高中数学 1.3平均值不等式课件 北师大版选修45
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3.会用相关定理解决简单的最大(最小)值问题.
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1 .二 元 均值不等式 (1)定理 1:
对任意实数 a,b,有 a2+b2≥2ab(此式当且仅当 a=b 时取“=”号). (2)定理 2: 对 我任 们意 称两 ������+2 个 ������为正正数数aa,b与,有b������+2的������ 算≥术���平���������(均此值式,当���且���������为仅正当数a=ab与时b取的“几=”何号平). 均 值. 定理 2 可叙述为:两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值.
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:当 a>b>0 时,������2+2 ������2 > 22������������=ab 成立,当 ab<������2+2 ������2时,不能推出 “a>b>0”,故选 A.
答 案 :A
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2 .三 元 均值不等式及其推广
(1)定理 3:
对任意三个正数a,b,c,有a3+b3+c3≥3abc(此式当且仅当a=b=c 时取“=”
号).
(2)定理 4:
对任意三个正数 a,b,c,有������+3������+������ ≥ 3 ������������������(此式当且仅当 a=b=c 时取“=” 号).
=
9������ ������
, 4������
������
=
9������������,且
x+y+z=1,
即 x=16,y=13,z=12时取等号.
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当且仅当 x-3=������1-3,即 x=4 时等号成立. 答 案 :A
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【做一做 1-2】 “a>b>0”是“ab<������2+2 ������2”的(
所 以 对所证不等式的左边需变形出现积为定值的情况.
证 明 :1������
+
4 ������
+
9 ������
=
������+������+������ ������
+
4(������+������+������) ������
+
9(������+������+������) ������
=14+
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名师点拨 1.已知 x,y 都是正数,如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当 x=y
时,x+y 有最小值 2 ������; 如果和 x+y 是定值 s,那么当且仅当 x=y 时,xy 有最大值���4���2. 即 两 个正数的积为常数时,它们的和有最小值;两个正数的和为常数时,
������
…������������分别称为这 n 个正数的算术平均值与几何平均值, ������ ������1������2…������������,此式当且仅当a1=a2=…=an 时取“=”号,即n
个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值.
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������ + 4������
������ ������
+
������ + 9������
������ ������
+
4������ + 9������
������ ������
≥14+4+6+12=36.
当 且 仅当������
������
=
4������ ������
,
������ ������
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【 做 一做
2】
设
x,y,z∈R+,且
x+y+z=1.求证:1������
+
4 ������
+
9������≥36.
分析:本题需变式出现积为定值的情况,而条件中是和为定值 x+y+z=1,
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【做一做 1-1】 函数 y=������1-3+x(x>3)的最小值是( )
A.5
B.4
C.3
D.2
解析:原式变形为 y=������1-3+x-3+3.
∵x>3,∴x-3>0,∴������1-3>0.
∴y≥2 (������-3)·������1-3+3=5.
定理 4 可叙述为:三个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值.
(3)n 个正数的算术-几何平均不等式:
一般地,对 n 个正数 a1,a2,…,an(n≥2),我们把数值
a且1+有a2���+n���1…+���+���2a+n…, ���+��� ������������������1���≥���2
它 们 的积有最大值. 2.利 用 均值不等式求最值时,必须同时满足三个条件,各项均为正数,其
和 或 积为常数,等号必须能成立,即一正、二定、三相等.
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§3 平均值不等式
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1.掌握定理 1 和定理 2 及其证明,并能灵活应用. 2.理解定理 3 和定理 4 及其证明,并能简单应用.
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1 .二 元 均值不等式 (1)定理 1:
对任意实数 a,b,有 a2+b2≥2ab(此式当且仅当 a=b 时取“=”号). (2)定理 2: 对 我任 们意 称两 ������+2 个 ������为正正数数aa,b与,有b������+2的������ 算≥术���平���������(均此值式,当���且���������为仅正当数a=ab与时b取的“几=”何号平). 均 值. 定理 2 可叙述为:两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值.
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:当 a>b>0 时,������2+2 ������2 > 22������������=ab 成立,当 ab<������2+2 ������2时,不能推出 “a>b>0”,故选 A.
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2 .三 元 均值不等式及其推广
(1)定理 3:
对任意三个正数a,b,c,有a3+b3+c3≥3abc(此式当且仅当a=b=c 时取“=”
号).
(2)定理 4:
对任意三个正数 a,b,c,有������+3������+������ ≥ 3 ������������������(此式当且仅当 a=b=c 时取“=” 号).
=
9������ ������
, 4������
������
=
9������������,且
x+y+z=1,
即 x=16,y=13,z=12时取等号.
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当且仅当 x-3=������1-3,即 x=4 时等号成立. 答 案 :A
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【做一做 1-2】 “a>b>0”是“ab<������2+2 ������2”的(
所 以 对所证不等式的左边需变形出现积为定值的情况.
证 明 :1������
+
4 ������
+
9 ������
=
������+������+������ ������
+
4(������+������+������) ������
+
9(������+������+������) ������
=14+
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名师点拨 1.已知 x,y 都是正数,如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当 x=y
时,x+y 有最小值 2 ������; 如果和 x+y 是定值 s,那么当且仅当 x=y 时,xy 有最大值���4���2. 即 两 个正数的积为常数时,它们的和有最小值;两个正数的和为常数时,
������
…������������分别称为这 n 个正数的算术平均值与几何平均值, ������ ������1������2…������������,此式当且仅当a1=a2=…=an 时取“=”号,即n
个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值.
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������ + 4������
������ ������
+
������ + 9������
������ ������
+
4������ + 9������
������ ������
≥14+4+6+12=36.
当 且 仅当������
������
=
4������ ������
,
������ ������
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【 做 一做
2】
设
x,y,z∈R+,且
x+y+z=1.求证:1������
+
4 ������
+
9������≥36.
分析:本题需变式出现积为定值的情况,而条件中是和为定值 x+y+z=1,
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【做一做 1-1】 函数 y=������1-3+x(x>3)的最小值是( )
A.5
B.4
C.3
D.2
解析:原式变形为 y=������1-3+x-3+3.
∵x>3,∴x-3>0,∴������1-3>0.
∴y≥2 (������-3)·������1-3+3=5.
定理 4 可叙述为:三个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值.
(3)n 个正数的算术-几何平均不等式:
一般地,对 n 个正数 a1,a2,…,an(n≥2),我们把数值
a且1+有a2���+n���1…+���+���2a+n…, ���+��� ������������������1���≥���2
它 们 的积有最大值. 2.利 用 均值不等式求最值时,必须同时满足三个条件,各项均为正数,其
和 或 积为常数,等号必须能成立,即一正、二定、三相等.
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