2020届山东省潍坊高密市2017级高三高考一模考试数学试卷及解析

2020届山东省潍坊高密市2017级高三高考一模考试
数学试卷
★祝考试顺利★ (解析版)
一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}0,1,2,3A =,2{|230}B x x x =--<,则A B =（ ） A. (1,3)- B. (1,3]-
C. (0,3)
D. (0,3]
【答案】B 【解析】
求出A 与B 中不等式的解集,确定出A 与B ,求出A 与B 的并集． 【详解】解：集合{0A =,1,2,3},2{|230}(1,3)B x x x =--<=-, 所以,A B =(1,3]- 故选：B ．
2.已知i 为虚数单位,复数z 满足12z i i ⋅=+,则z 的共轭复数为（ ） A. 2i - B. 12i -
C. 2i +
D. 2i -
【答案】C 【解析】 将12z i i ⋅=+
【详解】解:因为12z i i ⋅=+,
所以221222
21i i i i z i i i ++-====-- ,
所以其共轭复数为2i + 故选:C
3.已知两个力1(1,2)F =,2(2,3)F =-作用于平面内某静止物体的同一点上,为使该物体仍保持
静止,还需给该物体同一点上再加上一个力3F ,3F =（ ） A. ()1,5- B. ()1,5- C. ()5,1- D. ()5,1-
【答案】A 【解析】
根据力的平衡条件下,合力为0,即可根据向量的坐标运算求得3F 【详解】解:根据力的合成可知12(12,23)(1,5)F F =-+=-+, 因为物体保持静止即合力为0, 则1230F F F ++=, 即()31,5F =- 故选:A
4.若sin
5cos(2)θπθ=-,则tan 2θ=( ) A. 5-
B.
5 C. 5-
D.
5 【答案】C 【解析】
由题意利用同角三角函数的基本关系、诱导公式,求得tan θ,再利用倍角公式求得tan 2θ的值． 【详解】
sin 5cos(2)θπθ=-,∴sin 5cos θθ=,得tan 5θ=,
222tan 255
tan 21tan 2
15θθθ∴===---.
故选：C
5.函数cos y x x =+的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B 【解析】
由于()()cos ,cos f x x x f x x x =+∴-=-+,()()f x f x ∴-≠,且()()f x f x -≠-, 故此函数是非奇非偶函数,排除,A C ；又当2
x π=
时,满足cos x x x +=,即()f x 的图象与直线
y x =的交点中有一个点的横坐标为2
π,排除D , 故选B ．
【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质,属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向,该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多,但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手,根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及
0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势,利用排除法,将不合题意的选项一一排
除
6.已知0x >,0y >,且19
1x y
+=,则xy 的最小值为（ ）
A. 100
B. 81
C. 36
D. 9
【答案】C 【解析】
根据0x >,0y >,且191x y +=,利用基本不等式有1919
2x y x y
+≥⨯整理可得36xy ≥,验证取等的情况即可.
【详解】解: 已知0x >,0y >,且19
1x y
+=,
所以19192x y x y
+≥⨯即19
2
xy
≥故36xy ≥.
当且仅当19
x y
=是,即 2.18x y ==时等号成立.
所以xy 的最小值为36. 故选:C
7.已知抛物线22y x =的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,直线PF 与抛物线交于M ,N 两点,若3PF MF =,则||MN = A.
163
B. 83
C. 2
D.
83
【答案】B 【解析】
先根据题意写出直线的方程,再将直线的方程与抛物线y 2＝2x 的方程组成方程组,消去y 得到关于x 的二次方程,最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求线段AB 的长． 【详解】解：抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F （12,0）,准线为l ：x ＝﹣1
2
,设M （x 1,y 1）,N （x 2,y 2）,M ,N 到准线的距离分别为d M ,d N , 由抛物线的定义可知|MF |＝d M ＝x 1+
12,|NF |＝d N ＝x 2+1
2
,于是|MN |＝|MF |+|NF |＝x 1+x 2+1． ∵3PF MF =,则2PM QM =,易知：直线MN 的斜率为±3,
∵F （
1
2
,0）, ∴直线PF 的方程为y 3x ﹣
1
2
）,
将y x ﹣
12）,代入方程y 2＝2x ,得3（x ﹣1
2
）2＝2x ,化简得12x 2﹣20x +3＝0, ∴x 1+x 25
3=,于是|MN |＝x 1+x 2+153=+183=
故选：B ．
8.已知1a ,2a ,{}32,4,6a ∈,记()123,,N a a a 为1a ,2a ,3a 中不同数字的个数,如：
()2,2,21N =,()2,4,22N =,()2,4,63N =,则所有的()123,,a a a 的排列所得的()123,,N a a a 的平均值为（ ） A.
199
B. 3
C.
299
D. 4
【答案】A 【解析】
由题意得()123,,a a a 所有的的排列数为3327=,再分别讨论()123,,123N a a a ，，=时的可能情况则均值可求
【详解】由题意可知,()123,,a a a 所有的的排列数为3327=,当()123,,1N a a a =时,有3种情形,
即()2,2,2,()4,4,4,()6,6,6；当()123,,2N a a a =时,有211
32318C C C ⋅⋅=种；当()123,,3N a a a =时,有3
36A =种,那么所有27个()123,,a a a 的排列所得的()123,,N a a a 的平均值为
132183619
279⨯+⨯+⨯=.
故选A
二、多项选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称,旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系,共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2013年以来,“一带一路”建设成果显著下图是2013-2017年,我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图,下列描述正确的是（ ）.
A. 这五年,2013年出口额最少
B. 这五年,出口总额比进口总额多
C. 这五年,出口增速前四年逐年下降
D. 这五年,2017年进口增速最快 【答案】ABD 【解析】
选项A :观察五个灰色的条形图的高低即可判断;选项B:观察五组条形图,对比每组灰色条形图与黑色条形图的高低及高低悬殊程度即可判断;选项C :从图中知,红色的折线图是先上升后下降即可判断;选项D :观察这五年所对的蓝色折线图的高低即可判断.
【详解】解:选项A :观察五个灰色的条形图,可得2013年所对的灰色条形图高度最低,所以这五年, 2013年出口额最少.故A 正确;
选项B:观察五组条形图可得2013年出口额比进口额稍低但2014年-2017年都是出口额高于进口额并且2015年和2016年都是出口额明显高于进口额,故这五年,出口总额比进口总额多.故B 正确:
选项C :从图中可知,红色折线图是先上升后下降即2013年到2014年出口增速是上升的.故C 错误;
选项D :从图中可知,蓝色的折线图2017年是最高的,即2017年进口增速最快,故D 正确. 故选: ABD 10.关于函数12()11x f x x e ⎛⎫
=
+ ⎪-⎝⎭
下列结论正确的是（ ） A. 图像关于y 轴对称 B. 图像关于原点对称 C. 在(),0-∞上单调递增
D. ()f x 恒大于0
【答案】ACD 【解析】
利用函数的奇偶性,单调性直接求解. 【详解】解: 函数12()11x f x x e ⎛⎫=
+ ⎪-⎝⎭
定义域为(,0)(0,)-∞+∞, ①因为1211
()111
x x x e f x x e x e +⎛⎫=+=⋅ ⎪--⎝⎭
111111
()()111
x x x x x
x e e e f x f x x e x e x e --+++-=⋅=-⋅=⋅=----, 故函数()f x 为偶函数,所以A 正确;
②由①知,函数()f x 为偶函数,所以B 不正确; ③当0x >时,10y x
=>,且1y x
=在()0,∞+单调递减, 当0x >时,2
101
x y e =+>-, 且2
11
x
y e =+-在()0,∞+单调递减, 而12()11x f x x e ⎛⎫=
+ ⎪-⎝⎭
,故()f x 在()0,∞+单调递调减, 又由()f x 为偶函数,故()f x 在(),0-∞上单调递增,所以C 正确; ④由①知, 12()11x
f x x e ⎛⎫=
+ ⎪-⎝⎭,当0x <,10x
<,10x e +>,10x e -<, 故此时()0f x >.故D 正确. 故选:ACD
【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性和恒大于0,属于函数基本性质的综合题,是中档题。

11.设函数()sin 6f x x πω⎛
⎫=- ⎪⎝⎭（0>ω）,已知()f x 在[]0,π有且仅有3个零点,下列结论正确
的是（ ） A.
()0,π上存在1x ,2x ,满足()()122f x f x -=
B. ()f x 在()0,π有且仅有1个最小值点
C. ()
f x 0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递增 D. ω的取值范围是1319,66⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【答案】AB 【解析】
由题意根据()f x 在区间[]0,π有3个零点画出大致图象,可得区间长度π介于周期
[||T OA +,3
||)2
T OA +,再用ω表示周期,得ω的范围．
【详解】解：画出函数()sin()6f x x π
ω=-大致图象如图所示,
当0x =时1sin()6
2
y π
=-=-；
又0>ω,所以0x >时()f x 在y 轴右侧第一个最大值区间内单调递增, 函数在[0,]π仅有3个零点时,则π的位置在~C D 之间（包括C ,不包括)D , 令()sin()06
f x x πω=-=,则6
x k π
ωπ-
=得,1(),()6
x k k z π
πω=
+∈, y 轴右侧第一个点横坐标为6πω
,周期2T πω=,
所以
3
662
T T πππωω+<+, 即232662ππππ
πωωωω+<+,解得131966
ω<,所以D 错误； 在区间[0,]π上,函数()f x 达到最大值和最小值, 所以存在1x ,2x ,满足12()()2f x f x -=,所以A 正确； 由大致图象得,()f x 在(0,)π内有且只有1个最小值,B 正确； 因为ω最小值为
136,所以02x π
<<时,1111,(6612122x πππππω-<-<
∉-,)2
π, 所以(0,)2x π
∈时,函数()f x 不单调递增,所以C 错误．
故选：AB ．
【点睛】
12.已知正方体1111ABCD A B C D -,过对角线1BD 作平面α交棱1AA 于点E ,交棱1CC 于点F ,下列正确的是（ ）
A. 平面α分正方体所得两部分的体积相等；
B. 四边形1BFD E 一定是平行四边形；
C. 平面α与平面1DBB 不可能垂直；
D. 四边形1BFD E 的面积有最大值. 【答案】ABD 【解析】
由正方体的对称性可知,平面α分正方体所得两部分的体积相等;依题意可证
1BF
D E ,1D F BE ,故四边形1BFD E 一定是平行四边形;当,E F 为棱中点时,EF ⊥平面
1BB D ,
平面1BFD E ⊥平面1BB D ;当F 与A 重合,当E 与1C 重合时1BFD E 的面积有最大值.
【详解】解: 对于A ：由正方体的对称性可知,平面α分正方体所得两部分的体积相等,故A 正确;
对于B ：因为平面1111ABB A CC D D ,平面1BFD E
平面11ABB A BF =,
平面1BFD E
平面111CC D D D E =,1BF
D E ∴.
同理可证：1D F BE ,故四边形1BFD E 一定是平行四边形,故B 正确; 对于C ：当,E F 为棱中点时,EF ⊥平面1BB D ,又因为EF ⊂平面1BFD E , 所以平面1BFD E ⊥平面1BB D ,故C 不正确;
对于D ：当F 与A 重合,当E 与1C 重合时1BFD E 的面积有最大值,故D 正确. 故选:ABD
三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.已知双曲线C 过点2)且渐近线为3
3
y x =±
,则双曲线C 的标准方程为__________. 【答案】2
213
x y -=
【解析】
根据双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为()22
30x y λλ-=≠,将点2)代入方程求出λ,
即可得出双曲线方程为.
【详解】解:根据题意,双曲线的渐近线方程为33
y x =±, 可化为: 30x ±=,
则可设双曲线方程为()22
30x y λλ-=≠, 将点2)代入()22
30x y λλ-=≠,
得()23320λλ-=≠,即3λ=,
故双曲线方程为: 2
213x y -=.
故答案为: 2
213
x y -=
14.若3n
x x ⎛
⎝
展开式的二项式系数之和是64,则n =__________;展开式中的常数项的值是
__________.
【答案】 (1). 6 (2). 135 【解析】
由二项式系数和求出指数n ,仔写出展开式通项后可得常数项.
【详解】解:
因为3n
x ⎛
⎝展开式的二项式系数之和是64,
则264n =,解得6n =,
所以3n x ⎛ ⎝展开式中常数项的值是(
)4
22
63135x C =. 故答案为: (1). 6 (2). 135
【点睛】本题主要考查二项式定理,在()n
a b +展开式中二项式系数为2n ,所有项的系数和为
()
n
a b +.其中二项式系数是固定的,只与指数n 有关,而所有相系数还与二项式中的系数,a b 有
关.
15.已知()f x 是定义在R 上的偶函数,且()()22f x f x +=-,当[]2,0x ∈-时,(
)1x
f x =-⎝⎭
,
若在()2,6-内关于x 的方程()()log 20a f x x -+=（0a >且1a ≠）有且只有4个不同的根,则实数a 的取值范围是______. 【答案】()8,+∞ 【解析】
推导出函数()y f x =的周期和对称轴,由题意可知函数()y f x =与函数()log 2a y x =+在区间
()2,6-上的图象有4个交点,数形结合可得出实数a 所满足的不等式组,进而可解出实数a 的取
值范围.
【详解】由()()22f x f x +=-,得()()4f x f x =-,即函数()y f x =的图象关于直线2x =对称. 又()y f x =是定义在R 上的偶函数,所以()()()4f x f x f x -==-,即()()4f x f x +=,则()f x 是以4为周期的周期函数.
画出函数()y f x =与函数()log 2a y x =+在()2,6-上的图象如图所示.
要使函数()f x 与()log 2a y x =+的图象有4个不同的交点,则有()1
log 621a a >⎧⎨+<⎩,解得8a >, 即实数a 的取值范围是()8,+∞. 故答案为：()8,+∞.
16.在△ABC 中,设角A ,B ,C 对应的边分别为,,a b c ,记△ABC 的面积为S ,且22242a b c =+,则2
S
a 的最大值为__________. 【答案】106
【解析】
根据题中条件利用余弦定理进行简化,然后化简为二次函数,求出二次函数的最值即可. 【详解】由题知22222222422c 2os 4b a c a c ac B a b c ⇒=-=+-=+, 整理得()222232cos 33cos 2a c ac B a c B ac
-=-+⇒=
,
因为()2
2222222
1sin 1cos sin 224ac B c B S c B a a a a ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫
=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭, 代入()223cos 2a c B ac
-=
整理得2
422421922916S c c a a a ⎛⎫⎛⎫
=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,
令22c t a =,有()
2
2
222111110922931616336S t t t a ⎛⎫
⎛⎫=--+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭,
所以2
22101036
S S a a ⎛⎫≤⇒≤
⎪⎝⎭,
所以
2S a
故答案为：
6
四、解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在①2a ,3a ,44a -成等差数列.②1S ,22S +,3S 成等差数列中任选一个,补充在下列的问题中,并解答.
在公比为2的等比数列{}n a 中,______ （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若(
)21log n n b n a =+,求数列242n n b ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
的前n 项和n T . 【答案】（1）2n
n a =（2）()
2
2
21n T n =-
+
【解析】
（1）若选①,根据三个数成等差数列,建立等量关系,求得12a =,进而求得通项公式；若选②,根据1S ,22S +,3S 成等差数列,建立等量关系,求得12a =,进而求得通项公式；
（2）将2n
n a =代入,求得()1n b n n =+,()222
421121n
n b n n ⎛⎫
+=- ⎪ ⎪+⎝⎭
,裂项之后求和得结果. 【详解】（1）选①：因为2a ,3a ,44a -成等差数列, 所以32442a a a =+-, 所以1118284a a a =+-,
解得12a =,所以2n
n a =.
选②：因为1S ,22S +,3S 成等差数列, 所以()21322S S S +=+,即234a a +=,
所以11244a a +=,解得12a =,所以2n
n a =.
（2）因
2n n a =,
所以()()()221log 1log 21n
n n b n a n n n =+=+=+,
所以()()()22
222221
4211211n n n b n n n n ⎛⎫++==- ⎪ ⎪++⎝⎭
, 所以()222221111121222231n T L n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎝⎭ ()22222111
11212231n n ⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪+⎝
⎭
()()2212
21211n n ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪++⎝⎭
. 18.在平面四边形ABCD 中,已知26AB =,3AD =,2ADB ABD ∠=∠,3
BCD π
∠=
.
（1）求BD ；
（2）求BCD ∆周长的最大值. 【答案】（1）5BD =（2）15 【解析】
（1）设BD x =,ABD α∠=,则2ADB α∠=,利用正弦定理求出6
cos α=
,在利用余弦定理26cos 32263
α==⨯⨯5x =或3x =,最后检验即可得出结果.
（2）设CBD β∠=,利用正弦定理有2sin sin sin 3
3BD
BC CD
π
πββ=
=
⎛⎫- ⎪⎝⎭
,从而得出 BC 和CD 的表示方法,然后10sin 106BC CD πβ⎛
⎫+=+≤ ⎪⎝
⎭,即可得出BCD ∆周长最大值.
【详解】解:（1）由条件即求BD 的长,在ABD ∆中,设BD x =,ABD α∠=,则2ADB α∠=,
∵sin 2sin AB AD αα=,∴6
cos α
=,∴26cos 2263
α==⨯⨯ 整理得28150x x -+=,解得5x =或3x =. 当3x =时可得22
ADB π
α∠==,与222AD BD AB +≠矛盾,故舍去
∴5BD =
（2）在BCD ∆中,设CBD β∠=,则2sin sin sin 33BD
BC CD
π
πββ=
=
⎛⎫- ⎪⎝⎭
∴1032sin 3BC πβ⎛⎫
=
- ⎪⎝⎭
,103sin CD β= ∴10333sin cos 10sin 103226BC CD πβββ⎛⎫⎛
⎫+=+=+≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴BCD ∆周长最大值为15.
19.如图①：在平行四边形ABCD 中,BD CD ⊥,BE AD ⊥,将ABD ∆沿对角线BD 折起,使
AB BC ⊥,连结,AC EC ,得到如图②所示三棱锥A BCD -.
（1）证明：BE ⊥平面ADC ；
（2）若1ED =,二面角C BE D --6,求直线BD 与平面ADC 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析（26
【解析】
（1）证明AB BD ⊥,从而证明AB ⊥平面BCD ,进而得出AB CD ⊥,即可证CD ⊥平面ABD .最后证得BE ⊥平面ADC .
（2）若1ED =,二面角C BE D --,由（1）知BE ⊥平面ADC , 因为BC ⊂平面ADC ,所以BE EC ⊥,
又BE ED ⊥,所以DEC ∠即为二面角C BE D --的平面角,得tan CD
DEC ED
∠=
=从而求出
BD =3BC =,建立空间直角坐标系,求平面ADC 的法向量为(),,n x y z =,
最后根据公式sin cos ,DB n θ=,即得直线BD 与平面ADC 所成角大小. 【详解】（1）证明：在平行四边形ABCD 中,BD CD ⊥, 则AB BD ⊥.
在三棱锥A BCD -中,因为AB BC ⊥,BC BD B =.
所以AB ⊥平面BCD ,所以AB CD ⊥. 又BD CD ⊥,AB
BD B =,所以CD ⊥平面ABD .
又BE ⊂平面ABD ,所以CD BE ⊥.
因为BE AD ⊥,AD CD D =,所以BE ⊥平面ADC . （2）解：由（1）知BE ⊥平面ADC , 因为BC ⊂平面ADC ,所以BE EC ⊥,
又BE ED ⊥,所以DEC ∠即为二面角C BE D --的平面角,即tan DEC ∠=因为CD ⊥平面ABD ,AD ⊂平面ABD .
所以CD AD ⊥,故tan CD
DEC ED
∠=
=
又1ED =.所以AB CD ==在平行四边形ABCD ,ADB DBC ∠=∠,90BED BDC ∠=∠=︒, 所以DEB ∆与BDC ∆为相似三角形,则
ED BD
BD BC
=,
故BD m =（0m >）,解得BC ,
故
1m
=解得m =,
所以BD =3BC =.
过点D 作//DF AB ,以D 为坐标原点,DB ,DC ,DF 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示
.
则()0,0,0D ,3,0,6A ,()6,0C ,)
3,0,0B
.
所以(
3,0,
6DA =
,()0,
6,0DC =,(
)
3,0,0DB =
.
设平面ADC 的法向量为(),,n x y z =,
则36060
n DA x z n DC y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 令6z =-,得(23,0,6n =-. 设直线BD 与平面ADC 所成角为θ,
6
sin cos ,318DB n DB n DB n
θ⋅==
=
=⋅⋅ 即直线BD 与平面ADC 6. 20.在传染病学中,通常把从致病刺激物侵人机体或者对机体发生作用起,到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息,得到如下表格： 潜伏期（单位：天） []0,2 (]2,4 (]4,6 (]6,8 (]8,10 (]10,12 (]12,14
人数 85
205
310
250
130
15
5
（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均数x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ；
（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响,为研究潜伏期与患者年龄的关系,以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样,从上述1000名患者中抽取200人,得到如下列联表.请将列联表补充完整,并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；
（3）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率,代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率,每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立,为了深入研究,该研究团队随机调查了20名患者,其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？ 附：
()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++.
【答案】（1）5.4天；（2）见解析,没有；（3）8人. 【解析】
（1）根据统计数据计算平均数即可；（2）根据题意补充完整的列联表,计算2K ,对照临界值表得出结论；（3）根据题意知随机变量220,5X B ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭,计算概率()P X k =,列不等式组并结合题
意求出k 的值. 【详解】（1）()1
18532055310725091301115135 5.41000
=
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x 天；
（2）根据题意补充完整的列联表如下：
则()2
22006545553525 2.0831208010010012⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯K ,2
2.083
3.841K ≈<,
所以没有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；
（3）由题可得该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率为2501301552
10005
+++=,
设调查的20名患者中潜伏期超过6天的人数为X ,则
220,5X
B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,()20202355k k
k
P X k C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,1,2,3,,20=k ,
由()()()()11P X k P X k P X k P X k ⎧=≥=+⎪⎨=≥=-⎪⎩,即20+119+1202020121120202323555523235555k k k k
k k k k k k k k C C C C ------⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩
, 化简得()()(
)312202213k k k k ⎧+≥-⎪
⎨-≥⎪⎩解得374255k ≤≤,又1,2,3,
,20=k ,所以8k ,
即这20名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能时8人.
21.已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,离心率为12,过1F 作直线l 与
椭圆C 交于A ,B 两点,2ABF ∆的周长为8． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）问：2ABF ∆的内切圆面积是否有最大值？若有,试求出最大值；若没有,说明理由．
【答案】（1）22
143
x y +=；（2）916π
【解析】
（1）由离心率得2a c =,再利用2ABF ∆的周长为8得2a =,从而得到,,a b c 的值,进而得到椭圆的方程；
（2）将2ABF ∆的内切圆面积的最大值转化为求2
ABF S ∆的值最大,设11(,)A x y ,22(,)B x y ,直线
:1l x my =-,从而将面积表示成关于m 的函数,再利用换元法研究函数的最值.
【详解】（1）离心率为1
2
c e a =
=,∴2a c =
, 2ABF ∆的周长为8,∴48a =,得2a =, ∴1c =,2223b a c =-=,
因此,椭圆C 的标准方程为22
143
x y +=．
（2）设2ABF ∆的内切圆半径为r ,∴2
221
(||||||)2
ABF S AF AB BF r ∆=++⋅,
又
22||||||8AF AB BF ++=,∴24ABF S r ∆=,
要使2ABF ∆的内切圆面积最大,只需2
ABF S ∆的值最大．
设11(,)A x y ,22(,)B x y ,直线:1l x my =-,
联立22
143
1x y x my ⎧+
=⎪⎨⎪=-⎩
消去x 得：22(34)690m y my +--=, 易得>0∆,且122
634
m y y m +=
+,1229
34y y m -⋅=+,
所以2
12121||||2
ABF S F F y y ∆=⋅-
=,
设1t =,则
221212
1313ABF t S t t t
∆=
=
++,
设13(1)y t t t
=+≥,21
30y t '=-
>,所以13y t t
=+在[1,)+∞上单调递增, 所以当1t =,即0m =时,2
ABF S ∆的最大值为3,
此时34r =,所以2ABF ∆的内切圆面积最大为916
π． 22.已知函数21()e ln (,)ax f x x b x ax a b R +=⋅--∈．
（1）若0b =,曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线与直线2y x =平行,求a 的值；
（2）若2b =,且函数()f x 的值域为[)2,+∞,求a 的最小值．
【答案】（1）2a =-；（2）
【解析】
（1）对函数进行求导得1()(2)ax f x xe ax a +'=+-,再利用导数的几何意义得(1)2f '=,从而得到关于a 的方程,解方程即可得到答案；
（2）当2b =时,21()2ln ax f x x e x ax +=--,将函数()f x 可化为()ln 1g t t t =-+,则(1)2g =,从而将问题转化为12ln x a x +=-有解,再构造函数12ln ()x h x x
+=-,利用导数研究函数的值域,从而得到a 的取值范围.
【详解】（1）当0b =时,21()ax f x x e ax +=-,
1()(2)ax f x xe ax a +'=+-,
由1(1)(2)2a f e a a +'=+-=,
得1(2)(2)0a e a a ++-+=,
即1(1)(2)0a e a +-+=,
解得1a =-或2a =-,
当1a =-时,0(1)12f e =+=,此时直线2y x =恰为切线,故舍去,
所以2a =-.
（2）当2b =时,21()2ln ax f x x e x ax +=--,设21ax t x e +=,
设21ax t x e +=,则ln 2ln 1t x ax =++,
故函数()f x 可化为()ln 1g t t t =-+. 由11()1t g t t t
-'=-=,可得
()g t 的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,)+∞, 所以()g t 的最小值为(1)1ln112g =-+=, 此时1t =,函数的()f x 的值域为[2,)+∞
问题转化为当1t =时,ln 2ln 1t x ax =++有解,
即ln12ln 10x ax =++=,得12ln x a x
+=-
. 设12ln ()x h x x +=-,则22ln 1()x h x x -'=,
故()h x 的单调递减区间为,单调递增区间为)+∞,
所以()h x 的最小值为
h =故a 的最小值为。