九年级上学期数学导学案((优秀经典公开课比赛导学案))

九年级数学导学案
第二十一章一元二次方程
21．1.1一元二次方程
一、预习检测
1、一元二次方程的定义：
2、一元二次方程的一般形式：
二、探究案
阅读教材1–3,结合教材完成下面问题：
问题1 要设计一座2高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，雕像的下部应设计为多高？分析：设雕像下部高x，则上部高________,得方程：
______________________ ，整理得_______________________ ①问题2 如图，有一块长方形铁皮，长100，宽50，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600m2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
分析：设切去的正方形的边长为x，则盒底的长为__________,宽为_____________.得方程：_______________________ ，整理得：_________________________ ②问题3 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
分析：全部比赛的场数为___________
设应邀请x个队参赛,每个队要与其他____个队各赛1场，所以全部比赛共___场.列方程：__________________________，整理得：________________________ ③请回答下面问题：
（1）方程①②③中未知数的个数各是多少？_________
（2）它们最高次数分别是几次？_____
方程①②③的共同特点是：这些方程的两边都是_________，只含有_______未知数（一元），并且未知数的最高次数是_____（二次）的方程.
三、知识点归纳
1．等式两边都是，只含有个未知数，并且未知数的最高次数为_____的方程叫做一元二次方程．
2．判断一个方程是否是一元二次方程，必须满足：
（1）方程两边都是，（2）只含有个未知数，（3）未知数的最高次数为_____（4）二次项的系数不能为．
3．一元二次方程的一般形式为__ _ _ _其中为二次项系数；为一次项的系数；为常数项．
4.使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的_____，也叫做一元二次方程的_____．
四、课堂练习
知识点1：一元二次方程的概念
1．下列方程是一元二次方程的是( )
A．ax2＋bx＋c＝0B．3x2－2x＝3(x2－2)
C．x3－2x－4＝0 D ．(x－1)2－1＝0
2．关于的一元二次方程(a－3)x2＋x＋a 2－9＝0，其中a的取值范围为( ) A．a＞3B．a≥3 C．a≠3 D．a＜3
知识点2：一元二次方程的一般形式
3．方程3x2＝5x－1化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )
A．3，5，－1 B．3，－5，1 C．3，－5，－1 D．3，5，1
知识点3：一元二次方程的解(根)
4．下列关于x的方程中，一定有实数根－1的是( )
A．x2－x＋2＝0 B．x2＋x－2＝0 C．x2－x－2＝0 D．x2＋1＝0
5．已知关于x的一元二次方程2x2－3kx＋4＝0的一个根是1，则k＝_____．
知识点4：用一元二次方程刻画实际问题中的数量关系
6．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为米，则根据题意可列出关于的方程为( )
A．x (5＋x)＝6 B．x (5－x)＝6 C．x (10－x)＝6 D．x (10－2x)＝6 7.下列是方程3x2＋5x－2＝0的解的是( )
A．x＝－1 B．x＝1 C．x＝－2 D．x＝2
8. 已知实数a,b，满足a2－3a＋1＝0，b2－3b＋1＝0，则关于一元二次方程x2－3x＋1＝0的根的说法中正确的是( )
A．x＝a，x＝b都不是该方程的解
B．x＝a是该方程的解，x＝b不是该方程的解
C．x＝b是该方程的解，x＝a不是该方程的解
D．x＝a，x＝b都是该方程的解
9．若方程(m－2) x2＋m x＝1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是_____．10．小明用30厘米的铁丝围成一斜边长等于13厘米的直角三角形，设该直角三角形的一边长x厘米，则另一边长_____厘米，列方程得__ ___．
21．2.1（1）一元二次方程的解——直接开平方法
一、预习检测
1. 如果有，则x叫a的平方根，也可以表示为x＝．
2. 将下列各数的平方根写在旁边的括号里
9（ ）； 5（ ）； 4925（ ）； 二、探究案
阅读教材5–6,结合教材完成下面问题 ：
问题1 平方根的定义
问题2 你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？
①2250x -= ②29160x -= ③
231x =
问题3 我们知道x 2=25，根据平方根的意义，直接开平方得x = ，如果x 换元为2t +1，即(2t +1)2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？ 问题4 解方程：
⑴(2x －1)2=5 ⑵3(x －1)2－9=108 ⑶4m 2－9=0
三、知识点归纳
1．若x 2＝a (a ≥0)，则a 就叫做a 的平方根，记为x ＝_____(a ≥0)，由平方根的意义降次来解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．
2．直接开平方，把一元二次方程“降次”转化为__ ___．
3．如果方程能化为x 2＝p (p ≥0)或(mx ＋n )2＝p (p ≥0)的形式，那么x ＝ 或mx ＋n ＝_____．
四、课堂练习
知识点1：可化为x 2＝p (p ≥0)型方程的解法
1．方程x 2－16＝0的根为( )
A ．x ＝4
B ．x ＝16
C ．x ＝±4
D ．x ＝±8
2．方程x 2＋m ＝0有实数根的条件是( )
A ．m ＞0
B ．m ≥0
C ．m ＜0
D ．m ≤0
3．方程5y 2－3＝y 2＋3的实数根的个数是( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
4．解下列方程：
(1)3x 2＝27； (2)2x 2＋4＝12； (3)5x 2＋8＝3.
知识点2：形如(mx ＋n )2＝p (p ≥0)的解法
5．一元二次方程(x ＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x ＋6＝4，则另一个一元一次方程是( )
A ．x －6＝－4
B ．x －6＝4
C ．x ＋6＝4
D ．x ＋6＝－4
6．若关于x 的方程(x ＋1)2＝1－k 没有实数根，则k 的取值范围是( )
A ．k ＜1
B ．k ＜－1
C ．k ≥1
D ．k ＞1
7．解下列方程：
(1)(x －3)2－9＝0； (2)2(x －2)2－6＝0；
8.一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2－1＝0的一个根为0，则a ＝_____．
9.若242+-x x 的值为0，则x ＝_____． 10．下列方程中，不能用直接开平方法求解的是( )
A ．x 2－3＝0
B ．(x －1)2－4＝0
C ．x 2＋2＝0
D ．(x －1)2＝(2x ＋1)2
11．若(x 2＋y 2－3)2＝16，则x 2＋y 2的值为( )
A ．7
B ．7或－1
C ．－1
D ．19
12．解下列方程： (1)3(2x ＋1)2－27＝0； (2)(x －2)(x ＋2)＝10；
(3)x 2－4x ＋4＝(3－2x )2； (4)4(2x －1)2＝9(2x ＋1)2.
21.2.1（2）一元二次方程的解——配方法
一．预习检测
1．解下列方程：
⑴3x 2－1=5 ⑵4（x －1）2－9=0 ⑶4x 2+16x +16=9
二、探究案
阅读教材6–9,结合教材完成下面问题 ：
1．填空：⑴x 2+6x +______=（x +______）2 ⑵x 2－x +_____=（x －_____）2 ⑶4x 2+4x +_____=（2x +______）2 ⑷x 2－x +_____=（x －_____）2
三、知识点归纳
1．通过配成 来解一元二次方程的方法叫做配方法．
2．配方法的一般步骤：
(1)化二次项系数为1，并将含有未知数的项放在方程的左边，常数项放在方程的右边；
(2)配方：方程两边同时加上 ，使左边配成一个完全平方式，写成__ ___的形式；
(3)若p ____0，则可直接开平方求出方程的解；若p _____0，则方程无解．
四、课堂练习
知识点1：配方
1．下列二次三项式是完全平方式的是( )
A ．x 2－8x －16
B ．x 2＋8x ＋16
C ．x 2－4x －16
D ．x 2＋4x ＋16
2．若x 2－6x ＋m 2是一个完全平方式，则m 的值是( )
A ．3
B ．－3
C ．±3
D ．以上都不对
3．用适当的数填空：
x 2－4x ＋_____＝(x －_____)2；m 2_____＋94＝(m _____)2.
知识点2：用配方法解x 2＋px ＋q ＝0型的方程
4．用配方法解一元二次方程x 2－4x ＝5时，此方程可变形为( )
A ．(x ＋2)2＝1
B ．(x －2)2＝1
C ．(x ＋2)2＝9
D ．(x －2)2＝9
5．下列配方有错误的是( )
A ．x 2－2x －3＝0化为(x －1)2＝4
B ．x 2＋6x ＋8＝0化为(x ＋3)2＝1
C ．x 2－4x －1＝0化为(x －2)2＝5
D ．x 2－2x －124＝0化为(x －1)2＝124
6．解下列方程：
(1)x 2－4x ＋2＝0； (2)x 2＋6x －5＝0.
知识点3：用配方法解ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)型的方程
7.解方程3x 2－9x ＋1＝0，两边都除以3得 ，配方后得
____ _．
8．方程3x 2－4x －2＝0配方后正确的是( )
A ．(3x －2)2＝6
B ．3(x －2)2＝7
C ．3(x －6)2＝7
D ．3(x －23)2＝103
9．解下列方程：
(1)3x 2－5x ＝－2； (2)2x 2＋3x ＝－1.
五、课堂检测
1．对于任意实数x ，多项式x 2－4x ＋5的值一定是( )
A ．非负数
B ．正数
C ．负数
D ．无法确定
2．方程3x 2＋2x ＝6，左边配方得到的方程是( )
A ．(x ＋26)2＝－3718
B ．(x ＋26)2＝3718
C ．(x ＋26)2＝3518
D ．(x ＋26)2＝6118
3．已知方程x 2－6x ＋q ＝0可以配方成(x －p )2＝7的形式，那么x 2－6x ＋q ＝2可以配方成下列的( )
A ．(x －p )2＝5
B ．(x －p )2＝9
C ．x －p ＋2)2＝9
D ．(x －p ＋2)2＝5
4．用配方法解方程：
(1)23x 2＝2－13x ； (2)3y 2＋1＝23y .
21．2.2 一元二次方程的解——公式法
一、预习检测
1.用配方法解下列方程：
⑴6x2－7x+1=0 ⑵4x2－3x=52
2.配方法解一元二次方程的步骤：
二、探究案
阅读教材9–12,结合教材完成下面问题：
如果一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），请你试用配方法的步骤求出它们的两根？
三、知识点归纳
1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当__ ___时，x＝－b±b2－4ac
2a，这
个式子叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的__ ___．
2．式子__ ___叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，常用Δ表示，Δ＞0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有__ ___；Δ＝0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有
__ ___ ；Δ＜0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__ ___．
四、课堂练习
知识点1：根的判别式
1．下列关于x的方程有实数根的是( )
A．x2－x＋1＝0B．x2＋x＋1＝0 C．(x－1)(x＋2)＝0 D．(x－1)2＋1＝0 2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，下列选项中正确的是( )
A．b2－4ac＝0 B．b2－4ac＞0 C．b2－4ac＜0 D．b2－4ac≥0
3．一元二次方程x2－4x＋5＝0的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
4．利用判别式判断下列方程的根的情况：
(1)9x2－6x＋1＝0；(2)8x2＋4x＝－3；(3)2(x2－1)＋5＝0.
知识点2：用公式法解一元二次方程
5．方程5x＝2x2－3中，a＝_____，b＝_____，c＝_____，b2－4ac＝_____．6．一元二次方程x2－x－6＝0中，b2－4ac＝_____，可得x1＝_____，x2＝_____．7．用公式法解下列方程：
(1)x2－3x－2＝0；(2)8x2－8x＋1＝0；(3)2x2－2x＝5.
五、课堂检测
1.关于x的一元二次方程kx2－3x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取
值范围为( )
A ．m ＞94
B ．m ＜94
C ．m ＝94
D ．m ＜－94
2．若关于x 的一元二次方程kx 2－2x －1＝0有实数根，则实数k 的取值范围是( )
A ．k ＞－1
B ．k ＜1且k ≠0
C ．k ≥－1且k ≠0
D ．k ＞－1且k ≠0
3．已知关于x 的一元二次方程x 2＋bx ＋b －1＝0有两个相等的实数根，则b 的值是_____．
4．关于x 的方程(a ＋1)x 2－4x －1＝0有实数根，则a 满足的条件是_____．
5．用公式法解下列方程：
(1)x (x －4)＝5－8x ； (2)(3y －1)(y ＋2)＝11y －4.
6．已知关于的方程x 2＋ax ＋a －2＝0.
(1)若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一根；
(2)求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
21．2.3一元二次方程的解—— 因式分解法
一、预习检测
1．把下列各式因式分解：
am+bm+cm = a 2－b 2= a 2±2ab +b 2= 因式分解的方法有：
2．按要求解下列方程：
⑴2x 2+x =0（用配方法） ⑵3x 2+6x =0（用公式法）
二、探究案
阅读教材12–14,结合教材例题格式完成下面问题 ：
1.用因式分解法解下列方程
⑴()08=-x x ⑵()()2
239216+=-x x ⑶()()x x x -=-1213
2．方程2x （x －2）=3（x －2）的解是_________.
3．方程x （x +1）（x －2）=0的根是（ ）
A ．－1，2
B ．1，－2
C ．0，－1，2
D ．0，1，2
4．若关于x 的一元二次方程的根分别为－5，7，则该方程可以为（ ）
A．（x+5）（x－7）=0 B．（x－5）（x+7）=0
C．（x+5）（x+7）=0 D．（x－5）（x－7）=0
三、知识点归纳
1．当一元二次方程的一边为0，另一边可以分解成两个一次因式的乘积时，通常将一元二次方程化为_____的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做__ ___法．
2．解一元二次方程，首先看能否用__ ___；再看能否用__ ___；否则就用__ ___；若二次项系数为1，一次项系数为偶数可先用__ ___．
四、课堂练习
知识点1：用因式分解法解一元二次方程
1．方程(x＋2)(x－3)＝0的解是( )
A．x＝2B．x＝－3 C．x1＝－2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝－3 2．一元二次方程x(x－5)＝5－x的根是( )
A．－1 B．5 C．1和5 D．－1和5
3．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程(x－2)(x－4)＝0的根，则这个三角形的周长是( )
A．11 B．11或13 B．13 D．以上都不对
4．已知x＝1是关于x的方程(1－k)x2＋k2x－1＝0的根，则常数k的值为_____．5．方程x2－2x＝0的解为_____．
6．方程x2－2x＋1＝0的根是____．
7．用因式分解法解下列方程：
(1)x2－4＝0；(2)x2－23x＝0；(3)(3－x)2－9＝0；
知识点2：用适当的方法解一元二次方程
6．用适当的方法解方程：
(1)4(x－1)2＝2；(2)x2－6x＋4＝0；
(3)x2－4＝3x－6；(4)(x＋5)2＋x2＝25.
五、知识点归纳
1．解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次。

2．一元二次方程主要有四种解法，它们的理论根据和适用范围如下表：
方法名称 理论根据 适用方程的形式 直接开平方法
平方根的定义 2x p =或2()mx n p +=(0)p ≥ 配方法
完全平方公式 所有的一元二次方程 公式法
配方法 所有的一元二次方程 因式分解法
两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个等于0 一边是0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积的一元二次方程
二、课堂练习 1.选择题：⑴225(2)90x --=的最佳方法是（ ）
A ．直接开平方法
B ．配方法
C ．公式法
D ．因式分解法
（2）若2x =-是22210m x mx ++=的解，则m 的值是（ ）
A ．2m =
B ．2m =-
C ．0m =
D ．1
2m =
（3）若代数式221x +与代数式2425x x --互为相反数，则x 的值应是（ ）
A ．1x =-或23
x =
B ．1x =或23x =-
C ．1x =或32x =-
D ．1x =或32
x = 2．填空题： ⑴当____x 时，代数式225x -与9x 的值相等．
⑵当____x 时，分式2341
x x x --+的值为零． 3．用直接开平方法解方程：
(1)(4x －1)2＝225； (2)13(x －2)2＝8；
(3)9x 2－6x ＋1＝9； (4)3(2x ＋1)2－2＝0.
2．用配方法解方程：
(1)2t 2－3t ＝－1； (2)2x 2＋5x －1＝0；
3．用公式法解方程：
(1)x2＝6x＋1; (2)0.2x2－0.1＝0.4x；
4．用因式分解法解方程：
(1)(x－1)2－2(x－1)＝0；(2)5x(x－3)＝(x－3)(x＋1)；
21．2.4一元二次方程的根与系数的关系
一、预习检测
1．一元二次方程的一般式：
2．一元二次方程的解法：
3．一元二次方程的求根公式：
二、探究案
阅读教材15–16,结合教材完成下面问题：
1．不解方程，求下列方程的两根和与两根积：
⑴x2－6x－15=0 ⑵5x－1=4x2
三、知识点归纳
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝_____，x1x2＝_____．
四、课堂练习
知识点1：利用根与系数的关系求两根之间关系的代数式的值
1．已知x1，x2是一元二次方程x2＋2x－1＝0的两根，则x1＋x2的值是( ) A．0B．2C．－2D．4
2．已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根，则x1x2等于( ) A．－4 B．－1 C．1 D．4
3．已知方程x2－6x＋2＝0的两个解分别为x1，x2，则x1＋x2－x1x2的值为( )
A ．－8
B ．－4
C ．8
D ．4
4．已知x 1，x 2是方程x 2－3x －4＝0的两个实数根，则(x 1－2)(x 2－2)＝_____．
5．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：
(1)x 2＋3x ＋1＝0； (2)2x 2－4x －1＝0； (3)2x 2＋3＝5x 2＋x .
6．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，不解方程求下列各式的值：
(1)x 12＋x 22； (2)2111x x .
知识点2：利用根与系数的关系求方程中待定字母的值
7．已知关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根互为相反数，则( )
A ．b ＞0
B ．b ＝0
C ．b ＜0
D ．b ＝0
8．已知一元二次方程x －6x ＋c ＝0有一个根为2，则另一根和c 分别为( )
A ．1，2
B ．2，4
C ．4，8
D ．8，16
9．若关于x 的一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根分别为x 1＝－2，x 2＝4，
则b ＋c 的值是( )
A ．－10
B ．10
C ．－6
D ．－1
10．关于x 的方程x 2－ax ＋2a ＝0的两根的平方和是5，则a 的值是( )
A ．－1或5
B ．1
C ．5
D ．－1
21.3.1实际问题与一元二次方程---- 倍数关系问题
一、 探究案
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个
人传染了几个人?
分析: 设每轮传染中平均一个人传染了x 个人,
则第一轮传染后共有 人患了流感，第二轮传染后共有 人
患了流感.
列方程得： ．
解方程,得 ．
检验： ．
答: .
二.巩固练习
1.一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共多少人？
2.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支、主干,
支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?
解:设每个支干长出x个小分支,
3.要组织一场篮球联赛, 每两队之间都赛2场,计划安排90场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?
四、总结反思
1.利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型，并利用恰当方法解它．
2.列一元二次方程解一元二次方程的一般步骤（1）审（2）设（3）列（4）解（5）验——检验方程的解是否符合题意，将不符合题意的解舍去．（6）答．
21.3.2实际问题与一元二次方程------增长率问题A
一、预习检测
1．某厂今年1月份的总产量为100吨，平均每月增长20%，则:
二月份总产量为吨；三月份总产量为吨．（填具体数字）
2．某厂今年1月份的总产量为500吨，设平均每月增长率是x，则：
二月份总产量为吨；三月份总产量为吨．（填含有x的式子）
3．某种商品原价是100元，平均每次降价10%，则：第一次降价后的价格是________元；第二次降价后的价格是_______元．（填具体数字）
4．某种商品原价是100元，平均每次降价的百分率为x，则：第一次降价后的价格是________元；第二次降价后的价格是_______元．（填含有x的式子）
二、探究案
1．(2010台州中考) 某种商品原价是100元，经过两次提价后的价格是120元，求平均每次降价的百分率。

设平均每次降价的百分率为x，下列所列方程中正确的是（）
A．100（1+x）2=120 B．100（1-x）2=120
C．120（1+x）2=100 D．120（1-x）2=100
2．（2010兰州中考）上海世博会的某种纪念品原价是168元，连续两次降价x%后售价为128元．下列所列方程中正确的是（）
A．168（1+x）2=128 B．168（1-x）2=128
C．128（1+ x%）2=168 D．128（1- x%）2=168
3、与同学交流，归纳：平均增长率（或平均减少率）问题：
原数（1 ＋平均增长率）n= ．（n为相距时间）
原数（1 －平均减少率）n= ．
．
三、课堂练习
1.某商品两次价格上调后，单位价格从4元变为4.84元,则平均每次调价的百分率
是( )
A ．9%
B ．10％
C ．11％
D ．12％
2.某商品连续两次降价，每次都降20﹪后的价格为m 元，则原价是（ ）
A ．22.1m 元
B ．1.2m 元
C ．28.0m 元
D ．0.82m 元 3.一工厂计划2007年的成本比2005年的成本降低15%，如果每一年比上一年降
低的百分率为x ，那么求平均每一年比上一年降低的百分率的方程是( )
A ．(1-x )2=15%
B ．(1+x )2=1+15%
C ．(1-x )2=1+15%
D ．(1-x )2=1-15%
4.某林场第一年造林200亩，第一年到第三年共造林728亩，若设每年增长率为x ，
则应列出的方程是________________________．
5.某市2013年比2012年增长了8%，由于受到金融危机的影响，预计2014年比
2013年增长7%，设这两年年平均增长率为x %，则所列方程为（ ）
A ．8%+7%=x %
B ．（1+8%）（1+7%）=2(1+x %)
C ． 8%+7%=2x %
D ．（1+8%）(1+7%)=(1+x %)2
总结反思：
（1）为计算简便、直接求得，可以直接设增长的百分率为．
（2）认真审题，弄清基数，增长了，增长到、总共 季度总和 等词语的关系．
（3）用直接开平方法做简单，不要将括号打开．
21.3.3实际问题与一元二次方程----面积、体积问题
一、预习检测
1．列方程解应用题步骤 .
2．填空：1）.直角三角形的面积公式是 •一般三角形的面积公式是
2）.正方形的面积公式是 长方形的面积公式又是
3）.梯形的面积公式是 4）.菱形的面积公式是
5）.平行四边形的面积公式是 6）.圆的面积公式是
问题1：老王承包了一块长方形土地，长32米，宽20米，为了便于灌溉，他在
土地上修筑了两条一样宽的水渠（如图1所示）为了使余下部分面积还剩540平
方米，水渠的宽应为多少？
解决此类应用题要建立的模型是 ．
解题的步骤是 ．
解：
达标测试
1 .现有长方形纸片一张，长19cm，宽15cm，需要剪去边长是多少的小正方形才能做成底面积为77cm2的无盖长方体型的纸盒？
2.如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．求该矩形草坪BC边的长．
16米
草坪
第2题图
21.3.4实际问题与一元二次方程----- 数字问题
一.预习检测
１.已知两个数的差等于4，积等于45，求这两个数.
2. 两个连续奇数的积是323, 求这两个数．
二．探究案
一个两位数,它的十位数字比个位数字小3,而它的个位数字的平方恰好等于这个两位数.求这个两位数.
思考：
（1）一个两位数与它各个数位上的数字有何关系？也就是如何用各个数位上的数
字表示两位数？
（2）由题意知，十位上的数字都与个位上的数字有关，因此你可以设_____上的数字为______，那么______位上的数字为______，这个两位数可表示为_________ ．
解：
三．课堂练习练习
1．有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是5.把这个两位数的十位数字与个位数字互换后得到另一个两位数,两个两位数的积为763.求原来的两位数.
2.合肥白马旅行社为吸引市民组团去黄山风景区旅游，推出了如下收费标准：
如果人数超过25人，
每增加1人，人均旅
游费用降低20元，但
人均旅游费用不得低
于700元
如果人数不超过
25人，人均旅游
费用为1000元
某单位组织员工去黄山风景区旅游，共支付给白马旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去白马风景区旅游？
专题训练(二)一元二次方程的实际应用
一、循环、传播问题
1．我们知道，传销能扰乱一个地方正常的经济秩序且是国家法律明令禁止的，你了解传销吗？某传销组织现有两名头目，他们计划每人发展若干数目的下线，每个下线成员再发展同样数目的下线成员，经过两轮发展后共有成员114人，每个人计划发展下线多少人？
2．参加一次篮球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛30场，共有多少个队参加比赛？
二、增长率与利润问题
3．(2014·桂林)电动自行车已成为市民日常出行的首选工具．据某市某品牌电动自行车经销商1月至3月统计，该品牌电动自行车1月销售150辆，3月销售216辆．
(1)求该品牌电动车销售量的月平均增长率．
(2)若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价为2800元，则该经销商1月至3月共盈利多少元？
4．某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售(根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价)，单价降低x元销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？
5.某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．
(1)求平均每次下调的百分率；
(2)某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元．请问哪种方案更优惠？
三、几何图形问题
6．如图，AO＝OB＝50 cm，OC是一条射线，OC⊥AB，一蚂蚁由以2 cm/s的速度向爬行，同时另一蚂蚁由点以3cm /s的速度沿OC方向爬行，问几秒钟后两蚂蚁与O点组成的三角形面积等于450cm2?
7．在一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案．
(1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由；
(2)你还有其他的设计方案吗？请你设计出草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明．
第二十二章 二次函数
22．1 二次函数的图象和性质
22．1.1 二次函数
学习目标：
1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式．
2.会建立简单的二次函数模型，并能够根据实际问题确定自变量的取值范围，根据题意求相应的函数值与自变量的值．
定义：一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数．其中x 是________，a 是__________，b 是___________，c 是_____________． 注意的点是：1.
2.
巩固训练
1．下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y ＝x 2 (2)y ＝21x
-
(3)y ＝2x 2－x －1 (4)y ＝x (1－x ) (5)y ＝(x －1)2－(x ＋1)(x －1) 2．分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1)y ＝x 2＋1 (2)y ＝3x 2＋7x －12 (3)y ＝2x (1－x )
3．函数y ＝(m －2)x 2＋mx －3（m 为常数）．
（1）当m __________时，该函数为二次函数；
（2）当m __________时，该函数为一次函数．
4.已知函数y =(a -1)x 2+3x -1,若y 是x 的二次函数，则a 的取值范围是 .
5.m 为何值时，函数()m m y m x mx -+=-+2564是关于x 的二次函数.
6.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．
22.1.2 二次函数y ＝ax 2的图象和性质
学习目标
1．会用描点法画出y =ax 2图像； 2．掌握二次函数y =ax 2图像与性质；
3．对二次函数y =ax 2图像与性质，能进行简单的应用．
探索新知
画二次函数y =2x 2 与y =-2x 2的图象． 2 图象 (草图) 开口 方向 顶 点 对称轴 最高或 最低点
最值 a ＞0当x ＝__
时，y 有最
____值，
是__ ___.
a ＜0当x ＝__
时，y 有最
____值，
是________.
三、课堂练习
(1)函数y ＝－8x 2的图象开口向________，顶点是________，对称轴是________，当x ________时，y 随x 的增大而减小．
(2)二次函数y ＝(2k －5)x 2的图象如图所示，
则k 的取值范围为________．
(3)如图，①y ＝ax 2；②y ＝bx 2；③y ＝cx 2；④y ＝dx 2.比较a ，b ，c ，
d 的大小，用“＞”连
接 . ．
四、当堂检测
1. 抛物线162
x y -=,其对称轴左侧，y 随 x 的增大而 ；在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而 ．
2.若抛物线y = 6x 2上点P 的坐标为（2，-24），则抛物线上点P 的对称点P ’的坐标是 ．
3. 若抛物线 y =(n -1) x n2-n , 的开口向下，则n = ．
4.已知函数y ＝(m ＋2)xm 2＋m －4是关于x 的二次函数．
(1)求满足条件的m 的值；
(2)m 为何值时，抛物线有最低点？求这个最低点；当x 为何值时，y 随x 的增大
而增大？
(3)m为何值时，函数有最大值？最大值为多少？当x为何值时，y随x的增大而减小？
4．二次函数y＝ax2与一次函数y＝－ax(a≠0)在同一坐标系中的图象大致是()
22．1.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
第1课时二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
学习目标
1．会作函数y＝ax2和y＝ax2＋k的图象，并能比较它们的异同；理解a、k 对二次函数图象的影响，能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．2．了解抛物线y＝ax2＋k的平移规律．
探索新知
1．画出二次函数y＝x2－1、y＝x2和y＝x2＋1的图象，并观察图象有哪些异同？
2.抛物线y＝ax2与y＝ax2±k(k>0)有什么关系？
当堂检测
1.抛物线y＝ax2＋k与y＝－5x2的形3．在抛物线y＝x2－4上的一个点是() A．(4，4)B．(1，－4)C．(2，0)D．(0，4)
2．抛物线y＝x2－4与x轴交于B、C两点，顶点为A，则△ABC的周长为________．3.二次函数y＝－2x2＋6的图象的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，y随x的增大而增大．
4.函数y＝ax2－a与y＝ax－a(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是()
第2课时二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质
学习目标
1．进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a(x－h)2的图象．2．能正确说出y＝a(x－h)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．3．掌握抛物线y＝a(x－h)2的平移规律．
探索新知
1．画函数y＝－1
2x
2、y＝－
1
2(x＋1)
2和y＝－
1
2(x－1)
2的图象，观察后两个函数图
象与抛物线y＝－1
2x
2有何关系？它们的对称轴、顶点坐标分别是什么？
2．二次函数y＝a(x－h)2的顶点坐标为________，对称轴为直线________．3．抛物线y＝ax2向________平移________个单位，即为抛物线y＝a(x＋h)2(h>0)；抛物线y＝ax2向________平移________个单位，即为抛物线y＝a(x－h)2(h>0)．
课堂练习
1.
抛物线开口方向对称轴顶点坐标
y＝2(x＋3)2
y＝－3(x－1)2
y＝－4(x－3)2
2．不画图象，回答下列问题．
(1)函数y＝2(x＋1)2的图象可以看成是由函数y＝2x2的图象作怎样的平移得到
的？
(2)说出函数y＝2(x＋1)2的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标；
(3)函数y＝2(x＋1)2有哪些性质？
(4)若将函数y＝2(x＋1)2的图象向左平移3个单位得到哪个函数图象？
3．与抛物线y＝2(x＋1)2顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数关系式是___________
第3课时二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
学习目标
1．进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a(x－h)2＋k的图象．2．能正确说出y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
3．掌握抛物线y＝a(x－h)2＋k的平移规律．
探索新知
1.一般地，抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2的________相同，________不同，
2.抛物线y＝ax2怎样平移的到y＝a(x－h)2＋k？
3．抛物线y＝a(x－h)2＋k的特点：当________时，开口向上；当________时，开口向下；对称轴是直线________；顶点坐标是________．
4．函数y＝4(x＋1)2－2的图象是由函数y＝4x2的图象先向________平移________个单位，再向________平移________个单位得到的．
5．抛物线y＝－2(x－1)2－3的开口方向是________，其顶点坐标是________，对称轴是直线________，当x>1时，函数值y随自变量x的值的增大而________．课堂练习
1.填写下表：
2.将抛物线y＝－3x2向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线解析式是____________．
3.若直线y＝3x＋m经过第一、三、四象限，则抛物线y＝(x－m)2＋1的顶点必在第________象限．
4.把y＝x2－1的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的新抛物线。