黑龙江高一高中数学期末考试带答案解析

黑龙江高一高中数学期末考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.双曲线的渐近线方程为（）
A．B．C．D．
2.给出下列命题：①；②；③；
④．其中正确的命题是（）
A．①②B．②③C．③④D．①④
3.焦点在轴上，焦距等于，离心率等于的椭圆的标准方程是（）
A．B．C．D．
4.若，则直线必不经过（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5.在中，角的对边满足，且，则的面积等于（）A．B．4C．D．8
6.等差数列的首项为1，公差不为0，若成等比数列，则前6项的和为（）A．B．C．D．8
7.已知直线与垂直，则的值是（）
A．或B．C．D．或
8.直线被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角为（）
A．B．
C．D．
9.下列函数中，的最小值为的是（）
A．B．
C．D．
10.已知圆的圆心位于直线上，且圆与直线和直线均相切，则圆的方程为（）A．B．
C．D．
11.椭圆焦点在轴上，离心率为，过作直线交椭圆于两点，则周长为
（）
A．3B．6C．12D．24
12.已知点、是椭圆的左右焦点，过点且垂直于轴的直线与椭圆交于、两点，若为锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）
A．B．C．D．
二、填空题
1.已知向量，若向量与垂直，则=____________.
2.设x，y满足约束条件，则的最小值为____________ .
3.已知数列中，，且，，则数列的前20项和为_______.
4.已知为椭圆上的一个点，，分别为圆和圆上的点，则
的最小值为．
三、解答题
1.已知平面内两点.
（1）求的中垂线方程；
（2）求过点且与直线平行的直线的方程．
2.已知向量
（1）若，求的值；
（2）求的最大值．
3.在中,角、、所对的边分别为、、,且满足.
（1）求角的大小；
（2）求的周长的最大值.
4.等差数列的前项和为，且满足
（1）求数列的前项和；
（2）设，求数列的前项和．
5.已知圆的方程:
（1）求的取值范围；
（2）圆与直线相交于两点，且 (为坐标原点)，求的值．
6.已知椭圆＝1(a>b>0)的离心率e＝，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B.已知点A的坐标为(－a，0)．若|AB|＝，求直线l的倾斜角．
黑龙江高一高中数学期末考试答案及解析
一、选择题
1.双曲线的渐近线方程为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依题意有，解得.
2.给出下列命题：①；②；③；
④．其中正确的命题是（）
A．①②B．②③C．③④D．①④
【答案】C
【解析】当时，命题①错误；
当时，命题②错误；
据此排除ABD选项.
本题选择C选项.
3.焦点在轴上，焦距等于，离心率等于的椭圆的标准方程是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设椭圆方程为：，由题意可得：
，解得：，
则椭圆的标准方程为：.
本题选择D选项.
4.若，则直线必不经过（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【解析】令x =0，得y =sinα<0，令y =0，得x =cosα>0， 直线过(0,sinα)，(cosα,0)两点，因而直线不过第二象限。

本题选择B 选项. 5.在中，角的对边满足，且，则
的面积等于（ ）
A ．
B ．4
C ．
D ．8
【答案】A 【解析】因为，所以
，
，三角形面积S=
，故选A ．
6.等差数列的首项为1，公差不为0，若
成等比数列，则
前6项的和为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．8
【答案】A
【解析】∵等差数列{a n }的首项为1,公差不为0.a 2,a 3,a 6成等比数列， ∴a 23=a 2⋅a 6，
∴(a 1+2d )2=(a 1+d )(a 1+5d ),且a 1=1，d ≠0， 解得d =−2， ∴{a n }前6项的和为
.
本题选择A 选项.
点睛：(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．
(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．
7.已知直线与垂直，则的值是（ ） A ．或
B ．
C ．
D ．或
【答案】C
【解析】由题意得 ，选C.
8.直线被圆
截得的弦长为
，则直线的倾斜角为（） A ． B ． C ．
D ．
【答案】A
【解析】由题意，得
，即
，解得
，则直线的倾斜角为
或
，故选
A.
9.下列函数中，的最小值为的是 （ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】当时，，选项A错误；
当时，，选项B错误；
当时，，选项C错误；
本题选择D选项.
10.已知圆的圆心位于直线上，且圆与直线和直线均相切，则圆的方程为（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设圆心坐标为，由题意可得：
，
解得：，
圆的半径为：，
据此可得圆的方程为：.
本题选择B选项.+
点睛：求圆的方程，主要有两种方法：
(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径
有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．11.椭圆焦点在轴上，离心率为，过作直线交椭圆于两点，则周长为
（）
A．3B．6C．12D．24
【答案】B
【解析】由题意可得：，
由椭圆的定义可得：题中三角形的周长为 .
本题选择B选项.
12.已知点、是椭圆的左右焦点，过点且垂直于轴的直线与椭圆交于、两点，
若为锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由于为锐角三角形，则，，，
或，又，则，选.
【点睛】列出一个关于的等式，可以求离心率；列出一个关于的不等式，可以求离心率的取值范围.
本题根据等腰三角形为锐角三角形，只需顶角为锐角，所以顶角的一半小于，利用正切函数在是单调
增的，列出一个关于的等式，求出离心率.
二、填空题
1.已知向量
，若向量
与垂直，则
=____________.
【答案】7
【解析】由题意可得： ，
由向量垂直的充要条件有：
， 解得： .
点睛：(1)当向量a 与b 是坐标形式给出时，若证明a ⊥b ，则只需证明a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.
(2)当向量a ，b 是非坐标形式时，要把a ，b 用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明a·b ＝0. (3)数量积的运算a·b ＝0⇔a ⊥b 中，是对非零向量而言的，若a ＝0，虽然有a·b ＝0，但不能说a ⊥b .
2.设x ，y 满足约束条件
，则
的最小值为____________ .
【答案】-5
【解析】绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点
处取得最小值
.
3.已知数列
中，，且，，则数列的前20项和为_______.
【答案】110
【解析】由题意可得：数列的奇数项、偶数项均为首项为1，公差为1的等差数列，则数列
的前20项和为
.
4.已知
为椭圆
上的一个点，
，
分别为圆
和圆
上的点，则
的最小值为 ．
【答案】7 【解析】设圆
和圆
的圆心分别为
（-3，0），
（3，0），同时两圆心为椭圆的
焦点，所以由椭圆定义得。

又根据圆外点到圆上点的最小距离等于圆外点与圆心两线长减半径，所
以。

【考点】①椭圆定义；②圆外点到圆上点的距离的最值计算。

【思路点睛】结论为最值问题，常常是两种思路：（1）列出其函数表达式，然后按照函数求最值的方法求解；（2）通过几何分析，找到取得最值时的条件，然后求解。

本题是根据圆外点到圆上点的距离的最小值为圆外点与
圆心连线长减半径为突破口，从而得到，然后由椭圆定义求解。

类似结论，圆外点到圆上点的最大值等于圆外点与圆心连线长加半径。

三、解答题
1.已知平面内两点.
（1）求的中垂线方程；
（2）求过点且与直线平行的直线的方程．
【答案】（1）; （2）.
【解析】
(1)首先求得中点坐标，然后求得斜率，最后利用点斜式公式即可求得直线方程；
(2)利用点斜式可得直线方程为.
试题解析：
（1），∴的中点坐标为
，∴的中垂线斜率为
∴由点斜式可得∴的中垂线方程为
（2）由点斜式∴直线的方程
2.已知向量
（1）若，求的值；
（2）求的最大值．
【答案】（1）;（2）
【解析】
(1)利用向量垂直的充要条件结合同角三角函数基本关系可得 ;
(2)求得的解析式，结合三角函数的性质可得
试题解析：
（1）由题，所以，从而.
（2）因，所以,
，
因为，所以，
从而，所以
3.在中,角、、所对的边分别为、、,且满足.
（1）求角的大小；
（2）求的周长的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）利用正弦定理结合两角和差的正弦公式进行化简即可求角的大小；（2）根据余弦定理结合基本不等式的应用求出的范围即可求的周长的最大值.
试题解析：
（1）依题意, , 由正弦定理得, ,
.
（2）
(当且仅当时取等号), 的周长最大值为.
【考点】（1）正弦定理；（2）余弦定理.
4.等差数列的前项和为，且满足
（1）求数列的前项和；
（2）设，求数列
的前项和
． 【答案】（1）,
;（2）
【解析】
(1)利用等差数列前n 项和公式可得;
(2)裂项求和可得.
试题解析： （1）∴
∴
,,
（2）
, ∴
点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
5.已知圆的方程: （1）求的取值范围； （2）圆与直线相交于两点，且 (为坐标原点)，求的值． 【答案】（1）m ＜5;（2）
.
【解析】
(1)将圆的方程整理为一般式，半径为正数，据此求得关于m 的不等式，求解不等式可得 ；
(2)联立直线与圆的方程，结合题意可得
.
试题解析：
（1）方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ， ∵此方程表示圆，∴5－m ＞0，即m ＜5. （2）
消去x 得(4－2y )2＋y 2－2×(4－2y )－4y ＋m ＝0，化简得5y 2－16y ＋m ＋8＝0.
设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则
，由OM ⊥ON 得y 1y 2＋x 1x 2＝0
即y 1y 2＋(4－2y 1)(4－2y 2)＝0，∴16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0. 将①②两式代入上式得16－8×＋5×
＝0，解之得
符合
.
6.已知椭圆＝1(a>b>0)的离心率e ＝
，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B.已知点A 的坐标为(－a ，0)．若|AB|＝，求直线l 的倾斜角．
【答案】（1）＋y 2＝1（2）或
【解析】(1)由e ＝
＝
，解得3a 2＝4c 2.再由c 2＝a 2－b 2，解得a ＝2b.
由题意可知×2a×2b ＝4，即ab ＝2.解方程组得
所以椭圆的方程为＋y 2＝1.
(2)由(1)可知点A(－2，0)，设点B 的坐标为(x 1，y 1)，直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k(x ＋2)．于是A 、B 两点的坐标满足方程组
消去y 并整理，得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋(16k 2－4)＝0， 由－2x 1＝，得x 1＝
，从而y 1＝
， 故|AB|＝
＝
.
由|AB|＝，得＝
.整理得32k 4－9k 2－23＝0，
即(k 2－1)(32k 2＋23)＝0，解得k ＝±1.所以直线l 的倾斜角为
或。