lim
n
z
n
0,
故
zn 发散.
n 1
所以 zn 的收敛域为复平面上的单位圆域|z|<1. n 1
设 Cn zn 和 Cn zn 的收敛半径分别为R1和R2 ,
n0
n0
令R minR1, R2.
在公共收敛圆内，即|z|<R
两个幂级数可做加、减、乘法，且结果绝对收 敛。
2. 分析性质:
(1) 定理: 设复幂级数 cn zn 的收敛半径为R0, n0
和函数为S(z), 则:
① S(z)在收敛圆内(即|z|<R)内解析;
n 1
k 1
n1
zn收敛
lim
n
Sn存在;
若
lim
n
Sn
S,则
n1
zn
S
Sn S1n iS2n
S1n , S2n分别为 xn , yn部分和，
n1
n1
则{Sn}收敛 {S1n},{S2n}都收敛。
zn收敛 xn与 yn都收敛。
n1
n1
n1
性质：
(1)
n1
zn收敛
lim
n
zn＝0。
(1) 0 z i 1
z
1 2i
i
1 (z
i)
1 i
1
1 z
i
i
1 i
[1
z
i i
(z
i)2 i2
(z
i)n in
]
1 (z 2i)2
1
z 2i
1 i
1 i
2(z i2
i)
n(z i)n1 in
1 2i(z i) 3(z i)2
n(z i)n1
(2). 定义: 上述定理中的 cn (z z0 )n 称为f(z) n
在该的圆环内Laurent级数. f (z) cn (z z0 )n n
称为f(z)在在圆环域R1<|zz0|<R2内的Laurent展式,
注: ① Laurent级数公式中的
cn
1
2 i
L
(
f (
z0
) )n1
d
(|z +4| < 7).
所以
f
(z)
1 4
1 3
n0
(z
4)n 3n
3 7
n0
(z
4)n 7n
1 4
n0
(
1 3n1
3 7n1
)( z
4)n
(|z +4| < 3).
(2) f(z) = ezcosz, z0 = 0.
解: ez(cosz+isinz) = ezeiz = e(1+i)z
如果 cn z n 仅在z = 0处收敛, 则规定R = 0, n0
若 cn z n 在整个复平面上收敛, 则规定R = +. n0
(3) 收敛半径的求法（比值法与根值法）
(比值法)R lim Cn (根值法)R lim 1
C n n1
n n | Cn |
zn
如例1
,
n1 n!
例2
e i 2e 4 z
(
2
)n
e
n 4
i
z
n
,
同理
n0
n!
ez (cos z i sin z)
(
2
)n
e
n
4
i
z
n
,
n0
n!
两式相加除以2得:
(
ez cos z
2)n cos n
4 zn,
(|z| < +).
n0
n!
(3)
f
(z)
(2
1 z)2
,
z0
1
1 (2 z)2
1 32
2(z 1) 32
f (z)
n0
f
(n) (z0 n!
)
(z
z0
)n
,
z z0 R
五个基本的初等函数 e z ,sin z,cos z, ln(1 z), (1 z) 在z=0处的展开式与实函数的展开式相同，仅将x 换成z即可 2. 间接法: ①代换法, ②逐项求导, ③逐项积分, ④代数运算.
例5. 求下例函数在指定点处的泰勒展式.
(1) 计算f (z)在z0的各阶导数f (n) (z0 )，n 0,1, 2,
(2) 写出
f (z)在 z0 的 Taylor级数
n0
f
(n) (z0 n!
)
(z
z0
)n ,
并求出其收敛半径 R.
(R 从z0到f (z)的距z0最近一个奇点的距离)
(3) 写出 f (z)在 z0 的幂级数 展式（Taylor展式）
个不相交的解析区域:
(1) 圆|z| < 1;
(2) 圆环1 < |z| < 2;
(3) 圆环2 < |z| < +.
分别在此三个区域内求f(z)的Laurent展式.
解: 首先将f(z)分解成部分分式: f (z) 1 1 .
z2 z1
(1) 在圆|z|<1内, 因|z/2|<1, 故
f (z) 1 1 1 1 z 2 1 z / 2
(1)
f
(z)
z2
z 2z
, 3
z0 4;
解:
f(z)Βιβλιοθήκη z2z 2z3
1( 1 4 z 1
z
3) 3
而
1 1
1
z 1 3 1 (z 4) / 3
1 ( z 4)n 3 n0 3
(|z +4| < 3);
1 1
1
z 3 7 1 (z 4) / 7
1 ( z 4)n 7 n0 7
§5 复 数 项 级 数
一. 复数项级数的基本概念
1.复数序列在C中的收敛。
设{zn}, zn xn iyn , z0 x0 y0 ,则：
lim
n
zn
z0
0, N
N ,当n
N时，| zn
z0
|
lim
n
zn
z0
lim
n
xn
x0
,
lim
n
yn
y0
2.复数项级数及其收敛性
n
设复数项级数： zn 其部分和为 Sn zk
cn zn 必绝对收敛(发散).
n0
注: Abel定理表明: 只要幂函数 cn zn在z0处收敛, n0
则该幂级数在以原点为中心, |z0|为半径的开
圆域
|z| < |z0|内绝对收敛;
只要幂级数 cn zn 在z1 0处发散, 则该幂级数在 n0
以原点为中心, |z1|为半径的闭圆域|z| |z1|
不能错误地应用高阶导数公式将cn理解为 f (n) (z0 ) ,
n!
因为f(z)在L内并非处处解析.
② 一般不用定理中的系数公式求cn.
(3). 展开方法 代数运算, 变量代换, 求导或积分.
例6. 函数
f
(
z)
(z
1 1)( z
2)
在z平面上只有两个
奇点: z = 1及z = 2. 因此平面被分成如下三
1 2
n0
zn 2n
1 z
n1
1 z n1
n0
zn 2n1
n1
1 zn
.
y
x
O 12
解: 首先将f(z)分解成部分分式: f (z) 1 1 .
z2 z1
(3) 在圆环2<|z|<+内, |2/z|<1, |1/z|<1, 故
f (z) 1 1 1 1 z 12/ z z 11/ z
2. 函数展开为Laurent级数
(1). 可展条件
定理: 设 f(z) 在圆环域R1<|zz0|<R2内解析, 则在此圆环域内, f(z)能展成双边幂级数
f (z) cn (z z0 )n
n
其中
cn
1
2
i
L
(
f ( )
z0 )n1
d ,
L为圆环内绕z0的任意一条逆时针方向的简单 闭曲线, 并且展开式是唯一的.
当|z|<1时,
Sn(z)=
1 zn 1 z
,
而
lim zn 0,
n
所以
lim
n
Sn
(
z
)
1
1
z
.
故
zn
1,
n 1
1 z
|z|<1.
求下列复级数的收敛域
例1. zn
n1 n!
解: 因为zC, lim zn1 n (n 1)!
根据检比法
zn 的收敛域为C.
n1 n!
zn lim | z | 0 n! n n 1
② 当 |z|<R时, 有 S(z) (cn zn ) ncn zn1
n0
n1
③ 当 |z|<R时, 有 L S(z)dz cn L zndz n0
(L为圆域 |z|<R内的简单曲线).
并且逐项求导、逐项积分后所的幂级数与原幂
级数有相同的收敛半径, 但在收敛圆周上的敛
散性有可能改变。
五.函数展开为幂级数 1. 定理: 设复函数f(z)在区域D内解析, z0D, R为z0 到D的边界上各点的最短距离, 则当
zn n2
n 1
相应的收敛半径分别为+, 1,
注: 复幂级数在其收敛圆的圆周上的敛散性一般 比较复杂
例3
求
n1
(i)n1
(2n 2n
1)
z
2
n1的收敛半径与收敛圆。
例4 幂级数 Cn (z 2)n在z i处收敛， n1
则在z 3 i处是否收敛？
四. 复幂级数的性质
1. 代数运算性质
以外发散.
(2) 收敛半径与收敛圆
设幂级数 cn z n 不是仅在z = 0处收敛, 也不是在
n0
整个复平面上处处收敛, 则必存在一个确定的
正数R,使得当|z|<R时, cn z n 绝对收敛;
n0
当|z|>R时, cn z n 发散.
n0
称R为幂级数的收敛半径, 圆域|z|<R称为的收敛圆.
特别地, 当z0 = 0时, 它们相应的称为麦克劳林展式 与麦克劳林级数.
易见泰勒级数的收敛半径R等于z0到的离z0最近的
一个奇点的距离. 如 1 的奇点为z = i,
1 z2
z0 = 0, (1)n z2n 的收敛半径为1.
n0
将函数展开为幂级数的方法:
1. 直接法: 将复函数 f (z) 展开为幂级数的步骤：
n1
1 n2
收敛,
从而
zn n2
n 1
收敛.
综上所述,
n 1
z n
n 2
的收敛域为|z|1.
三. 幂级数及其收敛性
1. 定义: 幂级数 cn (z z0 )n n0
2. 幂级数 cn zn 的收敛性 n0
(1) Abel定理:
若幂级数
cn zn
n0
在z
=
z0
0处收敛(发散),
则对所有满足|z| < |z0| (|z| > |z0|)的z, 级数
例2.
zn n2
n 1
解: lim n zn n2 lim | z | | z |, 由检根法,
n
n n n 2
当|z|<1时,
n1
zn n2
zn
收敛, 从而 n1 n2
收敛;
当|z|>1时,
n1
zn n2
发散, 从而
zn n2
n 1
发散.
当|z|=1时,