北京市海淀区2023-2024学年高二下学期期末数学试卷(含答案)

北京市海淀区2023-2024学年高二下学期期末考试
数学试卷
本试卷共6页，共两部分。

19道题，共100分。

考试时长90分钟。

试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，请将答题卡交回。

第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.5(1)x -的展开式中，所有二项式的系数和为
A.0B.5
2
C.1
D.6
2
2.已知函数sin (),cos x
f x x
=
则(0)f '的值为A.0B.1C.1
- D.π
3.若等比数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则公比q =
A.12
B.12
-
C.2
D.2
-4.下列函数中，在区间[]1,0-上的平均变化率最大的时
A.2
y x = B.3
y x = C.12x
y ⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
D.2x
y =5.将分别写有2,0,2,4的四章卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不为0），则组成的不同四位数的个数为
A.9
B.12
C.18
D.24
6.小明投篮3次，每次投中的概率为0.8，且每次投篮互不影响，若投中一次的2分，没投中得0分，总得分为X ，则
A.() 2.4
E X = B.() 4.8
E X = C.()0.48
D X = D.()0.96
D X =7.已知一批产品中，A 项指标合格的比例为80%，B 项指标合格的比例为90%，A 、B 两项指标都合格的比例为60%，从这批产品中随机抽取一个产品，若A 项指标合格，则该产品的B 项指标也合格的概率是
A.37
B.
23C.34D.56
8.已知等差数列n a 的前n 项和为n S ，若10a <、则“n S 有最大值”是“公差0d <”的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
9.设函数()()ln 1sin f x x a x =-+.若()()0f x f ≤在()1,1-上恒成立，则
A.0a =
B.1
a ≥C.01
a <≤ D.1
a =
10.在经济学中，将产品销量为x 件时的总收益称为收益函数，记为()R x ，相应地把()R x '称为边际收益函数，它可以帮助企业决定最优的生产或销售水平.假设一个企业的边际收益函数()1000R x x '=-(注:经济学中涉及的函数有时是离散型函数，但仍将其看成连续函数来分析).给出下列三个结论:①当销量为1000件时，总收益最大;
②若销量为800件时，总收益为T ，则当销量增加400件时，总收益仍为T ;③当销量从500件增加到501件时，总收益改变量的近似值为500.其中正确结论的个数为
A.0
B.1
C.2
D.3
第二部分（非选择题
共60分）
二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。

11.4(12)x +的展开式中含2x 项的系数为_________.
12.某学校组织趣味运动会，一共设置了3个项目（其中只包含1个球类项目），每位教师只能从3个项目中随机选择2个参加，设李老师选择的2个项目中所含球类项目的数量为X ，则X 的所有可能取值为_________，数学期望()E X =_________.
13.已知数列{}1n a +是公比为2的等比数列，若10a =，则12n a a a +++= ________.
14.甲乙两人射击一架进入禁飞区的无人机.已知甲乙两人击中无人机的概率分别为0.5，0.4,且甲乙射击互不影响，则无人机被击中的概率为_________.若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为0.2；若恰好被两人击中，则被击落的概率为0.6，那么无人机被击落的概率为_______
15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11a =,当2n ≥时，22
n n S a λ-=.给出下列四个结论:①当0
λ=时,31
4
a =-
;②当3λ=-时,20242S =;
③当4λ=时,2,2n n S ∀≥>恒成立;④当1λ>时，{}n a 从第三项起为递增数列.其中所有正确结论的序号为_________.
三、解答题共4小题，共40分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

16.（本小题8分）
已知函数()()21x f x x e x =--.
（Ⅰ）判断()f x 在(),0-∞上的单调性，并证明；（Ⅱ）求()f x 在()0,+∞上的零点个数.
某公司有甲乙两条生产线生产同一种产品，为了解产品的质量情况，对两条生产线生产的产品进行简单随机抽样，经检测得到了A 、B 的两项质量指标值，记为,A B q q ，定义产品的指标偏差
12A B Q q q =-+-，数据如下表：
甲生产线抽样
产品编号
指标
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A q 0.980.96 1.07 1.020.990.930.920.96 1.11 1.02
B q 2.01 1.97 1.96 2.03 2.04 1.98 1.95 1.99 2.07 2.02Q
0.03
0.07
0.11
0.05
0.05
0.09
0.13
0.05
0.18
0.04
乙生产线抽样
产品编号
指标
12345678
A q 1.020.970.950.94 1.130.980.97 1.01
B q 2.01 2.03 2.15 1.93 2.01 2.02 2.19 2.04Q
0.03
0.06
0.20
0.13
0.14
0.04
0.22
0.05
假设用频率估计概率，且每件产品的质量相互独立.
（I ）从甲生产线上随机抽取一件产品，估计该产品满足1A q >且2B q >的概率；
（II ）从甲乙两条生产线上各随机抽取一件产品，设X 表示这两件产品中满足2B q >的产品数，求X 的分布列和数学期望()E X ;
(Ⅲ)已知Q 的值越小则该产品质量越好.如果甲乙两条生产线各生产一件产品，根据现有数据判断哪条生产线上的产品质量更好？并说明理由.
18.（本小题11分）
已知()2ln x ax x b
f x x
++=
（I ）当3,1a b =-=-时，求曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程;（II ）已知()f x 有两个极值点12,x x ，且满足()()120f x f x +=，求b 的值;（III ）在（II ）的条件下，若()1f x x ≥-+在[)1,+∞上恒成立，求a 的取值范围.
已知数列12100:,,,A a a a 满足12100a a a <<< ,集合{}
1100i j S a a i j =+≤≤≤.设S 中有m 个
元素，从小到大排列依次为12,,,m b b b （I ）若,n a n =，请直接写出1,,m m b b ；（II ）若2,n
n a =，求20b ；
（III ）若()2025i j b a a i j =+<，求j 的最小值
20.（本小题14分）
设函数()sin f x x x ωω=+(0)ω>.从下列三个条件中选择两个作为已知，使函数()f x 存在.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）若对于任意的π
[,π]2
x ∈，都有()f x c ≤，求实数c 的取值范围.
条件①：函数()f x 的图象经过点π
(,2)6
-；
条件②：()f x 在区间5ππ
[,]1212
-上单调递增；条件③：π
12
x =
是()f x 的一条对称轴.注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅰ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分析解答，按第一个解答计分.
21.（本小题15分）
设n 为正整数，集合{}12(,,,),(0,1),1,2,,n n k A t t t t k n αα==∈= .对于集合n A 中的任意元素
12(,,,)n x x x α= 和12(,,,)n y y y β= ，定义1122(,,,)n n x y x y x y αβ=⋅⋅⋅ *，1122(||,||,,||)n n x y x y x y αβ=--- ，以及12||n x x x α=+++ .
（Ⅰ）若5n =，(1,1,1,0,1)α=，(0,1,1,0,1)αβ=*，||4β=，求β；
（Ⅱ）若9n =，12,,,k ααα (2)k ≥均为n A 中的元素，且||3i α=(1)i k ≤≤，||0i j αα=*(1)i j k ≤<≤，求k 的最大值；
（Ⅲ）若012,,,,k αααα (2)k ≥均为n A (5)n ≥中的元素，其中0||0α=，||k n α=，且满足1||2i i n αα+=- (01)i k ≤≤-，求k 的最小值.
数学参考答案 第 1 页（共 6 页）
海淀区2024年高二年级学业水平调研
数学参考答案 2024.07
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）B （2）B （3）C （4）B （5）A （6）B （7）C （8）C （9）D （10）D 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） （11 ）24
（12）0,1 ；
23
（13）21n n --
（14）0.7 ；0.22 （15）①③④
三、解答题（共4小题，共40分） （16）（共8分）
解：（Ⅰ）()f x 在(,0)-∞上单调递增，证明如下：
因为2()(1)e x f x x x =--，
所以'()e (1)e 2e 2(e 2)x x x x f x x x x x x =+--=-=-， 又因为(,0)x ∈-∞，从而e 2120x -<-<， 所以'()(e 2)0x f x x =->， 所以()f x 在(,0)-∞上单调递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）知：'()(e 2)x f x x =-，
因为(0,)x ∈+∞， 令'()0f x =，得ln 2x =．
()f x 与'()f x 在区间(0,)+∞上的情况如下：
数学参考答案 第 2 页（共 6 页）
因为02(0)(01)e 010f =--=-<，
2222(2)(21)e 2e 20f =--=->，
所以由零点存在定理及()f x 单调性可知，()f x 在(0,)+∞上恰有一个零点．
（17）（共10分）
解：（Ⅰ）记A 表示“从甲生产线上随机抽取一件产品，该产品满足1A q >且2B q >”．
用频率估计概率，则3
()10
P A =
． 所以该产品满足1A q >且2B q >的概率为
310
. （Ⅱ）由题意，X 的所有可能取值为0，1，2.
511
(0)10816P X ==⨯=， 51571(1)1081082P X ==⨯+⨯=，
577
(2)10816
P X ==
⨯=. 所以X 的分布列为
所以X 的数学期望为11711012162168
EX =⨯
+⨯+⨯=. （Ⅲ）甲生产线上的产品质量更好，
因为甲生产线上Q 值的平均值0.80
0.0810
Q ==甲， 乙生产线上Q 值的平均值0.87
0.18
Q =
>乙， 所以甲生产线上Q 值的平均值明显比乙小， 所以甲生产线上的产品质量更好．
其它理由：计算甲生产品的值小于乙的概率
744+5+5+4+3+5+2+691
810162
++=>⨯
（注：答案不唯一，理由需要支撑相应结论，只计算甲乙方差不能作为理由。

）
Q
数学参考答案 第 3 页（共 6 页）
（18）（共11分）
解：（Ⅰ）当3,1a b =-=-时，1
()3ln f x x x x
=--， ，
所以 2
31'()1f x x x =-
+， 所以 '(1)1f =-.
所以 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-+.
（Ⅱ）因为()ln b
f x x a x x
=++
，(0,)x ∈+∞. 所以222
'()1a b x ax b
f x x x x +-=+-=
. 因为()f x 有两个极值点12,x x ， 所以'()f x 有两个大于0的变号零点， 所以方程20x ax b +-=有两个不等正根， 所以212124000a b x x b x x a ⎧∆=+>⎪=->⎨⎪+=->⎩，解得240
a b
b a ⎧>-⎪
<⎨⎪<⎩
. 又因为12()()0f x f x +=， 即有112212
ln ln 0b b
x a x x a x x x ++
+++=， 整理得12
121212
()ln()0x x x x a x x b x x ++++=， 代入1212,x x b x x a =-+=-， 可得()ln()0a
a a
b b
b
--+-+=-，解得1b =-. 又因为240a b
a ⎧>-⎨<⎩
，所以可得2a <-.
经检验，符合题意.
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知1b =-且2a <-，从而1
()ln f x x a x x
=+-
， 因为()1f x x ≥-+在[1,)+∞上恒成立，
(1)0f =
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令1
()()12ln 1g x f x x x a x x
=+-=+-
-，[1,)x ∈+∞. 则有()0g x ≥在[1,)+∞上恒成立，易得(1)2ln1110g a =+--=，
因为222
121
'()2a x ax g x x x x ++=++=，所以'(1)3g a =+，
令，，()13h a =+，对称轴4
a
x =-. （1）当32a -≤<-时，()130h a =+≥，344
a x =-
≤， 所以()h x 在[1,)+∞单调递增，从而()(1)30h x h a ≥=+≥恒成立， 所以2
()
'()0h x g x x =
≥在[1,)+∞也恒成立， 所以()g x 在[1,)+∞单调递增，从而()(1)0g x g ≥=恒成立. （2）当3a <-时，()130h a =+<，
所以有两个不等实根34,x x （不妨设34x x <）， 所以341x x <<，且当4(1,)x x ∈时，，从而， 所以在4[1,]x 上单调递减，
所以4()(1)0g x g <=，与“()0g x ≥在[1,)+∞上恒成立”矛盾！ 综上，a 的取值范围是[3,2)--.
2()21h x x ax =++[1,)x ∈+∞2210x ax ++=()0h x <2()
'()0h x g x x
=<()g x
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（19）（共11分）
解：（Ⅰ）197m =，13b =，199m b =.
（Ⅱ）因为对任意1100i j ≤<≤，都有12112222i i i i i i a a a a +++++=+<<+，
198i ≤≤， 所以12,,,m b b b 依次为
12122,b =+
13232322,22,b b =+=+ 14344622,
,22,b b =+=+ 154571022,
,22,b b =+=+ 1656111522,,22,b b =+=+ 1767162122,
,22,
b b =+=+
所以572022160b =+=. （Ⅲ）min 25j =.
先证明：25j ≥. 方法1：
考虑从1100,,...,j j a a a -这102j -个数中任取2个求和， 这些和都不小于1j j a a -+，
因为1i j j j a a a a -+≤+，所以2
102C 49502024j -+≤，从而2
102C 2926j -≤，因为2
77C 2926=，所以10276j -≤，即25j ≥． 方法2：
假设24j ≤，则23i ≤. 则20252324i j b a a a a =+≤+，
因为满足2324()m k a a a a m k +<+<的必要条件是23m <（因为若23m ≥，则
数学参考答案 第 6 页（共 6 页）
24k ≥，不等式不成立），
所以小于2324a a +的和式至多有以下情况：
12131100,,,a a a a a a +++； 23210023,,
,a a a a a a +++；
……
2223222422100,,
,a a a a a a +++；
共99+98+ (78)
()997822
194720242
+⨯=<，不合题意.
其次，证明存在符合要求的数列. 构造：令1
112k k a -⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭
，1,2,
,99k =，1001a =.
显然满足12100a a a <<<，
且1
1
100
1211122222k k k k k k a a a a -+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-<--=+ ⎪
⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
，1,2,
,98k =.
此时，20252425b a a =+，故min 25j =.
（注：n a 构造方法不唯一）。