初中八年级数学下册【一元二次方程的应用(1)】

变式：如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为 12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进 出，在垂直于住房墙的一边留一个1m的门，所围矩形猪舍的 长、宽分别为多少时，猪舍面积为80平方米？
解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m，
则平行于住房墙的一边长(25-2x+1)m. 住房墙 由题意得 x(25-2x+1)=80
540m2,求这种种方案下的道路的宽为多少？ xx
解：设道路的宽为 x 米 20
可列方程为
20-x x
32-2x
(32-2x)(20-x)=540
32
在宽为20m, 长为32m的矩
xx
形地面上修筑同样宽的道路,余下的 20
x
部分种上草坪,要使草坪的面积为
x
540m2,求这种种方案下的道路的宽
为多少？
例3：如图：要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米
的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊
圈，求羊圈的边长AB和BC的长个是多少米？
解：设AB长是x m.
(100-4x)x=400
25米
x2-25x+100=0
A
D
x1=5，x2=20
B
C
x=20,100-4x=20<25
x=5,100-4x=80>25 x=5(舍去) 答：羊圈的边长AB和BC的长个是20m,20m.
方法点拨
主要集中在几何图形的面积问题, 这类问题的面 积公式是等量关系. 如果图形不规则应割或补成规则 图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的 面积公式列出方程;
典例精析
例2：如图，在一块宽为20m, 长为32m的矩形地面上
修筑同样宽的两条道路,余下的部分种上草坪,要使草
坪的面积为540㎡,求道路的宽为多少？
4
27cm
21cm
试一试：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简 单地解决上面的问题？
解:设正中央的矩形两边别为9xcm，
7xcm.依题意得
9x 7x 3 27 21, 4
解得
x2
33 2
，x2
3
3（舍去）. 2
故上下边衬的宽度为:
27
9x
27
9
33 2
54 27
3 1.8.
2
2
4
故左右边衬的宽度为:
的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的
方程是（ B ）
A．x2+130x-1400=0
B．x2+65x-350=0
C．x2-130x-1400=0
D．x2-65x-350=0
x 80cm x
50cm
x
x
2.一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为 5cm的小正方形， 然后把四边折起来，做成一个没有盖的 盒子，盒子的容积是3000 cm3，求铁板的长和宽．
32
解：设道路的宽为 x 米 可列方程为 (32-2x)(20-2x)=540
2x 20
2x 20-2x
32-2x 32
在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑四条道路,余下 的部分种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为3：2， 且使小路所占面积是矩形面积的四分之一,求道路的宽 为多少？
小路所占面积是矩形面积 的四分之一
宽,应如何设计四周边衬的宽度？
(精确到0.1cm)
27cm
21cm
分析:这本书的长宽之比 9 ： 7 正中 央的矩形长宽之比 9 ：7 ，上下边衬
与左右边衬之比 9 ：7 .
解：设中央长方形的长和宽分别为9a
和7a由此得到上下边衬宽度之比为：
1 (27 9a) : 1 (21 7a)
2
2
9(3 a) : 7(3 a)
解：设道路的宽为x米
2032 32x 20x x2 540
x
还有其他 解法吗？
20 x
32
方法二：
x
解：设道路的宽为 x 米 20
(32-x)(20-x)=540 整理，得x2-52x+100=0 解得 x1=2,x2=50
20-x x
32-x
32
当x=50时，32-x=-18,不合题意，舍去.
∴取x=2
答：道路的宽为2米.
在宽为20m, 长为32m的矩形地面 上修筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪, 要使草坪的面积为540㎡,求这种方案下的 道路的宽为多少？
解：设道路的宽为 x 米 可列方程为
(32-x)(20-x)=540
在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样
宽的道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为
到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可
使△PCQ的面积为9 cm²？
解：若设出发x s后可使△PCQ的面积为9cm²
根据题意得AP= xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm
1 (6 x)2x 9 2
整理，得 x2 6x 9 0
解得 x1= x2=3
答：点P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm².
化简，得 x2-13x+40=0
1m
解得 x1=5 , x2=8 当x=5时，26-2x=16>12 (舍去）
当x=8时，26-2x=10<12
故所围矩形猪舍的长为10m,宽为8m.
当堂练习
1. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色
纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图
一元二次方程的应用（1）
学习目标
1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.（难点） 2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题. （重点）
导入新课
问题引入
问题 某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形土地上修建三
条等宽的通道，使其中两条与AB平行，另外一条与AD平行，
其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道
宽应该设计为多少？设通道宽为xm，则由题意列的方程为
(_3_0_-__2_x_)_(2__0_-_x_)_=__6_×__7_8_.
A
D
B
C
讲授新课
合作探究
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
几何图形与一元二次方程
引例：要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21cm正中央是一
个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占
面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等
课本封面问题 常采用图形
类
型 彩条/小路宽
平移能聚零 为整方便列
度问题
方程
9 : 7.
27cm
21cm
解:设上下边衬的9xcm，左右边衬宽
为7xcm依题意得
(27 18x)(2114x) 3 2721, 4
方程的哪个根 合乎实际意义?
解方程得 x 6 3 3 .
为什么?
4
故上下边衬的宽度为:
9
6
3 4
3 1.8,
故左右边衬的宽度为: 7 6 3 3 1.4.
21 7x
21 7 3 3 2
42 21
3
1.4.
2
2
4
27cm
21cm
运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？
实际问题 分析数量关系 建立一元二 设未知数 次方程模型
解一元二次 方程
实际问题的解
检验
一元二次方程的根
例1：如图所示，在△ABC中，∠C=90°， AC=6cm，
BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时 点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点
解：设横向彩条的宽度2xcm ,竖
彩条的宽度3xcm
(20-6x)(30-4x)=400
6x2-65x+50=0
x1
5 6
,
x2
10(舍去）
则2x 5 ,3x 5
3
2 答：每个横竖条的宽度分别是 5 cm, 5 cm.
32
课堂小结
几何图 形与一 元二次 方程问 题
常见几何图形面积 几何图形 是等量关系.
2x
2x
30-4x
3x
剩余面积是矩形面积的 四分之三
4x
30-4x
20-6x 20㎝ 20-6x
3x
6x
30㎝
解:设横、竖小路的宽度分别为3x、 2x， 于是可列方程 (30-4x)(20-6x)= —43 ×20×30
方法点拨
我们利用“图形经过移动，它的面积大小不 会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使 列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际 施工，仍可按原图的位置修路）.
解：设铁板的宽为x cm,则有长为2x cm 5(2x-10)(x-10)=3000 x2-15x-250=0 解得 x1=25 x2=-10(舍去） 所以 2x=50
答：铁板的长50cm,宽为25cm.
3.如图，要设计一个宽20cm,长为30cm的矩形图案，其中有两横 两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为2∶3 ，若使所有彩条的面积 是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？