秋九年级数学上册 24.3 一元二次方程根与系数的关系课堂导学案 (新版)冀教版-(新版)冀教版初中

24.3 一元二次方程根与系数的关系
能力点1利用根与系数的关系求代数式的值
题型导引利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值时，常见的代数式有：
(1)x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2；
(2)1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2
； (3)(x 1＋1)(x 2＋1)＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1；
(4)x 2x 1＋x 1x 2＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2
； (5)|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2.
【例1】已知一元二次方程2x 2－6x －1＝0的两实数根为x 1，x 2，不解方程，求代数式x 1x 2＋x 2
x 1
的值． 分析：代数式x 1x 2＋x 2x 1＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2
，然后根据根与系数的关系可知，x 1＋x 2＝3，x 1·x 2＝－12
，然后代入求值即可．
解：∵x 1＋x 2＝3，x 1·x 2＝－12
， ∴x 1x 2＋x 2x 1＝x 2
1＋x 22x 1·x 2 ＝（x 1＋x 2）2
－2x 1·x 2x 1·x 2 ＝32－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－12
＝－20.
规律总结在利用根与系数的关系求代数式的值时，首先将所求的代数式转化为含有x 1＋x 2，x 1·x 2的形式，然后利用根与系数的关系求得x 1＋x 2，x 1·x 2的值，最后将其代入所求的代数式并求值即可．
变式训练
已知x 1，x 2是方程x 2－2x －2＝0的两实数根，不解方程求下列各式的值：
(1)2x 1＋2x 2
；
(2)1
x2－
1
x1
.
分析：欲求2
x1
＋
2
x2
，
1
x2
－
1
x1
的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，再
把两根之和、两根之积代入其中计算即可．因为x1与x2的大小不明确，所以对x1与x2的大小分情况讨论．
解：根据根与系数的关系得x1＋x2＝2，x1·x2＝－2，
(1)2
x1＋
2
x2
＝
2（x1＋x2）
x1x2
＝
4
－2
＝－2；
(2)①当x1<x2时，
1 x1－
1
x2
＝
x2－x1
x1x2
＝
（x2－x1）2
－2
＝x21＋x22－2x1x2
－2
＝（x1＋x2）2－4x1x2
－2
＝22－4×（－2）
－2
＝－3；
②当x1>x2时，
1 x1－
1
x2
＝
x2－x1
x1x2
＝－（x2－x1）2
－2
＝－x21＋x22－2x1x2
－2
＝－（x1＋x2）2－4x1x2
－2
＝－22－4×（－2）
－2
＝ 3.
能力点2已知一元二次方程的一个根求其另一个根及字母系数的值
题型导引在问题中给出一元二次方程的一个根，将其代入到根与系数的关系式中确定另一个根或字母系数的取值X围．
【例2】已知方程x2－4x＋m＝0的一个根为－2，求该方程的另一根及m的值．
分析：根据题意得两根之和等于－4，可以求出方程的另一根，再根据两根之积等于m 求m的值；也可以先把x＝－2代入方程求出m的值，然后再把m的值代入方程，通过解一
元二次方程求出方程的另一根．
解法一：设原方程的两根为x 1，x 2，
则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝m .
∵x 1＝－2，∴x 2＝4－x 1＝6，m ＝x 1x 2＝－12.
故所求方程的另一根是6，m 的值为－12.
解法二：把x ＝－2代入原方程x 2－4x ＋mm ＝－12.
解方程x 2－4x －12＝0，得x 1＝－2，x 2＝6.
故所求方程的另一根是6，m 的值为－12.
规律总结一元二次方程根与系数的关系是x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a
，运用这一关系，可以很简洁地解决与方程系数有关的问题．已知方程的一根求其另一根：当常数项含有字母系数时，利用两根之和求另一根；当一次项含有字母系数时，利用两根之积求另一根．
变式训练
1．已知关于x 的方程x 2＋(2k ＋1)x ＋k 2－2＝0的两实根的平方和等于11，则k 的值为________．
2．已知关于x 的一元二次方程2(x －1)2－m ＝x 2＋x 的一根为－1，求其另一根及m 的值． 分析解答
1．解析：设方程x 2＋(2k ＋1)x ＋k 2－2＝0的两根为x 1，x 2，
则x 1＋x 2＝－(2k ＋1)，x 1·x 2＝k 2－2，
∵x 21＋x 22＝11，
∴(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝11.
∴(2k ＋1)2－2(k 2－2)＝11，
解得k ＝1或－3.
∵Δ＝(2k ＋1)2－4×(k 2－2)＝4k ＋9＞0，
∴k ＞－94
.故k 的值应为1. 答案：1
2．解：∵关于x 的一元二次方程2(x －1)2－m ＝x 2＋x 的一根为－1，
∴2×(－1－1)2－m＝(－1)2＋(－1)．∴m＝8，
原方程可变形为2(x－1)2－8＝x2＋x，整理得x2－5x－6＝0.
设方程的另一根为x1，
又∵x＝－1，
∴x1·(－1)＝－6，
解得x1＝6.
故所求方程的另一根为6.。