10.2两条直线平行与垂直的条件
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(2)垂直于直线 2x y 3 0 .
10.2.2两条直线垂直的条件
如图，当 l1 l2 时，
（1）斜率均存在时：l1 : y k1x b1 ；l2 : y k2x b2
k1
tan1
BC AB
k2
tan2
tan(π 3 )
tan3
AB BC
所以 k1 k2 1.
（2）如直线 l1 的斜率不存在，即1 90 ，则直线 l2 的倾斜
（1）斜率存在时，l1 : y k1x b1 ；l2 : y k2 x b2（ b1 b2 ）
若 1
平行；
2
0 时，则k1
k2
0，直线
y b1 和直线 y b2
若 1 2 0 时，则 k1 k2 0 ，直线 y k1x b1 和直
线 y k2x b2 平行.
（2）斜率不存在时：l1 : x x1 ，l2 : x x2（ x1 x2 ），
2．P(1,0) 是直线 l上一点，且平行于经过 A(3,5) 和 B(2, 7)两点
的直线，求直线 l 的方程.
3．直线 ax y 5 0 与直线 3x 2y c 0平行，判断 a, c
的取值.
10.2.2两条直线垂直的条件
如图：l1 l2他们的倾斜角之间满足 1 2 90 ，那么 他们的斜率之间又存在着什么样的关系呢？
解：（1）两条直线斜率都不存在，即两条直线都与 x 轴垂直，
所以 l1 / /l2 .
（2）l2 可化为y
以 l1 / /l2 .
3x 5，有 kl1
kl2
3
且 bl1
1 bl2
5，所
（3）kl1
2 3
kl2
2 3
，所以 l1与l2 相交
10.2.1两条直线平行的条件
例2 求经过点 A(2, 3) 且平行于直线 y x 1 的直线 l 的
方程.
解 因为所求直线的斜率等于已知直线斜率，也为1
所以由点斜式方程可求得直线方程为 y 3 x 2 ，
化成一般式方程为 x y 1 0 .
例3 直线 x 2y 5 0 与直线 2x by 7 0 平行，
求 b 的值.
解：将两条直线转化成斜截式方程为：y 1 x 5 ，y 2 x 7
角2 0 ，即 k2 0 .
10.2.2两条直线垂直的条件
（1）两条直线斜率都存在时，当 k1 k2 1，两条直线垂 直；
（2）斜率不存在的直线与斜率为0的直线垂直.
k1 k2 1 l1 l2
对于 l1 : A1x B1 y C1 0 ，l2 : A2 x B2 y C2 0 ，
l1 l2
A1A2 B1B2 0
10.2.2两条直线垂直的条件
例1 判断下列各对直线是否垂直
（1）l1 : x 5，l2 :
（2）l1 : y 2x 1，l2
y
:
4
y
；
1x 2
；
（3）l1 : 2x y 1 0，l2 : x 2 y 4 0 .
解：（1）因为直线 l1 的斜率不存在，即1 90 ，直线 l2的斜
化为一般式方程为x y 2 0
10.2.2两条直线垂直的条件
例3 ABC 中，已知 A(6, 2)，B(3,3)，C(4,1) 试说明： ABC
是直角三角形.
证明：kAB
32 36
1 3
，kAC
1 2 46
1 2
，k
BC
13 43
2
k AC
kBC
1 (2) 2
1
AC BC
ABC是直角三角形
直线 x x1 和直线 x x2平行.
10.2.1两条直线平行的条件
（1）两条直线斜率不存在时，两条直线都与x 轴垂直，
所以两条直线平行；
（2）两条直线斜率都存在时，如果斜率相等且在 y 轴的
截距不相等，则两条直线平行.
即设 l1 : y k1x b1；l2 : y k2 x b2 ，当k1 k2且 b1 b2 时，l1 / /l2 .
第十章 直线与圆的方程
10.2两条直线平行与垂直的 条件
10.2.1两条直线平行的条件
如图，平面中的两条直线如果互相平行，我们可知两条 直线的倾斜角均相等，反之如果两条直线的倾斜角相等，则 这两条直线也互相平行.
即 l1 / /l2 (或重合） 1 2
10.2.1两条直线平行的条件
倾斜角相等，直线就平行（或重合）
率为0，即 2 （2） k1 2,
0
k2
， 1
2
l1
l2
，得
k1 k2
2 ( 1) 1 2
l1 l2
（3） 211 2 4 0 ， l1与l2不垂直
10.2.2两条直线垂直的条件
例2 已知直线 l 经过点A(0, 2)，且垂直于直线 x y 1 0 ，
求直线 l 的方程.
解：因为直线斜率 k1 1所求直线与已知直线互相垂直， 即 k1 k2 1 所以所求直线斜率k2 1 所以由点斜式方程得直线方程为 y 2 1 (x 0)
提示：此题也可用两点间距离公式求出边长，然后用勾股 定理证明.
10.2.2两条直线垂直的条件
1．判断下列各对直线是否平行或垂直：
(1) y 4 0与x 1 ；
(2) y x与2x 2y 3 0 ； (3) x 3y 3 0与3x y 2 0； (4) 2x y 5 0与x 2 y 2 0 . 2．求过点P(1, 3)，且分别适合下列条件的直线方程： (1)平行于直线 x y 7 0 ；
对于直线一般式方程： 设 l1 : A1x B1 y C1 0 ，l2 : A2x B2 y C2 0
由l1 / /l2 可得：A1B2 A2B1 0
10.2.1两条直线平行的条件
例1 判断下列各组直线的位置关系：
（1） l1 : x 1 0，l2 : x 5 0；
（2） l1 : y 3x 1，l2 : 3x y 5 0 ； （3） l1 : 2x 3y 10 0，l2 : 2x 3y 5 0 .
22
bb
依题有：1 2 ， 2b
所以 b 4 .
10.2.1两条直线平行的条件
1．判断下列各组直线的位置关系：
（1）l1 : y 6；l2 : y 3 0 ；
（2）l1 : y 2x；l2 : 4x 2 y 3 0 ；
（3）l1 : x 2 y 8 0；l2 : 3x 6 y 2 0 .
10.2.2两条直线垂直的条件
如图，当 l1 l2 时，
（1）斜率均存在时：l1 : y k1x b1 ；l2 : y k2x b2
k1
tan1
BC AB
k2
tan2
tan(π 3 )
tan3
AB BC
所以 k1 k2 1.
（2）如直线 l1 的斜率不存在，即1 90 ，则直线 l2 的倾斜
（1）斜率存在时，l1 : y k1x b1 ；l2 : y k2 x b2（ b1 b2 ）
若 1
平行；
2
0 时，则k1
k2
0，直线
y b1 和直线 y b2
若 1 2 0 时，则 k1 k2 0 ，直线 y k1x b1 和直
线 y k2x b2 平行.
（2）斜率不存在时：l1 : x x1 ，l2 : x x2（ x1 x2 ），
2．P(1,0) 是直线 l上一点，且平行于经过 A(3,5) 和 B(2, 7)两点
的直线，求直线 l 的方程.
3．直线 ax y 5 0 与直线 3x 2y c 0平行，判断 a, c
的取值.
10.2.2两条直线垂直的条件
如图：l1 l2他们的倾斜角之间满足 1 2 90 ，那么 他们的斜率之间又存在着什么样的关系呢？
解：（1）两条直线斜率都不存在，即两条直线都与 x 轴垂直，
所以 l1 / /l2 .
（2）l2 可化为y
以 l1 / /l2 .
3x 5，有 kl1
kl2
3
且 bl1
1 bl2
5，所
（3）kl1
2 3
kl2
2 3
，所以 l1与l2 相交
10.2.1两条直线平行的条件
例2 求经过点 A(2, 3) 且平行于直线 y x 1 的直线 l 的
方程.
解 因为所求直线的斜率等于已知直线斜率，也为1
所以由点斜式方程可求得直线方程为 y 3 x 2 ，
化成一般式方程为 x y 1 0 .
例3 直线 x 2y 5 0 与直线 2x by 7 0 平行，
求 b 的值.
解：将两条直线转化成斜截式方程为：y 1 x 5 ，y 2 x 7
角2 0 ，即 k2 0 .
10.2.2两条直线垂直的条件
（1）两条直线斜率都存在时，当 k1 k2 1，两条直线垂 直；
（2）斜率不存在的直线与斜率为0的直线垂直.
k1 k2 1 l1 l2
对于 l1 : A1x B1 y C1 0 ，l2 : A2 x B2 y C2 0 ，
l1 l2
A1A2 B1B2 0
10.2.2两条直线垂直的条件
例1 判断下列各对直线是否垂直
（1）l1 : x 5，l2 :
（2）l1 : y 2x 1，l2
y
:
4
y
；
1x 2
；
（3）l1 : 2x y 1 0，l2 : x 2 y 4 0 .
解：（1）因为直线 l1 的斜率不存在，即1 90 ，直线 l2的斜
化为一般式方程为x y 2 0
10.2.2两条直线垂直的条件
例3 ABC 中，已知 A(6, 2)，B(3,3)，C(4,1) 试说明： ABC
是直角三角形.
证明：kAB
32 36
1 3
，kAC
1 2 46
1 2
，k
BC
13 43
2
k AC
kBC
1 (2) 2
1
AC BC
ABC是直角三角形
直线 x x1 和直线 x x2平行.
10.2.1两条直线平行的条件
（1）两条直线斜率不存在时，两条直线都与x 轴垂直，
所以两条直线平行；
（2）两条直线斜率都存在时，如果斜率相等且在 y 轴的
截距不相等，则两条直线平行.
即设 l1 : y k1x b1；l2 : y k2 x b2 ，当k1 k2且 b1 b2 时，l1 / /l2 .
第十章 直线与圆的方程
10.2两条直线平行与垂直的 条件
10.2.1两条直线平行的条件
如图，平面中的两条直线如果互相平行，我们可知两条 直线的倾斜角均相等，反之如果两条直线的倾斜角相等，则 这两条直线也互相平行.
即 l1 / /l2 (或重合） 1 2
10.2.1两条直线平行的条件
倾斜角相等，直线就平行（或重合）
率为0，即 2 （2） k1 2,
0
k2
， 1
2
l1
l2
，得
k1 k2
2 ( 1) 1 2
l1 l2
（3） 211 2 4 0 ， l1与l2不垂直
10.2.2两条直线垂直的条件
例2 已知直线 l 经过点A(0, 2)，且垂直于直线 x y 1 0 ，
求直线 l 的方程.
解：因为直线斜率 k1 1所求直线与已知直线互相垂直， 即 k1 k2 1 所以所求直线斜率k2 1 所以由点斜式方程得直线方程为 y 2 1 (x 0)
提示：此题也可用两点间距离公式求出边长，然后用勾股 定理证明.
10.2.2两条直线垂直的条件
1．判断下列各对直线是否平行或垂直：
(1) y 4 0与x 1 ；
(2) y x与2x 2y 3 0 ； (3) x 3y 3 0与3x y 2 0； (4) 2x y 5 0与x 2 y 2 0 . 2．求过点P(1, 3)，且分别适合下列条件的直线方程： (1)平行于直线 x y 7 0 ；
对于直线一般式方程： 设 l1 : A1x B1 y C1 0 ，l2 : A2x B2 y C2 0
由l1 / /l2 可得：A1B2 A2B1 0
10.2.1两条直线平行的条件
例1 判断下列各组直线的位置关系：
（1） l1 : x 1 0，l2 : x 5 0；
（2） l1 : y 3x 1，l2 : 3x y 5 0 ； （3） l1 : 2x 3y 10 0，l2 : 2x 3y 5 0 .
22
bb
依题有：1 2 ， 2b
所以 b 4 .
10.2.1两条直线平行的条件
1．判断下列各组直线的位置关系：
（1）l1 : y 6；l2 : y 3 0 ；
（2）l1 : y 2x；l2 : 4x 2 y 3 0 ；
（3）l1 : x 2 y 8 0；l2 : 3x 6 y 2 0 .