【全国百强校】高考总复习精品课件10对数与对数函数【推荐】.pdf

答案:B
2.设a>1,且m=loga(a2+1),n=loga(a-1),p=loga(2a),则m,n,p 的大小关系为()
A.n>m>pB.m>p>n
C.m>n>pD.p>m>n 解析:因为2a-(a-1)=a+1,且a>1,所以2a-(a-1)>0,即2a>a-1>0;
又a2+1-2a=(a-1)2,则a2+1>2a>0.因为a>1,所以函数 y=logax在(0,+∞)上是增函数,所以 loga(a2+1)>loga(2a)>loga(a-1),所以m>p>n,故选B. 答案:B
个公共点,求实数a的取值范围.
[分析]由偶函数的定义建立关于k的方程求出k的值;对于(2), 可转化为相应方程只有一个实数解的问题进行求解.
[解]1由函数f x是偶函数可知: f x f x ,
log4 4x 1 kx log4 4x 1 kx,
考点陪练
1.已知函数
f (x) 1 1 x
的定义域为
M,g(x)=ln(x+1)的定义域N,则M∩N=()
A.{x|x>-1} C.{x|x<1}
B.{x|-1<x<1} D.∅
解析:要使函数f(x)有意义,则必须有1-x>0,即x<1,所以f(x)的 定义域为{x|x<1};要使函数g(x)有意义,则必须有 x+1>0,x>-1,所以g(x)的定义域为{x|x>-1}.所以M∩N={x|1<x<1},故选B.

解析
:由题意可得
a 0 log2a

log2a
或
a 0
log
1 2
(a)

log2
(a)，
解之可得a 1或 1 a 0,因此选C.
答案:C
类型一
对数的运算
解题准备:对数化简求值问题的常见思路:一是将对数的和､差 ､积､商､幂转化为对数真数的积､商､幂;二是将式子化为最 简单的对数的和､差､积､商､幂,合并同类项后再进行运算, 解题过程中,要抓住式子的特点,灵活使用运算法则.
loga 1 1, a 1
logab , logba
logambn n logab, m
logab logbc logca 1.
4.对数函数的定义
一般地,函数y=logax(a>0,a≠1,x>0)叫做对数函数,它的定义 域为(0,+∞),值域为R.
5.对数函数的图象与性质
y=logax
[解]要使2x

loga x

0在
0,
1 2

上恒成立,
即使不等式2x

log
a
x在

0,
1 2

上恒成立,
即使函数y

2x的图象在

0,
1 2
内恒在函数
y logax的下方.
由于y

2x的图象过点

1 2
,
2

,由图可知需
loga 1≥ 2, 2
类型四
对数函数的综合问题
解题准备:对于指､对数函数的综合应用,不仅重视指､对数函 数内在的综合联系,还要重视函数与其他知识的综合渗透, 以及在实际问题中的应用.
【典例4】已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数. (1)求k的值;
(2)设g(x)=log4(a•2x-a),若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一
;当a>1时,图象向下无限接近y轴);对于相同的a,函数
f(x)=logax与g(x)=
log1 x
a
的图象关于x轴对称.
【典例2】若不等式2x

loga x

0,当x


0,
1 2

时恒成立, 求实数a的取值范围.
[分析]在同一坐标系下画出y=2x与y=logax的图 象,数形结合求解.
5.(2010
天津)设函数f
x

log2 x,
log
1 2
(
x),
.若f a f a ,则实数a的取值范围是
A.1,0 0,1
B., 1 1,
C.1,0 1,
D., 1 0,1
x 0, x 0.
(2)假设存在实数a使f(x)的最小值为0,则h(x)=ax2+2x+3应有 最小值1,因此应有
a 0, 12a 4a
4
解得a 1,

1 2
.
故存在实数a 1 使f x的最小值等于0.
2
[反思感悟]研究复合函数y=logaf(x)的单调性(最值)时,应先 研究其定义域,分析复合的特点,结合函数u=f(x)及y=logau 的单调性(最值)情况确定函数y=logaf(x)的单调性(最值).
[错解]y

2log x2 4

2log x1 2

1 x
,图象如图所示.
[剖析]错解因为错用了对数的性质,在函数式变形过程中出现
了错误,函数的变形过程不是等价变形,即原函数y=2log4x-2 的定义域是x≠0的全体实数,值域是y>0.函数 y 1
x
的定义域是x≠0,值域是y≠0,而在变形中函数y=2log2x-1的定义
【典例1】求下列式子的值.
log43 log83log3 2 log9 2 log1 4 32.
2
[分析]关于对数运算的题目,往往需要利用对数的运算性质､ 对数恒等式､换底公式等进行变形和求解.
5
[解]原式 log223 log233log3 2 log32 2 log1 24
函数y

loga x递减.而loga
1≥ 2
2 logaa
2,
1
2
a
2
≥
1 2
,即a≥
1 2

2


1 2

2
.
2
故所求的a的范围为
1 2
2
≤a
1.
类型三
对数函数的性质
解题准备:利用对数函数的性质可以比较对数的大小,解对数 不等式,也可以求与对数函数有关的函数的定义域和值域, 还可以判断对数函数与其他函数复合以后的函数的单调性
.
【典例3】已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3). (1)若f(1)=1,求f(x)的单调区间;
(2)是否存在实数a,使f(x)的最小值为0?若存在,求出a的值;若 不存在,说明理由.
[分析]由f(1)=1求出a的值,然后根据复合函数的单调性求单 调区间;根据对数函数的性质和二次函数的最值求a的值.
log
4
4x 4 x
1 1

2kx,
即x 2kx对一切x R恒成立,
k 1. 2
2函数f x与g x的图象有且只有一个公共点,
即方程log4
4x 1

1 2
x

log4
aຫໍສະໝຸດ 2x4 3
a

有且只有一个实根.化简得 : 方程2x

1 2x
[解](1)∵f(1)=1, ∴log4(a+5)=1,因此a+5=4,a=-1, 这时f(x)=log4(-x2+2x+3). 由-x2+2x+3>0得-1<x<3, 函数定义域为(-1,3). 令g(x)=-x2+2x+3. 则g(x)在(-∞,1)上递增,在(1,+∞)上递减,
又y=log4x在(0,+∞)上递增, 所以f(x)的单调递增区间是(-1,1), 递减区间是(1,3).
4.已知函数f x logax在2, 上恒有 f x 1,则（ ）
A.0 a 1 或1 a 2 2
B.0 a 1 或a 2 2
C. 1 a 1或1 a 2 2
D. 1 a 1或a 2 2
解析:①若a>1,则f(x)=logax在[2,+∞]上是增函数,且当x≥2时 ,f(x)>0.
2 loga
M N
logaM loga N;
3 logaMn nlogaM n R .
3.换底公式及常见结论
1换底公式 : logbN loga N (a,b 0且a,b 1, N 0).
logab
2常见结论(其中a, b, c 0且a, b, c 1);
(4)常用对数:通常将以10为底的对数叫做常用对数,N的常用 对数log10N简记为lgN.
(5)自然对数:以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对 数,N的自然对数logeN简记作lnN.
2.对数的运算性质 如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么
1 loga (M N) logaM loga N;
3.下列四个数中最大的是( )
A.(ln2)2
B.ln(ln2)
C.ln 2
D.ln2
解析 :由于函数y lnx在(0, )上是增函数, 所以0 ln1 ln2 lne 1,
所以ln22 ln2, ln ln2 0, 0 ln 2 ln2,故选D.
答案:D
第十讲对数与对数函数
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1.对数概念 (1)定义:一般地,对于指数式ab=N,把数b叫做以a为底N的对数
,记作logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数. (2)对数性质 ①零和负数没有对数,即N>0; ②1的对数为0,即loga1=0(a>0且a≠1); ③底的对数等于1,即logaa=1(a>0且a≠1). (3)对数恒等式:alogaN=N(a>0且a≠1,N>0).
由|f(x)|>1得f(x)>1,即logax>1. ∵当x∈[2,+∞)时,logax>1恒成立
,∴loga2>1,∴loga2>logaa,∴1<a<2.
②若0<a<1,则f(x)=logax在[2,+∞)上是减函数,且当x≥2时 ,f(x)<0.
∴由|f(x)|>1得-f(x)>1,
∴f(x)<-1,即logax<-1.
域是x>0,值域是y>0,因而原函数的图象显然是错误的.
[正解]y

2log x2 4

2log |x1 2
||
1 x
|,
图象如图所示.
错源二
忽视真数大于0
【典例2】已知lgx lgy 2lg x 2y,求log 2 x 的值.
y
[错解]因为lgx lgy 2lg x 2y,
2


1 2
log2
3

1 3
log2
3

log3
2

1 2
log3
2


5 4

5 6
log2 3
3 2
log3 2

5 4
5 5 5. 44 2
类型二
对数函数的图象
解题准备:对数函数的图象:经过点(1,0),且图象都在第一､四
象限;都以y轴为渐近线(当0<a<1时,图象向上无限接近y轴
a>1
图象
0<a<1
性质
定义域:(0,+∞)
值域:R
过点(1,0),即x=1时,y=0
当x>1时,y>0;
当x>1时,y<0;
当0<x<1时,y<0
当0<x<1时,y>0
在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数
x的 图象关于x轴对称
6.反函数
指数函数y=ax(a>0,a≠1)与对数函数y=logax(a>0,a≠1,x>0)互 为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.
4
2
③一个正根与一个负根,即 1 0 a 1. a 1
综上: 实数a的取值范围是3 1, .
[反思感悟]本题的求解主要体现了函数与方程思想的应用,这 种思想方法是高考的热点,在求解函数问题､方程问题中非常 有用.
错源一
错用对数运算性质造成变形不等价
【典例1】作出函数y=2log4x-2的图象.

a
2x

4a 3
有且只有一个实根,
令t 2x 0,则方程a 1 t2 4 at 1 0有且只有一个正根,
3
①a 1 t 3 ,不合题意; 4
② 0 a 3 或 3, 4
若a 3 t 2,不合题意;若a 3 t 1 ;
∵当x∈[2,+∞)时,logax<-1恒成立,
1 loga 2 1,loga 2 loga a ,

0 1 a
a 2,
1,
1 2

a

1.
所求a的取值范围是

1 2
,1
(1, 2),故答案选C.
答案:C
评析:在对数函数中如果底数含有字母,通常把底数与1比较大 小,进行分类讨论.
所以xy x 2y2 ,即x2 5xy 4y2 0,
所以x y或x 4y,即 x 1或 x 4,
y
y
所以log 2 x 0,或log 2 x 4.
y
y
[剖析]错误的原因在于忽视了原式中的三个对数式隐含的条 件,x>0,y>0,x-2y>0,所以x>2y>0,所以x=y不成立.