福师1203考试批次《数学分析选讲》复习题及参考答案

福师1203考试批次《数学分析选讲》复习题及参考答案

本课程复习题所提供的答案仅供学员在复习过程中参考之用，有问题请到课程论坛提问。

本复习题页码标注所用教材为：

教材名称 单价 作者

版本 出版社 数学分析

41

华东师范大学数学系

第三版

高等教育出版社

如学员使用其他版本教材，请参考相关知识点

福师1203考试批次《数学分析选讲》复习题及参考答案一

一、（12分）选择题（将符合要求的结论题号，填在题末的括号内，每题至多选两个题号）： 1. 与lim n n x a →∞

=的定义等价的是：（ ）

A 、0,ε∀> 总有n x a ε-<；

B 、0,ε∀> 至多只有{}n x 的有限项落在(,)a a εε-+之外；

C 、存在自然数N ，对0,ε∀>当n N >，有n x a ε-<；

D 、0(01),εε∀><<存在自然数N ，对,n N ∀>有n x a ε-<； 答案：B,D

2．下列命题中正确的是：（ ）

A 、若函数()f x 在[,]a b 内无界，则()f x 在[,]a b 上不可积；

B 、若函数()f x 在[,]a b 上不连续，则()f x 在[,]a b 上不可积；

C 、若函数()f x 在[,]a b 上可积，则[

()]()x

a

f t dt f x '=⎰

;

D 、若函数()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在[,]a b 上也可积，反之不然. 答案：AD

3.函数()f x 在[a,b]上可积的必要条件是( )

A 、有界

B 、连续

C 、单调

D 、存在原函数 答案：A

二、填空题：（共10分，每题2分）

1.设

2

1

(1)n

n x

∞

=-∑收敛，则lim n n x →∞

= 。 考核知识点：级数的收敛性。参见教材（下册）P1-5 提示：利用P3页的推论进行计算。

2.

(,)lim

x y →= 。

考核知识点：二元函数的极限。参见教材（下册）P93-96.

提示：

)

(,)(,)(0,0)

(,)(0,0)

1

lim

lim

lim

1x y x y x y xy

→→→==

3.设3()sin F x x '=，则()F x = 。

考核知识点：原函数与不定积分。参见教材（上册）P177-180.

提示：3

()sin F x xdx =⎰

4.已知幂级数

1

n

n n a x

∞

=∑在2x =处收敛，则它的收敛半径为______________。

考核知识点：幂级数的收敛半径。参见教材（下册）P44-45. 提示：收敛半径为2.

5.函数2

()x f x e =的麦克劳林展开式为________________________. 考核知识点：麦克劳林展开式。参见教材（下册）P52-57.

提示：泰勒展式中使00x =处的展开式即是麦克劳林展开式。可利用x

e 的展式来求。 三、（40分）计算题 1. 求sin 0lim (tan )

x

x x →+

考核知识点：求函数的极限。参见教材（上册）P127-128 提示：()

sin sin ln tan tan x

x x x e =，

2.22

20

100

cos lim

sin x x x t dt

x

→-⎰

考核知识点：求函数的极限。变限积分。参见教材（上册）P127-130，P221

3.2

ln x xdx ⎰

考核知识点：求不定积分。参见教材（上册）P182-188. 提示：利用分步积分法来求解。

4.

(0)a >⎰

考核知识点：求定积分。参见教材（上册）P225-229. 提示：利用换元积分法来求解。可令sin x a t =，

四、（10分）指出函数22

2()(4)

x x

f x x x -=-的不连续点，并判定不连续点的类型。 考核知识点：间断点，参见教材(上册)P71

提示：不连续点为0， 2， -2。具体类型参照两类间断点的判定说明。 五、（10分）证明不等式。

当0x >时，3

arctan 3

x x x x -<< 考核知识点：中值定理及函数的单调性。参见教材（上册）P119-124 提示：利用拉格朗日中值定理来证明。

六、（10分）求函数x x x x f 1292)(2

3+-=在闭区间⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-25,41上的最大值与最小值。

考核知识点：最大值与最小值，参见教材(上册)P145

提示：先画出f(x)的图像，注意：关于y 轴对称的图像。然后找到目标区间。标出y 轴的大值与小值即可。 七、（8分）

设22

222

2

2

2

0(,)0

0x y xy x y f x y x y x y ⎧-⋅+≠⎪=+⎨+=⎪⎩

证明(,)f x y 在（0，0）点连续

考核知识点：二元函数连续，参见教材(下册)P100

提示：根据二元函数在某点连续的定义即可。

福师1203考试批次《数学分析选讲》复习题及参考答案二

一、（12分）选择题（将符合要求的结论题号，填在题末的括号内，每题至多选两个题号）：

1.下列级数中条件收敛的是（ ）

A 、1(1)n

n ∞

=-∑ B

、1n n ∞

=、2

1(1)n n n ∞=-∑ D 、111n

n n ∞

=⎛⎫+ ⎪⎝

⎭∑