二基本初等函数及其图像

1. 上移k 个单位，若k 为负数，则下 平 移；
移
用xh 代替x 是将图像右移h
个单位( h>0)，若h 为负数，则左
移．
第二节 初等函数及其图像
三、构建新函数
例
1. 平
已知 f (x) x3，试画出 2 f (x)
移 和 f (x) 2 的图像，并写出该函数的
图像向左平移 5 个单位所得图像的函
函 函数，设第一种产品的销售利润为
数 U1=f(t)，第二种产品的销售利润为 的 U2=g(t)， 则两种产品的实际利润
和 用函数符号表示即有
差
函数的和
U(t)= U1 +U2 =f(t) +g(t)
第二节 初等函数及其图像
三、构建新函数
函数和的定义
2.
函
两个函数的和是一个函数，其在
数 每一点的函数值都是两个函数在自变 的 量的相同取值点的函数值的和．
例 求函数 y x 的反函数. x2
第二节 初等函数及其图像
一、反函数
想一想
1.一个函数与其反函数的定义域及值域有
什么关系？
2.
f
1(
x)与
1 之间有没有关系？ f( x)
3. f 1( f( x))与f( f 1( x))各等于多少？
第二节 初等函数及其图像
二、基本初等函数及其图像
形如 y = x (R)的函数称为幂函数.
y arccos x的图像
4. 反 三 角 函 数 想一想 反余弦函数有什么性质?
第二节 初等函数及其图像
二、基本初等函数及其图像
y arctan x的图像
4. 反 三 角 函 数 想一想 反正切函数有什么性质?
第二节 初等函数及其图像
二、基本初等函数及其图像
y arc cot x 的图像
三 余弦函数 y cos x 有界，周期为2，偶函数
角 函
正切函数 余切函数 正割函数
y tan x y cot x y sec x
无界，周期为，奇函数 无界，周期为，奇函数 无界，周期为2，偶函数
数 余割函数 y csc x 无界，周期为2，奇函数
第二节 初等函数及其图像
二、基本初等函数及其图像
y sin x 的图象( x R)
3. 三 角 函 数
想一想 正弦函数有什么性质?
第二节 初等函数及其图像
二、基本初等函数及其图像
y cos x 的图象( x R)
3. 三 角 函 数
想一想 余弦函数有什么性质?
第二节 初等函数及其图像
二、基本初等函数及其图像
y tan x 的图像(x kπ 0.5π)
2. 指对 数数 函函 数数
想一想
对数函数与指数函数的定义 域和值域各是什么？二者有什么 关系？
第二节 初等函数及其图像
二、基本初等函数及其图像
2. 指对 数数 函函 数数
想一想 指数函数有什么性质?
y 1 x 3
y 1 x 2
y 2x
y 3x
第二节 初等函数及其图像
二、基本初等函数及其图像
[0，]
角 函
反正切函数
y arctan x (， ) ， 2 2
数 反余切函数 y arccot x (， ) (0，)
第二节 初等函数及其图像
二、基本初等函数及其图像
y arcsin x的图像
4. 反 三 角 函 数 想一想 反正弦函数有什么性质?
第二节 初等函数及其图像
二、基本初等函数及其图像
1.
幂函数图形演示
幂
函
数 想一想
幂函数有什么性质?
第二节 初等函数及其图像
二、基本初等函数及其图像
2. 指对 数数 函函 数数
形如 y=ax(a>0且a1)的函数称为 指数函数.
形如 y=logax(a>0且a1)的函数称 为对数函数.
指数函数图形演示
对数函数图形演示
第二节 初等函数及其图像
二、基本初等函数及其图像
2. 指对 数数 函函 数数
想一想 对数函数有什么性质?
y log x 3
y log x 2
y log x 1 3
y log 1 x
2
第二节 初等函数及其图像
二、基本初等函数及其图像
2. 指对 数数 函函 数数
想一想
指数函数与对数函数有 什么关系?
y 2x
yx
y log x 2
第二节 初等函数及其图像
4. 反 三 角 函 数 想一想 反余切函数有什么性质?
第二节 初等函数及其图像
三、构建新函数
构建新函数的方式有: 1.平移 2.函数的和差 3.复合函数
第二节 初等函数及其图像
三、构建新函数
如图
1. 平 移
y x2 2
y x2
y (x 2)2
第二节 初等函数及其图像
三、构建新函数
一般地，yk 代替y 是将图像
练一练
3.
给出下列函数的复合过程.
复
(1) y cos x
合 函
(2) y e3x1
数
(3) y tan2 ( x2 )
(4) y arcsin 1 x
第二节 初等函数及其图像
三、构建新函数
3.
思考
复
合
是不是任何两个简单的函数
函 都可以复合成一个复合函数？如
数 果不是，请举例说明．
第二节 初等函数及其图像
复 合
设以初速度 v0 垂直上抛一个
函 质量为 m 的物体，求它的动能 E
数 与时间t 的函数关系．
第二节 初等函数及其图像
三、构建新函数
例 给出下列函数的复合过程
3.
复
(1) y ln(1 x2 )
合
(2) y 1 x2
函
数
(3) y cos3 (3x)
第二节 初等函数及其图像
三、构建新函数
3. 三 角 函 数
想一想 正切函数有什么性质?
第二节 初等函数及其图像
二、基本初等函数及其图像
y cot x 的图像(x kπ)
3. 三 角 函 数
想一想 余切函数有什么性质?
第二节 初等函数及其图像
二、基本初等函数及其图像
y sec x 的图像
3. 三 角 函 数
想一想 正割函数有什么性质?
(元/km)，与燃烧单位燃料行驶的里程，即燃料
3. 效率km/L)有关，燃料效率则受限于汽车行驶速
复 度(km/h)， 假定汽车行驶成本 c 与燃料效率 e
合
的对应关系为函数 c=f(e)，如图(a)所示；燃料 效率 e 与汽车行驶速度 v 的对应关系为函数
函 e=g(v)，如图(b)所示．求(1)汽车以 88 km/h的速
第二节 初等函数及其图像
二、基本初等函数及其图像
y csc x 的图像
3. 三 角 函 数
想一想 余割函数有什么性质?
第二节 初等函数及其图像
二、基本初等函数及其图像
4.
名称
表达式 定义域 值域
反 三
反正弦函数 反余弦函数
y arcsin x y arccos x
[1，1] [1，1]
， 22
第二节 初等函数及其图像
一、反函数
反
如果由函数 y=f(x) (单值单调)，
函 可反求出 x=g(y) ，则称 g(y) 为 f(x) 的
数 反函数.
的 记作 f (1 y).
定
习惯上,将xx f 1( y)改写成yy f (11 x)).
义
第二节 初等函数及其图像
一、反函数
反函数图形演示
结论
函 数
设 r 1 0.4t ，
则 A (1 0.4t)2
中间变量
第二节 初等函数及其图像
三、构建新函数
复合函数的定义
3.
设 y 是 u 的函数：y=f(u)，而 u又
复 是 x 的函数：u=g(x)， 并且 g(x)的函
合 数值的全部或部分使 f(u) 有意义，那
函 么 y 通过 u 的联系而成为 x 的函数，
五、小结
1.一元函数的性质、反函数; 2.基本初等函数及其图形; 3.构建新函数; 4.初等函数．
第二节 初等函数及其图像
六、练习
1.求下列函数的反函数：
(1) y 1 x 1
(2) y 1 ln( x 2)
2.给出下列函数的复合过程：
(1) y sin 2 x (2) y ex2
(3) y ln( 2x 1) (4) y cos 2x
二、基本初等函数及其图像
2. 指对 数数 函函 数数
注意
常用的指数函数：f ( x) ex， 其中e 2.71828
常用的对数函数：f (x) lg x 和 f (x) ln x
第二节 初等函数及其图像
二、基本初等函数及其图像
名称 表达式
性质
3. 正弦函数 y sin x 有界，周期为2，奇函数
和
差
第二节 初等函数及其图像
三、构建新函数
如图
2. 函 数 的 和 差
yx
y x sin x y sin x
第二节 初等函数及其图像
三、构建新函数
例 在无风状态下，火所能烧毁森林
3. 的面积满足 A r 2，其中r 是火的蔓延
复 半径，半径r与火势蔓延速度有关，从而
合 与时间有关，即r是时间t的函数，
数 度行驶时行驶成本是多少？(2)欲使行驶成本在
0.20 元/km以下，需保持什么样的行驶速度？
第二节 初等函数及其图像
三、构建新函数
/km
km/L
如图
燃 料 效 率 （
）
行驶速度（km/h）
(a)
行 驶 成 本 （ 元 ）
燃料效率（km/L）
(b)
第二节 初等函数及其图像
三、构建新函数
练一练
3.
数
称这样的函数是由 y=f(u) 和 u=g(x) 复 合而成的函数，简称为复合函数．
记作 y f [g(x)]．u为中间变量
第二节 Hale Waihona Puke 等函数及其图像三、构建新函数
函数的复合运算可由下图表示：
3.
g
f
复
合
x
g(x)
f (g(x))
函
数
第二节 初等函数及其图像
三、构建新函数
例汽车行驶成本，即行驶单位路程所需费用
一个函数与其反函数的图像关于直线 y x 对称．
第二节 初等函数及其图像
一、反函数
例 如 函数 y 2x 与 y 1 x 互为反函数, 2
其图像为
y 2x y x
y1x 2
第二节 初等函数及其图像
一、反函数
反函数的求法
y f (x) x f 1( y) x,y互换 y f 1(x)
第二节 初等函数及其图像
四、初等函数
2.多项式函数 从下列图形是否能看出什么?
二次多项式 三次多项式 四次多项式 五次多项式
第二节 初等函数及其图像
四、初等函数
2.多项式函数
结论
一个 n 次多项式函数的图像至多 “转向” n-1 次,但可能少于 n1 次．
利用多项式函数的这一图像特征, 可以将图像转化为表达式.
第二节 初等函数及其图像
四、初等函数
2.多项式函数
例 求具有如图所示图像的多项式函数的 一个可能表达式.
4
3
2
1
-2
-1
-1
-2
1
2
第二节 初等函数及其图像
四、初等函数
如图
3.三角多项式函数
y 1 sin x cos x sin 2x
y 1 0.1sin x cos x sin 2x
第二节 初等函数及其图像
第三节 初等函数及其图像
六、练习
3.由 y x 的图形作下列函数的图形： (1) y x 4； (2) y x； (3) y 3x．
第二节 初等函数及其图像
六、练习
4.求具有如图所示图像的多项式函数的 一个可能表达式．
数表达式．
第二节 初等函数及其图像
三、构建新函数
1.
练一练
平
移
由 y 2x 的图形作下列函数的图形：
(1) y 2x 4； (2) y 2x；
(3) y 2x； (4) y 3 2x ．
第二节 初等函数及其图像
三、构建新函数
例
设某一商店经营两种产品，
2. 从而各产品的销售利润都是时间 t 的
四、初等函数
1.初等函数的定义
由基本初等函数经过有限次的四则 运算或有限次的复合运算而成，并可用 一个式子表示的函数称为初等函数．
第二节 初等函数及其图像
四、初等函数
2.多项式函数
形如 Pn ( x) a0 a1x an1xn1 an xn 称为 n 次多项式函数．
其中 a0，a1，an1，an 为常系数．且an 0．