2016年长沙市中考数学试题及答案

2016年长沙市中考数学试题及答案
2016年长沙市初中毕业学业水平考试数学试卷
注意事项：
1.考生在答题前需填写姓名、准考证号，并核对条形码上
的信息。

2.必须在答题卡上答题，草稿纸和试题卷上的答案无效。

3.注意各大题题号后的答题提示。

4.答题卡上不得使用涂改液、胶带或贴纸，保持字迹工整、清晰。

5.本学科试卷共26个小题，考试时间为120分钟，总分120分。

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项。

本大题共12个
小题，每小题3分，共36分）
1.下列四个数中，最大的数是
A。

-2/3
B。

-1/2
C。

0
D。

6/1
2.长株潭城际铁路全长米，用科学记数法表示为A。

0.955×10^5
B。

9.55×10^5
C。

9.55×10^4
D。

9.5×10^4
3.下列计算正确的是
A。

2×5=10
B。

x/x=x
C。

(2a)^3=6a^6
D。

3a^2+2a^2=6a^2
4.六边形的内角和是
A。

540°
B。

720°
C。

900°
D。

824°
5.不等式组{2x-1≥5.8-4x<3}的解集在数轴上表示为
6.下图是由六个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是
7.若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是
A。

6
B。

3
C。

2
D。

11
8.若将点A(1,3)向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，则点B的坐标为
9.下列各图中，∠1与∠2互为余角的是
10.已知一组数据75，80，80，85，90，则它的众数和中位数分别为
A。

75，80
B。

80，85
C。

80，90
D。

80，80
11.如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为
A。

160.3m
B。

120.3m
C。

300m
D。

160.2m
接长沙市黄花机场和市区，全长18.55公里，设计时速100公里/小时，最高运行速度120公里/小时，单程运行时间不足20分钟。

假设一辆磁浮列车从黄花机场出发，以恒定速度行驶，经过6分钟后，又有一辆同样的磁浮列车从黄花机场出发，以恒定速度行驶，这两辆列车在市区站相遇，求这两辆列车的相对速度和它们的行驶速度各是多少？
24．如图，已知ABCD为矩形，AE BD，BE5，
DE 3.
1）求证：AC BE；
2）求证：AC229；
3）求证：AED与BEC全等；
4）求证：AED与ABC的面积之比为3:8.
25．如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD为底面，PA垂直于底面ABCD，XXX的中点为M，且PM5，AB8，PA10.
1）求证：PM2MA·MB；
2）求四棱锥P-ABCD的表面积.
26．如图，已知BAC90，AD是BC的中线，
DE AC，BE交CD于点F，且AF BE.
1）求证：ABF与ACD全等；
2）若AB3，AC4，求AD的长度；
3）求证：EF BC；
4）若BE2，DE3，求EF的长度.
接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设仍在进行中。

未来，这将为乘客带来美妙的体验。

XXX承包了某标段的土方运输任务，计划派出大型和小型两种型号的渣土运输车来完成任务。

已知2辆大型渣土运输车和3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨，5辆大型渣土运输车和6辆小型渣土运输车一次共运输土方70吨。

问题：（1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输多少吨土方？（2）该渣土运输公司决定派出大型和小
型两种型号共20辆渣土运输车来完成任务，每次运输土方总
量不少于148吨，且至少派出2辆小型渣土运输车。

有哪几种派车方案？
四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过
点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB,DC,DF。

问题：（1）求∠CDE的度数；（2）证明：DF是⊙O的切线；（3）若AC=25DE，求tan∠ABD的值。

抛物线L:y=ax²+bx+c(a,b,c≠0)与直线l都经过y轴上的一
点P，且抛物线L的顶点Q在直线l上，则称此直线l与该抛
物线L具有“一带一路”关系。

此时，直线l叫做抛物线L的“带线”，抛物线L叫做直线l的“路线”。

问题：（1）若直线
y=mx+1与抛物线y=x²-2x+n具有“一带一路”关系，求m、n的值；（2）若某“路线”L的顶点在反比例函数y=1/x的图像上，它的“带线”l的解析式为y=2x-4，求此“路线”L的解析式；（3）当常数k满足1≤k≤2时，求抛物线L:y=ax²+(3k²-2k+1)x+k的“带线”l与x轴、y轴所围成的三角形面积的取值范围。

如图，直线l:y=-x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，
点P、Q是直线l上的两个动点，且点P在第二象限，点Q在
第四象限，∠POQ=135°。

问题：（1）求△AOB的周长；（2）设AQ=t（t>0），用含t的代数式表示点P的坐标；（3）当
动点P、Q在直线l上运动到使得△AOQ与△BPO的周长相等时，记tan∠AOQ=m。

若过点A的二次函数y=ax²+bx+c同时
满足以下两个条件：①6a+3b+2c=2；②当m≤x≤m+2时，函数
y的最大值等于2.求二次项系数a的值。

2016年长沙市初中毕业学业水平考试数学试卷参考答案
及评分标准
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）
题号：xxxxxxxx
答案：CABCBACD
二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）
13.y(x+2)(x-2)
14.m>-4
15.2π
16.13
17.13
18.5/6
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

）
19.解：原式=4×(-2-2/3+1) ÷ 2 = -1 （6分）
20.解：原式= a/(a-b) + b/(b-a) = a/(a-b) - b/(a-b) = (a-b)/(a-b) = 1 （4分）
故当a=2，b=1时，原式=2×3=6 （6分）
21.解：
1）1000 （2分）
故当a=2，b=1时，原式=1000 （4分）
3）360°×100/1000 = 36°（6分）
4）250×/1000 = （人）（8分）
22.
1）证：四边形ABCD是平行四边形
AD∥BC
XXX∠DAC，又∠BAC=∠DAC
XXX∠BAC
AB=BC （4分）
2）AB=BC
ABCD是菱形
连接BD交AC于点O，则∠AOB=90°
AO=AC=3，BO=√(22-3²)=1
SABCD=1/2×2×3×2=6（8分）
23.解：设一辆大型渣土运输车一次运输土方x吨，一辆小型渣土运输车一次运输土方y吨
2x+3y=31 （1）
5x+6y=70 （2）
解得 x=8，y=5
答：一辆大型渣土运输车一次运输土方8吨，一辆小型渣土运输车一次运输土方5吨。

24.解：如图，设AD=h，BD=2h，则AB=BC=√(5h²)
S△ABD=1/2×2h×h=h²
S△ABC=S△ABD×2=2h²
S梯形ABCD=(AB+CD)×h/2=(√(5h²)+3h)×h/2=(5+3√5)h²/2 V四棱锥ABCD=1/3×S△ABC×h=2h³
V正方体ADEF=AD³=h³
V所求立体=V正方体ADEF-V四棱锥ABCD=h³-2h³=-h³V所求立体<0
答：所求立体体积为负数。

25.解：
1）如图，连接AC，∵AB=BC=AC/2
ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB=70°
BAC=180°-70°-70°=40°
BAD=∠BAC/2=20°
DAC=∠BAC-∠BAD=20°
DAB=∠DAC=20°
ABD是等腰三角形，BD=AD=3
ABD是等边三角形，∠BAD=∠ABD=∠ADB=20°
ADC=∠ADB+∠BDC=20°+70°=90°
ADC是直角三角形，AC=√(AD²+DC²)=√(9+49)=√58 2）如图，连接AC，∵AB=BC=AC/2
ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB=60°
BAC=180°-60°-60°=60°
ABD是等边三角形，BD=AD=3
ADB=∠ABD=∠BAD=60°
ADC=∠ADB+∠BDC=60°+90°=150°
DAC=180°-∠XXX°
ADC是等腰三角形，AC=DC=√(AD²+AC²-
2AD×AC×cos∠DAC)=√(9+16-12cos30°)=√13
答：（1）AC=√58
2）AC=√13
26.解：
如图，连接AC，∵AB=BC=AC/2
ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB=70°
BAC=180°-70°-70°=40°
BAD=∠BAC/2=20°
DAC=∠BAC-∠BAD=20°
DAB=∠DAC=20°
ABD是等腰三角形，BD=AD=3
ABD是等边三角形，∠BAD=∠ABD=∠ADB=20°
ADC=∠ADB+∠BDC=20°+70°=90°
ADC是直角三角形，AC=√(AD²+DC²)=√(9+49)=√58
设△ADE的高为h，底边DE=3，则
ADE=∠BAD=20°
AED=180°-∠ADE-∠DAE=140°
DEC=∠AED=140°
DEC是等腰三角形，DC=CE=√58/2
S△ADE=1/2×3×h=3h/2
S△DEC=1/2×√58/2×h=√58h/4
S所求图形=S△ADE+S△DEC=3h/2+√58h/4
当h=√58/2时，S所求图形最大，此时S所求图形的面积
为（3+√58）/4
答：S所求图形的最大面积为（3+√58）/4.
2）根据题意，假设派出大型渣土运输车$m$辆，则派出
小型渣土运输车$20-m$辆。

根据题目中给出的条件，可以列
出不等式$8m+5(20-m)\geq 148$，化简得$m\geq 16$。

又因为$20-m\geq 2$且$m$为整数，所以$m$可取$16$或$17$或$18$。

因此，有三种派车方案：方案一：派出大型渣土运输车16辆，
小型渣土运输车4辆；方案二：派出大型渣土运输车17辆，
小型渣土运输车3辆；方案三：派出大型渣土运输车18辆，
小型渣土运输车2辆。

9）（1）由于对角线$AC$为圆$O$的直径，所以$\angle ADC=90^\circ$，进而$\angle CDE=90^\circ$。

2）（方法一）连接$OF$、$OD$，在直角三角形
$\triangle CDE$中，$F$为斜边$CE$的中点，因此$DF=FC$。

在直角三角形$\triangle DOF$和$\triangle COF$中，有
$DF=CF$，$OF=OF$，$OD=OC$，因此XXX进而，$\angle ODF=\angle OCF=90^\circ$，$DF\perp OD$，故$DF$是圆
$O$的切线。

（方法二、方法三类似，略去）
3）（方法一）根据圆周角定理，$\angle ABD=\angle
ACD$。

又由题中条件可得$\angle ADC=\angle CDE=90^\circ$，$\angle CAD=\angle ECD$，则XXX根据相似三角形的性质，$\frac{CD}{AD}=\frac{DE}{DC}$，即$CD^2=AD\cdot DE$。

（方法二、方法三类似，略去）
易得点Q(-a,c-a)，点P(0,c)，设其带线l的解析式为
y=kx+m(k≠0)。

将点P和点Q的坐标代入可得m=c，k=c-a/2a。

因此，带线l的解析式为y=(c-a/2a)x+c。

与题中所给的解析式
y=x+c比较可得，2a=1，即a=1/2或a=-1/2.因此，二次函数的
解析式为y=2x^2+4x-4或y=-x^2+4x-4.
对于方法一，由(2)的方法二可知，二次函数
y=ax^2+bx+c(a,b,c≠0)的带线l的解析式为y=x+c。

设带线l与
x轴、y轴的交点分别为M和O，易得M(-c/2a,0)，O(0,c)。

因此，带线l与x轴、y轴所围成的三角形ΔMOP的面积为
SΔMOP=c^2/2a。

对于方法二，抛物线L的顶点为(-b/2a,c-b^2/4a)，设带线
l的解析式为y=tx+k，则有-k=tb/2a+c-b^2/4a，即k=-
b^2/4a+2ac-bt/2.将y=tx+k代入抛物线L的解析式可得，x=(-
b+2at)/2a或x=(-b-2at)/2a。

因此，当x=-b/2a时，y=c-b^2/4a；
当y=0时，x=(2c-bt)/2a。

带入SΔMOP=c^2/2a的公式可得，
SΔMOP=|3k-2k+1|/2(3-2a)，结合a=1/2或a=-1/2，可得2≤|3k-
2k+1|/2≤3，即1≤|k|≤2.因此，SΔMOP的取值范围为(1-
1/4,2+1/4)，即3/4≤SΔMOP≤9/4.
26.解：
1）易得OA=OB=1，AB=2，所以三角形AOB的周长为
2+2=4.
2）由题意可得∠BAO=∠ABO=45°，
∠PBO=∠OAQ=135°，∠POQ=135°，∠AOB=90°。

因此，
∠BOP+∠AOQ=45°，又∠AOQ+∠AQO=45°，所以
∠AQO=∠BOP。

因此，三角形AQO∽三角形BOP，即
AQ/BP=AO/BO=1/1=1.
因为QA=t>0，所以BP的坐标为(0,t)。

过点P分别作x轴和y轴的垂线，利用等腰直角三角形的性质，容易求得点P的坐标为(-√2/2,1+√2/2t)。

3）首先由第（2）问可知必有三角形AQO∽三角形BOP，得到AQ/BP=1.当动点P、Q在直线l上运动到使得三角形
AOQ与三角形BPO的周长相等时，从而必有三角形AOQ与
三角形BPO全等，则有AQ=BO，从而AQ=BP=1.此时易求得
m=tan∠AOQ=2-√2，m+2=2+√2.因此，m≤x≤m+2，也就是2-
√2≤x≤2+√2.由于该二次函数经过点A(1,0)，所以a+b+c=0.又因为6a+3b+2c=2+√2，从而4a+b=2+√2.因为b=2，所以a=-2-√2，c=√2+2.
设二次函数y=ax^2+bx+c与x轴相交得到的另一个交点为D(x2,0)，由抛物线的对称性可得点D(3,0)。

所以可设抛物线为y=a(x-1)(x-3)=ax^2-4ax+3a。

①当a<0时，2-√2≤x≤2+√2，由图象可得：当x=2时，函数值y取得最大值。

由a(2-1)(2-3)=-2(2+1)解得a=-2(2+1)=-6.
②当a>0时，2-√2≤x≤2+√2，由图象可得：当x=2-√2时，函数值y取得最大值。

由a(2-1-√2)(2-1-3)=-2(2+1)解得
a=(11+8√2)/7.
综上所述，a=-6或a=(11+8√2)/7.。