专题06 平面向量 (解析版)

专题06 平面向量
【真题感悟】
1.（2018年浙江卷）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是（）
A．B．C．2 D．
【答案】A
【解析】设，
则由得，
由得
因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.
2.（2017年浙江卷）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记，，，则
A．I１<I２<I３B．I１<I３<I２C．I３<I１<I２D．I２<I１<I３
【答案】C
【解析】因为，，，所以，
故选C．
3.（2019年浙江卷）已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，
123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.
【答案】(1)0 (2)
【解析】
()()12345613562456AB BC CD DA AC BD AB AD λ+λ+λ+λ+λ+λ=λ-λ+λ-λ+λ-λ+λ+λ
要使123456AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λ的最小，只需要
135562460λ-λ+λ-λ=λ-λ+λ+λ=，此时只需要取1234561,1,1,1,1,1λ=λ=-λ=λ=λ=λ=
此时123456min 0AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λ=
等号成立当且仅当1356,,λ-λλ-λ均非负或者均非正，并且2456,,λ-λλ+λ均非负或者均非正. 比如1234561,1,,1,1,11λλλ=-λλ=-=λ===
则123456max AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λ=
=4.（2017年浙江卷）已知向量a,b 满足1,2a b ==，则a b a b ++-的最小值是___________，最大值是______.
【答案】 4
【解析】设向量,a b 的夹角为θ，由余弦定理有： 2
12a b -=+=
212212cos 4cos a b θ+=+-⨯⨯⨯=，则：
54cos a b a b ++-=+
令y =[]2
1016,20y =+，
据此可得：
()
()
max
min
2025,164a b a b a b a b
++-==++-==，
即a b a b ++-的最小值是4，最大值是25．
5.（2016年浙江文）已知平面向量a ，b ，|a|=1，|b|=2，a·b=1.若e 为平面单位向量，则|a·e|+|b·e|的最大值是______.
【解析】由已知得,60<>=︒a b ，不妨取(1,0)=a ，=b ，设(cos ,sin )αα=e ，则
cos cos ααα⋅+⋅=++a e b e 2cos αα，取等号时
cos α与sin α同号．
所以2cos 2cos αααα=
αα=
)αθ=+（其中
sin
θθ=
=
θ为锐角）．
)αθ+≤ 易知当2
αθπ
+=
时，sin()αθ+取最大值1，此时α为锐角，sin ,cos αα同为正，因此上述不等式中等
．
6.（2016年浙江理）已知向量a ，b ，｜a ｜ =1，｜b ｜=2，若对任意单位向量e ，均有 ｜a·e ｜+｜b·e ｜≤
,则a·b 的最大值是 ．
【答案】1
2
【解析】
()221||||262
a b e a e b e a b a b a b a b +⋅≤⋅+⋅≤
+≤⇒++⋅≤⇒⋅≤
，即最大值为12
. 7.（2015年浙江文）已知1e ， 2e 是平面单位向量，且121
2
e e ⋅=
．若平面向量b 满足121b e b e ⋅=⋅=，则b = ．
【解析】由题可知，不妨()11,0e =，
21
2e ⎛=
⎝⎭，设(),b x y =，则11b e x ⋅==，
2112b e x y ⋅=+=，所以31,3b ⎛⎫
= ⎪ ⎝⎭
，所以113b =+=.
8.（2015年浙江理）已知12,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅=
，若空间向量b 满足125
2,2
b e b e ⋅=⋅=，且对于任意,x y R ∈，12010200()()1(,)b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈，则0x = ，0y = ，
b = ．
【答案】1，2，22.
【解析】问题等价于12()b xe ye -+当且仅当0x x =，0y y =时取到最小值1，两边平方即
xy y x y x |+--++5422在0x x =，0y y =时，取到最小值1，2245|b |x y x y xy ++--+ 22(4)5||x y x y b =+--+22243
()(2)7||24y x y b -=++--+，∴⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=+-=-=-+22||211||70
202
4002
000y x y y x . 【考纲要求】
1．理解平面向量及几何意义，理解零向量、向量的模、单位向量、向量相等、平行向量、向量夹角的概念. 2．掌握向量加法、减法、数乘的概念，并理解其几何意义.
3．理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题. 4．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 5．掌握平面向量的加法、减法与数乘的坐标运算.
6．理解平面向量数量积的概念及其意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 7．掌握平面向量数量积的坐标运算，掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系.
8．会用坐标表示平面向量的平行与垂直.
9．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.
【考向分析】
1.平面向量的线性运算
2.平面向量的坐标运算
3.平面向量的数量积、模、夹角.
【高考预测】
平面向量的数量积、模、夹角是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何、不等式等知识相结合，以工具的形式出现．近几年浙江卷主要考查平面向量的坐标运算、模的最值等问题，与三角函数、解析几何密切相连，难度为中等或中等偏难.
【迎考策略】
1.向量线性运算的解题策略
（1）常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．
（2）找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
（3）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．
2. 准确理解共线向量定理
（1）a∥b等价于存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立．对于向量a(a≠0)，b，若存在实数λ，使得b＝λa，则向量a，b共线；若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则x1y2－x2y1＝0⇔a∥b；
（2）共线向量定理是解决三点共线问题的有利工具：解题过程中常用到结论：“P，A，B三点共线”等价于
“对直线AB 外任意一点O ，总存在非零实数λ，使()1OP O OB A λλu u u r u u u u r u r
＝＋－成立”．
3. 基底的“唯一”与“不唯一”
“不唯一”：只要同一平面内两个向量不共线，就可以作为表示平面内所有向量的一组基底，对基底的选取不唯一；
“唯一”：平面内任意向量a 都可被这个平面内的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．
4.平面向量数量积的计算方法
①定义法求平面向量的数量积：已知向量a ，b 的模及夹角θ，利用公式a·b ＝|a ||b|cos θ求解； ②坐标法求平面向量的数量积： (a)已知或可求两个向量的坐标；
(b)已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积．
③基底法求平面向量的数量积：选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解．
(2)对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算． 5.向量数量积的性质
（1）如果e 是单位向量，则a ·e ＝e ·a . （2）a ⊥b ⇔a ·b ＝0.
（3）a ·a ＝|a |2，|a （4）cos θ＝
||||
⋅a b
a b .(θ为a 与b 的夹角)
（5）|a ·b |≤|a ||b |.
6.利用向量夹角公式、模公式，可将有关角度问题、线段长问题转化为向量的数量积来解决．同时应注意： (1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．
(2)两向量夹角的范围为[0，π]，特别当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π. (3)在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围． 7.巧建坐标系系，妙解向量题：
坐标是向量代数化的媒介，若能建立适当的直角坐标系，往往能很快实现问题的转化．常见的建系方法如下：
（1）利用图形中现成的垂直关系
若图形中有明显互相垂直且相交于一点的两条直线(如矩形、直角梯形等)，可以利用这两条直线建立坐标系． （2）利用图形中的对称关系
图形中虽没有明显互相垂直交于一点的两条直线，但有一定对称关系(如：等腰三角形、等腰梯形等)，可利用自身对称性建系．建立平面直角坐标系的基本原则是尽可能地使顶点在坐标轴上，或在同一象限． （3）三角形中有唯一一个特殊角(30°、45°、60°等)时，有以下两种建系方法
（4）圆(或半圆、扇形)与其他图形的综合图形通常以圆心为坐标原点建系．
（5）所给向量中任意两向量之间的夹角为特殊角，将所给向量平移为共起点，以该起点为坐标原点建系．
【强化演练】
1．(2019年高考北京卷理)设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】AB 与AC 的夹角为锐角，所以2222||||2||||2AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅>+-⋅，即
22||||AB AC AC AB +>-，因为AC AB BC -=，所以|AB +AC |>|BC |；
当|AB +AC |>|BC |成立时，|AB +AC |2>|AB -AC |2AB ⇒•AC >0，又因为点A ，B ，C 不共线，所以AB 与AC 的夹角为锐角.故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件,故选C ．
2.(2019届北京市通州区三模)设a ，b 均为单位向量，则“a 与b 夹角为2π
3
”是“||+=a b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】因为a ，b 均为单位向量， 若a 与b 夹角为
2π3
，
则||1+=a b ， 因此，由“a 与b 夹角为
2π
3
”不能推出“||+=a b ”；
若||+=a b
||+=a b 解得1cos ,2=
a b ，即a 与b 夹角为π3
， 所以，由“||+=a b 不能推出“a 与b 夹角为2π
3
” 因此，“a 与b 夹角为2π
3
”是“||+=a b ”的既不充分也不必要条件. 故选D
3.(浙江省温州市2019届高三2月高考适应)在平面上，，是方向相反的单位向量，||＝2 ，(-) •(-) ＝0 ，则|-|的最大值为（ ） A ．1 B ．2
C ．2
D ．3
【答案】D
【解析】由题意(-) •(-) ＝0，即-（=0，又，是方向相反的单位向量，
所以有，即||＝1，记,则A,B两点的轨迹分别是以原点为圆心，以2和1为半径的圆上，当反向共线时，如图：
|-|的最大值为1+2=3，故选D.
4．(浙江省金华十校2019届高三上期末)已知向量，满足：，，，且，
则的最小值为
A．B．4 C．D．
【答案】A
【解析】
由题意可知，把看作，
，，
则可表示为，点B在直线上，
设，，
，，
，，
，
则的最小值可转化为在直线
取一点B，使得最小，
作点C关于的对称点，
则最小值即可求出，
设，
由，解得，，
则，
故的最小值为．
故选：A．
5．(浙江省嘉兴市2019届高三上期末)已知向量，满足，，则的取值范围是( )
A．B．C．[D．[
【答案】D
【解析】设点M为平面中任意一点，点是关于原点对称的两个点，设，根据题意
，根据椭圆的定义得到点M的轨迹是以为焦点的椭圆，方程为
.,即.
故答案为：D.
6．(浙北四校2019届高三12月模拟)已知向量，满足，，则的最小值是( ) A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】因为，
，
由绝对值向量三角不等式得：
===1，
故选A.
7．(浙江省2019届高考模拟卷（一)）如图，在中，，，为上一点，且满足
，若的面积为，则的最小值为( )
A．B．C．3 D．
【答案】D
【解析】
，得到，所以，结合
的面积为，得到,得到，所以
，故选D.
8．(浙江省温州九校2019届高三第一次联考)已知是不共线的两个向量，的最小值为，若对任
意m,n，的最小值为1, 的最小值为2，则的最小值为（）
A．2 B．4 C．D．
【答案】B
【解析】设的夹角为，则，则由的最小值为,的最小值为，可得
，两式相乘可得（*）而，结合（*）可得，解得
则故选B.
9.(浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考)均为单位向量，且它们的夹角为，设满足
，则的最小值为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，
以所在直线为轴，垂直于所在直线为轴，建立平面直角坐标系
则，
，则
满足
，
故，如图其轨迹图象
则
其最小值为
故选.
10．（天津市和平区2019届高三下学期第三次质量调查）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，3BC BE =，DC DF λ=，若1AE AF ⋅=，则λ的值为( ) A ．3 B ．2
C ．
23
D ．
52
【答案】B
【解析】由题意可得：
()()
113AE AF AB BE AD DF AB BC BC AB λ⎛⎫⎛⎫
⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2
21
11133AB BC AB BC λλ⎛⎫
=+++⋅ ⎪⎝⎭
， 且：22
4,22cos1202AB BC AB BC ==⋅=⨯⨯=-， 故
()44112133λλ⎛⎫
+++⨯-= ⎪⎝⎭
，解得：2λ=.
故选：B.
11．(湖北省黄冈中学2019届高三三模)已知m ，n 是两个非零向量，且||2m =，|2|4m n +=，则
||||m n n ++的最大值为______.
【答案】
【解析】设m 的起点为坐标原点，因为||2m =，所以设m 的终点坐标为(2,0)，即(2,0)m =，设(,)n x y =，
因为|2|4m n +=，所以2
2
2
2
(22)(2)16(1)4x y x y ++=⇒++=，21x -≤≤，
||||(m n n x ++=+，
而2
2
2
2
(1)423x y x x y ++=⇒++=，所以有||||72m n n ++=
+
≤==
1x =-时，取等号，即||||m n n ++的最大值为
12．(浙江省七彩联盟2019届高三11月期中】已知向量，满足
，
，若对任意实数x 都有
，则
的最小值为______
【答案】
【解析】如图，
由，知在上的投影为2，即
，，
对任意实数x 都有，．
由摄影定理可得
，
．
设，
取，可得P在直线BC上，
线段OP的最小值为O到直线BC的距离，
当时，．
故答案为：．
13．(浙江省浙南名校联盟2019届高三上期末)若向量满足，且，则
的最小值是_ _.
【答案】
【解析】
设，，，由可知，所以点C在以AB为直径的圆上；
设,，则，
而表示点O到以AB为直径的圆上任一点的距离，
所以最大值即是点O到圆心E的距离加半径，即，
所以，即最小值为2.故答案为2.
14．(浙江省台州市2019届高三上期末)设圆，圆半径都为1，且相外切，其切点为．点，分别在圆
，圆上，则的最大值为__ __．
【答案】
【解析】以为原点，两圆圆心所在的直线为轴建立如图所示的直角坐标系．
则，
，
令，
，
所以
所以
，令
，则
，
所以当时，有最大值，填．
15.(2019年高考天津卷理数】在四边形ABCD 中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E
在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=_____________． 【答案】1-
【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB =30°，5,AB AD ==则B ，5
)2
D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以30AB
E ∠=︒， 因为AE BE =，所以30BAE ∠=︒，
所以直线BE
y x =-， 直线AE
的斜率为3-
，其方程为3
y x =-.
由y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
得x 1y =-，
所以1)E -. 所以35
(
,
)(3,1)12
BD AE =-=-.
16. (2019年高考江苏卷)如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE
交于点O .若6AB
AC AO EC ⋅=⋅，则
AB
AC
的值是_____.
【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD ．
()
()()3
632
AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=
+-，
()
223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫
=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
222232113
23322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭
，
得2213,22AB AC =即3,AB AC =故
AB
AC
=。