浙江省宁波市慈溪市三山高级中学等六校2020学年高二数学上学期期中试题含解析

浙江省宁波市慈溪市三山高级中学等六校2019-2020学年高二数学上
学期期中试题（含解析）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是满足题意的。

）
1.空间中一点()2,3,1A -到平面XOY 的距离为（ ） A. 2 B. 3
C. 1
【答案】C 【解析】 【分析】
先求出点A 在平面XOY 的投影点的坐标,||A AA ''即为所求., 【详解】点()2,3,1A -在平面XOY 的投影点(2,3,0),||1A AA ''-=, 即空间中一点()2,3,1A -到平面XOY 的距离为1. 故选:C
【点睛】本题考查了空间一点到平面的
距离,关键要了解关于点在坐标平面射影点的坐标特征,属于基础题.
2.若点(),3P a 到直线4310x y -+=的距离为4，且在不等式230x y +->表示的平面区域内，则点P 的横坐标是（ ） A. 7或-3 B. 7 C. -3
D. -7或3
【答案】B 【解析】 【分析】
(),3P a 坐标满足不等式230x y +->求出a 取值范围，由点到直线距离公式,求出a 的值,.
【详解】点(),3P a 在不等式230x y +->表示的平面区域内
2330,0a a ∴+->>
(),3P a 到直线4310x y -+=的距离为
|491|
4,|48|205
a a -+=-=,
解得7a =或3a =-（舍去）. 故选:B
【点睛】本题考查点到直线的距离公式化简求值,理解二元一次不等式表示的平面区域,属于基础题.
3.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，是下列命题正确的是（ ） A. 若//m α，//n α，则//m n B. 若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n
C. 若m α
β=，n ⊂α，n m ⊥，则n β⊥ D. 若m α⊥，//m n ，
n β⊂，则αβ⊥ 【答案】D 【解析】 【分析】
根据空间中线线，线面，面面位置关系，逐项判断即可得出结果.
【详解】A 选项，若//m α，//n α，则,m n 可能平行、相交、或异面；故A 错； B 选项，若//αβ，m α⊂，n β⊂，则,m n 可能平行或异面；故B 错； C 选项，若m α
β=，n ⊂α，n m ⊥，如果再满足αβ⊥，才会有则n 与β垂直，所以n
与β不一定垂直；故C 错；
D 选项，若m α⊥，//m n ，则n α⊥，又n β⊂，由面面垂直的判定定理，可得αβ⊥，故D 正确. 故选D
【点睛】本题主要考查空间的线面，面面位置关系，熟记位置关系，以及判定定理即可，属于常考题型.
4.在平面直角坐标系中，(),M x y 为不等式组220
210380
x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩
所表示的区域上一动点，则
y
x 的最小值为（ ） A. 2 B. 1
C. 13
-
D. 12
-
【答案】C 【解析】
【分析】
作出不等式对应的可行域,利用线性规划知识,以及y
x
的几何意义,即可得到结论. 【详解】作出可行域如图：
令y
z x
=
几何意义是动点(),M x y 与原点连线的斜率,由图像可知OA 斜率最小, 由220210x y x y +-=⎧⎨+-=⎩,解得31
x y =⎧⎨=-⎩,即(3,1)A - 所以y z x =的最小值为
11
33
-=-. 故选:C
【点睛】本题考查线性规划的应用,根据目标函数的几何意义结合斜率公式是解决问题的关键,属于基础题.
5.已知直线()1:3453l a x y a ++=-与()2:258l x a y ++=平行，则a 等于( ) A. 7-或1- B. 7或1
C. 7-
D. 1-
【答案】C 【解析】
【详解】由题意可知(3)(5)42a a ++=⨯ 且(3)8(53)2a a +⨯≠-⨯， 解得7a =-． 故选C ．
6.长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AA AD AB ===,E 为11A B 中点，则异面直线1AD 与
BE 所成角为（）
A .
30
B. 45︒
C. 60︒
D. 90︒
【答案】C 【解析】 【分析】
连接11,BC EC ，根据11//AD BC ，可得异面直线1AD 与BE 所成的角为1EBC ∠，解三角形求得1EBC ∠的大小.
【详解】画出长方体如下图所示，连接11,BC EC ，由于11//AD BC ，所以异面直线1AD 与BE 所成的角为1EBC ∠，在三角形1BEC 中，112,2,2
BE BC EC ===，故三角形1BEC 是等边三角形，所以160EBC ∠=. 故选C.
【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的大小的求法，考查空间想象能力，属于基础题. 7.已知点(),M a b 在圆2
2
:1O x y +=外，则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是（ ）．
A. 相切
B. 相交
C. 相离
D. 不确定
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意结合点与圆的位置关系考查圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系即可确定直线与圆的位置关系.
【详解】
点(),M a b 在圆2
2
:1O x y +=外，221a b ∴+>，
圆心O 到直线1ax by +=距离2
2
1d a b
=
<+，
∴直线1ax by +=与圆O 相交.
故选：B.
【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8.已知直线l ：y x m =+与曲线24x y =-有两个公共点，则实数m
的
取值范围是（ ）
A. )
2,22⎡-⎣
B. (22,2⎤--⎦
C. )
2,22⎡⎣
D.
(2
2,2⎤-⎦
【答案】B 【解析】 【分析】
画出图像,当直线l 过点,A B 时,求出m 值;当直线l 与曲线24x y =-相切时.求出m ,即可
得出m 的取值范围. 【详解】画出如下图像：
当直线l 过点,A B 时,2m =-,此时直线l 与 曲线24x y =
-有两个公共点;
直线l 与曲线相切时,22m =-, 因此当222m -<≤-时，直线l 与 曲线24x y =-有两个公共点.
故选:B
【点睛】本题考查了直线与圆相切时满足的关系,以及点到直线的距离公式,考查了数形结合的数学思想,准确判断出曲线方程所表示曲线形状,且根据题意画出图形是解决问题的关键,属于中档题.
9.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，且=SA SB SC SD ==,其中E ，M ，
N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论：
①EP ⊥AC ；②//EP BD ；③//EP 面SBD ；④EP ⊥面SAC ， 其中恒成立的为（ ）
A. ①③
B. ③④
C. ①④
D. ②③
【答案】A 【解析】
分析：如图所示，连接AC 、BD 相交于点O ，连接EM ，EN ．
（1）由正四棱锥S ﹣ABCD ，可得SO⊥底面ABCD ，AC⊥BD，进而得到SO⊥AC．可得AC⊥平面SBD ．由已知E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，利用三角形的中位线可得EM∥BD，MN∥SD，于是平面EMN∥平面SBD ，进而得到AC⊥平面EMN ，AC⊥EP;（2）由异面直线的定义可知：EP 与BD 是异面直线，因此不可能EP∥BD；（3）由（1）可知：平面EMN∥平面SBD ，可得EP∥平面SBD ；（4）由（1）同理可得：EM⊥平面SAC ，可用反证法证明：当P 与M 不重合时，EP 与平面SAC 不垂直． 详解：
如图所示，连接AC 、BD 相交于点O ，连接EM ，EN ．
对于（1），由正四棱锥S ﹣ABCD ，可得SO⊥底面ABCD ，AC⊥BD，∴SO⊥AC．
∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD ，∵E，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=N，
∴平面EMN∥平面SBD ，∴AC⊥平面EMN ，∴AC⊥EP．故正确．
对于（2），由异面直线的定义可知：EP 与BD 是异面直线，不可能EP∥BD，因此不正确； 对于（3），由（1）可知：平面EMN∥平面SBD ，∴EP∥平面SBD ，因此正确．
对于（4），由（1）同理可得：EM⊥平面SAC ，若EP⊥平面SAC ，则EP∥EM，与EP∩EM=E 相矛盾，因此当P 与M 不重合时，EP 与平面SAC 不垂直．即不正确． 故选：A ．
点睛：本题考查了空间线面、面面的位置关系判定，属于中档题．对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断.还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断.
10.若圆2
2
44100x y x y +---=上至少有三个不同的点到直线:0l ax by +=的距离为
l 的倾斜角的取值范围是（ ）
A. ,124ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦ B. 5,1212ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦ C. ,63ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
D. 0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【答案】B 【解析】 【分析】
先求出圆心和半径，
比较半径和要求圆上至少有三个不同的点到直线l ：ax+by=0的距
离为
【详解】圆x 2
+y 2
﹣4x ﹣4y ﹣10=0
整理为222(2)(2)x y -+-=，
∴圆心坐标为（2，2），半径为
，
要求圆上至少有三个不同的点到直线l ：ax+by=0
的距离为
，
≤
∴2()410a a b b ⎛⎫
++≤ ⎪⎝⎭
，
∴22a b --≤-+，a
k b
=-，
∴22k ≤≤，
直线l 的倾斜角的取值范围是51212ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，，
故选：B ．
【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，圆心到直线的距离等知识，是中档题． 二、填空题（共7小题，其中11-14题每空3分，15-17题每空4分，共36分.） 11.
直线10x +=的斜率为____；倾斜角的大小是____．
【答案】6π
【解析】 【分析】
直线一般式化为斜截式,可求出直线的斜率,再由斜率求出直线的倾斜角.
【详解】10x +=化为33
y x =
+
，
倾斜角为6π.
故答案为6
π
. 【点睛】本题考查直线的几何特征,关键要掌握直线方程几种形式之间的互化,属于基础题. 12.已知m R ∈，若方程22+220x y x y m +++=表示圆，则圆心坐标为____；m 的取值范围是____．
【答案】 (1). (1,1)-- (2). 2m < 【解析】 【分析】
当圆的方程是以一般方程给出时，根据圆心坐标公式,2
2D E ⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭,还需满足2240D E F +->表示圆.
【详解】（1）若方程表示圆，那么根据圆心坐标公式，可得212x =-=-，2
12
y =-=-， 圆心坐标()1,1--.
（2）若方程表示圆，那么需满足222240m +->，即2m <. 故填：()1,1--;2m <.
【点睛】本题考查了圆的一般方程，属于简单题型.
13.《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为畔，高称为正广，非高腰边称为邪。

在四棱锥P ABCD - 中，底面ABCD 为邪田，两畔CD AB ，分别为1，3，正广AD 为
23 ，PD ⊥ 平面ABCD ，则邪田ABCD 的邪长为_______；邪所在直线与平面PAD 所
成角的大小为________. 【答案】 (1). 4 (2). 6
π
【解析】 【分析】
过点C 作CE AB ⊥，垂足为E ，在Rt CEB ∆中，可求BC 长，即为邪长，又由题意可证AB ⊥平面PAD ，得到AFB ∠ 即为所求，在Rt AFB ∆中，求得正切值，可得角. 【详解】过点C 作CE AB ⊥，垂足为E ，延长AD BC ，，使得AD
BC F =（如图）
.
由题意可得23,2CE BE ==，则1244BC =+= 由题意知,//AB AD CD AB ⊥，所以
1
3
DF CD AF AB ==，所以3DF =.因为PD ⊥ 平面ABCD ，所以PD AB ⊥，又AB AD ⊥，所以AB ⊥ 平面PAD ，则AFB ∠ 是直线BC 与平面PAD 所成角的平面角，3
tan 33AB AFB AF ∠===
，所以6AFB π∠= 故答案为： 4
6
π
【点睛】本题以数学文化为载体，考查了线面角及线面垂直的证明，考查了转化与化归思想及推理论证能力，属于中档题.
14.直线10x y ++=被圆C ：22
2x y +=所截得的弦长为______；由直线30x y ++=上的
一点向圆C 引切线，切线长的最小值为____.
【答案】
【解析】 【分析】
（1）求出圆心到直线10x y ++=的距离,再由垂径定理,求出半弦长,即可得到弦长; （2）M 为30x y ++=直线上一点,过M 向圆C 引切线，切点为N ,根据切线性质,
切线段
||MN =,要求切线段最小值,转化为求||MC 最小值,就可得切线长的最小值.
【详解】（1）圆C :2
2
2x y +=的圆心(0,0)C ,
半径r =设圆心C 到直线10x y ++=距离为d ,
则,2d =
=
弦长为==（2）M 为30x y ++=直线上一点,过M 向圆C 引切线切于N ,
则有||CM MN MN ⊥∴==，故||CM 取最小值时，此时CM 垂直直线30x y ++=,即
||CM 取最小值为圆心C 到直线30x y ++=
所以||MN
最小值为
2. 故答案为
【点睛】本题考查相交弦长和切线段长,涉及到点到直线的距离,相交弦长公式以及切线长公式,解决问题关键要正确运用圆的性质,考查等价转化数学思想,属于综合题.
15.已知0a >，x ，y 满足约束条件()133x x y y a x ⎧≥⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
，若2z x y =+的最小值为-1，则
a =______.
【答案】
32
【解析】 【分析】
先根据条件作出可行域,2z x y =+,再利用z 的几何意义求最值,只需求出直线2z x y =+过可行域内的点B 时,从而得到a 的值. 【详解】作出可行域如下图：
由2z x y =+得2y x z =-+,z 表示斜率为2-的 直线在y 上的截距,当z 最小为-1时,直线过B 点, 由1
21
x x y =⎧⎨
+=-⎩,解得13x y =⎧⎨=-⎩,
代入直线(3)y a x =-得,3
2
a =. 故答案为:
32
. 【点睛】本题考查了用平面区域表示二元一次不等式组,借助于平面区域特性,用几何方法处理代数问题,体现了数行结合思想、化归思想.线性规划中的最优解,通常是利用平移直线法确定.属于中档题.
16.如图所示，有一条长度为1的线段MN ，其端点M ，N 在边长为4的正方形ABCD 的四边上滑动，当点N 绕着正方形的四边滑动一周时，MN 的中点P 所形成的轨迹长度为
______.
【答案】12π+ 【解析】 【分析】
根据题意判断出轨迹是四个角处的四个直角扇形与正方形的四条边上的四条线段组成，然后根据圆的周长公式进行计算.
【详解】若线段MN 不在正方形ABCD 边上,MN 与正方形的一 顶点组成斜边为1的直角三角形，P 与该顶点的距离为12
, 此时轨迹为直角扇形,四个顶点有四个直角扇形, 合起来刚好是半径为
12
的圆,周长为1
22ππ⨯=;
若线段MN 在正方形ABCD 边上,则MN 的中点P 四个 边上滑动为四个等长的线段,长度均为3,轨迹长度为12; 所以轨迹的长度为12π+. 故答案为:12π+.
【点睛】本题考查了点的轨迹与正方形性质,判断出轨迹的形状是解题的关键,也是解决为题的难点.
17.在ABC ∆中，已知23AB =6BC =45ABC ∠=︒，D 是边AC 上一点，将ABD ∆沿BD 折起，得到三棱锥A BCD -。

若该三棱锥的顶点A 在底面BCD 的射影M 在线段BC 上，设BM x =，则x 的取值范围为______. 【答案】
6,23
【解析】 【分析】
解ABC ∆可得其为等腰直角三角形,有题意可知折叠前图（1）中AM BD ⊥,根据等腰直角三角形位置关系可推出1
2
BM BC >,在（2）图中，AB 为Rt ABM ∆的斜边,得BM AB <,即可得出答案.
【详解】在ABC ∆中,AB =BC =45ABC ∠=︒, 由余弦定理得2222cos 12AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=,
222AC AC AC AB BC ==+=,
所以ABC ∆为等腰直角三角形.
由将ABD ∆沿BD 折起，得到三棱锥A BCD -, 且A 在底面BCD 的射影M 在线段BC 上, 如图2所示,AM ⊥平面BCD ，则AM BD ⊥, 过M 做MN BD ⊥,垂足为N ，连AN , 所以BD ⊥平面AMN ,所以AN BD ⊥, 在折叠前图1中,由MN BD ⊥,AN BD ⊥, 所以,,A M N 三点共线.取BC 中点1M , 连1AM 交BD 于E ,由ABC ∆为等腰直角三角形, 所以1,AM BC D ⊥在线段AC 之间，故AEB ∠为钝角,
AN BD ⊥,所以N 在DE 之间,得M 在1CM 之间,
所以1BM BM >,即BM >
在图2中,由于AB 为Rt ABM ∆的斜边,
BM 为直角边,所以BM AB <,即BM <.
BM <
故答案为:.
【点睛】本题以平面图形为载体,求线段的取值范围,着重考查了空间垂直位置关系的判定和性质、余弦定理解三角形等知识,同时考查了空间想象能力与逻辑推理能力,属于中档题. 三、解答题（本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

） 18.已知平面内两点A(8,-6),B(2,2).
(1)求过点P(2,-3)且与直线AB 平行的直线l 的方程;
(2)一束光线从B 点射向(1)中直线l ，若反射光线过点A,求反射光线所在的直线方程. 【答案】(1) 直线l 的方程4x+3y+1=0,(2) 11x+27y+74=0. 【解析】
试题分析：（1）根据平行得出斜率，从而由点斜式求出直线方程；
（2）求得点B 关于直线l 的对称点B'的坐标，然后求出斜率，再由点斜式求出 试题解析：（1）由点斜式4
3(2)3
y x +=
- ∴直线l 的方程4x+3y+1=0 （2）设B （2，2）关于直线l 的对称点B'（m ，n ）∴23
24
224*3*022n m m n -⎧=⎪⎪-⎨++⎪+=⎪⎩
解得14585m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
∴148(,),55B -'- '86115142785B A k -+=
=-+
；
由点斜式可得11
6(8)27
y x +=
- 整理得11x+27y+74=0； 19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2AB BC ==，7AD CD ==
3PA =120ABC ∠=︒.G 为线段PC 的中点.
（1）证明：BD ⊥面PAC ；
（2）求DG 与平面APC 所成的角的正弦值. 【答案】（1）见解析；（2）419
19
【解析】 【分析】
（1）根据已知条件证明CA BD ⊥,结合PA ⊥平面ABCD .即可得证;
（2）解法一（几何法）:先找到DG 在平面内的射影直线,则所求角可得,在直角三角形中求出此角,即可得结果;
解法二（空间向量法）:建立空间直角坐标系,确定各点坐标,求出DG 坐标和平面APC 的法向量坐标,结合线面角公式，即可得结果.
【详解】（1）取AC 中点O ,因为AB BC =,AD CD =, 所以CA BO ⊥,CA OD ⊥,∴CA BD ⊥.
因为PA ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,所以PA BD ⊥, 因为PA ⊂平面PAC ,AC ⊂平面PAC ,PA AC A =,
所以BD ⊥面PAC .
（2）法一：连结OG ,由（1）BD ⊥平面PAC 可得BD OG ⊥,
DG 与平面PAC 所成角为DGO ∠.
∵G ,O 分别是PC ,AC 的中点， ∴13
2OG PA =
=
, 因为2AB BC ==,120ABC ∠=︒, 所以3AO OC ==1BO =，
因为7AD CD ==
,所以2DO =,
∴在Rt DGO ∆中
,
43
tan 33
DO DGO GO ∠=
==， ∴419
sin 19
DGO ∠=
.
因此DG 与平面APC 所成的角的正弦值为
419
. 法二：以O 为坐标原点,BD ,AC 平行于PA 的直线 为x ，y ，z 轴,建立如图所示空间直角坐标系，则因为
2AB BC ==,120ABC ∠=︒,所以3AO OC ==,1BO =,
因为7AD CD ==
,所以2DO =,因此()1,0,0B ,()2,0,0D -,
()0,3,0C ,()0,3,0A -,(
)
0,3,3P -,
从而()3,0,0DB =为平面APC 一个法向量,
30,0,2G ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,32,0,2DG ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
, 419
cos ,193344DG DB <>=
=
⨯+
.
因此DG 与平面APC 所成的角的正弦值为
419
.
【点睛】本题考查线面垂直的判定以及线面角的求法,要充分体会转化与化归思想在解题中的
应用.
20.已知圆C ：22
68210x y x y +--+=，直线l 过定点1,0A .
（1）若l 与圆C 相切，求l
的
方程；
（2）若l 与圆C 相交于P ，Q 两点，求三角形CPQ 面积的最大值，并求此时l 的直线方程. 【答案】（1）1x =或3430x y --=；（2）10x y --=或770x y --= 【解析】 【分析】
（1）根据已知条件设出直线l 方程,注意l 的斜率是否存在,圆心到直线l 的距离等于半径,利用点到直线距离公式,即可确定出直线l 的方程;
（2）先设直线l 方程,求出圆心到直线l 的距离,再根据垂径定理,求出PQ 弦长,得到CPQ ∆面积的表达式,再求出此表达式的最大值.
【详解】（1）将圆的一般方程化为标准方程,得()()2
2
344x y -+-=, ∴圆心()3,4C ，半径2r
.
①若直线l 的斜率不存在,则直线1x =,符合题意．
②若直线l 斜率存在，设直线l ：()1y k x =-,即kx y k 0--=. ∵l 与圆C 相切.∴圆心()3,4C 到已知直线l 的距离等于半径2,
2=,解得3
4
k =.
∴综上，所求直线方程为1x =或3430x y --=． （2）直线与圆相交,斜率必定存在, 设直线方程为kx y k 0--=.
则圆心到直线l
的距离d =.
又∵CPQ ∆
面积1
2
S d =
⋅⋅=
=
∴当2d =时，max 2
S =.
由2
2421k d k
-=
=+,解得1k =或7k =.
∴直线方程为10x y --=或770x y --=.
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的性质,涉及到的知识有:点到直线的距离公式,三角形面积公式,垂径定理以及直线方程.要注意分类讨论,是一道多知识点综合题. 21.如图所示的几何体中，PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面，,2
ADC BAD F π
∠=∠=
为
PA 的中点，1
2,12
PD AB AD CD ====，四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点
N .
（1）求证：AC
平面DEF ；
（2）求二面角A PB C --的正弦值；
（3）在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为π
6
？若存在，求出FQ 的长；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）见解析（23（3）在线段EF 上存在一点Q 满足题意，且19
FQ = 【解析】 【分析】
(1)由题意结合线面平行的判定定理即可证得题中的结论；
(2)建立空间直角坐标系，利用两个半平面的法向量可得二面角的余弦值，然后利用同角三角函数基本关系可得二面角的正弦值；
(3)假设点Q 存在，利用直线的方向向量和平面的法向量计算可得点Q 的存在性和位置.
【详解】（1）因为四边形PDCE 为矩形，所以N 为PC 的中点.连接FN ，
在PAC 中，,F N 分别为,PA PC 的中点，所以FN AC ∥， 因为FN ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ， 所以AC
平面DEF .
（2）易知,,DA DC DP 两两垂直，如图以D 为原点，分别以,,DA DC DP 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系
.
则2),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0)P A B C ，所以(1,1,2),(1,1,0)PB BC =-=-.
设平面PBC 的法向量为(,,)m x y z =，
则(,,)(1,1,2)0(,,)(1,1,0)0m PB x y z m BC x y z ⎧⋅=⋅-=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩即20,0,x y z x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩解得,2,y x z x =⎧⎪⎨=⎪⎩ 令1x =，得1,2,y z =⎧⎪⎨=⎪⎩
所以平面PBC 的一个法向量为(1,1,2)m =. 设平面ABP 的法向量为(,,)n x y z =，
(,,)(0,1,0)0(,,)(1,1,0
n AB x y z n PB x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅=⎪⎩ ，据此可得
01x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩
， 则平面ABP 的一个法向量为()
2,0,1n =
，
cos ,3m n <>==，于是3sin ,3m n 〈〉=. 故二面角
A P
B
C --（
3）设存在点Q 满足条件.
由1,0,,(0,22F E ⎛ ⎝
⎭， 设(01)FQ FE λλ
=，整理得1,22Q λλ⎛-
⎝⎭
， 则1),21,22BQ λλλ⎛⎫++=-- ⎪ ⎪⎝⎭
. 因为直线BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π， 所以1sin |cos ,|||62
||||2BQ m BQ m BQ m π
⋅====⋅
解得21λ=，
由01λ知1λ=，即点Q 与E 重合.
故在线段EF 上存在一点Q ，且FQ EF ==
. 【点睛】本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题：
(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．
(2)设,m n 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与,m n <>互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
22.若圆C 经过坐标原点和点(6,0)，且与直线1y =相切， 从圆C 外一点(,)P a b 向该圆引切
线PT ，T 为切点，
（Ⅰ）求圆C 的方程；
（Ⅱ）已知点(2,2)Q -，且PT PQ =， 试判断点P 是否总在某一定直线l 上，若是，求出l 的方程；若不是，请说明理由；
（Ⅲ）若（Ⅱ）中直线l 与x 轴的交点为F ，点,M N 是直线6x =上两动点，且以,M N 为直径的圆E 过点F ，圆E 是否过定点？证明你的结论．
【答案】（Ⅰ）22(3)(4)25x y -++=（Ⅱ）见解析 （Ⅲ）(16,0)和(4,0)-
【解析】
试题分析：（Ⅰ）直线与圆相切，则该直线离圆心的距离等于半径，从而确定圆心与半径，可求圆C 的方程；（Ⅱ）由题可得PT⊥CT，求出再由PT PQ =，从而可得结论；（Ⅲ）根据点F 在圆E 上，故0FM FN ⋅=得12100y y =-，从而可得圆的方程，令0y =可得结论．
试题解析：（Ⅰ）设圆心(,)C m n 由题易得3m =半径219r n n =-=+
得4n =-，=5r
所以圆C 的方程为22(3)(4)25x y -++=
（Ⅱ）由题可得PT CT ⊥， 所以2222(3)(4)25PT PC CT a b =-=-++-22(2)(2)PQ a b =-++ 22(3)(4)25a b -++-22(2)(2)a b =-++整理得240a b -+=
所以点P 总在直线240x y -+=上
（Ⅲ）(4,0)F -由题可设点1(6,)M y ，2(6,)N y ，
则圆心12(6,)2y y E +，半径122
y y r -= 从而圆E 的方程为2
221212()(6)()24
y y y y x y +--+-=
整理得22121212()360x y x y y y y y +--+++=
又点F 在圆E 上，故0FM FN ⋅=得12100y y =-
所以221212()640x y x y y y +--+-=
令0y =得212640x x --=， 所以16x =或4x =-
所以圆E 过定点(16,0)和(4,0)-
考点：圆的方程及直线与圆的位置关系．
【方法点睛】求圆的方程的两种方法：
（1）代数法：即用待定系数法求圆的方程①若已知条件与圆心和半径有关，则设出圆的标准方程，列出关于a ，b ，r 的方程组求解；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则设出圆的一般方程，列出关于D ，E ，F 的方程组求解；
（2）几何法：通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心，半径，进而写出圆的标准方程。