2021高考数学(理)大一轮复习第十篇 计数原理、概率、随机变量及其分布第1节 分类加法计数
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答案:(1)A
(2)在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数的个数为
.
解析:(2)根据题意,将十位上的数字按1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类,在每一类中满足 题目条件的两位数分别是8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个. 由分类加法计数原理知,符合条件的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个).
2.将3张不同的奥运会门票分给10名同学中的3人,每人1张,则不同分法的种数是( )
(A)2B 160 (C)240
(B)720 (D)120
解析:分步来完成此事.第1张有10种分法;第2张有9种分法;第3张有8种分法.共有 10×9×8=720种分法.
3.如图,从A城到B城有3条路;从B城到D城有4条路;从A城到C城有4条路;从C城到D城有5条
(2)有六名同学报名参加三个智力项目,每项限报一人,且每人至多参加一项,则共有 种不同的报名方法.
解析:(2)每项限报一人,且每人至多参加一项,因此可由项目选人,第一个项目有6种选 法,第二个项目有5种选法,第三个项目有4种选法,根据分步乘法计数原理,可得不同的 报名方法共有6×5×4=120(种). 答案:(2)120
备选例题
种不同的走法(不重复过一点).
解析:分3类:第一类,直接由A到O,有1种走法;第二类,中间过一个点,有A→B→O和 A→C→O 2种不同的走法;第三类,中间过两个点,有A→B→C→O和A→C→B→O 2种 不同的走法.由分类加法计数原理可得共有1+2+2=5种不同的走法.
答案:5
[例2] 设集合A={-1,0,1},B={(x,y)|x∈A,y∈A},则B中所含元素的个数为( ) (A)3 (B)6 (C)9 (D)12
2
点击进入 课时跟踪检测
解析:因为集合A={-1,0,1},B={(x,y)|x∈A,y∈A},所以B中x有3种取法,y有3种取法,则B 中所含元素的个数为3×3=9.故选C.
[例3] (1)现有4种不同颜色对如图所示的四个部分进行涂色,要求有公共边界的两块不 能用同一种颜色,则不同的涂色方法共有( ) (A)24种 (B)30种 (C)36种 (D)48种
基础自测
1.从0,1,2,3,4,5这六个数字中,任取两个不同数字相加,其和为偶数的不同取法的种数为
() (A)30
(B)D20
(C)10
(D)6
解析:从0,1,2,3,4,5六个数字中,任取两个不同数相加,和为偶数可分为两类,①取出的 两个数都是偶数,共有3种方法;②取出的两个数都是奇数,共有3种方法,故由分类加法 计数原理得共有N=3+3=6(种).
{1,2,3,4,5,6,7},则这样的椭圆的个数为( ) (A)10 (B)12 (C)20 (D)35
解析:(1)因为焦点在x轴上,m>n,以m的值为标准分类,由分类加法计数原理,可分为四 类:第一类:m=5时,使m>n,n有4种选择;第二类:m=4时,使m>n,n有3种选择;第三 类:m=3时,使m>n,n有2种选择;第四类:m=2时,使m>n,n有1种选择.故符合条件的椭 圆共有4+3+2+1=10(个).故选A.
解析:(1)根据题意,设需要涂色的四个部分依次分①,②,③,④,对于区域①,有4种颜色可 选,有4种涂色方法;对于区域②,与区域①相邻,有3种颜色可选,有3种涂色方法;对于区 域③,与区域①②相邻,有2种颜色可选,有2种涂色方法;对于区域④,与区域②③相邻,有 2种颜色可选,有2种涂色方法,则不同的涂色方法有4×3×2×2=48(种).故选D.
(A)6种
(B)9种
(C)12种 (D)36种
解析:先涂三棱锥 P-ABC 的三个侧面,有 C13 × C12 种情况;然后涂三棱柱的三个 侧面,有 C11 × C12 种情况,共有 C13 × C12 × C11 × C12 =3×2×1×2=12(种)不同的 涂法.故选 C.
[例1]如图,从A到O有
第十篇 计数原理、概率、随机变量及其分布
[六年新课标全国卷试题分析]
高考考点、示例分布图
命题特点
1.本篇在高考中一般考查1个小题和1个解 答题,占12～17分. 2.从考查内容来看 (1)利用计数原理解决实际问题,有时与古 典概型综合考查. (2)几何概型较少考查. (3)对二项式定理的考查主要是利用通项公 式求特定项. (4)对正态分布的考查,可能单独考查也可 能在解答题中出现. (5)以实际问题为背景,考查分布列、期望 等是高考的热点题型.
件事,只有每个步骤都完成后,这件事情才算完成
(C)如果完成一件事情有n个不同步骤,在每一步中都有若干种不同的方法mi(I =1,2,3,…,n),那么完成这件事共有m1m2m3…mn种方法 (D)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的
5.现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座,每名同学可自由选择其中的一个讲座,
路,则某旅客从A城到D城不同的路线共有( )
C
(A)24条 (C)32条
(B)30条 (D)38条
解析:不同路线共有3×4+4×5=32(条).
4.(多选题)下面结论正确的有(
ABC)D
(A)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成这件事
(B)在分步乘法计数原理中,事情是分步完成的,其中任何一个单独的步骤都不能完成这
答案:(2)36
反思归纳
使用分类加法计数原理时,应注意以下三方面: (1)各类方法之间相互独立,每种方法都能完成这件事,且方法总数是各类方法数相加 得到的. (2)分类时,首先要在问题的条件之下确定一个分类标准,然后在确定的分类标准下进 行分类. (3)完成这件事的任何一种方法必属于某一类,且分别属于不同类的方法都是不同的.
第一步涂区域
1
与
3
有
A
2 4
种方法,
第二步涂区域 2 有 2 种涂色方法,
第三步涂区域 4 只有一种方法,
第四步涂区域 5 有 3 种方法.
所以这时共有
A
2 4
×2×1×3=72
种方法.
ห้องสมุดไป่ตู้
由分类加法计数原理,不同的涂色种数为 24+72=96.
答案:96
跟踪训练:如图所示的几何体是由一个三棱锥P-ABC与三棱柱ABC-A1B1C1组合而成,现用3 种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面A1B1C1不涂色),要求相邻的面均不同色,则不 同的涂色方案共有( )
第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
[考纲展示]
1.理解分类加法计数原理和分步乘 2.能正确区别“类”和“步”,并能利
法计数原理.
用两个原理解决一些简单的实际问题.
知识梳理自测 考点深度剖析
知识梳理自测
知识梳理
两个计数原理
原理 条件
结论 依据
分类加法计数原理 完成一件事有 两类不同方案 .在第1类 方案中有m种不同的方法,在第2类方案中 有n种不同的方法
考点二 分步乘法计数原理 [例2] (1)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公 寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( ) (A)24 (B)18 (C)12 (D)9
解析:(1)由题意可知E→F的最短路径共有6种,F→G的最短路径共有3种,由乘法计数原 理知,共有6×3=18(种)走法,故选B. 答案:(1)B
反思归纳
利用分步乘法计数原理应注意以下三点 (1)要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的. (2)各步中的方法互相依存,缺一不可,只有各步骤都完成才算完成这件事. (3)对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定.
考点三 两个原理的综合应用
[例3]如图所示,用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用),要求每个区域
完成这件事共有N= m+n 种不同的方法
能否 独立 完成整个事件
分步乘法计数原理 完成一件事需要 两个步骤 ,做 第1步有m种不同的方法,做第2 步有n种不同的方法 完成这件事共有N= m×n种不 同的方法
能否 逐步 完成整个事件
重要结论
(1)完成一件事有n类不同方案,在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有 m2种不同的方法,…,在第n类方案中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有 N=m1+m2 +…+mn种不同的方法. (2)完成一件事需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的 方法……,做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不 同的方法. (3)两个原理的区别与联系 联系:两个计数原理都是关于完成一件事的不同方法种数的问题. 区别:分类计数原理与分类有关,各种方法相互独立,且任何一种方法都可以完成这件 事;分步计数原理与分步有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算 完成.
涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数为
(用数字作
答).
解析:按区域 1 与 3 是否同色分类:
①区域 1 与 3 同色:先涂区域 1 与 3 有 4 种方法,再涂区域 2,4,5(还有 3 种颜
色)有
A
3 3
种方法.所以区域
1
与
3
涂同色,共有
4
A
3 3
=24
种方法.
②区域 1 与 3 不同色:
(2)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有( ) (A)24对 (B)30对 (C)48对 (D)60对
解析:(2)与正方体的一个面上的一条对角线成 60°角的对角线有 8 条,故共有 8 对,正方体的 12 条面对角线共有 8×12=96 对,且每对均重复计算一次,故共 有 96 =48(对).故选 C.
不同选法的种数是
.
解析:每个同学都有3种选择,所以不同选法共有34=81(种). 答案:81
6.若给程序模块命名,需要用3个字符,其中首字符要求用字母A～G或U～Z,后两个要求用
数字1～9.则最多可以给
个程序命名.
答案:1 053
考点深度剖析
考点一 分类加法计数原理
[例 1] (1)椭圆 x2 + y 2 =1(m>0,n>0)的焦点在 x 轴上,且 m∈{1,2,3,4,5},n∈ mn
(2)在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数的个数为
.
解析:(2)根据题意,将十位上的数字按1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类,在每一类中满足 题目条件的两位数分别是8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个. 由分类加法计数原理知,符合条件的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个).
2.将3张不同的奥运会门票分给10名同学中的3人,每人1张,则不同分法的种数是( )
(A)2B 160 (C)240
(B)720 (D)120
解析:分步来完成此事.第1张有10种分法;第2张有9种分法;第3张有8种分法.共有 10×9×8=720种分法.
3.如图,从A城到B城有3条路;从B城到D城有4条路;从A城到C城有4条路;从C城到D城有5条
(2)有六名同学报名参加三个智力项目,每项限报一人,且每人至多参加一项,则共有 种不同的报名方法.
解析:(2)每项限报一人,且每人至多参加一项,因此可由项目选人,第一个项目有6种选 法,第二个项目有5种选法,第三个项目有4种选法,根据分步乘法计数原理,可得不同的 报名方法共有6×5×4=120(种). 答案:(2)120
备选例题
种不同的走法(不重复过一点).
解析:分3类:第一类,直接由A到O,有1种走法;第二类,中间过一个点,有A→B→O和 A→C→O 2种不同的走法;第三类,中间过两个点,有A→B→C→O和A→C→B→O 2种 不同的走法.由分类加法计数原理可得共有1+2+2=5种不同的走法.
答案:5
[例2] 设集合A={-1,0,1},B={(x,y)|x∈A,y∈A},则B中所含元素的个数为( ) (A)3 (B)6 (C)9 (D)12
2
点击进入 课时跟踪检测
解析:因为集合A={-1,0,1},B={(x,y)|x∈A,y∈A},所以B中x有3种取法,y有3种取法,则B 中所含元素的个数为3×3=9.故选C.
[例3] (1)现有4种不同颜色对如图所示的四个部分进行涂色,要求有公共边界的两块不 能用同一种颜色,则不同的涂色方法共有( ) (A)24种 (B)30种 (C)36种 (D)48种
基础自测
1.从0,1,2,3,4,5这六个数字中,任取两个不同数字相加,其和为偶数的不同取法的种数为
() (A)30
(B)D20
(C)10
(D)6
解析:从0,1,2,3,4,5六个数字中,任取两个不同数相加,和为偶数可分为两类,①取出的 两个数都是偶数,共有3种方法;②取出的两个数都是奇数,共有3种方法,故由分类加法 计数原理得共有N=3+3=6(种).
{1,2,3,4,5,6,7},则这样的椭圆的个数为( ) (A)10 (B)12 (C)20 (D)35
解析:(1)因为焦点在x轴上,m>n,以m的值为标准分类,由分类加法计数原理,可分为四 类:第一类:m=5时,使m>n,n有4种选择;第二类:m=4时,使m>n,n有3种选择;第三 类:m=3时,使m>n,n有2种选择;第四类:m=2时,使m>n,n有1种选择.故符合条件的椭 圆共有4+3+2+1=10(个).故选A.
解析:(1)根据题意,设需要涂色的四个部分依次分①,②,③,④,对于区域①,有4种颜色可 选,有4种涂色方法;对于区域②,与区域①相邻,有3种颜色可选,有3种涂色方法;对于区 域③,与区域①②相邻,有2种颜色可选,有2种涂色方法;对于区域④,与区域②③相邻,有 2种颜色可选,有2种涂色方法,则不同的涂色方法有4×3×2×2=48(种).故选D.
(A)6种
(B)9种
(C)12种 (D)36种
解析:先涂三棱锥 P-ABC 的三个侧面,有 C13 × C12 种情况;然后涂三棱柱的三个 侧面,有 C11 × C12 种情况,共有 C13 × C12 × C11 × C12 =3×2×1×2=12(种)不同的 涂法.故选 C.
[例1]如图,从A到O有
第十篇 计数原理、概率、随机变量及其分布
[六年新课标全国卷试题分析]
高考考点、示例分布图
命题特点
1.本篇在高考中一般考查1个小题和1个解 答题,占12～17分. 2.从考查内容来看 (1)利用计数原理解决实际问题,有时与古 典概型综合考查. (2)几何概型较少考查. (3)对二项式定理的考查主要是利用通项公 式求特定项. (4)对正态分布的考查,可能单独考查也可 能在解答题中出现. (5)以实际问题为背景,考查分布列、期望 等是高考的热点题型.
件事,只有每个步骤都完成后,这件事情才算完成
(C)如果完成一件事情有n个不同步骤,在每一步中都有若干种不同的方法mi(I =1,2,3,…,n),那么完成这件事共有m1m2m3…mn种方法 (D)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的
5.现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座,每名同学可自由选择其中的一个讲座,
路,则某旅客从A城到D城不同的路线共有( )
C
(A)24条 (C)32条
(B)30条 (D)38条
解析:不同路线共有3×4+4×5=32(条).
4.(多选题)下面结论正确的有(
ABC)D
(A)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成这件事
(B)在分步乘法计数原理中,事情是分步完成的,其中任何一个单独的步骤都不能完成这
答案:(2)36
反思归纳
使用分类加法计数原理时,应注意以下三方面: (1)各类方法之间相互独立,每种方法都能完成这件事,且方法总数是各类方法数相加 得到的. (2)分类时,首先要在问题的条件之下确定一个分类标准,然后在确定的分类标准下进 行分类. (3)完成这件事的任何一种方法必属于某一类,且分别属于不同类的方法都是不同的.
第一步涂区域
1
与
3
有
A
2 4
种方法,
第二步涂区域 2 有 2 种涂色方法,
第三步涂区域 4 只有一种方法,
第四步涂区域 5 有 3 种方法.
所以这时共有
A
2 4
×2×1×3=72
种方法.
ห้องสมุดไป่ตู้
由分类加法计数原理,不同的涂色种数为 24+72=96.
答案:96
跟踪训练:如图所示的几何体是由一个三棱锥P-ABC与三棱柱ABC-A1B1C1组合而成,现用3 种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面A1B1C1不涂色),要求相邻的面均不同色,则不 同的涂色方案共有( )
第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
[考纲展示]
1.理解分类加法计数原理和分步乘 2.能正确区别“类”和“步”,并能利
法计数原理.
用两个原理解决一些简单的实际问题.
知识梳理自测 考点深度剖析
知识梳理自测
知识梳理
两个计数原理
原理 条件
结论 依据
分类加法计数原理 完成一件事有 两类不同方案 .在第1类 方案中有m种不同的方法,在第2类方案中 有n种不同的方法
考点二 分步乘法计数原理 [例2] (1)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公 寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( ) (A)24 (B)18 (C)12 (D)9
解析:(1)由题意可知E→F的最短路径共有6种,F→G的最短路径共有3种,由乘法计数原 理知,共有6×3=18(种)走法,故选B. 答案:(1)B
反思归纳
利用分步乘法计数原理应注意以下三点 (1)要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的. (2)各步中的方法互相依存,缺一不可,只有各步骤都完成才算完成这件事. (3)对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定.
考点三 两个原理的综合应用
[例3]如图所示,用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用),要求每个区域
完成这件事共有N= m+n 种不同的方法
能否 独立 完成整个事件
分步乘法计数原理 完成一件事需要 两个步骤 ,做 第1步有m种不同的方法,做第2 步有n种不同的方法 完成这件事共有N= m×n种不 同的方法
能否 逐步 完成整个事件
重要结论
(1)完成一件事有n类不同方案,在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有 m2种不同的方法,…,在第n类方案中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有 N=m1+m2 +…+mn种不同的方法. (2)完成一件事需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的 方法……,做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不 同的方法. (3)两个原理的区别与联系 联系:两个计数原理都是关于完成一件事的不同方法种数的问题. 区别:分类计数原理与分类有关,各种方法相互独立,且任何一种方法都可以完成这件 事;分步计数原理与分步有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算 完成.
涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数为
(用数字作
答).
解析:按区域 1 与 3 是否同色分类:
①区域 1 与 3 同色:先涂区域 1 与 3 有 4 种方法,再涂区域 2,4,5(还有 3 种颜
色)有
A
3 3
种方法.所以区域
1
与
3
涂同色,共有
4
A
3 3
=24
种方法.
②区域 1 与 3 不同色:
(2)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有( ) (A)24对 (B)30对 (C)48对 (D)60对
解析:(2)与正方体的一个面上的一条对角线成 60°角的对角线有 8 条,故共有 8 对,正方体的 12 条面对角线共有 8×12=96 对,且每对均重复计算一次,故共 有 96 =48(对).故选 C.
不同选法的种数是
.
解析:每个同学都有3种选择,所以不同选法共有34=81(种). 答案:81
6.若给程序模块命名,需要用3个字符,其中首字符要求用字母A～G或U～Z,后两个要求用
数字1～9.则最多可以给
个程序命名.
答案:1 053
考点深度剖析
考点一 分类加法计数原理
[例 1] (1)椭圆 x2 + y 2 =1(m>0,n>0)的焦点在 x 轴上,且 m∈{1,2,3,4,5},n∈ mn