浙江财经大学线性代数最新课件线性代数1.3

§1.3 行列式按行(列) 展开定理
我们将讨论化简、计算一般行列式的另 一种思路,即将行列式降阶,降为低阶行列式 后再计算其值。

(高阶——低阶）
问题：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个 n -1 阶行列式来计算？
一. 按一行(列)展开行列式
a11 a12 a13 a23 a33
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31,
a21 a22 a31 a32
= a11 (a22a33 − a23a32 ) + a12 (a23a31 − a21a33 ) + a13 (a21a32 − a22a31 )
= a11
a22 a32
a23 a33
− a12
a21 a31
a23 a33
+ a13
a21 a31
a23 a33
可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式来计算.
定义： n 阶行列式中，把元素 a ij 所在的第 i 行和第 j 在 列划去后，留下来的 n − 1 阶行列式叫做元素 a ij 的余子式，记作 M ij .
记 Aij = (− 1)
i+ j
a11 D= a21 a31 a41
a12 a22 a32 a42
1+ 2
a13 a23 a33 a43
a14 a24 , a34 a44 a21 M 12 = a31 a41 a23 a33 a43 a24 a34 , a44
M ij， 叫做元素 a ij 的代数余子式．
例如
a11 a 21 a 31 a 41
a12 a 22 a 32 a 42
2+ 3
a13 a 23 a 33 a 43
a14 a 24 a 34 a44
M 23
D=
a11 = a 31 a 41
a12 a 32 a 42
a14 a 34 a 44
A12 = (− 1) M 12 = − M 12 . a11 a12 a13 M 44 = a21 a22 a23 , A44 = (− 1)4+ 4 M 44 = M 44 . a31 a32 a33
A23 = (− 1)
M 23 = − M 23 .
行列式的每个元素分别 对应着一个余子式和一 个代数余子式 .
例. 写出行列式D中元素 a23 3 2 −2 其中 0 −1 − 3 D= 1 5 6
的余子式和代数余子式， −7
0 3 −4 1 0 2 3 解： 根据定义得 M 23 = 1
3 =− 1
引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有 元素除 a ij外都为零，那末这行列式等于 a ij与它的 代数余子式的乘积，即 D = a ij Aij ． 例如
a11 D= a 21 0 a 41 a12 a 22 0 a 42 a13 a 23 a 33 a 43 a11 a 24 3+ 3 = (− 1) a 33 a 21 0 a 41 a 44 a14 a12 a 22 a 42 a14 a 24 . a 44
2 −7 5 3 ; 2
−4 1
A23 =( −1)
2+ 3
M 23
2 −7 5 3 . 2
−4 1


−3 −5 3
3
例 计算四阶行列式 D =
想法：按第二行展开
2
− 2 −7 0 . 3 2
例：计算行列式
D= 0 7
−1 0 7 2
按第二行展开，得
D = −1(−1) 2 + 2 −3 3 7 2
= 27.
3 0 = 1
想法：按第一列展开
2 −8 −7 −1 0 0 3 −8 −7 2+ 2 5 −9 3 = ( −1) ⋅ ( −1 ) 1 −9 3 −4 1 −3 2 −4 − 3 2
0 −1 − 3 1 5 6 −4 1 0
将行列式的某行(列)化为仅含一个非零元素，再按 此行（列）展开，以简化计算。

0 =−1
−16 −16 = −358. 2+1 19 = − ( −1 ) 3 −39 14 0 −39 14 19 −9
5 1
3 7
−1 2 0 2 5 2
= (− 1)
2+ 5
练习 :计算行列式
D= 0 −2 3 1 0 0 −4 −1 4 0 0 2 3 5 0 −1 2 0 2 5 2
2
−2 3 1 = −2 × 5 − 4 − 1 4 0 − 4 −1 4 2 3 5 0 2 3 5
0 −2 3 1
5
3
−1 2
5 1
3 7
解
D= 0 −2 3 1 0 0 −4 −1 4 0 0 2 3 5 0
−2 3 1 −7 2 = −10 0 − 7 2 = −10 ⋅ (− 2 ) 6 6 0 6 6
= 20(− 42 − 12 ) = −1080.

















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